導(dǎo)數(shù)解答題【一線精研】2022年高考數(shù)學(xué)解答題強(qiáng)化訓(xùn)練

解答題強(qiáng)化訓(xùn)練：導(dǎo)數(shù)

1、已知函數(shù),f(x)=e*+alnx.

(1)若/(x)在(0,+?)單調(diào)遞增，求”的取值范圍.

(2)若a<0,且/(%)-e,求a.

2、已知函數(shù),f(x)=%2+ac+lnx,aeR.

(I)若/(x)存在兩個(gè)極值，

(1)求a的取值范圍；(2)證明：函數(shù)/(x)存在唯一零點(diǎn).

(II)若存在實(shí)數(shù)占，x2,使/'(玉)+/'(馬)=0,且々<玉<2%2,求/(%)—/(￡)的

取值范圍.

3、設(shè)函數(shù)=+一?(aeR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)/(力為的導(dǎo)函數(shù),記g(x)=/'(x),證明：當(dāng)-"3<。<0時(shí),函數(shù)g(x)

有兩個(gè)極值點(diǎn).

4、已知函數(shù)f(x)=a(x-lnx)+“(a為實(shí)數(shù)).

X

⑴當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)/*)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

5、已知/(x)=&sinx+2x.

(1)當(dāng)％=2時(shí)，判斷函數(shù)/“)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑵求證：-sinx+2x>ln(x+l)|xe(0,]))；

⑶若/(x)>ln(x+1)在恒成立，求上的最小值.

6、已知函數(shù)〃x)=e，+cosx-2,/'(X)為/(x)的導(dǎo)數(shù).

(1)當(dāng)X20時(shí)，求廣(X)的最小值；

7T

(2)當(dāng)工？一5時(shí)，xex+xcosx-ax2-2x>0,求〃的取值范圍.

7、已知函數(shù)/(x)=」In三r.

x-1

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性;

(2)已知2>0,若存在xw(l,*o)時(shí)，不等式2x2-2xNl，-i》nx成立，求人的取值范圍.

8、已知f(x)=Inx+ax+l(a￡R),/(%)為/(%)的導(dǎo)函數(shù).

(1)若對(duì)任意％>0都有/(%)40,求a的取值范圍；

(2)若0</<%2,證明：對(duì)任意常數(shù)a,存在唯一的&€(修/2)，使得/'(a)=色上區(qū)電

%1一42

成立.

9、已知函數(shù)/(x)=ln2%+av+2.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

_2

(2)若函數(shù)g(x)="x)-2xe“'M有且只有牛弓兩個(gè)零點(diǎn)，證明：、+士>&.

10、已知函數(shù)/(x)=asinx+sin2x,awR.

(1)若/。)在(0,1)上有極值點(diǎn)，求。的取值范圍；

(2)若a=l,時(shí)，f(x)>bxcosx,求。的最大值.

sin尤

11、已知函數(shù)/(x)=----,g(x)=mcosx-x,m>0.

X

(1)討論函數(shù)/(X)在(一%,0)U(0,?)上的單調(diào)性；

(2)若方程〃礦(x)=g(x)在區(qū)間(0,苫)上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求機(jī)的取值范圍.

c1ny-L-f

12、已知函數(shù)/(刈=把『?的導(dǎo)函數(shù)為f(x),其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

e

(1)若去°eR,使得/''(%)=0,求實(shí)數(shù)f的取值范圍；

(2)當(dāng)r=2時(shí)，Vxe[0,+8),/'(x)+e*T)*N0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

13、已知函數(shù)/(幻=岑.

e

(1)討論/*)的單調(diào)性；

⑵若對(duì)于Vxe04,/(x)W"恒成立.求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

14、一個(gè)玩具盤由一個(gè)直徑為2米的半圓。和一個(gè)矩形ABCD構(gòu)成，AB=1米，如圖所

示.小球從A點(diǎn)出發(fā)以8y的速度沿半圓。軌道滾到某點(diǎn)E處后，以3y的速度沿與點(diǎn)E切

線垂直的方向彈射到落袋區(qū)8C內(nèi)，落點(diǎn)記為尸.記NA0E=6,

AB

(1)用。表示小球從A到F所用的時(shí)間于3)；

(2)當(dāng)小球從A到尸所用的時(shí)間最短時(shí)，求cos。的值.

15、已知函數(shù)/(%)=爐-公2-sinx,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)

(1)求/(x)在x=0處的切線方程；

(2)當(dāng)xNO時(shí)，/(x)>1-x-sinx,求實(shí)數(shù)a的最大值；

⑶證明：當(dāng)■時(shí)，/(力在x=0處取極小值.

Z7y_1_4

16、已知函數(shù)=r---(%>1).

(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)/(X)的圖象在(e,/(e))處的切線方程；

(2)若對(duì)任意xe(l,+8),不等式“x)Nlnx+4恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(其中

為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

17、已知函數(shù)/(x)=ae*-x-a.

(1)若/(x)20,求a的值；

(2)當(dāng)。21時(shí)，從下面①和②兩個(gè)結(jié)論中任選其一進(jìn)行證明，

①/(x)>xlnx—sinx；?/(x)>x(lnx-l)-cosx.

18、設(shè)函數(shù)〃x)=ae2x-2e'+2.

(1)若/(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若函數(shù)8(司=；枇2，+(。一2卜*一267有兩個(gè)極值點(diǎn)對(duì)々，證明：

g(W)-g(%))21

x2-x,a

19、已知函數(shù)/(x)=%2-/nx,其中加>0.

(1)若機(jī)=2,求函數(shù)/(x)的極值；

(2)設(shè)g(x)=4(x)-l.若g(x)>0在(1,m)上恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

20、已知函數(shù)/(x)=(k為常數(shù)，=2.71828……是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線y=/(x)

e

在點(diǎn)(1,/(1))處的切線與X軸平行。

(1)求A的值；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)設(shè)g⑴=(/+x)/"),其中尸(幻為/(》)的導(dǎo)函數(shù)，證明：對(duì)任意x>0,

g(x)<l+e-2.

參考答案

1、已知函數(shù)/(x)=e*+alnx.

(1)若/(力在(0,+8)單調(diào)遞增，求〃的取值范圍.

(2)若"0,K/(x)>e,求a.

X

解：(1)因?yàn)椤▁)=e'+alnx定義域?yàn)?0,+8),/(x)=e'+-=

XX

若aNO時(shí)/'(可=1+￡>0,所以/(x)在(0,+巧單調(diào)遞增，滿足條件；

若"0時(shí)，令〃(x)=xe*+a,則〃'(x)=(x+l)e*,所以當(dāng)x〉0時(shí)〃'(x)>0,即

〃(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，又〃51n(-.)卜不J工［ln(-a)-2j工］<0,

/z(-a)=-?e-w+a=-a(-l+e-")>0,

所以3Aoe(0,+x)),當(dāng)彳?0,不)時(shí)〃(x)<0,即外力<0,所以/(x)在(0,%)上單

調(diào)遞減，

當(dāng)X€(X(),+8)時(shí)〃(X)>O,即/'(X)〉O,

所以/(X)在(天,一)上單調(diào)遞增，不符合題意，

綜上可得a20

(2)若a<0,由⑴可知當(dāng)1G(0,+oo),/(X)在(0,5)上單調(diào)遞減，在小,+8)上

單調(diào)遞增，且x°e-+。=0,所以“X)的最小值為

x

/(%)=e~+aInxQ-e*-xoe°In/=e"'(1—/In/),

令g(x)=e*(l-xlnx),則g'(x)=-(l+x)e*lnx,

所以當(dāng)0cx<1時(shí)g'(x)>0,當(dāng)x>l時(shí)g'(x)<(),

故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以g(x)Wg(l)=e,

由/(x)2e,所以當(dāng)且僅當(dāng)/(%)=e,即%=1時(shí)條件成立，所以a=-e

2、已知函數(shù)=f+G；+lnx,awR.

(I)若/(x)存在兩個(gè)極值，

(1)求a的取值范圍；(2)證明：函數(shù)/(x)存在唯一零點(diǎn).

<II)若存在實(shí)數(shù)$,x2，使/'(%)+/'(%2)=(),且N<%<2巧,求/(^)-/(x2)的

取值范圍.

0r~J-/Ir4-1

解：(I)⑴根據(jù)題意，ra)=——-——,x>o

方程2必+改+1=0有2個(gè)正根團(tuán)，〃，(不妨設(shè)機(jī)<〃)，

△>0

故<a,解得：av-2V5；

——>0

4

(ii)證明：易知/'(x)在犬二m時(shí)取極大值，在工二〃時(shí)取極小值，

由(i)知2/7?+。加+1=0,故=—租2+ln〃z-l,

2+lnx-L故g'(x)=」-2x,由g'(x)=L-2x=0,解得x=

令g(x)=T

故g(x)4g

故/(〃2)<0,/(X)至多只有1個(gè)零點(diǎn)，

又/(—a)=ln(—a)>0,故“X)存在唯一零點(diǎn);

—產(chǎn)

(II)由題意知：2M+aH---F2x?+aH---=0,即Q

2中2

▲伍一強(qiáng)]+ln%,

故/(X])-/(X2)=-x；+a(x]-x2)+ln—=-

X2212%

設(shè)，=今€(1,2),記〃(')=—；+/+ln/,"?)=_&-+1T<O,

7

故硝)遞增，故(〃⑵

3ln2,0j,即/(玉)—/(9)取值范圍是(—1+ln2,0).

即W)e——+

4

3、設(shè)函數(shù)〃同二加一”+；辦2-辦(?！瓿?.

(1)討論函數(shù)“X)的單調(diào)性；

(2)/'(X)為/(%)的導(dǎo)函數(shù)，記g(x)=7'(x),證明：當(dāng)一時(shí),函數(shù)g(x)

有兩個(gè)極值點(diǎn).

x2-

解：(1),,,f(x)=xe~+ax'-ax{aGR)的定義域是R,

，、^z—心1)

/.1(力=e~x—xerX+ax—a=e-*)=-------------

①當(dāng)々<0時(shí)，a/-ivo,令r(%)>o,得％<1；令r(%)〈o,得%>1.

②當(dāng)〃>0時(shí)，令/'(x)=0，得x=-lna或x=l；

當(dāng)時(shí)，令/'(力>0,得xv—Ina或％>1；令/'(x)<0,得一lna<x<l；

e

當(dāng)4時(shí)，r(x)NO恒成立，且僅在％=1處/'(x)=0；

當(dāng)0<a<一時(shí)，令/'(x)>0,得x<l或x>—Ina；

e

令/'(x)<。，得l<xv-lnQ.

綜上，當(dāng)a40時(shí)，函數(shù)/(X)在區(qū)間(-?U)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0<a<J時(shí)，函數(shù)“X)在區(qū)間(—8,1),(―Ina,+動(dòng)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,—Ina)

上單調(diào)遞減；

當(dāng)a=L時(shí)，函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增；

e

當(dāng)a>：時(shí)，函數(shù)/(%)在區(qū)間(f,—Ina),(1,物)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(—Ina,1)上單

調(diào)遞減.

(2)證明：由題意得g(x)=「(x)=(l-x)"*+a(x-l),則g，(x)=(x-2)eT+a.

要使函數(shù)g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則方程g'(x)=0有兩個(gè)不同的根，且這兩根的左、右兩側(cè)

g'(x)的函數(shù)值異號(hào).

令M%)=g'(x),則p'(x)=(3—x)eT,

令〃'(x)>0,得x<3,令〃'(x)<0,得x>3,

二函數(shù)g'(x)在區(qū)間(YO,3)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)遞減.

則函數(shù)g'(x)在x=3處取得極大值，也是最大值.

當(dāng)<。<0時(shí)，g<3)=e3+。>0且8，(2)=。<0,

.卬⑵/⑶<0,

即函數(shù)g'(x)在區(qū)間(2,3)上至少存在一個(gè)零點(diǎn)機(jī)

又?.?函數(shù)g'(x)在區(qū)間(TO,3)上單調(diào)遞增，

函數(shù)g'(x)在區(qū)間(7,3)上存在唯一的零點(diǎn)m,

且當(dāng)xw(-oo,m)時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)尤時(shí)，g'(x)>0,

X=機(jī)是函數(shù)g(X)的極小值點(diǎn).

下面證明函數(shù)g(X)在區(qū)間(3,+8)上存在唯一的極大值點(diǎn).

先證：當(dāng)尤>3時(shí),ex>x2-

令/7(x)=e*-x2,h(3)=e3-9>0,

=2x,/zf(3)=e3—6>0,

令q(x)="(x),

當(dāng)x>3時(shí)，q'(x)=ex-2>e3-2>0,

；?函數(shù)"'(x)在區(qū)間(3,心)上單調(diào)遞增，

7z,(x)>//(3)>0,

人(%)在區(qū)間(3,+oo)上單調(diào)遞增,h(x)>/1(3)>0,

即ex>x2(x>3).

當(dāng)x>3時(shí)，取/=一］〉/>3,

a

g，(％)=(%-2)e-與+。=X-)~+a<今+a<W+a='+a=-a+a=。，

ee

由零點(diǎn)存在性定理，得函數(shù)g'(x)在區(qū)間(3,X。)上至少存在一個(gè)零點(diǎn).

又函數(shù)g'(x)在區(qū)間(3,+8)上單調(diào)遞減，

..?g'(x)在區(qū)間(3,+8)上存在唯一的零點(diǎn)〃，

且在區(qū)間(3,〃)上，g'(x)>0,在區(qū)間(〃,”)上，g'(x)<0,

X="是函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn).

綜上，函數(shù)g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn).

4、已知函數(shù)f(x)=《-a(x-lnx)+a(“為實(shí)數(shù)).

X

⑴當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)/*)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)〃x)在(0,1)內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：(1)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?。，+8),尸(》)=注』-/1-'］=如坐上也

xVx)x

當(dāng)。=-1時(shí)，ex-ax=ex+x>0,

所以當(dāng)xe(0,l)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)xw(l,+8)時(shí)，f'(x)>0.

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),遞增區(qū)間為(1,物).

(2)由(1)知，當(dāng)a,0時(shí)，/(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，

所以〃x)在(0,1)內(nèi)不存在極值點(diǎn)；

當(dāng)。>0時(shí)，要使函數(shù)/㈤在(0,1)內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)，

貝="一［)(；、_")=0在(0,1)內(nèi)存在唯一變號(hào)零點(diǎn)，

即方程e"-ar=0在(0,1)內(nèi)存在唯一根,

所以〃=—在(0,1)內(nèi)存在唯一根,

即y=a與g(x)=F的圖象在(0，1)內(nèi)存在唯一交點(diǎn),

因?yàn)?(》)=生陰<0,

x

所以g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減.又g(D=e,

當(dāng)XfO時(shí)，g(%)一+8,

所以4>e,即。的取值范圍為(e,+8).

5、已知/(x)=Zsinx+2x.

(1)當(dāng)％=2時(shí)，判斷函數(shù)/*)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

7C

(2)求證：-sinx+2x>ln(x+l)犬￡0,

⑶若/(x)>ln(x+1)在xe〔O,多恒成立，求上的最小值.

解：⑴當(dāng)k=2時(shí)，/'(x)=2cosx+2N0,/(x)=2sinx+2x在R上單調(diào)遞增，

/(0)=0,/*)只有一個(gè)零點(diǎn)犬=0；

⑵設(shè)g(x)=2x-sinx-ln(x+l),當(dāng)時(shí)，g'(x)=2-cosx---^>0,

所以g(x)在xe(og)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(O)=O,所以2x-sinx-ln(x+l)>0,

-sinx+2x>ln(^+1),

⑶解法一：當(dāng)心一1時(shí),由(2)得/(x)W-sinx+2x>ln(x+l),恒成立.

當(dāng)k<—1時(shí)，設(shè)/?(x)=/(x)-ln(x+1)n〃'(x)=2+Acosx---=-ksinx+-------------->0

萬(幻在x《0,￡|上單增，"))=八1<0,"9=2-於>0由零點(diǎn)定理，/(/)=(),所

以〃(幻在(0,x°)上減，口%)<〃(0)=0不恒成立,所以％的最小值為T.

解法二：設(shè)人(幻=/W-ln(x+l)=>/f(x)=2+Zcosx1.

x+1

①當(dāng)左"1時(shí)，"(x)=Acosx+2-9>0,心)在(09單增，力。)>〃(0)=0,

JT

/。)>1心+1)在工€(0,5)恒成立.

(2)當(dāng)Av-i時(shí)，設(shè)力(x)=/(x)-ln(x+1)=>h\x)=2+kcosx---=>hn(x)=-k.sinx+——5―^>0

x+1(x+1)

/i(x)增，“(0)=%+1<0,“e)=2-1二>0由零點(diǎn)定理，/(x°)=0,所以

2

3)在(0')上減,g))vMO)=O不恒成立,所以女的最小值為-1.

6、已知函數(shù)/(x)=e，+cosx-2,/'(X)為/(X)的導(dǎo)數(shù).

(1)當(dāng)XNO時(shí)，求/'(X)的最小值；

JT

(2)當(dāng)工之一5時(shí)，xe。+xcosx-or?_2工之0恒成立，求。的取值范圍.

解:(1)/r(x)=ev-sinx,令g(x)=e*-sinx,x>0,則g'(x)=e'-8sx.

當(dāng)㈤時(shí),g'(x)為增函數(shù)，g'(x)Ng'(O)=O；當(dāng)%?兀,+8)時(shí)，gr(x)>eH-l>0.

故xNO時(shí)，g'(x)NO,g(x)為增函數(shù),故g(x)min=g(°)=l，即)(%)的最小值為L

(2)令/z(x)=e"+cosx-2-a￥,//(x)=ev-sinx-?,

則本題即證當(dāng)Xz時(shí)，x?“恒成立.

當(dāng)時(shí)，若xNO,則由(1)可知，/Z(x)>l-a>0,所以網(wǎng)力為增函數(shù)，

故〃(力士〃(0)=0恒成立,即恒成立;

grrr

若xe--,0，則/!"(x)=e*-cosx,/?"(x)=e、+sinx在一萬,0上為增函數(shù)，

又〃”(O)=l,/rf-|l=e^-l<0,故存在唯一與€(-]()),使得心(毛)=0.

當(dāng)時(shí)，6a(力<0，/?"(x)為減函數(shù)；xe(%,0)時(shí)，F(xiàn)(x)>0,6"(x)為增函

數(shù).

又"]-5=>>0，"⑼=0,故存在唯一外使得〃"(xJ=O.

故xjgxj時(shí)，/小)>0,〃'(x)為增函數(shù)；xe(%,0)時(shí)，〃"(xJ<0,〃'(x)為減函數(shù).

又〃(一5)=e2+l-a>0,/i'(0)=l-a>0,所以xe-pO時(shí)，〃'(x)>0,為增函

數(shù)，

故〃(x)4〃(O)=O,即x/(x)N0恒成立；

當(dāng)”>1時(shí)，由(1)可知〃(x)=e*-sinx-a在[0,+oo)上為增函數(shù)，且力'(0)=1-a<0,

/i'(l+a)>e,+a-l-a>0,

故存在唯一七e(O,e)，使得”(毛)=0.

則當(dāng)彳?0,X2)時(shí)，〃(x)<0,人(另為減函數(shù)，所以〃(x)</?(0)=0,此時(shí)x-〃(x)<0,

與x-〃(x)ZO恒成立矛盾.

綜上所述，a<\.

7、已知函數(shù)八幻=".

x-\

⑴討論函數(shù)/。)的單調(diào)性；

⑵已知彳>0,若存在xe(l,+?)時(shí)，不等式〃2-〃N(*-l)lnx成立，求4的取值范圍.

解：(l)y=f(x)的定義域?yàn)橛?1)51,田)

因?yàn)?。)=卑，所以H公「一：一””.

I/(%)-(x-1)2

11—Y

令g(x)=l------Inx,則g'(x)=—

XX

所以函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(o,1)單增；在區(qū)間(1,+oo)單減.

又因?yàn)間⑴=0,所以當(dāng)xe(0,l)U(l,+8)時(shí)g(x)<0,f\x)<0

所以函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,1),(LW)上均單調(diào)遞減；

⑵-ijlnx,(x-l)ln*-l)lnx

當(dāng)2>0,x>l時(shí)x—1>0,所求不等式可化為/2誓，即

,??2>o易知e"w(l,+8),

由(1)知，丁=/。)在。,“0)單調(diào)遞減，故只需小，在。,”)上能成立.

In丫

兩邊同取自然對(duì)數(shù)，得2%<lnx,即幾工一在。,m)上能成立.

x

人,、Inx,、，/、1-lnx

令*(x)=----(zX>1),prlillj(p(x)=_—,

XX

當(dāng)X￡(l.e)時(shí)，"(x)>o,函數(shù)y=p(x)單調(diào)遞增；當(dāng)X￡(e,+oo)時(shí)，質(zhì)(x)<0,函數(shù)

y=°(x)單調(diào)遞減，

???e(x)max=e(e)=L所以又4>0，故幾的取值范圍是(02.

ee\e_

8、已知/(x)=Inx+QX+1(Q￡R),/'(%)為/(%)的導(dǎo)函數(shù).

(1)若對(duì)任意x>0都有/(%)40,求Q的取值范圍；

(2)若0</<%2,證明：對(duì)任意常數(shù)a,存在唯一的Xoe(//2)，使得f'&))=’&)-"冷)

X

l-X2

成立.

解：(1)因?yàn)?(%)=：+。=?0>0),

所以，當(dāng)a20時(shí)，/(l)=a+l>0不符合題意.

當(dāng)a<0時(shí)，令/(x)<0,得x>—工；

令r(x)>0,得0<%<一,所以/。)在區(qū)間(0,-?上單調(diào)遞增，在區(qū)間(一；,+8)上單調(diào)

遞減，由題得/(-￡)=In(—￡)WO,解得aw—l.

所以Q<—1,綜上所述Q<—1.

(2)證明：設(shè)g(x)=/'(x)一色上&以，問題轉(zhuǎn)化為g(x)在區(qū)間a/2)上有唯一的零點(diǎn)，

X1-X2

由g(x)=f'(x)-、％)-**)=三+0-lnx3+a%i-\nx2-ax2

〃

Jx±-x2xXi-x2

易知g(x)在區(qū)間(巧,小)上單調(diào)遞減，故函數(shù)g(x)在區(qū)間(xi，小)上至多有1個(gè)零點(diǎn),

InXi+ax-\nx-ax

由。(%1)=/(右)一管醇=-4-a—±22

X1xi-x2

1她口也=」_(1一起+ln馮

%!—X2X1—X2\%i%1/

同理,得g(》2)=卷(￡_l+ln募),

由(1)知，當(dāng)@=一1時(shí)，Inx-%4-1<0,當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)取等號(hào),

因?yàn)?V%iV%2，所以包>1，所以In也一上

X15小

又因?yàn)榧础挂?lt;0,所以g(xD>0,

"1一42

因?yàn)?<%1<%2，所以0<包<1，

X2

所以］n&?—匕+1<0,即m包+包-1>0,

%2%2必%2

又因?yàn)榕c一》2<0,即二一<0,所以g(%2)<0，

X1-X2

由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知g(x)在區(qū)間(與,女)上有唯一的零點(diǎn)，即存在唯一的沏e(的,犯)，使

得廣()=改止皿成立.

Xl-X2

9、已知函數(shù)/(%)=ln2x+ar+2.

(1)討論F(x)的單調(diào)性;

_2

(2)若函數(shù)8(*)=/(力一2疣"3有且只有牛毛兩個(gè)零點(diǎn)，證明："+*>。

解：⑴因?yàn)閒(x)=ln2x+ar+2(x>0),所以:(x)='+a.

若a20,則/'(x)>0恒成立；

若"0,令/'(力=0,解得x=J,

當(dāng)xe(0,-g卜寸，/(x)>0；當(dāng)+?>)時(shí)，，/'(力<。，

綜上所述，當(dāng)a20時(shí)，〃x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+?)；

當(dāng)a<0時(shí)，.“X)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,-￡),單調(diào)遞減區(qū)間為卜+8

(2)g(x)=/(x)-2xem+1=ln2x-2xe<u+1+ar+2=ln(2xe<1,+l)-2Ae,u+,+l,

令t=2xe<u+l,Z>0,則In(2xe“*)-2xem+l+1=ln?-r+l,

令函數(shù)力⑺=ln，T+l(r>0),則,

可得/?(［)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,一)上單調(diào)遞減，

又由力(1)=0,所以g)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)/=1,即2代小田=1,

故函數(shù)g(x)有且只有X八占兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)e(X)=2底“川-I(x>0)有且只有占,X2兩個(gè)零

點(diǎn)，

可得”(同=2(1+依卜“'+1,

若020,則夕'(x)>0恒成立，G(x)在(0,+0上單調(diào)遞增，

則。(x)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；

若”0,則當(dāng)x￡(0,-￡|時(shí)，陽x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(-：,+oo］，d(x)<O，e(x)單調(diào)遞減.

當(dāng)xf0或xf+oo時(shí)，e(x)<0,故要使9(x)有占丹兩個(gè)零點(diǎn)，

則需彳-%->>。，即.230,

不妨令()"<」<%,,

a

今函數(shù)H(x)=9(力一夕(—■--VJ—2xe<n+l+(—F2］卜-"'一，()<x<—),

則，

因?yàn)橐?<。<0,0<不<一,，所以0￥+1>0工小+|>1,

a

故"'(x)>O,”(x)在(0,-￡|上單調(diào)遞增，

又因?yàn)?(一：)=0,所以”(xJvO,即9(為)=8(“2)<夕(一：一%}

因?yàn)橐唬垡黄?gt;-：,0(工)在［-,,+e)上單調(diào)遞減，

22

X)>----X.耳+與〉—

所以~?，即?.

10、已知函數(shù)/(x)=asinx+sin2x,aeR.

(1)若/(x)在(0，1^上有極值點(diǎn)，求。的取值范圍；

(2)若a=l,無€[0,丁1時(shí)，f(x)>bxcosx,求b的最大值.

解：(1)1(x)=acosx+2cos2x=4cos?x+acosx-2,

依題意，尸(無)有變號(hào)零點(diǎn)，令cosx=r,貝也e(O,l),

所以8。)=472+4一2=0在(0,1)有實(shí)根，注意到△>(),

所以g(O>g(l)<O,解得。>一2,即ae(-2,+o>).

(2)a=lff(x)=sinx4-sin2x,

當(dāng)了￡g夸卜寸，f(x)>Q>bxcosx,顯然成立；

當(dāng)時(shí)，cos尤>0,所以tanx+2sinXN〃x.

記A(x)=tanx+2sinx-/?x,

則版％)20恒