數(shù)學(xué)同步測(cè)控：含有絕對(duì)值的不等式的證明

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測(cè)控我夯基，我達(dá)標(biāo)1。設(shè)｜x+z｜＜｜y|（x、y、z∈R）,則（)A。｜x｜＞|z｜—|y｜B.|x｜＞｜y｜—|z|C.|x|＜｜z|—｜y｜D。｜x|＜｜y｜-|z｜解析:∵｜x+z|＜|y｜，而｜x+z|≥|x|-｜z|,∴|x｜-｜z｜＜|y｜，即｜x|＜｜y|+|z|或｜z｜-｜x｜＜|y|,即｜x|＞|z|-｜y｜。答案：A2。若|x—a｜＜ε,｜y—|＜ε,則下列不等式成立的是（）A。|x-y｜＜εB。|x—y｜＞εC.|x—2y|＜3εD。|x—2y｜＜2ε解析:∵｜y-｜＜ε，∴｜2y-a|＜2ε?！啵▁—a）—(2y—a）|=|x—2y｜＜|x—a｜+｜2y—a|＜ε+2ε=3ε.答案:C3。a、b∈R,ab＜0，則有()A.｜a+b|＞|a—b|B.|a+b|＜|a-b|C。|a|+｜b|＞｜a-b｜D。｜a｜—｜b|＞｜a—b|解析:取特殊值a=3,b=-2逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.答案：B4。已知f（x)=,a、b∈R,且a≠b,若A=｜f（a)—f（b)｜,則(）A。A≤｜a—b｜B。A≥|a—b｜C。A＜|a—b|D。A＞｜a—b|解析：A=|f（a)-f（b）|=|｜=≤｜a—b|＜｜a-b|.答案：C5.若x＜5,n∈N,則下列不等式成立的是()A。|xlg｜＜5|lg｜B.｜x｜lg＜5lgC。xlg＜5|lg｜D。｜x｜lg＜5|lg｜解析:∵0＜＜1,∴l(xiāng)g＜0.由x＜5并不能確定|x｜與5的關(guān)系,∴可以否定A、B、C.而｜x｜lg＜0，∴D成立.答案:D6。已知a、b、c∈R,且a＞b＞c,則有(）A。|a｜＞｜b|＞|c｜B.|ab｜＞|bc｜C.｜a+b|＞|b+c｜D。|a—c｜＞|a-b|解析：由a＞b＞c不能確定a、b、c的正、負(fù),即不能確定它們的絕對(duì)值的大小,∴A、B、C都不確定。但a-c＞0，a-b＞0,且a-c=(a-b)+(b-c)＞a-b＞0,∴|a-c|＞|a-b|.答案：D7.若｜a-c|＜b，則下列不等式不成立的是（）A.｜a｜＜|b|+｜c(diǎn)|B。|c｜＜|a｜+｜b｜C。b＞｜｜c(diǎn)｜—｜a|｜D。b＜｜｜a|—｜c(diǎn)｜|解析：∵｜｜a|—｜c(diǎn)｜｜≤|a-c|＜b，∴選D。答案：D8.已知h＞0，a、b∈R，命題甲：|a—b|＜2h，命題乙:|a-1|＜h且|b—1｜＜h,則甲是乙的（）A。充分不必要條件B。必要不充分條件C。充要條件D。既不充分又不必要條件解析：∵|a-1｜＜h,|b-1｜＜h,∴｜a-b|=|(a-1）—（b-1)|≤｜a-1｜+|b-1|＜2h成立。但由｜a-b|＜2h成立，不一定有｜a-1|＜h且｜b—1|＜h，∴甲是乙的必要不充分條件。答案：B我綜合，我發(fā)展9.不等式≥1成立的充要條件是_______________。解析:≥1由|a+b｜≥|｜a|—｜b｜|≥｜a|—｜b|恒成立,∴|a｜＞|b|.答案:｜a｜＞｜b|10。設(shè)|a｜＜1、|b|＜1，則|a+b｜+｜a—b|與2的大小關(guān)系為_(kāi)_______________。解析：當(dāng)a+b與a-b同號(hào)時(shí),|a+b|+｜a-b|=|(a+b）+(a—b）｜=2|a|＜2;當(dāng)a+b與a—b異號(hào)時(shí)，|a+b|+|a—b｜=｜(a+b）—（a—b）｜=2｜b|＜2。綜上，可知｜a+b|+|a-b｜＜2。答案：|a+b｜+|a—b|＜211.定義運(yùn)算x·y=若｜m-1｜·m=|m-1｜,則m的取值范圍為_(kāi)______________。解析：由｜m-1｜·m=|m-1|和定義,知|m-1｜≤m，即-m≤m—1≤m,∴m≥。答案:m≥12。已知｜a｜≠|(zhì)b|,m=,n=,則m、n之間的大小關(guān)系為_(kāi)______________。解析:m=≤=1,而n=≥=1.∴m≤n。答案：m≤n13。已知f（x)=x2-2x+7且|x-m｜＜3，求證：|f(x）-f(m）|＜6|m|+15。證明:∵f(x）=x2-2x+7,∴|f（x)-f（m）|=|（x2-2x+7)—(m2—2m+7）|=|（x2-m2)—2（x—m）｜=|x—m|·｜x+m—2|＜3｜(x-m）+2m-2｜≤3(|x-m｜+｜2m-2|)＜3（3+|2m-2|)≤9+6（|m|+1）=6｜m|+15?！嗖坏仁匠闪?我創(chuàng)新，我超越14。已知a、b、c是實(shí)數(shù)，f（x)=ax2+bx+c，g(x）=ax+b，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，|f(x）|≤1，求證:(1)｜c(diǎn)｜≤1;(2）當(dāng)—1≤x≤1時(shí),｜g(x）｜≤2.分析：已知條件當(dāng)—1≤x≤1時(shí),|f(x）|≤1,可取特殊值代入,如｜f（0）|、｜f(1)|、|f（—1)|;而g（x）為一直線，要證｜g（x)|≤2，只需證|g（1)|≤2且｜g(—1)|≤2即可。證明：（1）∵當(dāng)-1≤x≤1時(shí),｜f(x）｜≤1，∴|c｜=｜f(0)|≤1。(2）∵當(dāng)—1≤x≤1時(shí),|f(x）|≤1，∴｜f(1）｜≤1，｜f（-1）|≤1.∴|a+b|=｜f（1）—c|≤|f(1)｜+|c|≤2，即｜g（1）｜≤2;｜—a+b｜=|a—b|=|f（-1)-c|≤|f(-1)|+|c|≤2，即｜g（—1)｜≤2?！吆瘮?shù)g（x)=ax+b的圖象是一條直線，∴|g(x)｜在[-1,1］上的最大值只能在x=—1或x=1處取得.∴當(dāng)—1≤x≤1時(shí),|g（x）｜≤2.15.若a、b∈R，α,β是方程x2+ax+b=0的兩根,且|a｜+｜b｜＜1,求證：|α｜＜1且｜β|＜1。分析:本題a、b是方程的系數(shù),α、β是方程的根,可由二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系聯(lián)系轉(zhuǎn)化，再由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)進(jìn)行變形證出.證明：∵由｜a|+｜b｜=｜α+β|+|αβ｜＜1，得｜α+β|＜1-｜αβ|。又∵｜α+β|≥｜α｜-|β｜，∴|α|—|β|＜1—｜αβ｜=1—|α|·|β｜.∴|α|(|β|+1）—(|β｜+1）＜0.∴（|α｜-