等腰三角形（專項練習(xí)2）-2021-2022學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練（人教版）

專題13.10等腰三角形（專項練習(xí)2）

一、單選題

知識點九、等角對等邊求邊長

1.如圖，上午8時，一艘船從工處出發(fā)，以15海里/時的速度向正北方向航行，9時40分

到達(dá)B處，從A處測得燈塔C在北偏西26。方向，從B處測得燈塔C在北偏西52。方向，則

B處到燈塔C的距離是（）

A.36海里B.25海里C.20海里D.21海里

2.如圖，在1ABC中，□BnEJC,AB=5,則AC的長為（）

A.2B.3C.4D.5

3.如圖，匚ABC中，BE是角平分線，DEBC交AB于D,交AC于E,若DE=8,AD

=5,則AB等于（）.

A.12B.13C.14D.15

4.如圖，DABC中，AB=AC=15,AD平分口BAC,點E為AC的中點，連接DE,若DCDE

的周長為21,則BC的長為（）

A

知識點十、直線上與已知兩點構(gòu)成等腰三角形

5.如圖，平面直角坐標(biāo)系X0y中，點M的坐標(biāo)為（2,2）,點N在X軸上，若口?！ê羰堑?/p>

腰三角形，則滿足條件的點N共有（）個

6.如圖，有一種電子游戲，其規(guī)則為：電子屏幕上有一正方形A8CO,點P沿直線A3從

右往左移動，當(dāng)出現(xiàn)點尸與正方形四個頂點中的兩個頂點構(gòu)成等腰三角形時，就會發(fā)出警

報，則直線A3上會發(fā)出警報的點尸有（）

A.7個B.8個C.9個D.10個

7.如圖，B是直線/上的一點，線段AB與/的夾角為a（0。<01<90。），點。在/上，若以

/、8、C為頂點的三角形是等腰三角形，則滿足條件的點C共有（）

A

1___I

B

A?1個B?2個C.3個D.4個

8.如圖所示，直線〃?，幾交于點、B,m,〃的夾角為50°,4是直線加上的點，在直線〃上

尋找一點C,使AABC是等腰三角形，這樣的點。有（）

知識點十一、圖形上一點與兩點構(gòu)成等腰三角形

9.如圖在3x3的網(wǎng)格中，點N、8在格點處：以為一邊，點P在格點處，則使1/8P為

等腰三角形的點P有工）個

A.2個B.3個C.4個D.5個

10.如圖，直線1是矩形ABCD的一條對稱軸,AD=2AB,點P是直線1上一點，且使得UPAB和

□PBC均為等腰三角形，則滿足條件的點P共有（）個.

AB

D

A.1B.2C.3D.5

11.在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（4,0）,使1OAB是等腰三角形，此時，點B的

坐標(biāo)不可能是（）

A.（0,4）B.（2,4）C.（4,4）D.（4,2）

12.如圖，直線機(jī)，〃交于點8,點/是直線機(jī)上的點，在直線〃上尋找一點C,使EL48C

是等腰三角形，這樣的C點有多少個？（)

n

A.2個B.3個C.4個D.5個

知識點十二、尺規(guī)作圖令腰三角形

13.如圖，在AABC中，AB=AC,AA=50°,根據(jù)作圖痕跡，可知NCBO=()

14.如圖，在AABC中，以點B為圓心，84長為半徑畫弧，交BC邊于點。，連接A￡>.若

ZBAC=104°,N8=40。，則ND4C的度數(shù)為()

15.已知坐標(biāo)原點。和點A(2,-2),B是坐標(biāo)軸上的一點，若DAOB是等腰三角形，則

這樣的點B一共有多少個()

A.4B.5C.6D.8

16.“已知等腰三角形的底邊和底邊上的高，用尺規(guī)作圖求作等腰三角形”里用到的基本作圖

是

A.作一條線段等于已知線段，作已知線段的垂直平分線B.作已知角的平分線

C.過直線外一點作己知直線的垂線D.作一個角等于已知角

知識點十三、等腰三角形的性質(zhì)與判定

17.如圖，在(JXBC中，W1=40。，的垂直平分線交于點交NC于點E,

連接8E,則DCBE的度數(shù)為()

A

A.30°B.40°C.70°D.80°

18.如圖，□BAC=110%若MP和NQ分別垂直平分AB和AC,則DPAQ的度數(shù)是（）

A.20°B.60°C.50°D.40°

19.如圖，在「ABC中，AB=AC,且D為BC上一點，CD=AD,AB=BD,則1B的度

數(shù)為（）

20.如圖，在「ABC中，P、Q分別是BC、AC上的點，作PR1AB,PS1AC,垂足分別為

R、S,若AQ=PQ,PR=PS,ZJPA平分L1BAC；nAS=AR；□QPOAR；□□BRPnCCSP.貝I]

這四個結(jié)論中正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

知識點十四、三角形邊角的不等關(guān)系

21.如圖，AABC中，A3=5,AC=9,3C=10,￡：R垂直平分BC,點P為直線所上的

任一點，則"BP周長的最小值是（）

A.10B.14C.15D.19

22.等腰三角形的底邊BC=8cm,且|AC-BC|=2cm,則腰長AC的長為（）

A.10cm或6cmB.10cmC.6cmD.8cm或6cm

23.等腰三角形一邊等于5,另一邊等于8,則其周長是（）.

A.18B.21C.18或21D.13或18

24.已知一個等腰三角形的一邊長為5,另一邊長為7,則這個等腰三角形的周長為（

A.12B.17C.17或19D.19

知識點十五、等腰三角形定義

25.己知一個等腰三角形的兩邊長分別是2和4,則該等腰三角形的周長為（）

A.8或10B.8C.10D.6或12

26.等腰三角形的一邊長等于4,一邊長等于9,則它的周長是（)

A.17B.22C.17或22D.13

27.已知等腰三角形的一邊長等于4,一邊長等于9,則它的周長為（）

A.9B.17或22C.17D.22

28.一個等腰三角形的兩邊長分別是3和7,則它的周長為（）

A.17B.15C.13D.13或17

二、填空題

知識點九、等角對等邊求邊長

29.如圖，C1A8C中，BO、CO分別平分EL48C、DACB,OMCAB,ONUAC,2c=10cm,

則AOMV的周長為.

30.如圖，在AABC中，NC=90°,AC=BC,AD平分NC45交BC于D,DE上AB

于E,若ABDE的周長是4cm,則AB的長為cm.

31.如圖，在△ABC中，BO,CO分別是NA3C和NAC3的平分線，過O點的直線分別

交AB、AC于點D、E,且小〃.若AB=6cm,AC=8cm,則AADE的周長為.

知識點十、直線上與已知兩點構(gòu)成等腰三角形

33.如圖，已知點P是射線ON上一動點（即尸可在射線ON上運動），QAON=30°,當(dāng)口/

時，CUOP為等腰三角形.

34.如圖，AAHC中，ZB=60°,NC=90°,在射線B4上找一點。，使八4。為等

B

35.如圖，在xOy中，ABO=60°,在坐標(biāo)軸上找一點C,使！ABC為等腰三角形，則這

36.在平面直角坐標(biāo)系中，等腰三角形AOB的頂點A的坐標(biāo)為(2,2),底為0A,且B

在坐標(biāo)軸上，則B的坐標(biāo)為_.

知識點十一、圖形上一點與兩點構(gòu)成等腰三角形

37.如圖，在AABC中，ZB=25°,ZA=100°,點P在AABC的三邊上運動，當(dāng)△B4C

成為等腰三角形時，其頂角的度數(shù)是.

38.過三角形一個頂點的直線，把原三角形分割成兩個三角形，要求分得的兩個三角形中至

少有一個是等腰三角形.

(1)如果原三角形是頂點為108。的等腰三角形，這樣的直線有條.

(2)如果原三角形是等腰直角三角形，這樣的直線有條.

(3)如果原三角形是有一個銳角是30。的直角三角形，這樣的直線有條.

39.如圖，NAQB=60°,。是0B延長線上一點，若OC=18cm,動點P從點。出發(fā)

沿CB以2cm/s的速度移動，動點。從點。沿Q4以IcnVs的速度移動，如果點P、。同

時出發(fā)，用Ms)表示移動的時間，當(dāng)/=s時，△POQ是等腰三角形?

40.在平面直角坐標(biāo)系中，點A與點B的坐標(biāo)分別是A(l,0)和B(5,0).以線段AB為底邊作

高為2的等腰三角形ABC,則頂點C的坐標(biāo)為.

知識點十二、尺規(guī)作圖毋腰三角形

41.如圖，在RtLIABC中，CIACB=90。，1A=50。，以點B為圓心，BC長為半徑畫弧,

交AB于點D,連接CD,則DACD的度數(shù)是.

42.已知：如圖，□以0=18。，點8是邊NP上（不同于點的一個點，現(xiàn)以點5為圓心,

AB長為半徑畫弧與AQ交于點C（不同于點A）,再以點C為圓心，CB長為半徑畫弧與AP.

力0分別相交于點。（不同于點8）、E,連接。E,則的度數(shù)是.

P

43.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A,B分別在y軸和x軸上，「ABO=60。，在坐標(biāo)軸上

找一點P,使得PAB是等腰三角形，則符合條件的點P共有個.

44.:ABC中，以B為圓心，BC長為半徑畫弧，分別交AC、AB于D、E兩點，并連接

BD、DE,若DA=30°,AB=AC,則CIBDE=.

E

D

8匕----------]C

知識點十三、等腰三角形的性質(zhì)與判定

45.如圖，在AABC中，A8=AC,點。，E都在邊BC上，/BAD=/CAE,若BD=9,

則CE的長為.

46.定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值人稱為這個等腰三角形的“特征

值若等腰AABC中，ZA=80°.則它的特征值.

47.如圖，在口/QC中，8是ZC上一點，AD=BD=BC.若1C=25。，貝！|口幺。8的度數(shù)是

48.如圖，在1ABC中，AB=AC,BD平分UABC,交AC于點D.若BD=BC,則DA=

________度.

知識點十四、三角形邊角的不等關(guān)系

49.等腰三角形的一邊為3,另一邊為8,則這個三角形的周長為

50.一個等腰三角形的邊長分別是3和6,則其周長是

51.等腰三角形周長為20,一邊長為4,則另兩邊長為.

52.己知等腰三角形的底邊長為10cm,一腰上的中線把三角形的周長分為兩部分，其中一

部分比另一部分長5cm,那么這個三角形的腰長為cm.

知識點十五、等腰三角形定義

53.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30。，則頂角的度數(shù)為.

54.等腰三角形的兩邊長分別是3和5,則這個等腰三角形的周長為

55.等腰三角形的周長為16,其一邊長為6,則另兩邊為.

56.如圖DABC中，口8=口€：,FDDBC,DEZ1AB,L1AFD=158°,則DEDF=.

三、解答題

知識點九、等角對等邊求邊長

57.如圖，在「ABC中，AB=AC,BD是UABC的角平分線.

（1）尺規(guī)作圖：在圖中作出角平分線BD,交AC于點D（要求保留作圖痕跡，不寫作法）;

（2）己知DE//AB交BC于點E,若BE=5cm,CE=3cm,求EICDE的周長.

知識點十、直線上與已知兩點構(gòu)成等腰三角形

58.如圖所示，已知NO及邊上兩點4和8,用直尺和圓規(guī)在NO的角平分線上求作點尸,

使得尸是以AB為底邊的等腰三角形，（不寫作法，保留作圖痕跡）

0B

知識點十一、圖形上一點與兩點構(gòu)成等腰三角形

59.如圖，RtE4B。在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，05在x軸上，口/。8=60。，點4坐

標(biāo)為(3,3道)，點C的坐標(biāo)為(0,3),點。在第二象限，且M8O"DCO.

(1)請直接寫出點。的坐標(biāo)；

(2)點P在直線8c上，且P8是等腰直角三角形，請畫出圖形并求點P的坐標(biāo).

知識點十二、尺規(guī)作圖芻腰三角形

60.圖1、圖2均是3x3的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均

(1)點C在格點上，且」48c為等腰三角形，在圖1中用黑色實心圓點標(biāo)出點C所有可能

的位置，

(2)如圖2,點。、M、N均在格點上，請用無刻度的直尺在線段上找到一點E,使線

aDE^B.(保留作圖痕跡)

知識點十三、等腰三角形的性質(zhì)與判定

61.如圖，在AABC中，AB=AC,AD是BC邊上的中線，BEDAC于點E.

求證：CCBE=LBAD.

知識點十四、三角形邊角的不等關(guān)系

62.已知。、b、。為八鉆。的三邊長，“、匕滿足(。一2)2+|>-3|=0,且。為方程

次一6|=3的解，求ZVIBC的周長并判斷ZXABC的形狀.

知識點十五、等腰三角形定義

63.(1)已知等腰三角形的兩邊長分別為9cm和15cm,則周長為多少？

(2)已知等腰三角形的兩邊長分別為6cm和15cm,則周長為多少？

參考答案

1.B

【分析】根據(jù)所給的角的度數(shù)，容易證得8。是等腰三角形，而48的長易求，根據(jù)等腰

三角形的性質(zhì)，即可得出3。的值.

解：據(jù)題意得：口/=26。，QNBC=52°.

□□C=」凡8。匚/=52。-26。=26。,

□□/=EIC=26。，

UAB=BC.

5

AB=\5x—=25,

3

□5025（海里）.

故選：B.

【點撥】本題考查了等腰三角形的判定及方向角的問題；由已知得到三角形是等腰三角形是

正確解答本題的關(guān)鍵.要學(xué)會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的方法.

2.D

【分析】略

解：□□B=UC,AB=5,

AB=AC=5.

故選D.

【點撥】略

3.B

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到匚ABE=EJCBE,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到E]DEB=「CBE,

等量代換得至ljDABE=DDEB,求得BD=DE=8,即可得至IJ結(jié)論.

解：BE是一ABC的平分線，

□：ABE=CBE,

□DEBC,

□匚DEB=ZICBE,

□□ABE=JDEB,

BD=DE=8,

AB=AD+BD,

AB=5+8=13.

故選:B.

【點撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定

和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.C

【分析】先根據(jù)等腰三角形三線合一知D為BC中點，由點E為AC的中點知DE為1ABC

中位線，故ABC的周長是！CDE的周長的兩倍，由此可求出BC的值.

解：AB=AC=15,AD平分C3BAC,

匚D為BC中點，

□點E為AC的中點，

匚DE為「ABC中位線,

DE=-AB,

2

□CABC的周長是口CDE的周長的兩倍，由此可求出BC的值.

CAB+AC+BC=42,

BC=42-15-15=12,

故選C.

【點撥】此題主要考查三角形的中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形的三線合一定理.

5.B

【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，以底邊分類討論分別得出個數(shù)，然后合并即可得出結(jié)論

解：若OM為底邊，則滿足條件的點N有1個，在點0的右側(cè)

若ON為底邊，則滿足條件的點N有1個，在點O的右側(cè)

若NM為底邊，則滿足條件的點N有2個，在點O的右側(cè)一個，在點O的左側(cè)一個

由上可知，滿足條件的點N共有4個

故選：B

【點撥】本題考查等要三角形的定義，熟練掌握定義，分情況討論是解本題的關(guān)鍵

6.C

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，利用等腰三角形的判定方法，從右到左依次考慮，即可得到所

有構(gòu)成等腰三角形的情況，得到直線上會發(fā)出警報的點P的個數(shù).

解：當(dāng)尸時，匚8cp為等腰三角形；

當(dāng)P與B重合時，口/PC為等腰三角形；

當(dāng)尸運動到工5邊的中點時，PD=PC,此時PC。為等腰三角形;

當(dāng)P與4重合時，口尸8。為等腰三角形；

當(dāng)以=4。時，口以。為等腰三角形；

當(dāng)月戶MC時，/PC是等腰三角形，這時有2個；

當(dāng)BD=BP時，BDP是等腰三角形，這時有2個；

綜上，直線上會發(fā)出警報的點尸有9個.

故選：C.

【點撥】此題考查了等腰三角形的判定，以及正方形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定是

解本題的關(guān)鍵.

7.D

【分析】根據(jù)條件可知a為銳角，此時畫圖判斷即可.

解：如圖所示，滿足條件的點有4個

1

c3c2。ac

分別是AC3=AB,AB=BC2,AC1=BC,AB=BC.

故選：D

【點撥】此題主要考查了等腰三角形的判定，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵.

8.D

【分析】分別以DA、DB.C為頂角進(jìn)行討論即可求得答案.

解："8C為等腰三角形，

□分三種情況：

當(dāng)以C為頂角時，則有8c=ZC,即點C在線段的垂直平分線上，可知滿足條件；

口當(dāng)以4為頂角時，則有/C=48,由兩直線夾角為50。，可知此時點C只能在直線m的上

方，有一個點；

當(dāng)以8為頂角時，則有/8=C8,此時點C可以在宜線〃1的上方，也可以在直線〃的上

方，有兩個點，

綜上可知滿足條件的C點有4個，

故選：D.

【點撥】本題主要考查等腰三角形的判定，由條件確定出點C的位置是解題的關(guān)鍵，注意

分類討論.

9.D

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定可得答案.

解：如圖所示，滿足條件的點P的個數(shù)有5個，

故選D.

【點撥】本題考查等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論，注意不能漏解.

10.B

【分析】如圖，設(shè)直線1交AD于P”交BC于P?.只要證明四邊形ABP2Pl是正方形，可

知ABPi,ABP2是等腰三角形，作AB的垂直平分線交直線1丁P3，則1ABP3是等腰三

角形，再考慮PBC是等腰三角形，即可解決問題.

解：如圖，設(shè)直線1交AD于Pi,交BC于P2.

四邊形ABCD是矩形，直線1是對稱軸，

四邊形ABP2Pl是正方形，

□AD=2AB,

□API=AP2,

四邊形ABP2Pl是正方形,

ABPi,[ABP2是等腰三角形,

作AB的垂直平分線交直線1丁P3,則ABP3是等腰三角形，

同時滿足匚PBC是等腰三角形的點只有Pi,P3,

□滿足條件的點P共有2個，

故選：B.

【點撥】本題考查矩形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定、正方形的判定和性質(zhì)等知識，解

題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題.

11.D

【分析】利用描點法，描出各個點即可判斷.

解：觀察圖象可知點（4,2）符合題意，不可能構(gòu)成等腰三角形，

6

■3-----------i

?（鈕

-1

-I~__UsI->

12345

故選：D.

【點撥】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握基本知識，屬于中考常考題型.

12.C

【分析】線段AB可為等腰三角形的底邊，也可為腰，所以分情況進(jìn)行討論即可.

解：分兩種情況：

當(dāng)AB為腰長時，存在3個等腰三角形，如圖I所示：

其LpAB=AC時，有1個：AB=BC時，有2個：

□當(dāng)AB為底邊時，有1個，如圖2所示：

ABC是等腰三角形時，這樣的C點有4個.

故選C.

【點撥】本題考查了等腰三角形的判定，運用數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想是正確解答本題

的關(guān)鍵.

13.D

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可求出.

解：UAB=AC,

NABC=ZACB=-(180°-ZA)=-(180°-50°)=65°.

22

由作圖痕跡可知8c=8￡>,

/BDC=ZBCD=65°.

NCBD=1800-ZBDC-NBCD=180°-65°-65°=50°.

故選D.

【點撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)作圖痕跡得出8c=8。是解

答本題的關(guān)鍵.

14.B

【分析】由作圖知AB=BD,28=40°,由三角形內(nèi)角和，BAD=BDA,利用兩角的差

求即可DAC=ZBAC-ZDAC=34°.

解：由作圖知AB=BD,ZB=40°,

180°-ZB1800-40°

BAD=BDA------------=------------=70°,

22

DAC=ZBAC-ZDAC=104°-70°=34°.

【點撥】本題考查尺規(guī)作圖，由圖得結(jié)論，利用三角形內(nèi)角和求出底角，會計算角的和差是

解題關(guān)鍵.

15.D

解：試題分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，要使AOB等腰三角形，可以分兩種情況考慮：

當(dāng)0A是底邊時，作OA的垂直平分線，和坐標(biāo)軸出現(xiàn)交點，當(dāng)0A是腰時，則分別以點O、

點A為圓心，0A為半徑畫弧，和坐標(biāo)軸出現(xiàn)交點.

解：作OA的垂直平分線，交坐標(biāo)軸于兩個點；

口以。為圓心，0A為半徑畫弧，交坐標(biāo)軸于四個點；

□以A為圓心，0A為半徑畫弧，交坐標(biāo)軸于兩個點.

如圖所示，顯然這樣的點有8個.

考點：等腰三角形的判定；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

16.A

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及垂直平分線的性質(zhì)即可判斷.

解：當(dāng)已知等腰三角形的底邊時，可先尺規(guī)作圖作出已知線段，

然后根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可知底邊上的高所在直線為底邊的垂直平分線，

因此作底邊的垂直平分線，并運用尺規(guī)截取高度即可得到等腰三角形的頂點，

最后連接頂點與底邊的兩個端點即可得到等腰三角形，

故選：A.

【點撥】本題主要考查尺規(guī)作圖作一個等腰三角形的原理，理解基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

17.A

【分析】由等腰ABC中，AB=AC,A=40°,即可求得ABC的度數(shù)，又由線段AB的垂

直平分線交AB于D,交AC于E,可得AE=BE,繼而求得DABE的度數(shù)，則可求得答案.

解：UAB=AC,□A=40°,

□□ABC=OC=(180°-DA)+2=70。，

□線段AB的垂直平分線交AB于D,交AC于E,

□AE=BE,

□□ABE=nA=40°,

□□CBE=nABC-DABE=30°,

故選：A.

【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，運

用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵.

18.D

【分析】由□胡。的大小可得口5與口。的和，再由線段垂直平分線，可得□切尸=口瓦口04。

=nc,進(jìn)而可得口為。的大小.

解：□□氏40=110。，口口3+口。=70。，又MP,NQ為AB,ZC的垂直平分線，DBP=AP,

AQ=CQfaOBAP=QBfL]QAC=QC,QQBAP+nCAQ=70°fa\JPAQ=[JBAC-QBAP-

QCAQ=\\00-70°=40°.

故選D.

【點撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和判定.熟練掌握垂直平分

線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵.

19.B

解：試題分析：DAB=AC,

□□B=ZC,

□AB=BD,

□□BAD=nBDA,

□CD=AD,

□□C=CCAD,

□□BAD+UCAD+^B+aC=180°,

□5DB=180°,

□□B=36°

故選B.

考點：等腰三角形的性質(zhì).

20.B

【分析】根據(jù)已知條件利用HL易證IAPRJJAPS,再利用全等三角形的性質(zhì)可得

□PAR=QPAS,AR=AS，從而可證（1）、（2）正確；由AQ=PQ,利用等邊對等角易得□1=口APQ,

再利用三角形外角的性質(zhì)可得PQC=2EH,而（1）中PA是DBAC的角平分線可得

BAC=21,等量代換，從而有PQC=BAC,利用同位角相等兩直線平行可得QPAR,

（3）正確；根據(jù)已知條件可知［BRP與nCSP只有一角、一邊對應(yīng)相等，故不能證明兩三

角形全等，因此（4）不正確.

解：PA平分BAC.PRAB,PSAC,PR=PS,AP=AP,APRAPS,PAR=PAS,

□PA平分BAC；

口由口中的全等也可得AS=AR；

□如圖所示

□AQ=PR,QL1=APQ,PQS=1+!APQ=2D1,又LIPA平分BAC,□BAC=21,

PQS=BAC,PQAR；

PRDAB,PSAC,nnBRP=FlCSP,PR=PS,HiBRP不一定全等與CSP（只具備一

角一邊的兩三角形不一定全等）.

故選B.

【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；做題時利用r平行線的判定、等邊對等角、

三角形外角的性質(zhì)，要熟練掌握這些知識并能靈活應(yīng)用.

21.B

【分析】連接PC,由題意易得=進(jìn)而可得要使/XABP周長為最小，則需滿足

3P+AP為最小，即0C+AP為最小，然后根據(jù)三角形邊角不等關(guān)系可得當(dāng)點/、P、C

三點共線時滿足題意，最后問題可求解.

解：連接尸C,如圖所示：

EF垂直平分BC，

BP=PC.

A8=5,AC=9,3C=10,

△ABP的周長為A6+5尸+AP=5+BP+AP,

若使ZXABP周長為最小，則需滿足BP+AP為最小，即PC+AP為最小，

PC+AP>AC,

n當(dāng)點/、P、C三點共線時，PC+AP為最小，即為NC的長，

△A6尸的周長最小值為5+5P+AP=5+9=14；

故選B.

【點撥】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)定理及三角形邊角不等關(guān)系，熟練掌握線段垂

直平分線的性質(zhì)定理及三角形邊角不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

22.A

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出AC的長即可.

解：|AC-BC|=2cm,

AC-BC=2cm或-AC+BC=2cm,

匚BC=8cm,

□AC=(2+8)cm或AC=(8-2)cm,即10cm或6cm.

故選A.

【點撥】本題考查絕對值和等腰三角形的性質(zhì)，掌握絕對值的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

23.C

【分析】利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，即等腰三角形的定義即可得出.

解：由于三角形的任意兩邊之和大于第三邊，由等腰三角形一邊等于5,另一邊等于8.

當(dāng)8為腰時，此三角形的周長=8+8+5=21.

當(dāng)5為腰時，此三角形的周長=8+5+5=18.

故選：c.

【點撥】本題考查了三角形的任意兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)、等腰三角形的定義及其周長,

屬于基礎(chǔ)題.

24.C

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為5和7,而沒有明確腰是多少，所以要進(jìn)行討論，

還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形.

解：當(dāng)腰為5時，三邊長分別為5,5,7,符合三角形的三邊關(guān)系，則其周長是5x2+7=17；

當(dāng)腰為7時，三邊長為7,7,5,符合三角形三邊關(guān)系，則其周長是7x2+5=19.

所以其周長為17或19.

故選C

【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)；題目涉及分類討論的思想方法，求三角形的周長，

不能盲目地將三邊長相加起來，而應(yīng)養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的好習(xí)慣，把不符合題

意的舍去.

25.C

解：試題分析：口2是腰長時，三角形的三邊分別為2、2、4,12+2=4,□不能組成三角形，

匚2是底邊時，三角形的三邊分別為2、4、4,能組成三角形，周長=2+4+4=10,

綜上所述，它的周長是10.故選C.

考點：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.三角形三邊關(guān)系；3.分類討論.

26.B

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為4和9,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要

進(jìn)行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形.

解：分兩種情況：

當(dāng)腰為4時，4+4<9,不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)腰為9時，4+9>9,所以能構(gòu)成三角形，周長是：9+9+4=22.

故選B.

【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目

一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形，這點非常重要，

也是解題的關(guān)鍵.

27.D

【分析】分類討論腰為4和腰為9,再應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行取舍即可.

解：分兩種情況：

當(dāng)腰為4時，4+4<9.所以不能構(gòu)成三角形；

當(dāng)腰為9時，9+9>4,9-9<4,所以能構(gòu)成三角形，周長足：9+9+4=22.

故選：D.

【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；己知沒有明確腰和底邊的題目

一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點

非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

28.A

解：試題分析：當(dāng)3為腰時，則3+3=6<7,不能構(gòu)成三角形，則等腰三角形的腰長為7,

底為3,則周長為:7+7+3=17.

考點：等腰三角形的性質(zhì)

29.10cm

【分析】由角平分線和平行線的性質(zhì)，等量代換得到，MBO=MOB,再由等角對等邊得到

OM=BM,同理ON=CN,從而求得結(jié)果.

解：二BO平分ABC,

ABO=CBO,

又OMAB,

□□ABO=DMOB,

□□MBO=nMOB,

OOM=BM,

同理ON=CN,

BC=10cm,

則OMN的周長c=OM+MN+ON=BM+MN+NC=BC=10cm.

故答案為：10cm.

【點撥】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

30.4

【分析】根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CD=DE,然后利用“HL”證明

RtACD和RtAED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AC=AE,然后求出AB=BDE

的周長.

解：AD平分BAC,DC=90°,DEAB,

CD=DE,

在RtACD和RtAED中，

AD=AD

CD=DE'

RtDACDRtAED(HL),

□AE=AC,

□AC=BC,

BC=AE,

BDE的周長=BE+BD+DE=BE+BD+CD=BE+BC=BE+AE=AB,

□AB=4cm.

故答案為:4.

【點撥】本題考查角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，掌

握角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是利用線段和

差把三角形的周長轉(zhuǎn)化為AB的長.

31.14C7?J

解：；DE//BC,ZDOB=NOBC，又?/BO是ZABC的平分線，,ZDBO=ZOBC,

ZDBO=ZDOB.BD=OD,同理：OE=EC，r.VADE的周長

=AD+OD+QE+AE=AD~bB計AE+EC=AB+AC=14M

32.2

【分析】作04于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出E凡

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可.

解：作EHEJO/于

QJAOE=JBOE=15°,ECDOB,EHUOA,CEH=EC=\,DAOB=30°.

QEFUOB,U\JEFH=AOB=30°,FEO=\JBOE,QEF=2EH=2,LFEO=」FOE,OF=EF=2.

故答案為2.

【點撥】本題考查了等腰三角形的判定、角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握角的平分線

上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

33.30°或75?；?20°

解：試題解析：當(dāng)點O為等腰三角形頂點時，口人=75。，

當(dāng)點A為等腰三角形頂點時、DA=120°,

當(dāng)點P為頂點時，A=30°,

故答案為30?；?5。或120°.

34.75°或120°或15°

【分析】分為三種情況，先畫出圖形，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出即

可.

解：如圖，有三種情形：

口當(dāng)AC=AD時，EICIABC中，口8=60。，□ACB=90°,

□□CAB=30°,

□AC=AD,

ADC=DCA=—(180°-CAB)=75°；

2

□當(dāng)CD』AD時，

□□CAB=30°,

jaDzCA=0CAB=30o,

□□AD'C=180°-30°-30°=l20°.

□當(dāng)AC=AD〃時,則□ADCDACD",

□□CAB=30°,DAD'C+LACD"=DCAB,

□□AD"C=15。，

故答案為：75。或120?；?5°.

【點撥】本題考查等腰三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分

類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型.

35.6

【分析】分類討論：力8=力。時，45=8C時，，4尸=5。時，根據(jù)兩邊相等的三角形是等腰

三角形，可得答案.

解：」當(dāng)AB=AC時，在y軸上有2點滿足條件的點C,在x軸上有1點滿足條件的點C.

□當(dāng)AB=BC時、在y軸上有1點滿足條件的點C,在x軸上有2點滿足條件的點C,有1

點與AB=AC時的x軸負(fù)半軸的點C重合.

」當(dāng)AC=BC時，在x軸、y軸上各有一點滿足條件的點C,有,1點與AB=AC時的x軸負(fù)

半軸的點C重合.

綜上所述：符合條件的點C共有6個.

故答案為：6.

【點撥】此題主要考查構(gòu)造等腰三角形，解題的關(guān)鍵根據(jù)題意畫出圖形求解.

36.(2,0),(0,2)

【分析】根據(jù)題意，當(dāng)點B在AO的中垂線與坐標(biāo)軸的交點處時，AOB是等腰三角形，

即可得出答案.

解：如圖，作AO的垂直平分線，分別交x軸、y軸于點B、B',則點B、B，就是符合條件

的點，連接AB、AB',

A的坐標(biāo)為(2,2),

□OA平分口BOB。

□CBOE=B，OE=45。，

BB，垂直平分OA,

OB=AB,OEB=AEB=90°,OE=AE,

OBE=90°-BOE=45°,

OEBAEB,

ABE=OBE=45°,

□□OBA=90°,

口DAOB是等腰直角三角形,

□OB=AB=2,

B(2,0),

同理，B'(0,2),

故答案為：(2,0),(0,2).

【點撥】本題考查了的等腰三角形的判定及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的頂角

頂點一定在底邊的垂直平分線上是比較關(guān)鍵的.

37.100°或55°或70。

【分析】作出圖形，然后分點P在AB上與BC上兩種情況討論求解.

解：一如圖1,點P在AB上時，AP=AC,頂角為1A=100°,

□□匚ABC=25°,CBAC=100°,

IEIACB=180°-25°-100°=55°,

如圖2,點P在BC上時,若AC=PC,頂角為□ACB=55。,

如圖3,若AC=AP,則頂角為□CAP=180O-2UACB=18()o-2x55c>=70。，

綜上所述，頂角為105?；?5?；?0°.

故答案為：100°或55?；?0。.

圖3

【點撥】本題考查了等腰三角形的判定,難點在于要分情況討論求解，作出圖形更形象直觀.

38.234

【分析】(1)根據(jù)題意，可先得出底角，然后即可判定直線:

(2)首先斜邊的高符合題意，高的兩側(cè)各有一條：

(3)過90。角頂點有兩條，過60。角頂點有兩條.

解：(1)如圖所示的兩條虛線：

故答案為：2；

(2)如圖所示的3條虛線:

故答案為：3；

(3)如圖所示4條虛線:

故答案為：4.

【點撥】此題主要考查等腰三角形以及直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握，即可解題.

39.6或18

【分析】分點P在線段0C上和點P在線段0B上兩種情況，分別根據(jù)等腰三角形的定義列

出等式，求解即可得.

解：由題意，分以下兩種情況：

(1)點P在線段0C上時，若APOQ是等腰三角形，則只有OP=OQ才滿足

因此有18-2t=t

解得t=6(s)

(2)點P在線段OB上時，若APOQ是等腰三角形，

ZAOB=0)°

APOQ也是等邊三角形

因此有2t-18=t

解得t=18(s)

綜上，當(dāng)t等于6s或18s時，APOQ是等腰三角形

故答案為：6或18.

【點撥】本題考查了等腰三角形的定義，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

40.(3,2)(3,-2).

【解析】

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后作出AB的垂直平分線，點C就在AB的垂宜平分線

上，且到AB的距離為2,故C點有兩種情況，C在第一象限，C在第四象限.

解：如圖所示：作AB的垂直平分線CD,

A(1,O)和B(5,0),

D(3,0),

口高為2,

□CD=2,

C(3,2)(3,-2).

故答案為(3,2)(3,-2).

【點撥】此題考查坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題關(guān)鍵在于畫出圖形.

41.20°

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

解：?.?在RtAABC中，ZACB=90°,44=50°,

ZB=40°,

?;BC=BD，

ZBCD=ZBDC=g(180。-40°)=70°,

NACO=9()。-70°=20°.

故答案為：20°

【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，正確的理解題意是解題的關(guān)

鍵.

42.63°

【分析】依次根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得：ZACfi=ZA=18".由三角形外角的性質(zhì)得:

NC3。和NOCE的度數(shù)，最后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理可得結(jié)論.

解：如圖，連接CD,

□AB=BC,

NACB=NA=18°，

ZCBD=ZA+ZACB=36°，

BC=CD=CE,

ZCBD=4CDB=36°，ZCDE=ZCED，

ZDCE=NA+NCDB=18°+36=54°，

180-54

ZAED63°,

2

故答案為：63?

【點撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)以及對于三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)

角和的應(yīng)用.

43.6

點睛：（1）分別以點A、B為圓心，AB為半徑畫,A和6B,兩圓和兩坐標(biāo)軸的交點為所

求的P點(與點A、B重合的除外)；(2)作線段AB的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸的交點為所

求的P點(和(1)中重復(fù)的只算一次).

44.67.5°

【分析】根據(jù)利用三角形內(nèi)角和定理求出〔ABC,ACB的度數(shù)，再利用等腰三角形

的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出08c=30。,然后即可求出的度數(shù).

解：AB=AC,

ZI匚X8C=ACB,

□□J=30°,

ABC=ACB=-(180°-30°)=75°,

2

以B為圓心,8C長為半徑畫弧，

BE=BD=BC,

^LBDC=ACB=15°,

□ICBD=180o-75°-75o=30°,

□□Z>5￡=75°-30o=45°,

BED=BDE=-(180°-45°)=67.5。,故答案為67.5。.

2

【點撥】本題主要考查了學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識點的理解和掌

握，此題的突破點是利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出DBG30。,然后即可求

得答案.

45.9.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)即可求解.

解：因為ABC是等腰三角形，所以有AB=AC,BAD=CAE,ABD=ACE,所以ABD三

□ACE(ASA),所以BD=EC,EC=9.

【點撥】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定與性質(zhì).

8Tl

46.一或一

54

【分析】可知等腰三角形的兩底角相等，則可求得底角的度數(shù).從而可求解

解：

1QA°_QA°

當(dāng)NA為頂角時，等腰三角形兩底角的度數(shù)為：=50°

2

80n8

特征值&=

方一二

當(dāng)NA為底角時，頂角的度數(shù)為：180°—80°—80°=20。

特征值k=勺20°=上1

804

Q1

綜上所述，特征值&為2或上

54

O1

故答案為一或一

54

【點撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，要注意到

本題中，已知NA的底數(shù)，要進(jìn)行判斷是底角或頂角，以免造成答案的遺漏.

47.80

【分析】利用等邊對等角以及三角形外角定理，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求得答案.

解：BD=BC,nC=25°,

4BDC=NC=25。,

ZABD=ZBDC+NC=50°,

AD=BD

ZABO=ZA=50。，

在?ABD中，

ZADB=180°-(ZA8O+ZA)=180°-100°=80°

故答案為：80

【點撥】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；利用三

角形外角求得，ABD=50。是正確解答本題的關(guān)鍵.

48.36

【解析】

分析：題中相等的邊較多，目都是在同一個三角形中，因為求“角''的度數(shù)，將“等邊”轉(zhuǎn)化為

有關(guān)的“等角”，充分運用“等邊對等角”這一性質(zhì)，再聯(lián)系三角形內(nèi)角和為180。求解此題.

詳解：1BD=BC,□nC=ITBDC,「AB=AC,inABC=lC,

匚BD平分匚ABC,□ABD=JCBD,又BDC=DA+DABD,

□□C=JBDC=20A,又一A+LABC+CC=180°,CUA+2UC=180°

把C=2A代入等式，得A+2x2A=180°,解得】A=36。.

點睛：本題反復(fù)運用了“等邊對等角“，將已知的等邊轉(zhuǎn)化為有關(guān)角的關(guān)系，并聯(lián)系三角形的

內(nèi)角和及三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)求解有關(guān)角的度數(shù)問題.

49.19

【解析】試題解析：當(dāng)腰長為3時，則三角形的三邊長為：3、3、8；

□3+3V8,

口不能構(gòu)成三角形；

因此這個等腰三角形的腰長為8,則其周長=8+8+3=19.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；對于已知沒有明確腰和底邊的

題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答,

這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

50.15

［分析］分邊長3為腰和6為腰進(jìn)行討論求解即可.

解：口一個等腰三角形的邊長分別是3