實戰(zhàn)演練03 導(dǎo)數(shù)中最?？嫉那芯€問題（5大常考點(diǎn)歸納）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁實戰(zhàn)演練03導(dǎo)數(shù)中最常考的切線問題①求在曲線上一點(diǎn)的切線方程②求過某一點(diǎn)的切線方程③有一個切點(diǎn)的公切線④有兩個切點(diǎn)的公切線⑤公切線的條數(shù)問題一、在點(diǎn)的切線方程切線方程的計算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．二、過點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因為切線方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）三、公切線問題一般思路兩個曲線的公切線問題，主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行解決，關(guān)鍵是抓住切線的斜率進(jìn)行轉(zhuǎn)化和過渡.主要應(yīng)用在求公切線方程，切線有關(guān)的參數(shù)，以及與函數(shù)的其他性質(zhì)聯(lián)系到一起.處理與切線有關(guān)的參數(shù)，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上.考法1：求公切線方程已知其中一曲線上的切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率，進(jìn)而求出另一曲線上的切點(diǎn)；不知切點(diǎn)坐標(biāo)，則應(yīng)假設(shè)兩切點(diǎn)坐標(biāo)，通過建立切點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系式，解方程.具體做法為：設(shè)公切線在y＝f(x)上的切點(diǎn)P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切點(diǎn)P2(x2，g(x2))，則f′(x1)＝g′(x2)＝.考法2：由公切線求參數(shù)的值或范圍問題由公切線求參數(shù)的值或范圍問題，其關(guān)鍵是列出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率的方程．①求在曲線上一點(diǎn)的切線方程一、填空題1．（2024·山西·模擬預(yù)測）函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.【答案】【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的點(diǎn)斜式計算即可得.【詳解】因為，所以，又，所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：，整理得.故答案為：.2．（2024·河北承德·二模）函數(shù)在處的切線的斜率為.【答案】/【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切點(diǎn)處切線的斜率.【詳解】函數(shù)，有，則.所以函數(shù)在處的切線的斜率為.故答案為：.3．（23-24高三下·西藏拉薩·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，則實數(shù)．【答案】2【分析】首先求出曲線在點(diǎn)處的切線斜率，結(jié)合該切線與平行即可求解．【詳解】因為，所以，所以，故答案為：2．4．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為,則的值為.【答案】/【分析】對原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),代入得出切線斜率.曲線在處的切線傾斜角為可得出斜率.構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程即可.【詳解】曲線的導(dǎo)數(shù),∵曲線在處的切線的傾斜角為,∴,∴,∴故答案為:.5．（23-24高三上·安徽亳州·期末）已知直線的斜率為2，且與曲線相切，則的方程為.【答案】【分析】由題意令，解方程可得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)一步得到切點(diǎn)坐標(biāo)即可得解.【詳解】設(shè)，令，得，則切點(diǎn)為，故所求的方程為.故答案為：.6．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為1，則．【答案】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算法則，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可求得.【詳解】由可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，解得.故答案為：7．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處的切線方程為，則.【答案】1【分析】根據(jù)切點(diǎn)在曲線與切線上，代入求解即可.【詳解】，故函數(shù)在處的切點(diǎn)為，又切點(diǎn)在切線上，故，故.故答案為：18．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若曲線的所有切線中斜率最小的切線方程為，則．【答案】8【分析】求導(dǎo)結(jié)合基本不等式得到的最小值，再根據(jù)題意得關(guān)于的方程，解方程得到的值，得到切點(diǎn)的坐標(biāo)，將切點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程得到的值，即可得解.【詳解】由，得，因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由直線的斜率為，所以曲線的所有切線中斜率最小的切線的斜率，所以，此時，由，則，所以切點(diǎn)為.將代入，得，所以．故答案為：.②求過某一點(diǎn)的切線方程一、填空題1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為.【答案】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，將點(diǎn)代入切線求得參數(shù)，即可求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由得，則切點(diǎn)處的切線，因為切線過點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為即.故答案為：2．（23-24高三上·山東青島·期中）曲線過原點(diǎn)的切線方程為.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)，求導(dǎo)，即可根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，進(jìn)而根據(jù)直線過原點(diǎn)即可求解切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求解.【詳解】由得設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為由于切線經(jīng)過原點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為，即，故答案為：3．（2024·四川自貢·一模）若曲線的一條切線為，則.【答案】【分析】由是曲線的切線，求導(dǎo)函數(shù)利用斜率出參數(shù)即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，因為，所以，所以在處的切線斜率為，則過該點(diǎn)的切線方程為：，即，又知切線為：，故得：，.故答案為:.4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在曲線上，且該曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn)（為自然對數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)的坐標(biāo)是，切線方程為【答案】【分析】求導(dǎo)，根據(jù)點(diǎn)斜式得切線方程，代入可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合，可得，即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)，則.又，當(dāng)時，，曲線在點(diǎn)A處的切線方程為，即，代入點(diǎn)，得，即，記，當(dāng)時，，當(dāng)時，，且，當(dāng)時，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實數(shù)根，此時，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線方程為，故答案為：，5．（2024·河南信陽·模擬預(yù)測）若過點(diǎn)僅可作曲線的兩條切線，則的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)切點(diǎn)為：，根據(jù)切線過點(diǎn)，得到，令，再根據(jù)過點(diǎn)僅可作曲線的兩條切線，由與的圖象有兩個交點(diǎn)求解.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為：，，所以切線方程為，又因為切線過點(diǎn)，所以，即，令，則，令，得或，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，，當(dāng)時，則，且；當(dāng)時，則，所以的圖象如圖所示：因為過點(diǎn)僅可作曲線的兩條切線，所以與的圖象有兩個交點(diǎn)，則或.故答案為：.③有一個切點(diǎn)的公切線一、單選題1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）若函數(shù)與在處有相同的切線，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】對，求導(dǎo)，根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】因為，，則，，可得，，，，因為，在處有相同的切線，即切點(diǎn)為，切線斜率，所以，解得，所以.故選：D.2．（23-24高二下·廣東深圳·期中）已知函數(shù)與偶函數(shù)在交點(diǎn)處的切線相同，則函數(shù)在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求得，得到且，根據(jù)題意，得到與相切于，且，再由為偶函數(shù)，求得，且，進(jìn)而求得切線方程.【詳解】由函數(shù)，可得，所以且，因為函數(shù)與偶函數(shù)在交點(diǎn)處的切線相同，所以函數(shù)與相切于，且，又因為為偶函數(shù)，所以，且，所以函數(shù)在處的切線方程為，即．故選：D.二、填空題3．（2024·上?！と＃┰O(shè)曲線和曲線在它們的公共點(diǎn)處有相同的切線，則的值為.【答案】2【分析】根據(jù)兩曲線在有公切線，則是公共點(diǎn)，該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值相同，列出方程求出的值，則答案可求.【詳解】由已知得，解得，又，所以得，所以，所以.故答案為：24．（2024·遼寧·二模）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)且的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則，切線方程為.【答案】【分析】設(shè)公共點(diǎn)為，即可得到，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，從而求出，即可求出切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出，再求出切線方程.【詳解】設(shè)公共點(diǎn)為，則，即，所以，所以，由，，所以，，又在公共點(diǎn)處有相同的切線，所以，即，所以，則，，則，則，所以切線方程為，即.故答案為：；5．（23-24高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則=.【答案】4【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【詳解】，因此曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線的方程為，因為曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，所以有一個實數(shù)解，即，當(dāng)時，顯然該方程不成立，當(dāng)時，，舍去，故答案為：6．（23-24高三上·江西·階段練習(xí)）若函數(shù)與，有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線方程相同，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)兩函數(shù)在公共點(diǎn)處的切線方程相同得及，令函數(shù)求其最小值即可.【詳解】，.設(shè)曲線與的公共點(diǎn)為，兩者在公共點(diǎn)處的切線方程相同，因此，即，解得或.因為，，所以舍去.又，即.令函數(shù)，則.令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即，解得.則的最小值為.故答案為：④有兩個切點(diǎn)的公切線一、填空題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）曲線與的公切線方程為.【答案】【分析】設(shè)出兩曲線的切點(diǎn)和，由導(dǎo)數(shù)的意義可得，再由點(diǎn)斜式得出公切線方程，把點(diǎn)代入直線方程可得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性得到，進(jìn)而得出，最后得到直線方程.【詳解】設(shè)曲線上的切點(diǎn)為，曲線上的切點(diǎn)為.因為，則公切線的斜率，所以.因為公切線的方程為，即，將代入公切線方程得，由，得.令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，0，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，故公切線方程為，即.故答案為：.2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）已知直線是曲線和的公切線，則實數(shù)a=．【答案】3【分析】先設(shè)在上的切點(diǎn)，然后求出切點(diǎn)和切線，然后再設(shè)在上的切點(diǎn)，即可求出a的值.【詳解】設(shè)直線l與曲線相切于點(diǎn)，由，得，因為l與曲線相切，所以消去，得，解得．設(shè)l與曲線相切于點(diǎn)，由，得，即，因為是l與曲線的公共點(diǎn)，所以消去，得，即，解得．故答案為：3.3．（23-24高三下·云南·階段練習(xí)）已知函數(shù)，，若直線與函數(shù)，的圖象均相切，則的值為；若總存在直線與函數(shù)，圖象均相切，則a的取值范圍是．【答案】6【分析】設(shè)出直線與函數(shù)的切點(diǎn)，利用，可求得切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用切點(diǎn)在直線上即可求得的值，繼而列出方程組可求得的值；設(shè)出直線與兩個函數(shù)的切點(diǎn)，利用條件列出方程組，整理后得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)考查單調(diào)性，即可求得的范圍.【詳解】設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為，由，所以，解得，所以切點(diǎn)為，所以，解得，即切線方程為．設(shè)直線與函數(shù)的切點(diǎn)為，則，解得，即，所以；設(shè)切線方程l為，且l與的切點(diǎn)為，l與的切點(diǎn)為，則，，整理可得，，所以，整理可得，設(shè)，則.設(shè)，則，所以在上為增函數(shù)，又因為，所以在上，即，所以單調(diào)遞減；在上，即，所以單調(diào)遞增，所以，即，解得．故答案為：;.【點(diǎn)睛】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：(1)已知切點(diǎn)求斜率，即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)已知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3)已知切線過某點(diǎn)(不是切點(diǎn))求切點(diǎn)，設(shè)出切點(diǎn)利用求解．二、單選題4．（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)的圖像在，兩個不同點(diǎn)處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數(shù)在兩點(diǎn)處的切線平行，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，得到的關(guān)系，在結(jié)合不等式求的取值范圍即可.【詳解】因為，.所以，.由因為在，兩個不同點(diǎn)處的切線相互平行，所以，又，所以，故CD錯誤；因為且，所以，故A不成立；當(dāng)時，.故B成立.故選：B5．（23-24高三上·湖北荊州·階段練習(xí)）若曲線與曲線有公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出切線方程，則可得，消去，得，再構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，由，得，所以公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡得，設(shè)公切線與函數(shù)切于點(diǎn)，由，得，則公切線的斜率為，所以公切線方程為，化簡得，所以，消去，得，由，得，令，則，所以在上遞減，所以，所以由題意得，即實數(shù)的取值范圍是，故選：A⑤公切線的條數(shù)問題一、單選題1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若曲線與恰有兩條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)曲線切點(diǎn)為，的切點(diǎn)為，求出切線方程，根據(jù)有兩條公切線轉(zhuǎn)化為方程具有兩個解，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求解取值范圍，判斷選項.【詳解】設(shè)曲線切點(diǎn)為，的切點(diǎn)為，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即，同理，在點(diǎn)處的切線方程為，根據(jù)與有兩條公切線，則，所以，化簡可得具有兩個交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為有兩個解，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，故在時有極大值即為最大值，故，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故的取值范圍為，故選：A2．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）若曲線與有三條公切線，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義，分別設(shè)出兩條曲線的切線方程，將問題轉(zhuǎn)化為一條直線與一條曲線交點(diǎn)個數(shù)問題，即可求出的取值范圍.【詳解】設(shè)公切線為是與的切點(diǎn)，由，得，設(shè)是與的切點(diǎn)，由，得，所以的方程為，因為，整理得，同理，因為，整理得，依題意兩條直線重合，可得，消去，得，由題意此方程有三個不等實根，設(shè)，即直線與曲線有三個不同的交點(diǎn)，因為，令，則，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以有極小值為，有極大值為，因為，，，所以，當(dāng)趨近于時，趨近于0；當(dāng)趨近于時，趨近于，故的圖象簡單表示為下圖:所以當(dāng)，即時，直線與曲線有三個交點(diǎn).故選：A.二、多選題3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，則（

）A．恒成立的充要條件是B．當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象有兩條公切線C．當(dāng)時，直線是兩個函數(shù)圖象的一條公切線D．若兩個函數(shù)圖象有兩條公切線，以四個切點(diǎn)為頂點(diǎn)的凸四邊形的周長為，則【答案】ACD【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解恒成立即可求解A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解切線方程，根據(jù)公切線的性質(zhì)即可結(jié)合選項求解BCD.【詳解】對于A，若恒成立，即恒成立，而恒成立，所以，解得，故A正確；對于B，設(shè)切點(diǎn),，,，，，有，①代入②，可得，當(dāng)時，代入方程解得：，，方程無解，即兩個函數(shù)圖象無公切線，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，代入方程得：，，故，，所以函數(shù)與的一條公切線為：，故C正確；對于D，如圖，不妨設(shè)切線與切于，與切于，設(shè),，,，,，,，，，故所以，，，同理，則中點(diǎn)即可中點(diǎn)，所以四邊形是平行四邊形，由處的切線方程為，處的切線方程為，得，即，結(jié)合可知，是方程的根，由C選項可知：是的兩個切點(diǎn)，所以，也是方程的根，所以,且,故，則，，，，令，則，故，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題BC選項的關(guān)鍵是設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)含義和斜率定義得到，再整理化簡代入值即可判斷.4．（2024高三下·山東煙臺·期末）關(guān)于曲線和的公切線，下列說法正確的有（

）A．無論a取何值，兩曲線都有公切線B．若兩曲線恰有兩條公切線，則C．若，則兩曲線只有一條公切線D．若，則兩曲線有三條公切線【答案】BCD【分析】設(shè)曲線和的公切線分別與兩曲線相切于，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，化簡可得，結(jié)合對數(shù)的定義可判斷A選項；構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，進(jìn)而分析方程解的情況，進(jìn)而求解.【詳解】設(shè)曲線和的公切線分別與兩曲線相切于，，因為，，所以，，所以公切線的方程為，即，也可以為，即，所以，即化簡得，即，若，，則上述式子無意義，此時兩曲線沒有公切線，故A錯誤；①令，則，所以，令，則；令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.當(dāng)，即時，有兩解，即方程在時有兩解.當(dāng)，即時，只有一解，即方程在時只有一解.當(dāng)，即時，無解，即方程在時無解.②令，則，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，而當(dāng)時，，，則，當(dāng)時，，，則，所以函數(shù)在上一定存在使得，