第01講 規(guī)律問題-2022年中考數(shù)學考前《終講·終練·終卷》沖刺高分突破-中考數(shù)學備考復習重點資料歸納

第01講：規(guī)律問題

【考點精講】

題型一：周期型

1.(2022?廣東陽江?)如圖，在平面直角坐標系中，將正方形OABC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)45。后得到正方形OAiBQ,

依此方式，繞點。連續(xù)旋轉(zhuǎn)2020次得到正方形OA2020B2020C202。，如果點A的坐標為(1,0),那么點上。2。的坐標為

A.(-1,1)B.(-V2,0)C.(-1,-1)D.(0,行)

2.(2022.山東淄博.期末)用符號表示關(guān)于自然數(shù)x的代數(shù)式，我們規(guī)定：當x為偶數(shù)時，f(x)=K當x

Q

為奇數(shù)時，/(x)=3x+l.例如：f(x)=3xl+l=4,f(8)=5=4.設(shè)再=8,^=/(%,),毛=/(￡)，…，

以此規(guī)律，得到一列數(shù)4，々，毛....々值，則這2022個數(shù)之和為+占+當+…+w⑷+/?22等于

()

A.3631B.4719C.4723D.4725

3.(2022?四川省內(nèi)江市第六中學二模)如圖，在平面直角坐標系中，存在動點尸按圖中箭頭所示方向運動，第1

次從原點運動到點(1,1),第2次接著運動到點(2,0),第3次接著運動到點(3,2)....按這樣的運動規(guī)律，經(jīng)過

第2021次運動后，點尸的坐標是()

題型二：遞推型

4.(2022?山東泰安?九年級期末)斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”，它可以通過分別以1,1,2,3,5,…為

半徑，依次作圓心角為90。的扇形弧線畫出來(如圖).第1步中扇形的半徑是1cm,按如圖所示的方法依次畫，

第8步所畫扇形的弧長為（）

A.4冗B.—7tC.177rD.—71

22

5.（2021?廣東廣州?九年級期中）如圖，在平面直角坐標系中，有一個用AOB,ZABO=90°,ZAOB=30°,直

角邊。8在），軸正半軸上，點A在第一象限，且。4=1,將mAO3繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)30。，同時把各邊長擴大為

原來的兩倍（即04=204）.得到氏0A線，同理，將R/0A4繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)30。，同時把各邊長擴大為

原來的兩倍，得到心△0&與，…，依此規(guī)律，得到四△必以息⑷，則。鳥⑼的長度為（）

A.3B.V3X22020C.有x2202iD.V3x22019

2

6.（2021.河南平頂山.九年級期中）如果一個等腰三角形的頂角為36。，那么可求其底邊與腰之比等于墾L,我

2

們把這樣的等腰三角形稱為黃金三角形.如圖，在工ABC中，AB=AC=1,NA=36。，ABC看作第一個黃金三角

形；作/A8C的平分線8￡>,交AC于點，BCQ看作第二個黃金三角形；作N8CC的平分線CE,交BD于點、E,

CQE看作第三個黃金三角形；……以此類推，第2020個黃金三角形的腰長是（）

B.（或二1）2019

2

,3+亞）

D.2019

2

題型三：固定累加型

7.（2021?山東濰坊?九年級期中）在平面直角坐標系中，正方形ABC。的位置如圖所示，點A的坐標為（1,0），點。

的坐標為（0,2）,延長C8交x軸于點A，作正方形A8CC；延長G⑸交x軸于點&,作正方形…按這

樣的規(guī)律進行下去，第2021個正方形的面積為（）

8.（2021?全國?九年級專題練習）如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的正方形和正三角形拼接而成，第

①個圖案有4個三角形和1個正方形，第②個圖案有7個三角形和2個正方形，第③個圖案有10個三角形和3

個正方形，…依此規(guī)律，如果第〃個圖案中正三角形和正方形的個數(shù)共有2021個，則〃=（）

A.504B.505C.506D.507

9.（2021.四川省德陽市第二中學校七年級階段練習）已知2021個整數(shù)內(nèi)，。2,…，。2020滿足下列條件：?/=1,

。2=Ta/+l|,a3=-.....42020=-|?20/9+11>則。/+。2+〃3+…+。2021的值為()

A.0B.-1009C.-1011D.-2021

題型四：漸變累加型

10.（2021?重慶實驗外國語學校）下列圖形都是由大小相同的小圓按一定規(guī)律組成的，其中第①個圖形中有2個小

圓，第②個圖形中有8個小圓，第③個圖形中有16個小圓…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個圖形中的小圓個數(shù)為（)

o

ooo

ooOoOo

OoOOOoOOOOOoOo

OoOOOoOOOOOoOO

ooOoOO

OOO

O

②③

A.38B.52C.68D.86

11.（2020?福建?三明市列東中學）如圖所示，直線廣且8+正與），軸相交于點。，點A/在直線了=正M+走上，

-33-33

點B/在x軸，且AOA/B/是等邊三角形，記作第一個等邊三角形：然后過8/作8滔2〃。4/與直線y=+正相交

33

于點點比在x軸上，再以8*2為邊作等邊三角形A2B2B/,記作第二個等邊三角形；同樣過歷作&&〃OA/與

直線y=@x+巫相交于點點以在x軸上，再以歷人為邊作等邊三角形4歷歷，記作第三個等邊三角形；…

33

依此類推，則第〃個等邊三角形的頂點A縱坐標為（）

A.2"TB.2"々C.x6D.2"々x6

12.（2021?全國?）在平面直角坐標系中,正方形AiBiCi國、D1E1E2B2、A2B2C2D2,D2E3E4B3、A3B3c3D3…按如圖

所示的方式放置，其中點Bi在y軸上，點Ci、Ei、E2、C2、E3、E4、C3…在x軸上，已知正方形AIBICIDI的邊長

為1,ZB|C|0=60°,BICI〃B2c2〃B3c3…則正方形A2015B2015c2015D2015的邊長是（）

【專題精練】

一、單選題

13.（2021?福建莆田?一模）求1+2+2?+23++2如3的值，可令S=l+2+2?++220巴貝12s=2+2?+23++2叫

因此2S-S=220M_i.仿照以上推理，計算出1+5+52+5?++5刈3的值為（）

52,,,4-152013-1

A.52|,14-1B.520,3-1C.------D.-——-

44

14.（2022?廣東?塘廈初中一模）觀察規(guī)律丁工=1-：,不'=工=1-。,…，運用你觀察到的規(guī)律解決以下

1x222x3233x434

問題：如圖，分別過點蟲〃⑼（〃=1、2、）作X軸的垂線，交），=加（。＞0）的圖象于點4,交直線于點紇.則

n22an

A，〃(〃一1)B.—C+D，+

15.（2022?四川?琪縣孝兒鎮(zhèn)初級中學校一模）如圖，每一幅圖中均含有若干個正方形，第1幅圖中有1個正方形;

第2幅圖中有5個正方形……按這樣的規(guī)律下去，第9幅圖中正方形正的個數(shù)為（）

第1幅第2幅第3幅第4幅

A.180B.204C.285D.385

16.（2020?浙江金華?模擬預測）如圖，在一單位為1的方格紙上，△A/AM3,△A3A4A5,△4447……，都是斜邊

在x軸上，斜邊長分別為2,4,6,……的等腰直角三角形，若A/AM3的頂點坐標分別為4（2,0）,A2（l,-1）,

D.(2,1010)

17.（2020?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?二模）如圖，楊輝三角是我國古人奉獻給人類的數(shù)學遺產(chǎn)之一，圖中的三角形解釋二

項和（a+b）n的展開式的各項系數(shù).根據(jù)“楊輝三角”提供的展開式的各項系數(shù)的規(guī)律，探究（a+b）2。的展開式

中第三項的系數(shù)為（）

fa+b）0.....................................①

々+少................①①

爐.........①②①

佃+〃3.........①③③①

佃+匕尸....①④⑥④①

市一力廣…①⑤④頌⑤①

??????

A.2017B.2016C.191D.190

18.（2020?四川達州?中考真題）中國奇書《易經(jīng)》中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù)，即“結(jié)繩計

數(shù)”.如圖，一位母親在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿5進1,用來記錄孩子自出生后的天數(shù).由圖可知，孩

子自出生后的天數(shù)是（）

C.165D.294

19.（2021?全國?二模）求1+2+22+23+…+2202。的值，可令S=I+2+22+23+…+22°20,則2s=2+22+23+24

+...+22021,因此2S-S=2202i-].仿照以上推理，計算出1+2020+20202+20203+...+20202020的值為（）

202121）2|2020

20202020_j2O2O-1c2020-162O2O-1

A.---------D.------------C.---------D.------------------

2020202020192019

20.（2020?浙江紹興?二模）中國有個名句“運籌帷幄之中，決勝千里之外”，其中的“籌''原意是指《孫子算經(jīng)》中記

載的算籌，古代是用算籌來進行計算的，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進行運算，算籌的擺放形式有縱橫兩

種，如圖：

123456789

縱式|||HIUliHillTTTTT

橫式一====IL=

當表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯數(shù)字一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個

位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位數(shù)用橫式表示，以此類推.例如6613用算籌表示就是：

I——HP則5288用算籌可表示為（）

a-b三=工工

c-muiiinni。.三||工用

21.（2021?全國?九年級專題練習）在《九章算術(shù)》方田章“圓田術(shù)”中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以

至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這里所用的割圓術(shù)所體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化的思想，比如在

1+萬+手?+了■+!+…中，"…”代表按規(guī)律不斷求和，設(shè)1!+及+…=工.則有x=l+/X，解得x=2,

故1+；+《+!+￡+…=2?類彳以地1+"+$+，+…的結(jié)果為（）

496

2

A.3-B.8-5-D.

22.（2020.湖北?陽新縣陶港鎮(zhèn)初級中學模擬預測）將正偶數(shù)按下表排成5列:

第一列第二列第三列第四列第五列

第一行2468

第二行16141210

第三行18202224

第四行32302826

...

根據(jù)上面規(guī)律，2020應在（）A.125行，3列B.125行，2列C.253行，2列D.253

行,3列

23.（2020?湖南?婁底市第三中學九年級階段練習）我們知道，一元二次方程x2=-1沒有實數(shù)根，即不存在一個實

數(shù)的平方等于-1.若我們規(guī)定一個新數(shù)“i”，使其滿足i2=-1（即方程x2=-1有一個根為i）.并且進一步規(guī)定：

一切實數(shù)可以與新數(shù)進行四則運算，且原有運算律和運算法則仍然成立，于是有P=i,i2=-1,i3=i2xi=（-1）

Xi--i,i4=（i2）2=（-1）2=1,從而對任意正整數(shù)n,我們可以得到i4n+l=i4nxi=（i4）"Xi=i,i4n+2=7,j4n+3

=-i,i4n=l.那么i+i2+i3+i4+...+i2<M2+i2（M3++[2019的值為（）

A.0B.1C.-1D.i

24.（2019?浙江金華?中考模擬）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“?”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第1

幅圖形中的個數(shù)為4,第2幅圖形中“?”的個數(shù)為的,第3幅圖形中“?”的個數(shù)為％，…，以此類推，則

第4幅圖

、589c431

840'760

25.（2019?廣東廣州?一模）我國古代《易經(jīng)》一書中記載，遠古時期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)

繩記數(shù)如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結(jié)，滿六進一，用來記錄采集到的野果數(shù)量，由圖可知,

她一共采集到的野果數(shù)量為（）個.

C.1838D.1842

圖（2）中含“?！钡木匦斡?個，圖（3）

A.70B.71C.72D.73

27.（2017?山東濟南?二模）我們知道，一元二次方程/=_］沒有實數(shù)根，即不存在一個實數(shù)的平方等于-1,若我

們規(guī)定一個“新數(shù)”，使其滿足產(chǎn)=_］（即方程/=.|有一個根為i）,并且進一步規(guī)定：一切實數(shù)可以與新數(shù)進行

四則運算，且原有的運算律和運算法則仍然成立，于是有J-,；八=_|,/'./^（-IM--I.

i*=（尸尸=（一1-=1,從而對任意正整數(shù)n,我們可得至=j，同理可得

產(chǎn)“=T,?。篒,那么，，+5+產(chǎn)+/+......+嚴16+產(chǎn)7的值為（）

A.0B.1C.-1D.i

28.（2018?山東臨沂?中考模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為2,其面積標記為Si,以CD為斜邊作等腰直角三

角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S2,…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S9

的值為（）

A.(g)6B.(!)7C.(—)6D.(—)7

2222

29.(2015?浙江金華?中考真題)挑游戲棒是一種好玩的游戲，游戲規(guī)則：當一根棒條沒有被其它棒條壓著時，就

可以把它往上拿走.如圖中，按照這一規(guī)則，第1次應拿走⑨號棒，第2次應拿走⑤號棒，….則第6次應拿走的

是()

A.②號棒B.⑦號棒C.⑧號棒D.⑩號棒

30.(2013?湖南永州?中考真題)我們知道，一元二次方程x2=-1沒有實數(shù)根，即不存在一個實數(shù)的平方等于-I.若

我們規(guī)定一個新數(shù)“i”,使其滿足i2=-1(即方程x2=-1有一個根為i).并且進一步規(guī)定：一切實數(shù)可以與新數(shù)進

行四則運算，且原有運算律和運算法則仍然成立，于是有J=i,i2=-l,i3=i2-i=(-1)?i=-i,i4=(i2)2=(-1)

2=1,從而對于任意正整數(shù)n,我們可以得到i4n+l=i4n.i=Q4)n.M,同理可得1而+2=-1,i4n+3=_j,j4n=/那么

i+i2+i3+i4+...+i2012+i2013的值為1]

A.0B.1C.-1D.i

二、填空題

31.(2022.貴州.玉屏侗族自治縣教研室一模)如圖，將△ABC沿著過BC的中點。的直線折疊，使點B落在AC

邊上的四處，稱為第一次操作，折痕OE到AC的距離為九；還原紙片后，再將ABOE沿著過8。的中點A的直線

折疊，使點8落在。E邊上的與處，稱為第二次操作，折痕。占到AC的距離記為為；按上述方法不斷操作下去…

經(jīng)過第〃次操作后得到折痕到AC的距離記為%,若九=1,則/??的值為.

32.（2022?山東青島?一模）例.求1+2+22+23+…+22008的值.

解：可設(shè)S=1+2+22+23+…+22?>8,貝ij2s=2+22+23+24+…+22（心

因此2S-S=22?>9-1,所以1+2+22+23+…+22.=22帥-1.

請仿照以上過程計算出：1+3+32+33+…+32022=.

33.（2021.山東煙臺.中考真題）幻方歷史悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”.把洛書用今天的數(shù)學符號翻

譯出來，就是一個三階幻方.將數(shù)字1~9分別填入如圖所示的幻方中，要求每一橫行，每一豎行以及兩條對角線上

的數(shù)字之和都是15,則a的值為.

34.（2022?湖北隨州?一模）中國古代十進位制的算籌計數(shù)法，在世界數(shù)學史上是一個偉大的創(chuàng)造.算籌計數(shù)的方

法：如圖，將個位、百位、萬位……的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出，將十位、千位、十萬位……的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出.

縱式IlinmimuTITnim

橫式一二三三三111x

12345678T

圖1和圖2都是借用算籌進行減法運算，例如：圖1所示的圖形表示的等式為54-23=31,34-3=31,則圖2所

示的圖形表示的等式為.（寫出一個即可）

±丁±T

1-三JII-2-

-—

-±“±

-3I--

3-丁4-

巾

圖A1

35.（2021.廣東佛山.九年級階段練習）如圖，四邊形0AA片是邊長為1的正方形，以對角線。4為邊作第二個正方

形冊外與，連接A4,得到再以對角線為邊作第三個正方形。&&為，連接44,得到M&A，再

以對角線。4,為邊作第四個正方形0444,連接44,得到△&&&,…，設(shè)AAA4,然44,，…，

的面積分別記為E，邑，…,如此下去，則反⑼的值為.

36.（2021?安徽宣城?一模）我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》書中輯錄了一個三角形數(shù)表，稱之為“開

方作法本源''圖，即是著名的“楊輝三角形以下數(shù)表的構(gòu)造思路源于“楊輝三角形”：

12345....20132014201520162017

3579........4027402940314033

81216............805680608064

2028................1611616124

該表由若干行數(shù)字組成，從第二行起，每一行中的數(shù)字均等于“其肩上”兩數(shù)之和，表中最后一行僅有一個數(shù)，則這

個數(shù)為一.

37.（2021?安徽蕪湖?二模）很多代數(shù)公式都可以通過表示幾何圖形面積的方法進行直觀推導和解釋.例如：平方

差公式、完全平方公式等.

【提出問題】如何用表示幾何圖形面積的方法計算：「+23+33++/=?

【規(guī)律探究】觀察下面表示幾何圖形面積的方法：

123

【解決問題】請用上面表示幾何圖形面積的方法寫出「+23+33++/==（用含"的代數(shù)式表示）；

【拓展應用】根據(jù)以上結(jié)論，計算：23+4'+6++（2〃）3的結(jié)果為.

38.（2020?廣東汕頭?模擬預測）如圖，圓心都在x軸正半軸上的半圓01,半圓。2,…，半圓。.與直線y=相

切.設(shè)半圓。一半圓。2,…，半圓0”的半徑分別是彳，弓，…，小則當4=1時，.

參考答案：

1.C

【解析】

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點B旋轉(zhuǎn)后對應的坐標8次一循環(huán)，據(jù)此解答

即可求解.

【詳解】

解：連接0B,

???四邊形OABC是正方形，A的坐標為(1,0),

，OA=AB=OC=BC=1,ZOAB=9Q°,ZAOB=45°,

(1,1),

由勾股定理得：OB=^JOA2+AB2=712+12=V2>

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得：OB=OBI=OB2=OB3=...=0,

???將正方形OA2C繞點。逆時針連續(xù)旋轉(zhuǎn)45。，相當于將OB繞點。逆時針連續(xù)旋轉(zhuǎn)45。，

，依次得到ZAO8=NBOB/=N3/OB*…=45°,

Bi(0,夜),&(—1,1),&(一y[2,0)?&—1,—1),Bs(0>一近)，Be(1.

一1),歷(夜，0),Bs(1,1),……,

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：點B旋轉(zhuǎn)后對應的坐標8次一循環(huán)，

：2020=8x252+4,

.??點&。20與點&重合，

點比劃的坐標為(-1,—1),

故選：C.

【點睛】

本題考查坐標與旋轉(zhuǎn)規(guī)律問題、正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握正

方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，正確得出變化規(guī)律是解答的關(guān)鍵.

2.D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意分別求出X2=4,X3=2,X5=4,…，由此可得從X2開始，每三個數(shù)循環(huán)一次，

進而繼續(xù)求解即可.

【詳解】

解：?；x/=8,

>>X2=f(8)=4,

X3-f(4)=2,

X4=f(2)=1,

X5=f(1)=4,

從X2開始，每三個數(shù)循環(huán)一次，

工（2022-1）；3=673L2,

*.,X2+Xj+X4=7,

/.xl+x2+x3+---+x2O2!+x2022=8+673x7+4+2=4725.

故選：D.

【點睛】

本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，能夠通過所給的數(shù)，通過計算找到數(shù)的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

3.C

【解析】

【分析】

觀察點的坐標變化發(fā)現(xiàn)每個點的橫坐標與次數(shù)相等，縱坐標是1,0,2,0,...4個數(shù)一個循

環(huán)，進而可得經(jīng)過第2021次運動后，動點P的坐標.

【詳解】

解：觀察點的坐標變化可知：

第1次從原點運動到點（1,1）,

第2次接著運動到點（2,0）,

第3次接著運動到點（3,2）,

第4次接著運動到點（4,0）,

第5次接著運動到點（5,1）,

按這樣的運動規(guī)律，

發(fā)現(xiàn)每個點的橫坐標與次數(shù)相等，

縱坐標是1,0,2,0；4個數(shù)一個循環(huán)，

所以2021+4=505…1,

所以經(jīng)過第2021次運動后，

動點P的坐標是（2021,I）.

故選：C.

【點睛】

本題考查了規(guī)律型-點的坐標，解決本題的關(guān)鍵是觀察點的坐標變化尋找規(guī)律.

4.B

【解析】

【分析】

根據(jù)題意找出半徑的變化規(guī)律，進而求出第8步所畫扇形的半徑，根據(jù)弧長公式計算，得到

答案.

【詳解】

解：斐波那契數(shù)列為1,1,2,3,5,...

第6步半徑為3+5=8(cm)；

第7步半徑為5+8=13(cm)；

第8步半徑為8+13=21(cm)；

由題意得：第8步所畫扇形的半徑21cm,

.?.第8步所畫扇形的弧長=量六=會(加)，

故選：B.

【點睛】

本題考查的是弧長的計算、數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題意找出半徑的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

5.B

【解析】

【分析】

根據(jù)余弦的定義求出08,根據(jù)題意求出0助，根據(jù)題意找出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可.

【詳解】

解：在MaAOB中，44。8=30°,04=1,

JOB=OA-cos^AOB=—，

2

h

由題意得，。6=208=Lx2,

12

2

OB2=2OB,=y-x2,

OB,=2OB2=

0B“=20B“_\=?x2"=>/3x2”T,

2020

OB202I=A/3X2.

故選:B.

【點睛】

本題考查的是坐標與旋轉(zhuǎn)規(guī)律問題、銳角三角函數(shù),正確得到圖形的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

6.B

【解析】

【分析】

由黃金三角形的定義得BC=^」AB=^U,同理：△BCD是第二個黃金三角形，XCDE

22

看作第三個黃金三角形，貝ijcn=或二1BC=（叵口）2,得出規(guī)律，即可得出結(jié)論.

22

【詳解】

解：?.?AB=AC=1,ZA=36°,ZXABC是第一個黃金三角形，

底邊與腰之比等于叵【，

2

即生=在二，

AB2

22

同理：△BC。是第二個黃金三角形，△C0E是第三個黃金三角形，

則CD=^^-BC=（）2,

22

即第一個黃金三角形的腰長為1=（叵口）°,第二個黃金三角形的腰長為第一個黃金三角

2

形的腰長為（正二!■）1,第三個黃金三角形的腰長為（正二b2,…，

22

.?.第2020個黃金三角形的腰長是（叵口）202。_1,

2

即（遂二1）2019,

2

故選：B.

【點睛】

本題考查了黃金三角形，等腰三角形的性質(zhì)，規(guī)律型等知識；熟練掌握黃金三角形的定義，

得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

7.C

【解析】

【分析】

先利用勾股定理求出AB=BC=A￡>,再用三角形相似得出43=日小與=令石，找出規(guī)律

%。2田2皿=（1嚴2|石，即可求出第2021個正方形的面積.

【詳解】

解：???點A的坐標為（1,0）,點。的坐標為（0,2）,

：.OA=\,OD=2,BC=AB=AD=5

?.?正方形ABC。，正方形A/QGC,

AZOAD+ZAIAB=900,ZADO+ZOAD=90°,

：.ZAiAB=ZADO,

'：ZAOD=ZAiBA=90°,

：.XAODs“ABk,

.AOOP

1_2

??幣飛’

/.AJB=與,

A4=AC=AB+BC=|石，

同理可得，4區(qū)=3石=（：）2石，

同理可得，4紜=（|）3石，

同理可得，4網(wǎng)/2。=（|嚴°行，

故選：C.

【點睛】

此題考查正方形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于找到規(guī)

律.

8.B

【解析】

【分析】

根據(jù)圖形的變化規(guī)律、正方形和三角形的個數(shù)可發(fā)現(xiàn)第"個圖案有3〃+1個三角形和"個正

方形，正三角形和正方形的個數(shù)共有4”+1個，進而可求得當4〃+1=2（）21時”的值.

【詳解】

解：：第①個圖案有4個三角形和1個正方形，正三角形和正方形的個數(shù)共有5個；

第②個圖案有7個三角形和2個正方形，正三角形和正方形的個數(shù)共有9個；

第③個圖案有10個三角形和3個正方形，正三角形和正方形的個數(shù)共有13個；

第④個圖案有13個三角形和4個正方形，正三角形和正方形的個數(shù)共有17個；

???第〃個圖案有4+3(〃-1)=3〃+1個三角形和”個正方形，正三角形和正方形的個數(shù)共有

3〃+1+〃=4〃+1個

?.?第”個圖案中正三角形和正方形的個數(shù)共有2021個

.,.4/1+1=2021

二"=505.

故選擇：B

【點睛】

本題考查了圖形變化類的規(guī)律問題、利用一元一次方程求解等，解決本題的關(guān)鍵是觀察圖形

的變化尋找規(guī)律.

9.C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，可以分別求得這列數(shù)的各項的數(shù)值，從而可以求得從43開始2個一循環(huán)，本題

即可求解.

【詳解】

解：*?'ai=l,02=-\ai+\\,C13=-|?2+1|.....42020=-|。20/9+1],

??Cl2—~2.,Cl5—~1?46=0,(17—~1>....Cl2O2O~0?。202尸-1,

從開始2個一循環(huán)，

：.ai+a2+a3+...+a2O2i=(1-2)+(-1+0)X1009+(-1)=-1011.

故選：C.

【點睛】

本題考查了絕對值，解題的關(guān)鍵是得到這列數(shù)從a3開始2個一循環(huán)的規(guī)律.

10.C

【解析】

【分析】

由題意易知第①幅圖中小圓的個數(shù)為2=2xl+2x0,第②幅圖中小圓的個數(shù)為8=2x3+2xl,第

③幅圖小圓的個數(shù)為16=3x4+2x2,第④幅圖小圓的個數(shù)為26=4x5+2x3；…,由此問題可

求解.

【詳解】

解：由題意知，

第①幅圖中小圓的個數(shù)為2=2x1+2x0,

第②幅圖中小圓的個數(shù)為8=2x3+2xl,

第③幅圖小圓的個數(shù)為16=3x4+2x2,

第④幅圖小圓的個數(shù)為26=4x5+2x3；

???第⑦幅圖小圓的個數(shù)為7x8+2x6=68（個）；

故選C.

【點睛】

本題主要考查圖形規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是找到圖形規(guī)律即可.

II.D

【解析】

【分析】

可設(shè)直線與x軸相交于C點.通過求交點C、。的坐標可求NQCO=30。.根據(jù)題意得ACOA/、

△CBN?、ACB2A3…都是等腰三角形，且腰長變化有規(guī)律.在正三角形中求高即可得解.

【詳解】

3

..t.anZ/DCO=-O-D=——,

OC3

：.ZDCO=30°.

???△04/3/是正三角形，

???NAQB/=600?

.'.ZCA/0=ZA/C0=30°,

：.OA!=OC=\.

第一個正三角形的高=lxsin6(T=立;

2

同理可得：第二個正三角形的邊長=1+1=2,高=2xsin60°=6；

第三個正三角形的邊長=1+1+2=4,高=4xsin6(T=26；

第四個正三角形的邊長=1+1+2+4=8,高=8xsin6(r=4G；

第〃個正三角形的邊長=2〃〃，高=2〃”6.

/.第n個正三角形頂點An的縱坐標是2”2x+.

故選：D.

【點睛】

本題是一次函數(shù)綜合題型，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征.

12.D

【解析】

【詳解】

試題分析：方法一：

解:如圖所示：???正方形所示CIDI的邊長為1,ZBICIO=60°,BiCi〃B2c2〃B3c3…

.,.DIEI=B2E2,D正3=B3E4,ZDICIEI=ZC2B2E2=ZC3B3E4=30°,

...DiEi=GDisin30°=g,則B2c2=(—)>,

23

同理可得：B3c3=!=(3)2,

33

故正方形AnBnCnDn的邊長是：([8)曲.

3

則正方形A2OI5B2015c2015口2015的邊長是：()2014.

3

故選D.

方法二：

,/正方形AIBICIDI的邊長為1,

ZB,010=60°,.*.DIEI=B2E2=T，?.?BICI〃B2C2〃B3C3.

ZE2B2c2=60°，：,B2c2=—,

3

同理：B3c3=^^X=!…

333

.1百

..ai=l,q=—,

3

...正方形A2015B2015c201502015的邊長=1X(避嚴5T=(走產(chǎn)4.

33

考點：正方形的性質(zhì).

13.C

【解析】

【分析】

類比題目中所給的解題方法解答即可.

【詳解】

解：設(shè)“=1+5+52+53+...+5233,

則5a=5(1+5+52+53+...+52013)=5+52+53+…+5233+52014,

2014

：.5a-a=(5+52+53+…+52013+52014)_(]+5+52+53+...+52013)=5-1,

52014-]

即——

4

故選：C.

【點睛】

本題是閱讀理解題，類比題目中所給的解題方法是解決問題的基本思路.

14.D

【解析】

【分析】

2

由月G，0)(〃=12)可得：A?pn=an,BnP?=an,則可得人出小加+助，貝?可得

」=?/L、，再利用=二=[一一=,進行計算即可.

【詳解】

v過點p?(〃,o)(〃=1、2、)的垂線，交y=加S>0)的圖象于點4，交直線y=一數(shù)于點B,,.

.?.令廣〃，可得：A,縱坐標為劭2,B縱坐標為-的，

\A"P“=af，B?Pn=an,

\A"B“=an2+an.

1,1_i_L

A”B“a(n2+n)an(n+1)ann+1

111

,-----f------+,,,-----

ZfA2B2A?Bn

111111+L_L)

=-(l--+----+-----+

a22334nn+1

1n

an+1

n

故選D.

【點睛】

本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)與垂直于x軸直線交點坐標問題，以及由特殊到一般的歸納

總結(jié)方法，掌握歸納總結(jié)的方法是解題的關(guān)鍵.

15.C

【解析】

【分析】

從特殊情況開始，先算出前幾幅圖中正方形的個數(shù)，找出其中的規(guī)律，歸納得出一般情況,

第〃幅圖中正方形個數(shù)的規(guī)律，于是可算出當〃=9時的正方形的個數(shù).

【詳解】

第1幅圖中有1個正方形；

第2幅圖中有1+4=口+22=5個正方形；

第3幅圖中有1+4+9=1'+22+32=14個正方形；

第4幅圖中有1+4+9+16=12+22+32+42=30個正方形；

第〃幅圖中有H+22+32+42+…+〃2個正方形.

于是，當〃=9時，正方形的個數(shù)為：y+22+32+42+52+62+72+82+92=30+25+36+49+64+81=285

（個）

故選：C

【點睛】

本題考查了圖形的變化規(guī)律，利用圖形間的聯(lián)系，得出數(shù)字間的運算規(guī)律，從而問題解決,

體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學思想.

16.D

【解析】

【分析】

根據(jù)腳碼確定出腳碼為偶數(shù)時的點的坐標，得到規(guī)律：當腳碼是2、6、10…時，橫坐標為1,

縱坐標為腳碼的一半的相反數(shù)，當腳碼是4、8、12.…時，橫坐標是2,縱坐標為腳碼的一

半，然后確定出第2020個點的坐標即可.

【詳解】

解：觀察點的坐標變化發(fā)現(xiàn)：

當腳碼為偶數(shù)時的點的坐標，得到規(guī)律：

當腳碼是2、6、10…時，橫坐標為1,縱坐標為腳碼的一半的相反數(shù)，

當腳碼是4、8、12.…時，橫坐標是2,縱坐標為腳碼的一半，

因為2020能被4整除，

所以橫坐標為2,縱坐標為1010,

故選：D.

【點睛】

本題考查點坐標的變化規(guī)律，根據(jù)所要求的點坐標確定類似點的變化規(guī)律是解題關(guān)鍵.

17.D

【解析】

【分析】

根據(jù)圖形中的規(guī)律可得(。+4的第三項系數(shù)為1+2+3+...+(〃-2)+(”-1),即可求出(“+6)2。

的展開式中第三項的系數(shù).

【詳解】

解：找規(guī)律發(fā)現(xiàn)(。+力3的第三項系數(shù)為3=1+2；

(a+與"的第三項系數(shù)為6=1+2+3；

(a+b)5的第三項系數(shù)為10=1+2+3+4；

不難發(fā)現(xiàn)("+0)”的第三項系數(shù)為1+2+3+...+(〃-2)+(―1),

第三項系數(shù)為1+2+3+...+19=190,

故選：D.

【點睛】

此題考查了通過觀察、分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題的能力.

18.D

【解析】

【分析】

類比十進制“滿十進一”，可以表示滿5進1的數(shù)從左到右依次為：2x5x5x5,1x5x5,3x5,

4,然后把它們相加即可.

【詳解】

依題意，還在自出生后的天數(shù)是：

2x5x5x5+1x5x5+3x5+4=250+25+15+4=294,

故選：D.

【點睛】

本題考查了實數(shù)運算的實際應用，解答的關(guān)鍵是運用類比的方法找出滿5進1的規(guī)律列式計

算.

19.C

【解析】

【分析】

由題意可知s=1+2020+20202+202()3+...+2020202。①，可得到2020S=2020+20202+

202。3+...+20202。2。+20202。21②，然后由②一①，就可求出S的值.

【詳解】

解：設(shè)5=1+2020+20202+20203+...+202。2。2。①

貝ij2020S=2020+20202+20203+...+2O2O2020+2O2O2021②

由②一①得：

2019s=20202021-1

.。2O2O202'-1

..3=--------.

2019

故答案為：C.

【點晴】

本題主要考查探索數(shù)與式的規(guī)律，有理數(shù)的加減混合運算.

20.D

【解析】

【分析】

根據(jù)題中的介紹，掌握0-9這十個數(shù)字的表達形式及數(shù)的表達方法，即可表示出5288這個

數(shù).

【詳解】

由題意各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，

個位，百位數(shù)字用縱式表示，十位，千位數(shù)字用橫式表示，

則5288用算籌可表示為=lli>

故選：D.

【點睛】

本題是一道閱讀理解題，解題中要注意讀懂題意，掌握算等表示數(shù)的方法，利用數(shù)形結(jié)合的

思想進行分析是解題的關(guān)鍵.

21.B

【解析】

【分析】

設(shè)1+"+/+"+,“='，仿照例題進行求解.

【詳解】

如111

設(shè)"示+三+三+…—

則1+最+提+*…=1+桿+*+提+*+…),

I1

:.x=\+—x,

9

解得，X=

o

故選B.

【點睛】

本題考查類比推理，一元一次方程的應用，理解題意，正確列出方程是解題的關(guān)鍵.

22.D

【解析】

【分析】

找規(guī)律題型，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

(1)每行4個數(shù)字，從小到大依次排列，且這一行的第一個空不填寫；

(2)2行一個循環(huán)，一個循環(huán)中，順序按照先從左到右，再從右到左；

(3)數(shù)字都是偶數(shù)

【詳解】

正偶數(shù)依次排列，2020是第1010個數(shù)

根據(jù)分析中的規(guī)律，每個循環(huán)是8個數(shù)字，則1010+8=1262

因此，第