專題02 復(fù)數(shù)-2024年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第頁專題02復(fù)數(shù)命題解讀考向考查統(tǒng)計高考對復(fù)數(shù)的考查，重點是復(fù)數(shù)的運算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義等，難度較低.共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的除法運算2022·新高考Ⅰ卷，22023·新高考Ⅰ卷，22024新高考Ⅰ卷，2復(fù)數(shù)的乘法運算2022·新高考Ⅱ卷，2復(fù)數(shù)的幾何意義2023新高考Ⅱ卷，1復(fù)數(shù)的模2024·新高考Ⅱ卷，1命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷考查復(fù)數(shù)的運算，但是需要一些運算技巧，否則有些計算量。Ⅱ卷考查復(fù)數(shù)的模的計算，屬于基礎(chǔ)考查。復(fù)數(shù)考查應(yīng)關(guān)注：（1）復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義．（2）復(fù)數(shù)的四則運算。預(yù)計2025年高考還是主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運算、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義、復(fù)數(shù)的模。試題精講1．（2024新高考Ⅰ卷·2）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)四則運算法則直接運算即可求解.【詳解】因為，所以.故選：C.2．（2024新高考Ⅱ卷·1）已知，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)模的計算公式直接計算即可.【詳解】若，則.故選：C.1．（2022新高考Ⅰ卷·2）若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D2．（2023新高考Ⅰ卷·2）已知，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．【詳解】因為，所以，即．故選：A．3．（2022新高考Ⅱ卷·2）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法可求.【詳解】，故選：D.4．（2023新高考Ⅱ卷·1）在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)的點位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】因為，則所求復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，位于第一象限.故選：A.一、復(fù)數(shù)的概念（1）叫虛數(shù)單位，滿足，當(dāng)時，．（2）形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作．=1\*GB3①復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點一一對應(yīng)，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數(shù)；且，z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對應(yīng)點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)．=2\*GB3②兩個復(fù)數(shù)相等（兩復(fù)數(shù)對應(yīng)同一點）=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運算法則1、復(fù)數(shù)運算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復(fù)數(shù)．（3）．實數(shù)的全部運算律（加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則）都適用于復(fù)數(shù)．注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義以復(fù)數(shù)分別對應(yīng)的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量．對應(yīng)的向量是．2、復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面內(nèi)的點；（2）復(fù)數(shù)對應(yīng)平面向量；（3）復(fù)平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù)，除原點外虛軸上的點表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點都表示復(fù)數(shù)．（4）復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點到原點的距離．三、實系數(shù)一元二次方程1、實系數(shù)一元二次方程中的為根的判別式，那么（1）方程有兩個不相等的實根；（2）方程有兩個相等的實根；（3）方程有兩個共軛虛根，求解復(fù)數(shù)集上的方程的方法：①設(shè)化歸為實數(shù)方程來解決．②把看成一個未知數(shù)（而不是實部和虛部兩個未知數(shù)），用復(fù)數(shù)的性質(zhì)來變形．③對二次方程，直接用一元二次方程的求根公式．2、實系數(shù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理）（1）當(dāng)時，方程的兩個實根滿足韋達定理，。（2）當(dāng)時，方程的兩個共軛虛數(shù)根、，則，。綜上所述，無論方程的判別式的符號如何，韋達定理都成立，于是韋達定理能被推廣到復(fù)數(shù)根的情況，即實系數(shù)一元二次方程（、、且）的兩個根與系數(shù)滿足關(guān)系，一、單選題1．（2024·安徽蕪湖·三模）已知復(fù)數(shù)滿足，且是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則的值是（

）A． B．3 C．5 D．9【答案】C【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再求出，最后得解.【詳解】，，.故選：C2．（2024·北京·三模）已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運算法則及共軛復(fù)數(shù)的定義得到，即可求出結(jié)果.【詳解】由，得到，所以，其對應(yīng)點為，故選：C.3．（2024·河南·三模）已知關(guān)于的方程的一個根為，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】解復(fù)數(shù)范圍內(nèi)方程可得及的值即可得解.【詳解】由可得，故，，即.故選：C.4．（2024·河南·三模）已知為虛數(shù)單位，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法、除法運算化簡即可.【詳解】.故選：D5．（2024·山東德州·三模）已知復(fù)數(shù)滿足：，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知可得，計算即可.【詳解】由，可得，所以，故選：B.6．（2024·重慶·三模）已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用復(fù)數(shù)相等求出，再由共軛復(fù)數(shù)概念即可求解.【詳解】因為，所以，故，所以復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故選：A.7．（2024·河南鄭州·三模）復(fù)數(shù)（且），若為純虛數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出，根據(jù)為純虛數(shù)即可求解.【詳解】，因為為純虛數(shù)，所以，所以.故選：A.8．（2024·四川遂寧·三模）若復(fù)數(shù)（其中，i為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出，結(jié)合已知求出值即可得解.【詳解】依題意，，由為純虛數(shù)，得，解得，復(fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限．故選：B9．（2024·江蘇南通·三模）已知為復(fù)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件【答案】A【分析】正向可得，則正向成立，反向利用待定系數(shù)法計算即可得或，則必要性不成立.【詳解】若，則，則，故充分性成立；若，設(shè)，則，，則，或與不一定相等，則必要性不成立，則“”是“”的充分非必要條件，故選：A10．（2024·山東濰坊·三模）設(shè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得到，將四個選項代入檢驗，得到答案.【詳解】由題意得，A選項，當(dāng)時，，不合題意，A錯誤；B選項，當(dāng)時，，不合要求，B錯誤；C選項，當(dāng)時，，故C正確；D選項，當(dāng)時，，D錯誤.故選：C11．（2024·黑龍江·三模）若，則的虛部為（

）A． B．1 C．3 D．【答案】A【分析】先利用乘法運算法則化簡復(fù)數(shù)，然后化簡得，即可求出其虛部.【詳解】因為，所以，所以，所以，則的虛部為.故選：A12．（2024·貴州畢節(jié)·三模）若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的乘法和除法運算化簡即可求出，再由復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.【詳解】因為，則，即，故.故選：B.二、多選題13．（2024·湖北荊州·三模）已知復(fù)數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．若為純虛數(shù)，則B．若為實數(shù)，則C．若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上，則D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在第三象限【答案】BD【分析】首先得到復(fù)數(shù)的實部與虛部，再根據(jù)復(fù)數(shù)的類型求出參數(shù)的值，即可判斷A、B，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷C、D.【詳解】復(fù)數(shù)的實部為，虛部為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，對于A：若為純虛數(shù)，則，解得，故A錯誤；對于B：若為實數(shù)，則，解得，則，故B正確；對于C：若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線上，所以，解得或，故C錯誤；對于D：令，即，不等式組無解，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點不可能在第三象限，故D正確.故選：BD.14．（2024·河北衡水·三模）復(fù)數(shù)，其中，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點為，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時， B．當(dāng)時，C．對任意，點均在第一象限 D．存在，使得點在第二象限【答案】AC【分析】當(dāng)時，代入計算可判斷A、B；由判斷的實部和虛部范圍可判斷C、D.【詳解】當(dāng)時，，故，故選項正確；，B選項錯誤；當(dāng)時，，，故對任意，點均在第一象限，故C選項正確；不存在，使得點在第二象限，D選項錯誤．故選：AC．15．（2024·福建莆田·三模）若z是非零復(fù)數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】BCD【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義可判定A、C，利用復(fù)數(shù)的乘法運算法則結(jié)合模長公式可判定B、D.【詳解】對于A，由，得，則A錯誤.對于B，因為，所以，解得或（舍去），則B正確.對于C，設(shè)（，且），則，所以，則C正確.對于D，由，得.設(shè)（，且），則，，從而，則D正確.故選：BCD16．（2024·福建福州·三模）已知復(fù)數(shù)滿足：，，則（

）A．的最小值是1 B．的最大值是2C．的最大值是3 D．的最大值是4【答案】ABC【分析】對于A，設(shè)，依題意可得，可知復(fù)數(shù)的對應(yīng)點在以為圓心，1為半徑的圓上，根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義可判斷A；對于B，根據(jù)題意可得，表示復(fù)數(shù)的對應(yīng)點在以為焦點，長軸長為4的橢圓上，根據(jù)圖形和可判斷B；對于C，根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算和復(fù)數(shù)模公式證明，結(jié)合圖形求得，然后可判斷C；對于D，根據(jù)復(fù)數(shù)減法的幾何意義可知，結(jié)合圖形轉(zhuǎn)化為求的最值，根據(jù)點在橢圓上，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得.【詳解】設(shè)，對于A，因為，所以，所以，復(fù)數(shù)的對應(yīng)點在以為圓心，1為半徑的圓上，由圖可知，點到原點的最小距離為1，即的最小值是1，A正確；對于B，因為，所以，復(fù)數(shù)的對應(yīng)點在以為焦點，長軸長為4的橢圓上，由橢圓幾何性質(zhì)可知，點到原點的最大距離為2，即的最大值為2，又，所以的最大值是2，B正確；對于C，因為，所以，由圖可知，，所以當(dāng)時，取得最大值3，C正確；

對于D，因為表示的距離，所以的最大值為，設(shè)，則，即，所以，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，取得最大值，D錯誤.

故選：ABC三、填空題17．（2024·山西臨汾·三模）已知復(fù)數(shù)滿足：，則．【答案】/【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運算直接求得，進而求得即可.【詳解】由，得，所以.故答案為：.18．（2024·北京·三模）若是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為.【答案】【分析】求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后根據(jù)純虛數(shù)的定義列方程求解即可.【詳解】，因為是純虛