實戰(zhàn)演練03 導數(shù)中最?？嫉那芯€問題（5大?？键c歸納）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁實戰(zhàn)演練03導數(shù)中最?？嫉那芯€問題①求在曲線上一點的切線方程②求過某一點的切線方程③有一個切點的公切線④有兩個切點的公切線⑤公切線的條數(shù)問題一、在點的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點處的切線方程為，抓住關鍵．二、過點的切線方程設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）三、公切線問題一般思路兩個曲線的公切線問題，主要考查利用導數(shù)的幾何意義進行解決，關鍵是抓住切線的斜率進行轉化和過渡.主要應用在求公切線方程，切線有關的參數(shù)，以及與函數(shù)的其他性質(zhì)聯(lián)系到一起.處理與切線有關的參數(shù)，通常根據(jù)曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①切點處的導數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上.考法1：求公切線方程已知其中一曲線上的切點，利用導數(shù)幾何意義求切線斜率，進而求出另一曲線上的切點；不知切點坐標，則應假設兩切點坐標，通過建立切點坐標間的關系式，解方程.具體做法為：設公切線在y＝f(x)上的切點P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝.考法2：由公切線求參數(shù)的值或范圍問題由公切線求參數(shù)的值或范圍問題，其關鍵是列出函數(shù)的導數(shù)等于切線斜率的方程．①求在曲線上一點的切線方程一、填空題1．（2024·山西·模擬預測）函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.【答案】【分析】借助導數(shù)的幾何意義及直線的點斜式計算即可得.【詳解】因為，所以，又，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為：，整理得.故答案為：.2．（2024·河北承德·二模）函數(shù)在處的切線的斜率為.【答案】/【分析】利用導數(shù)的幾何意義，求切點處切線的斜率.【詳解】函數(shù)，有，則.所以函數(shù)在處的切線的斜率為.故答案為：.3．（23-24高三下·西藏拉薩·階段練習）已知函數(shù)，若曲線在點處的切線與直線平行，則實數(shù)．【答案】2【分析】首先求出曲線在點處的切線斜率，結合該切線與平行即可求解．【詳解】因為，所以，所以，故答案為：2．4．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知曲線在點處的切線的傾斜角為,則的值為.【答案】/【分析】對原函數(shù)進行求導,代入得出切線斜率.曲線在處的切線傾斜角為可得出斜率.構造關于的方程，解方程即可.【詳解】曲線的導數(shù),∵曲線在處的切線的傾斜角為,∴,∴,∴故答案為:.5．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直線的斜率為2，且與曲線相切，則的方程為.【答案】【分析】由題意令，解方程可得切點橫坐標，進一步得到切點坐標即可得解.【詳解】設，令，得，則切點為，故所求的方程為.故答案為：.6．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為1，則．【答案】【分析】利用復合函數(shù)的導數(shù)計算法則，由導數(shù)的幾何意義計算即可求得.【詳解】由可得，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得，解得.故答案為：7．（2024·河北·模擬預測）已知函數(shù)在處的切線方程為，則.【答案】1【分析】根據(jù)切點在曲線與切線上，代入求解即可.【詳解】，故函數(shù)在處的切點為，又切點在切線上，故，故.故答案為：18．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，若曲線的所有切線中斜率最小的切線方程為，則．【答案】8【分析】求導結合基本不等式得到的最小值，再根據(jù)題意得關于的方程，解方程得到的值，得到切點的坐標，將切點坐標代入直線方程得到的值，即可得解.【詳解】由，得，因為，則，當且僅當時等號成立，由直線的斜率為，所以曲線的所有切線中斜率最小的切線的斜率，所以，此時，由，則，所以切點為.將代入，得，所以．故答案為：.②求過某一點的切線方程一、填空題1．（2024高三·全國·專題練習）過點作曲線的切線，則切線方程為.【答案】【分析】設出切點坐標，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，將點代入切線求得參數(shù)，即可求解.【詳解】設切點為，由得，則切點處的切線，因為切線過點，所以，解得，所以切線方程為即.故答案為：2．（23-24高三上·山東青島·期中）曲線過原點的切線方程為.【答案】【分析】設切點，求導，即可根據(jù)點斜式求解切線方程，進而根據(jù)直線過原點即可求解切點坐標，進而可求解.【詳解】由得設切點為，則切線方程為由于切線經(jīng)過原點，所以，解得，所以切線方程為，即，故答案為：3．（2024·四川自貢·一模）若曲線的一條切線為，則.【答案】【分析】由是曲線的切線，求導函數(shù)利用斜率出參數(shù)即可.【詳解】設切點為，因為，所以，所以在處的切線斜率為，則過該點的切線方程為：，即，又知切線為：，故得：，.故答案為:.4．（2024高三·全國·專題練習）在平面直角坐標系中，點在曲線上，且該曲線在點處的切線經(jīng)過點（為自然對數(shù)的底數(shù)），則點的坐標是，切線方程為【答案】【分析】求導，根據(jù)點斜式得切線方程，代入可得，構造函數(shù)，求導，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結合，可得，即可求解.【詳解】設點，則.又，當時，，曲線在點A處的切線方程為，即，代入點，得，即，記，當時，，當時，，且，當時，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實數(shù)根，此時，故點的坐標為，切線方程為，故答案為：，5．（2024·河南信陽·模擬預測）若過點僅可作曲線的兩條切線，則的取值范圍是.【答案】【分析】設切點為：，根據(jù)切線過點，得到，令，再根據(jù)過點僅可作曲線的兩條切線，由與的圖象有兩個交點求解.【詳解】設切點為：，，所以切線方程為，又因為切線過點，所以，即，令，則，令，得或，當或時，，當時，，，當時，則，且；當時，則，所以的圖象如圖所示：因為過點僅可作曲線的兩條切線，所以與的圖象有兩個交點，則或.故答案為：.③有一個切點的公切線一、單選題1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若函數(shù)與在處有相同的切線，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】對，求導，根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】因為，，則，，可得，，，，因為，在處有相同的切線，即切點為，切線斜率，所以，解得，所以.故選：D.2．（23-24高二下·廣東深圳·期中）已知函數(shù)與偶函數(shù)在交點處的切線相同，則函數(shù)在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得，得到且，根據(jù)題意，得到與相切于，且，再由為偶函數(shù)，求得，且，進而求得切線方程.【詳解】由函數(shù)，可得，所以且，因為函數(shù)與偶函數(shù)在交點處的切線相同，所以函數(shù)與相切于，且，又因為為偶函數(shù)，所以，且，所以函數(shù)在處的切線方程為，即．故選：D.二、填空題3．（2024·上海·三模）設曲線和曲線在它們的公共點處有相同的切線，則的值為.【答案】2【分析】根據(jù)兩曲線在有公切線，則是公共點，該點處的導數(shù)值相同，列出方程求出的值，則答案可求.【詳解】由已知得，解得，又，所以得，所以，所以.故答案為：24．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)且的圖象在公共點處有相同的切線，則，切線方程為.【答案】【分析】設公共點為，即可得到，再由導數(shù)的幾何意義得到，從而求出，即可求出切點坐標，從而求出，再求出切線方程.【詳解】設公共點為，則，即，所以，所以，由，，所以，，又在公共點處有相同的切線，所以，即，所以，則，，則，則，所以切線方程為，即.故答案為：；5．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習）已知曲線在點處的切線與曲線相切，則=.【答案】4【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結合一元二次方程根的判別式進行求解即可.【詳解】，因此曲線在點處的切線的斜率為，所以曲線在點處的切線的方程為，因為曲線在點處的切線與曲線相切，所以有一個實數(shù)解，即，當時，顯然該方程不成立，當時，，舍去，故答案為：6．（23-24高三上·江西·階段練習）若函數(shù)與，有公共點，且在公共點處的切線方程相同，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)兩函數(shù)在公共點處的切線方程相同得及，令函數(shù)求其最小值即可.【詳解】，.設曲線與的公共點為，兩者在公共點處的切線方程相同，因此，即，解得或.因為，，所以舍去.又，即.令函數(shù)，則.令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，解得.則的最小值為.故答案為：④有兩個切點的公切線一、填空題1．（2024·全國·模擬預測）曲線與的公切線方程為.【答案】【分析】設出兩曲線的切點和，由導數(shù)的意義可得，再由點斜式得出公切線方程，把點代入直線方程可得，構造函數(shù)，求導分析單調(diào)性得到，進而得出，最后得到直線方程.【詳解】設曲線上的切點為，曲線上的切點為.因為，則公切線的斜率，所以.因為公切線的方程為，即，將代入公切線方程得，由，得.令，則，當時，；當時，0，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，故公切線方程為，即.故答案為：.2．（2024·河北滄州·模擬預測）已知直線是曲線和的公切線，則實數(shù)a=．【答案】3【分析】先設在上的切點，然后求出切點和切線，然后再設在上的切點，即可求出a的值.【詳解】設直線l與曲線相切于點，由，得，因為l與曲線相切，所以消去，得，解得．設l與曲線相切于點，由，得，即，因為是l與曲線的公共點，所以消去，得，即，解得．故答案為：3.3．（23-24高三下·云南·階段練習）已知函數(shù)，，若直線與函數(shù)，的圖象均相切，則的值為；若總存在直線與函數(shù)，圖象均相切，則a的取值范圍是．【答案】6【分析】設出直線與函數(shù)的切點，利用，可求得切點坐標，再利用切點在直線上即可求得的值，繼而列出方程組可求得的值；設出直線與兩個函數(shù)的切點，利用條件列出方程組，整理后得，構造函數(shù)，利用導數(shù)考查單調(diào)性，即可求得的范圍.【詳解】設直線與函數(shù)的切點為，由，所以，解得，所以切點為，所以，解得，即切線方程為．設直線與函數(shù)的切點為，則，解得，即，所以；設切線方程l為，且l與的切點為，l與的切點為，則，，整理可得，，所以，整理可得，設，則.設，則，所以在上為增函數(shù)，又因為，所以在上，即，所以單調(diào)遞減；在上，即，所以單調(diào)遞增，所以，即，解得．故答案為：;.【點睛】應用導數(shù)的幾何意義求切點處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點求斜率，即求該點處的導數(shù)；(2)已知斜率求切點即解方程；(3)已知切線過某點(不是切點)求切點，設出切點利用求解．二、單選題4．（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)的圖像在，兩個不同點處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數(shù)在兩點處的切線平行，轉化為函數(shù)在兩點處的導數(shù)相等，得到的關系，在結合不等式求的取值范圍即可.【詳解】因為，.所以，.由因為在，兩個不同點處的切線相互平行，所以，又，所以，故CD錯誤；因為且，所以，故A不成立；當時，.故B成立.故選：B5．（23-24高三上·湖北荊州·階段練習）若曲線與曲線有公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設公切線與函數(shù)切于點，設公切線與函數(shù)切于點，然后利用導數(shù)的幾何意義表示出切線方程，則可得，消去，得，再構造函數(shù)，然后利用導數(shù)可求得結果.【詳解】設公切線與函數(shù)切于點，由，得，所以公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡得，設公切線與函數(shù)切于點，由，得，則公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡得，所以，消去，得，由，得，令，則，所以在上遞減，所以，所以由題意得，即實數(shù)的取值范圍是，故選：A⑤公切線的條數(shù)問題一、單選題1．（2024·福建泉州·模擬預測）若曲線與恰有兩條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設曲線切點為，的切點為，求出切線方程，根據(jù)有兩條公切線轉化為方程具有兩個解，構造函數(shù)利用導數(shù)求解取值范圍，判斷選項.【詳解】設曲線切點為，的切點為，則曲線在點處的切線方程為，即，同理，在點處的切線方程為，根據(jù)與有兩條公切線，則，所以，化簡可得具有兩個交點，轉化為有兩個解，構造函數(shù)，則，當，，單調(diào)遞增；當，，單調(diào)遞減，故在時有極大值即為最大值，故，當時，，當時，，故的取值范圍為，故選：A2．（2024·湖南衡陽·模擬預測）若曲線與有三條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導數(shù)幾何意義，分別設出兩條曲線的切線方程，將問題轉化為一條直線與一條曲線交點個數(shù)問題，即可求出的取值范圍.【詳解】設公切線為是與的切點，由，得，設是與的切點，由，得，所以的方程為，因為，整理得，同理，因為，整理得，依題意兩條直線重合，可得，消去，得，由題意此方程有三個不等實根，設，即直線與曲線有三個不同的交點，因為，令，則，當或時，；當時，，所以有極小值為，有極大值為，因為，，，所以，當趨近于時，趨近于0；當趨近于時，趨近于，故的圖象簡單表示為下圖:所以當，即時，直線與曲線有三個交點.故選：A.二、多選題3．（2024·福建泉州·模擬預測）已知函數(shù)，，則（

）A．恒成立的充要條件是B．當時，兩個函數(shù)圖象有兩條公切線C．當時，直線是兩個函數(shù)圖象的一條公切線D．若兩個函數(shù)圖象有兩條公切線，以四個切點為頂點的凸四邊形的周長為，則【答案】ACD【分析】根據(jù)導數(shù)求解恒成立即可求解A，根據(jù)導數(shù)求解切線方程，根據(jù)公切線的性質(zhì)即可結合選項求解BCD.【詳解】對于A，若恒成立，即恒成立，而恒成立，所以，解得，故A正確；對于B，設切點,，,，，，有，①代入②，可得，當時，代入方程解得：，，方程無解，即兩個函數(shù)圖象無公切線，故B錯誤；對于C，當時，代入方程得：，，故，，所以函數(shù)與的一條公切線為：，故C正確；對于D，如圖，不妨設切線與切于，與切于，設,，,，,，,，，，故所以，，，同理，則中點即可中點，所以四邊形是平行四邊形，由處的切線方程為，處的切線方程為，得，即，結合可知，是方程的根，由C選項可知：是的兩個切點，所以，也是方程的根，所以,且,故，則，，，，令，則，故，故D正確．故選：ACD．【點睛】關鍵點點睛：本題BC選項的關鍵是設切點，根據(jù)導數(shù)含義和斜率定義得到，再整理化簡代入值即可判斷.4．（2024高三下·山東煙臺·期末）關于曲線和的公切線，下列說法正確的有（

）A．無論a取何值，兩曲線都有公切線B．若兩曲線恰有兩條公切線，則C．若，則兩曲線只有一條公切線D．若，則兩曲線有三條公切線【答案】BCD【分析】設曲線和的公切線分別與兩曲線相切于，，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到，化簡可得，結合對數(shù)的定義可判斷A選項；構造函數(shù)和，利用導數(shù)分析其單調(diào)性，進而分析方程解的情況，進而求解.【詳解】設曲線和的公切線分別與兩曲線相切于，，因為，，所以，，所以公切線的方程為，即，也可以為，即，所以，即化簡得，即，若，，則上述式子無意義，此時兩曲線沒有公切線，故A錯誤；①令，則，所以，令，則；令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.當，即時，有兩解，即方程在時有兩解.當，即時，只有一解，即方程在時只有一解.當，即時，無解，即方程在時無解.②令，則，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，而當時，，，則，當時，，，則，所以函數(shù)在上一定存在使得，