專題01 集合與常用邏輯用語-2024年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁專題01集合與常用邏輯用語命題解讀考向考查統(tǒng)計1.高考對集合的考查，重點是集合間的基本運算，主要考查集合的交、并、補運算，常與一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指數(shù)、對數(shù)不等式解法結(jié)合.2.高考對常用邏輯用語的考查重點關(guān)注如下兩點：（1）集合與充分必要條件相結(jié)合問題的解題方法；（2）全稱命題與存在命題的否定和以全稱命題與存在命題為條件，求參數(shù)的范圍問題．交集的運算2022·新高考Ⅰ卷，12023·新高考Ⅰ卷，12024·新高考Ⅰ卷，12022·新高考Ⅱ卷，1根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)2023·新高考Ⅱ卷，2充分必要條件的判定2023·新高考Ⅰ卷，7全稱、存在量詞命題真假的判斷2024·新高考Ⅱ卷，2命題分析2024年高考新高考Ⅱ卷未考查集合，Ⅰ卷依舊考查了集合的交集運算，常用邏輯用語在新高考Ⅱ卷中考查了全稱、存在量詞命題真假的判斷，這也說明了現(xiàn)在新高考“考無定題”，以前?？嫉默F(xiàn)在不一定考了，抓住知識點和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是關(guān)鍵！集合和常用邏輯用語考查應(yīng)關(guān)注：（1）集合的基本運算和充要條件；（2）集合與簡單的不等式、函數(shù)的定義域、值域的聯(lián)系。預(yù)計2025年高考還是主要考查集合的基本運算。試題精講1．（2024新高考Ⅰ卷·1）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】化簡集合，由交集的概念即可得解.【詳解】因為，且注意到，從而.故選：A.2．（2024新高考Ⅱ卷·2）已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題【答案】B【分析】對于兩個命題而言，可分別取、，再結(jié)合命題及其否定的真假性相反即可得解.【詳解】對于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，對于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，綜上，和都是真命題.故選：B.1．（2022新高考Ⅰ卷·1）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：D2．（2023新高考Ⅰ卷·1）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．【詳解】方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．3．（2022新高考Ⅱ卷·1）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：求出集合后可求.【詳解】[方法一]：直接法因為，故，故選：B.[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法代入集合，可得，不滿足，排除A、D；代入集合，可得，不滿足，排除C.故選：B.【整體點評】方法一：直接解不等式，利用交集運算求出，是通性通法；方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗證，是該題的最優(yōu)解．4．（2023新高考Ⅱ卷·2）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運算求解即可.【詳解】因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.5．（2023新高考Ⅰ卷·7）記為數(shù)列的前項和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】C【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系推理判斷作答.，【詳解】方法1，甲：為等差數(shù)列，設(shè)其首項為，公差為，則，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即為常數(shù)，設(shè)為，即，則，有，兩式相減得：，即，對也成立，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件，C正確.方法2，甲：為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的首項，公差為，即，則，因此為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；反之，乙：為等差數(shù)列，即，即，，當(dāng)時，上兩式相減得：，當(dāng)時，上式成立，于是，又為常數(shù)，因此為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.故選：C一、元素與集合1、集合的含義與表示某些指定對象的部分或全體構(gòu)成一個集合．構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)、點等數(shù)學(xué)對象外，還可以是其他對象．2、集合元素的特征（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個對象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素．（2）互異性：集合中任何兩個元素都是互不相同的，即相同元素在同一個集合中不能重復(fù)出現(xiàn)．（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關(guān)．3、元素與集合的關(guān)系元素與集合之間的關(guān)系包括屬于(記作)和不屬于(記作)兩種．4、集合的常用表示法集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法(韋恩圖)．5、常用數(shù)集的表示數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號或二、集合間的基本關(guān)系（1）子集：一般地，對于兩個集合、，如果集合中任意一個元素都是集合中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合為集合的子集，記作（或），讀作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集：對于兩個集合與，若，且存在，但，則集合是集合的真子集，記作（或）.讀作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：對于兩個集合與，如果，同時，那么集合與相等，記作．（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.三、集合的基本運算（1）交集：由所有屬于集合且屬于集合的元素組成的集合，叫做與的交集，記作，即．（2）并集：由所有屬于集合或?qū)儆诩系脑亟M成的集合，叫做與的并集，記作，即．（3）補集：對于一個集合，由全集中不屬于集合的所有元素組成的集合稱為集合相對于全集的補集，簡稱為集合的補集，記作，即．四、集合的運算性質(zhì)（1），，，，．（2），，，，．（3），，．（4）【集合常用結(jié)論】（1）若有限集中有個元素，則的子集有個，真子集有個，非空子集有個，非空真子集有個．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．五、充分條件、必要條件、充要條件1、定義如果命題“若，則”為真（記作），則是的充分條件；同時是的必要條件．2、從邏輯推理關(guān)系上看（1）若且，則是的充分不必要條件；（2）若且，則是的必要不充分條件；（3）若且，則是的的充要條件（也說和等價）；（4）若且，則不是的充分條件，也不是的必要條件．六、全稱量詞與存在量詞（1）全稱量詞與全稱量詞命題．短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“”表示．含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題．全稱量詞命題“對中的任意一個，有成立”可用符號簡記為“”，讀作“對任意屬于，有成立”．（2）存在量詞與存在量詞命題．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號“”表示．含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題．存在量詞命題“存在中的一個，使成立”可用符號簡記為“”，讀作“存在中元素，使成立”（存在量詞命題也叫存在性命題）．七、含有一個量詞的命題的否定（1）全稱量詞命題的否定為，．（2）存在量詞命題的否定為．注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點之一．【常用邏輯用語常用結(jié)論】1、從集合與集合之間的關(guān)系上看設(shè)．（1）若，則是的充分條件（），是的必要條件；若，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件，即且；注：關(guān)于數(shù)集間的充分必要條件滿足：“小大”．（2）若，則是的必要條件，是的充分條件；（3）若，則與互為充要條件．集合三模題一、單選題1．（2024·河南·三模）命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定形式，即可求解.【詳解】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題，即命題“”的否定為“”.故選：B.2．（2024·湖南長沙·三模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，化簡，根據(jù)交集運算求解即可.【詳解】因為，所以.故選：D.3．（2024·河北衡水·三模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得，可求.【詳解】，又，故，故選：B．4．（2024·陜西·三模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)集合并集定義計算即可.【詳解】由，解得，所以集合，所以，所以.故選：D.5．（2024·安徽·三模）已知集合，，則圖中所示的陰影部分的集合可以表示為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】圖中所示的陰影部分的集合為，結(jié)合集合的運算即可得解.【詳解】由圖可知，陰影部分表示的集合的元素為，而，，則，得，故所求集合為.故選：C.6．（2024·湖南長沙·三模）已知直線，圓，則“”是“直線上存在點，使點在圓內(nèi)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由直線與圓相交可求得，則通過判斷與的關(guān)系可得答案.【詳解】由直線上存在點，使點在圓內(nèi)，得直線與圓相交，即1，解得，即，因為不一定能得到，而可推出，所以“1”是“直線上存在點，使點在圓內(nèi)”的必要不充分條件.故選：B7．（2024·湖北荊州·三模）已知集合，，其中是實數(shù)集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解出一元二次不等式后，結(jié)合補集定義與交集定義計算即可得.【詳解】由可得或，則，又，故.故選：B.8．（2024·北京·三模）已知集合，若，則可能是（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】解對數(shù)不等式化簡集合A，進(jìn)而求出的取值集合即得.【詳解】由，得，則，或，由，得，顯然選項ABC不滿足，D滿足.故選：D9．（2024·河北衡水·三模）已知函數(shù)，則“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由函數(shù)是奇函數(shù)，可求得，可得結(jié)論.【詳解】若函數(shù)是奇函數(shù)，則恒成立，即，而，得．故“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的必要不充分條件．故選：B．10．（2024·內(nèi)蒙古·三模）設(shè)，是兩個不同的平面，，是兩條不同的直線，且則“”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)題意，利用線面平行的判定定理與性質(zhì)定理，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】當(dāng)時，可能在內(nèi)或者內(nèi)，故不能推出且，所以充分性不成立；當(dāng)且時，設(shè)存在直線，，且，因為，所以，根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)定理，可知，所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分條件.故選：C.11．（2024·北京·三模）已知，，則（

）A．空集 B．或C．或且 D．以上都不對【答案】A【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可.【詳解】，或或，所以.故選：A12．（2024·四川·三模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將集合化簡，然后結(jié)合交集的運算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意，所以.故選：B.13．（2024·重慶·三模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元二次不等式求解集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性求解值域得集合B，然后利用交集運算求解即可.【詳解】，則，所以.故選：D14．（2024·北京·三模）“為銳角三角形”是“，，”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】充分性：因為為銳角三角形，所以，即，所以，同理可得，，故充分性得證；必要性：因為，所以，因為，所以，若，則，若，則，所以，綜上，，同理，所以為銳角三角形，必要性得證，綜上所述，為充分必要條件.故選：C.15．（2024·上?！と＃┰O(shè)，集合，集合，對于集合B有下列兩個結(jié)論：①存在a和b，使得集合B中恰有5個元素；②存在a和b，使得集合B中恰有4個元素．則下列判斷正確的是（

）A．①②都正確 B．①②都錯誤 C．①錯誤，②正確 D．①正確，②錯誤【答案】A【分析】由題意可知，對于①舉例分析判斷即可，對于②，若，則，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點存性定理可確定出，從而可進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為，所以，當(dāng)時，，，，所以，有5個元素，所以①正確，若，則，得，令，則，令，則，所以在上遞增，即在上遞增，所以當(dāng)時，，所以在上遞增，因為，所以存在，使，即存在，成立，此時，所以存在a和b，使得集合B中恰有4個元素，所以②正確，故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：判斷結(jié)論②的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和零點存在性定理分析判斷.二、多選題16．（2024·江西南昌·三模）下列結(jié)論正確的是（）A．若，則的取值范圍是B．若，則的取值范圍是C．若，則的取值范圍是D．若，則的取值范圍是【答案】BD【分析】先將條件等價轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)對應(yīng)范圍判斷命題的真假即可.【詳解】對于選項A和B，，，若，則的取值范圍是，所以A錯誤，B正確；對于選項C和D，若，則的取值范圍是，所以D正確，C錯誤.故選：BD.17．（2024·遼寧·三模）已知表示這個數(shù)中最大的數(shù)．能說明命題“，，”是假命題的對應(yīng)的一組整數(shù)a，b，c，d值的選項有（

）A．1，2，3，4 B．，，7，5C．8，，， D．5，3，0，【答案】BC【分析】根據(jù)的含義說明AD不符合題意，舉出具體情況說明BC，符合題意即可.【詳解】對于A，D，從其中任取兩個數(shù)作為一組，剩下的兩數(shù)作為另一組，由于這兩組數(shù)中的最大的數(shù)都不是負(fù)數(shù)，其中一組中的最大數(shù)即為這四個數(shù)中的最大值，故都能使得命題“，”成立；對于B，當(dāng)時，而，此時，即命題“，，”是假命題；對于C，當(dāng)時，而，此時，即命題“，，”是假命題；故選：BC18．（2024·重慶·三模）命題“存在，使得”為真命題的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為存在，設(shè)定，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得的最小值為，求得的取值范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義和選項，即可求解.【詳解】由題意，存在，使得，即，當(dāng)時，即時，的最小值為，故；所以命題“存在，使得”為真命題的充分不必要條件是的真子集，結(jié)合選項可得，C和D項符合條件.故選：CD.19．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）已知，則使得“”成立的一個充分條件可以是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷AD；取特值可判斷B；可化為結(jié)合的單調(diào)性可判斷C.【詳解】對于A，因為，，故故A選項正確；對于B，取，此時滿足，但，B選項錯誤；對于C，可得：，則，因為，即所以，因為函數(shù)在不單調(diào)，所以C選項錯誤；對于D，由可知，，因為，所以，故D選項正確，故選：AD．20．（2024·安徽安慶·三模）已知集合，集合，若有且僅有3個不同元素，則實數(shù)的值可以為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】AB【分析】解一元二次不等式可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可解出，結(jié)合交集性質(zhì)即可得解.【詳解】由，解得，故，由，可得，，要使有且僅有3個不同元素，則，解得，故選：AB．三、填空題21．（2024·湖南長沙·三模）已知集合，，若，則．【答案】2【分析】由得，令、、求出集合B，即可求解.【詳解】由，得.當(dāng)時，，不滿足元素的互異性，舍去；當(dāng)時，，滿足，符合題意；當(dāng)時，，不滿足，舍去.綜上，.故答案為：222．（2024·上?！と＃┮阎?，，則【答案】【分析】把集合中的元素代入不等式檢驗可求得.【詳解】當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，所以.故答案為：.23．（2024·湖南衡陽·三模）已知集合，集合，若，則．【答案】0或1【分析】先求出集合，再由可求出的值.【詳解】由，得，解得，因為，所以，所以，因為，且，所以或，故答案為：0或124．（2024·湖南邵陽·三模），，則.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)不等式求集合A，根據(jù)分式不等式求集合B，進(jìn)而可得.【詳解】若，則，解得，所以；若，則，解得，所以；所以.故答案為：.25．（2024·安徽·三模）已知集合，若的所有元素之和為12，則實數(shù).【答案】【分析】分類討論是否為，進(jìn)而可得集合B，結(jié)合題意分析求解.【詳解】由題意可知：且，當(dāng)，則；當(dāng)，則；當(dāng)，則；若，則，此時的所有元素之和為6，不符