專題05 函數(shù)的概念與性質(zhì)（4大考向真題解讀）-備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)真題題源解密（新高考卷）解析版

第第③函數(shù)類型的一切函數(shù)．④常數(shù)函數(shù)3、周期性技巧4、函數(shù)的的對稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)有兩條對稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（2）若函數(shù)的圖象有兩個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；（3）若函數(shù)有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.5、對稱性技巧（1）若函數(shù)關(guān)于直線對稱，則．（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，則．（3）函數(shù)與關(guān)于軸對稱，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對稱．一、單選題1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）若為偶函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C． D．2【答案】A【分析】由已知為偶函數(shù)，可得，列方程求解即可.【詳解】由，得，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，所以，解得.故選：.2．（2024·湖南邵陽·三模）“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】分和兩種情況討論的單調(diào)性，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳解】若，則的圖象為：可知在上單調(diào)遞增；若，則的圖象為：可知在上單調(diào)遞減；綜上所述：“”是“函數(shù)（且）在上單調(diào)遞減”的充要條件.故選：C．3．（2024·湖南長沙·三模）地震震級通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級最早是由查爾斯?里克特提出的，其計算基于地震波的振幅，計算公式為，其中表示某地地震的里氏震級，表示該地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅，表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.假設(shè)在一次地震中，某地地震臺測振儀記錄的地震波的最大振幅為5000，且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002，則該地這次地震的里氏震級約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．6.3級 B．6.4級 C．7.4級 D．7.6級【答案】B【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由題意，某地地震波的最大振幅為，且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為，可得.故選：B.4．（2024·河北·二模）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于點(diǎn)對稱 B．關(guān)于點(diǎn)對稱C．關(guān)于點(diǎn)對稱 D．關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】C【分析】由函數(shù)的平移變化即可求得出答案.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于對稱，將函數(shù)向左平移一個單位可得函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.故選：C.5．（2024·陜西渭南·二模）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用分段函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合一次、二次函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】由是上的增函數(shù)，得，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B6．（2024·湖北·二模）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由題設(shè)條件證明，再驗(yàn)證時條件滿足即可.【詳解】若在上單調(diào)遞增，則必然在處有定義，所以，即；若，則當(dāng)時，所以在上有定義，再由知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.故選：C.7．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)，則下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)單調(diào)遞增 B．函數(shù)值域?yàn)镃．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱 D．函數(shù)的圖象關(guān)于對稱【答案】C【分析】分離常數(shù)，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，即可判斷A；根據(jù)函數(shù)形式的變形，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，求解函數(shù)的值域，即可判斷B；根據(jù)對稱性的定義，與的關(guān)系，即可判斷CD.【詳解】，函數(shù)，，則，又內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確；，，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，故C錯誤，D正確.故選：C.8．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，則（

）A．有一個極值點(diǎn)B．有兩個零點(diǎn)C．點(diǎn)（0，1）是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線【答案】C【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以是極值點(diǎn)，故A錯誤；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，，即函數(shù)在上無零點(diǎn)，綜上所述，函數(shù)有一個零點(diǎn)，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域?yàn)?，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點(diǎn)是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當(dāng)切點(diǎn)為時，切線方程為，當(dāng)切點(diǎn)為時，切線方程為，故D錯誤.故選：C.9．（2024·寧夏銀川·三模）已知函數(shù)有3個零點(diǎn)，，，有以下四種說法：①②③存在實(shí)數(shù)a，使得，，成等差數(shù)列④存在實(shí)數(shù)a，使得，，成等比數(shù)列則其中正確的說法有（

）種.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由題意設(shè)，根據(jù)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合分析，根據(jù)可判斷①，根據(jù)函數(shù)的極大值可判斷②，根據(jù)三次函數(shù)的對稱性可判斷③，舉例可判斷④.【詳解】由，得，設(shè)，則，則的極小值為，極大值為．對①，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時，，所以，①正確．對②，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，所以，所以未必成立，②錯誤．對③，設(shè)，令有，則有，故圖象存在對稱中心，所以存在實(shí)數(shù)，使得，，成等差數(shù)列，③正確．對④，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使得，，成等比數(shù)列，④正確．故選：C.10．（2024·河北保定·三模）已知的值域?yàn)?，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分段函數(shù)在兩段上分別根據(jù)自變量范圍求函數(shù)值的范圍，跟值域?qū)Ρ惹髮?shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】①若，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，此時，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又函數(shù)的值域D滿足，則解得；②若，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，此時，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又函數(shù)的值域D滿足，不合題意；③當(dāng)時，，若，有（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）符合題意，綜上所述：.故選：D.11．（2024·河南·三模）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，若1，則（

）A．1 B． C．0 D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱且關(guān)于直線軸對稱，進(jìn)而得的周期為4，即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以的圖象關(guān)于直線軸對稱.由，得，所以，則，則的周期為4，，則.故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性常有以下結(jié)論（1）關(guān)于軸對稱，（2）關(guān)于中心對稱，（3）的一個周期為，（4）的一個周期為.可以類比三角函數(shù)的性質(zhì)記憶以上結(jié)論.12．（2024·四川·三模）已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)可確定關(guān)于直線對稱，關(guān)于點(diǎn)對稱，從而可確定其周期性，再結(jié)合單調(diào)性可得函數(shù)的大致圖象，結(jié)合周期性、對稱性、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】對于A，因?yàn)椋瑒t函數(shù)關(guān)于直線對稱，由，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，所以得，則，故函數(shù)的周期為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的大致圖象如下圖：令，由，所以，且，令，由，由得，所以，根據(jù)對稱性，在單調(diào)遞減，而，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，所以，故A不正確；對于B，由于，，在單調(diào)遞減，所以，所以，故B不正確；對于C，又，，根據(jù)圖象在上單調(diào)遞增，所以，故C不正確；對于C，，且，因?yàn)?，所以，故，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性，解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的圖象，從而可確定函數(shù)值的大小關(guān)系、對稱關(guān)系.13．（2024·四川·三模）定義在R上的函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)條件得到的對稱中心，再根據(jù)對稱得到的對稱中心.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，故的對稱中心為，即，由于函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，且關(guān)于的對稱點(diǎn)為，故的對稱中心為.故選：D二、多選題14．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則是的極值點(diǎn)B．，使得C．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減D．函數(shù)的圖象是中心對稱圖形【答案】BD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時，有兩解，列表表示出導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)以及函數(shù)的單調(diào)情況，當(dāng)時，，即可判斷A，B，C；證明等式成立即可判斷D.【詳解】A：因?yàn)?，所以，?dāng)時，，則在R上單調(diào)遞增，不是極值點(diǎn)，故A錯誤；B：由選項(xiàng)A的分析知，函數(shù)的值域?yàn)?，所以，使得，故B正確；C：由選項(xiàng)A的分析知，當(dāng)時，在上單調(diào)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以若為的極小值點(diǎn)時，在上先遞增再遞減，故C錯誤；D：，而，則，所以點(diǎn)為的對稱中心，即函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，故D正確.故選：BD．15．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）氚，亦稱超重氫，是氫的同位素之一，它的原子核由一個質(zhì)子和兩個中子組成，并帶有放射性，會發(fā)生衰變，其半衰期是12.43年.樣本中氚的質(zhì)量隨時間(單位:年)的衰變規(guī)律滿足，其中表示氚原有的質(zhì)量，則（

）(參考數(shù)據(jù):)A．B．經(jīng)過年后，樣本中的氚元素會全部消失C．經(jīng)過年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼腄．若年后，樣本中氚元素的含量為，則【答案】CD【分析】利用給定式子進(jìn)行化簡判斷A，代入求值判斷B，C，解方程求出，再判斷D即可.【詳解】由題意得，故有，左右同時取對數(shù)得，故得，故A錯誤，當(dāng)時，，故B錯誤，而當(dāng)時，，得到經(jīng)過年后，樣本中的氚元素變?yōu)樵瓉淼?，故C正確，由題意得，化簡得，，將代入其中，可得，故D正確.故選：CD16．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，且，則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．在上具有單調(diào)性【答案】AC【分析】根據(jù)題意，令即可判斷A，令，，即可判斷B，令結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義即可判斷C，令即可判斷D【詳解】對A：令，則有，即，故A正確；對B：，，則有，即，由，，故，即，故B錯誤；對C：令，則有，即，即，又函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?，故函?shù)為奇函數(shù)，故C正確；對D：令，則有，即，即有，則當(dāng)時，有，即，故在上不具有單調(diào)性，故D錯誤.故選：AC17．（2024·江西南昌·三模）已知函數(shù)，若的圖象關(guān)于直線對稱，則下列說法正確的是（

）A．的圖象也關(guān)于直線對稱 B．的圖象關(guān)于中心對稱C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)圖象的對稱性可得，，由此分析可得由此分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】設(shè)關(guān)于直線對稱，所以，，所以或，當(dāng)時，，的圖象關(guān)于直線對稱，此時，，∴，當(dāng)時，,∴，∴，又∵是一個定值，而隨的不同而不同，∴此等式不成立，即不成立,∴，即，所以的圖象關(guān)于中心對稱，B正確；∴，，即，C正確.與關(guān)于對稱，∴，即，即，∴，D正確，又，則，即，，而，若A選項(xiàng)成立，則時，，所以但此時，，所以由可得，但這與已知矛盾，所以的圖象不可能關(guān)于直線對稱，A錯誤.故選：BCD.18．（2024·浙江紹興·二模）已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)抽象函數(shù)性質(zhì)可確定關(guān)于直線對稱，關(guān)于點(diǎn)對稱，從而可確定其周期性，再結(jié)合單調(diào)性可得函數(shù)的大致圖象，結(jié)合周期性、對稱性、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、三角函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】對于函數(shù)有，，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，由，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，所以得，則，故函數(shù)的周期為，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)的大致圖象如下圖：由對稱性可得，所以，故A不正確；由于，，所以，故B正確；又，，所以，故C正確；，且，因?yàn)?，所以，故，所以，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性，解決本題的關(guān)鍵是結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的圖象，從而可確定函數(shù)值的大小關(guān)系、對稱關(guān)系.考查學(xué)生的基本分析能力與計算能力，屬于中等難度的題型.19．（2024·湖北·二模）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)的值域?yàn)锽．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形C．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．若函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個交點(diǎn)，記為，則【答案】BCD【分析】借助指數(shù)函數(shù)的值域求解判斷A；利用給定定義計算判斷B；利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則結(jié)合對稱性判斷C；利用中心對稱的性質(zhì)計算判斷D.【詳解】對于A，顯然的定義域?yàn)镽，，則，即函數(shù)的值域?yàn)?，A錯誤；對于B，令，，即函數(shù)是奇函數(shù)，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形，B正確；對于C，由選項(xiàng)B知，，即，兩邊求導(dǎo)得，即，因此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，C正確；對于D，由函數(shù)滿足為奇函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，由選項(xiàng)B知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱，因此，D正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，①存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱.②存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.20．（2024·湖北荊州·三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（

）A． B．關(guān)于中心對稱C．是周期函數(shù) D．的解析式可能為【答案】ACD【分析】對于A：根據(jù)題意賦值即可；對于C：根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)以及周期性的定義分析判斷；對于B：舉反例說明即可；對于D：將代入題意關(guān)系式檢驗(yàn)即可.【詳解】由，且函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢τ谶x項(xiàng)A：令，，可得，且，可得，故A正確；對于選項(xiàng)C：令，則，則，即，可知為偶函數(shù)，令，則，可知，，可得，則，所以，可知周期為6，故C正確；對于選項(xiàng)B：因?yàn)橛捎跒榕己瘮?shù)且周期為6，則，不滿足，所以不關(guān)于中心對稱，故B錯誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，即符合題意，所以的解析式可能為，故D正確；故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．21．（2024·江蘇宿遷·三模）已知定義在上不為常數(shù)的函數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件，利用賦值法依次驗(yàn)證各個選項(xiàng).【詳解】對于A，令，則，即，又函數(shù)不為常數(shù)，，即，故A正確；對于B，令，則，令，則，得，令，則，得，故B正確；對于C，令，則，所以，即，故C錯誤；對于D，令，則，所以，則，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)，解題關(guān)鍵是先證明，結(jié)合，利用基本不等式證明.22．（2024·湖南衡陽·三模）已知函數(shù)，的定義域?yàn)?，若函?shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，，且.則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱B．函數(shù)為偶函數(shù)C．4是函數(shù)的一個周期D．【答案】BCD【分析】通過函數(shù)的奇偶性可判斷B；通過聯(lián)立函數(shù)與的方程組以及對函數(shù)進(jìn)行賦值可推出函數(shù)的周期從而判斷C；計算出從而排除A；先通過賦值求出，再通過周期性計算出D。【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)圖象關(guān)于直線對