江西省重點中學九校2025屆高三數(shù)學6月第二次聯(lián)考試題文含解析

PAGE22-江西省重點中學九校2025屆高三數(shù)學6月其次次聯(lián)考試題文（含解析）滿分：150分時間：120分鐘本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每個小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.若復數(shù)是虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)的值為（）A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復數(shù),再依據(jù)實部為0且虛部不為0求解即可.【詳解】為純虛數(shù)，，即，故選C.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的除法運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題.復數(shù)是高考中的必考學問，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要留意對實部、虛部的理解，駕馭純虛數(shù)、共軛復數(shù)、復數(shù)的模這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉化為復數(shù)的乘法，運算時特殊要留意多項式相乘后的化簡，防止簡潔問題出錯，造成不必要的失分.2.某工廠利用隨機數(shù)表對生產(chǎn)的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001，002，．599，600從中抽取60個樣本，現(xiàn)供應隨機數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列起先向右依次讀取3個數(shù)據(jù)，則得到的第7個樣本編號（）A.522 B.324 C.535 D.578【答案】B【解析】【分析】依據(jù)隨機數(shù)表的定義進行推斷即可．【詳解】解：第6行第6列的數(shù)起先的數(shù)為808，不合適，436，789不合適，535，577，348，994不合適，837不合適，522，535重復不合適，578合適，324合適，則滿意條件的7個編號為436，535，577，348，522，578，324，則第7個編號324，故選：B．【點睛】本題主要考查隨機抽樣的應用，依據(jù)定義選擇滿意條件的數(shù)據(jù)是解決本題的關鍵，屬于基礎題．3.歐拉公式為虛數(shù)單位是瑞士數(shù)學家歐拉獨創(chuàng)的，將指數(shù)的定義域擴大到復數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，被譽為“數(shù)學中的天橋”依據(jù)歐拉公式可知，表示的復數(shù)的模為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】干脆由題意可得，再由復數(shù)模的計算公式得答案．【詳解】由題意，=cos+isin，∴∴表示的復數(shù)的模為．故選C．【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)模的求法，是基礎題．4.將一邊長為1正方形ABCD沿對角線BD折起，形成三棱椎C—ABD．其正視圖與俯視圖如下圖所示，則左視圖的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意確定幾何體的相關邊的長度，作出左視圖，依據(jù)數(shù)據(jù)，求出左視圖的面積．【詳解】由題中正視圖和俯視圖，結合折疊前的圖，則三棱椎C—ABD，若為的中點，則面，，則左視圖為三角形，其面積.故選：A【點睛】本題考查了三視圖求面積，考查計算實力，邏輯思維實力，屬于簡潔題．5.設不等式表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】試題分析：陰影部分的面積為：，正方形的面積為:,故選.考點：1、幾何概型的計算，面積比【方法點晴】本題主要考查的是幾何概型，屬于中等題，由題作出所對應的圖像，可得平面區(qū)域為如圖所示的正方形區(qū)域，而區(qū)域內的隨意點到原點的距離大于的區(qū)域為圖中的陰影部分，由幾何概型的公式可知概率即為面積之比，易得答案.【詳解】6.設x∈R，a＜b，若“a≤x≤b”是“x2+x-2≤0”的充分不必要條件，則b-a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式求得x的取值范圍，依據(jù)充分不必要條件可求出a、b的范圍即可．【詳解】解不等式得因為“”是“”的充分不必要條件，且所以所以選C【點睛】本題考查了充分必要條件的推斷，留意邊界問題，屬于基礎題．7.若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如.如圖程序框圖的算法源于我國古代著名中外的《中國剩余定理》.執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于()A.4 B.8 C.16 D.32【答案】C【解析】初如值n=11,i=1,i=2,n=13,不滿意模3余2.i=4,n=17,滿意模3余2,不滿意模5余1.i=8,n=25,不滿意模3余2,i=16,n=41,滿意模3余2,滿意模5余1.輸出i=16.選C．8.在中，角A，B，C所以對的邊分別為a，b，c，若，的面積為，，則（）A. B. C.或 D.或3【答案】D【解析】【分析】由，可求得，再結合面積和，即可求得邊，再由余弦定理求得.【詳解】由，由正弦定理得，又，得，得，得，又，得，則，則，由余弦定理，得，得或.故選：D【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面積公式，依據(jù)邊角關系正確選用正弦定理和余弦定理是解題的關鍵.9.體育品牌Kappa的LOGO為可抽象為：如圖背靠背而坐的兩條美麗的曲線，下列函數(shù)中大致可“完備”局部表達這對曲線的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】從圖像可以看出，函數(shù)是偶函數(shù)，并且當趨近于0時，函數(shù)值趨近于正無窮，據(jù)此推斷.【詳解】因為、兩個函數(shù)均是奇函數(shù)，故不符合題意；對A：當趨近于0，且足夠小時，，不符合題意；對D：因為，滿意趨近于0，且足夠小時函數(shù)值.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)圖像的選擇，一般地，此類題目要從函數(shù)奇偶性，單調性，特殊值進行推斷和選擇.10.若一個數(shù)列的第m項等于這個數(shù)列的前m項的乘積，則稱該數(shù)列為“m積列”．若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列是一個“2024積數(shù)列”，且，則當其前n項的乘積取最大值時，n的最大值為（）A.1009 B.1010 C.1011 D.2024【答案】B【解析】【分析】由題意可得．再依據(jù)等比數(shù)列的性質，，由此可得當其前項的乘積取最大值時，的最大值．【詳解】解：若一個數(shù)列的第項等于這個數(shù)列的前項的乘積，則稱該數(shù)列為“積數(shù)列”，若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列是一個“2024積數(shù)列”，且，．，．，則當其前項的乘積取最大值時，的最大值為1010，故選：B．【點睛】本題考查等比數(shù)列前項的乘積取最大值時的值的求法，考查等比數(shù)列的性質等基礎學問，考查推理論證實力、運算求解實力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，屬于中檔題．11.已知定義在R上函數(shù)滿意=1，且對于隨意的x，恒成立，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構造函數(shù)，然后探討的單調性，由單調性求得不等式的解集.【詳解】設，由，得，為減函數(shù)．又，可得，由題，得，得，得或解得或.故選：B【點睛】本題考查了構造新函數(shù)，并用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，利用單調性解不等式.12.設函數(shù)由方程確定，對于函數(shù)給出下列命題：①存在，，使得成立；②，，使得且同時成立；③對于隨意，恒成立；④對隨意，，；都有恒成立．其中正確的命題共有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】A【解析】【分析】將方程的肯定值符號去掉，畫出函數(shù)的圖象，對命題逐一推斷，得:對①，函數(shù)在上遞減，故①錯誤；對②，即，均在圖象上，探討點分別在第一、二、四象限代入方程，看是否有實數(shù)解；對③，恒成立，即恒成立，由圖的圖象總在圖象的上方，故③正確；對④，可通過舉出反例確定④錯誤.【詳解】由方程知，當且時，方程為；當且時，方程為，不成立；當且時，方程為；當且時，方程為，不成立；作出函數(shù)的圖象如圖所示，對于①，是定義域R上的單調減函數(shù)，則對隨意，都有恒成立，①錯誤；對于②，假設點在第一象限，則點也在第一象限，所以，該方程組沒有實數(shù)解，所以該狀況不行能；假設點在第四象限，則點在其次象限，所以，該方程組沒有實數(shù)解，所以該種狀況不行能；同理點在其次象限，則點在第四象限，也不行能．故該命題是假命題．對于③，由圖形知，對于隨意，有即恒成立，③正確；對于④，不妨令，則為，又由題，則，即不恒成立，所以④錯誤．綜上知，正確的命題序號是③．故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)性質的綜合應用，按定義去肯定值和畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結合是解決問題的關鍵.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，=(1，)，且在方向上的投影為，則等于__________【答案】1【解析】【分析】利用向量的投影概念，計算出向量的模長，結合向量的數(shù)量積，可得結果.【詳解】在方向上的投影為，所以有，且，所以故答案為：1【點睛】本題考查向量的投影的概念，以及向量數(shù)量積公式的應用，屬基礎題.14.函數(shù)（，）的部分圖像如下圖所示，該圖像與y軸相交于點，與x軸相交于點B、C，點M為最高點，且三角形MBC的面積為，則圖像的一個對稱中心是__________．（寫出一個符合題意的即可）【答案】（寫成一個即可）【解析】【分析】依據(jù)三角形的面積為求得的值，可得函數(shù)的周期，從而求得的值，再把點代入求得的值，從而得到函數(shù)的解析式，即可得到函數(shù)的對稱中心．【詳解】解：，周期，．由，得，又，，．令，，解得，故函數(shù)的對稱中心為，故答案為：，【點睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的對稱性的應用，屬于基礎題。15.設直線l為曲線在點處的切線，則直線l與兩坐標軸所圍成的三角形面積的最小值是__________．【答案】12【解析】【分析】首先求出導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，再依據(jù)點斜式求出切線方程，進而求出直線與坐標軸的交點，表示出三角形的面積，利用基本不等式即可求解.【詳解】由，則，所以，則在點處的切線方程為：，即，當時，，當時，，則直線l與兩坐標軸所圍成的三角形面積：，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：12【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義、基本初等函數(shù)的導數(shù)以及導數(shù)的運算法則、基本不等式求最值，屬于中檔題.16.已知一球O的半徑為R，有一圓柱內接于球O，當該圓柱的側面積最大時，此圓柱的體積為2π，則球O的表面積為__________．【答案】8π【解析】【分析】由題意得，作圖，設圓柱底面半徑為，圓柱高為，球的半徑為，得，而圓柱的側面積，可得，然后利用求導的方法來求得圓柱的側面積最大時，的取值狀況，進而可以求出，最終依據(jù)球的面積公式求出球的表面積.【詳解】設圓柱底面半徑為，圓柱高為，球的半徑為，如圖，，而圓柱的側面積，可得，令則,令，得，即當時，圓柱側面積最大，所以，，又圓柱側面積最大時，它的體積，解得，，所以，球的表面積【點睛】本題考查球的表面積公式、圓柱的側面積公式和體積公式，體現(xiàn)了數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng)，屬于難題.三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17-21題為必考題，每個試題考生都必需作答；第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．17.已知數(shù)列滿意．（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項和；（2）證明：數(shù)列不行能是等比數(shù)列．【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式求出，公差，再利用裂項求和法即可求解.（2）求出數(shù)列的前項，利用等比中項即可證出.【詳解】（1）設數(shù)列首項為，公差為d．則，代入已知得：，又，即，所以，對應系數(shù)相等，易得，，∴．設，則.∴．（2）假設數(shù)列是等比數(shù)列，則，由已知，可得，，代入，易得，，，．于是數(shù)列的前4項為4，6，9，14；明顯它不是等比數(shù)列，所以數(shù)列不行能是等比數(shù)列．【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式、裂項求和、等比中項，屬于基礎題.18.某大型商場的空調在1月到5月的銷售量與月份相關，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：月份12345銷量（百臺）0.60.81.21.61.8（1）經(jīng)分析發(fā)覺1月到5月的銷售量可用線性回來模型擬合該商場空調的月銷量（百件）與月份之間的相關關系.請用最小二乘法求關于的線性回來方程，并預料6月份該商場空調的銷售量；（2）若該商場的營銷部對空調進行新一輪促銷，對7月到12月有購買空調意愿的顧客進行問卷調查.假設該地擬購買空調的消費群體非常浩大，經(jīng)過營銷部調研機構對其中的500名顧客進行了一個抽樣調查，得到如下一份頻數(shù)表：有購買意愿對應的月份789101112頻數(shù)60801201308030現(xiàn)采納分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機抽取6名，再從這6人中隨機抽取3人進行跟蹤調查，求抽出的3人中恰好有2人是購買意愿的月份是12月的概率.參考公式與數(shù)據(jù)：線性回來方程，其中，.【答案】（1）；2.16（百臺）；（2）【解析】【分析】（1）由題意計算平均數(shù)與回來系數(shù)，寫出線性回來方程，再利用回來方程計算對應的函數(shù)值；（2）利用分層抽樣法求得抽取的對應人數(shù)，用列舉法求得基本領件數(shù)，再計算所求的概率值．【詳解】（1）因為，所以，則，于是關于的回來直線方程為.當時，（百臺）.（2）現(xiàn)采納分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機抽取6名，則購買意愿為7月份的抽4人記為，，，，購買意愿為12月份的抽2人記為，，從這6人中隨機抽取3人的全部狀況為、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，共20種，恰好有2人是購買意愿的月份是12月的有、、、，共4種，故所求概率為.【點睛】本題考查了線性回來方程與列舉法求古典概型的概率問題，是中檔題．19.如圖幾何體中，四邊形為矩形，，，，，為的中點，為線段上的一點，且．（1）證明：面面；（2）求三棱錐的體積．【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）連結，依據(jù)所給的條件，可證明都是等邊三角形，所以，即證明平面，再說明面面垂直；（2），依據(jù)（1）的結果可知，依據(jù)平面幾何可求底面面積，代入求體積.試題解析：(1）證明：連接∵，為的中點∴.∵，∴，∵，為矩形∴，又∵，∴為平行四邊形∴，∴為正三角形∴，∵，∴面.∵面，∴面面.(2），因為，，所以.所以.20.過拋物線上一點作直線交拋物線E于另一點N.（1）若直線MN的斜率為1，求線段的長.（2）不過點M的動直線l交拋物線E于A，B兩點，且以AB為直徑的圓經(jīng)過點M，問動直線l是否恒過定點．假如有求定點坐標，假如沒有請說明理由．【答案】（1）（2）有，定點．【解析】【分析】（1）將點代入拋物線方程求出，可得拋物線方程，求出直線的方程，將直線與拋物線聯(lián)立求出交點，從而利用兩點間的距離公式即可求解.（2）設出直線AB的方程：，將直線與拋物線聯(lián)立消，利用，可得，設，利用韋達定理，結合，利用向量數(shù)量積的坐標運算整理可得，從而可得，代入直線方程即可求解.【詳解】（1）把代入中，得直線的方程：，即：與聯(lián)立得：，∴，；∴∴．（2）設直線AB方程為：與聯(lián)立，得：，設，，即，∵，∴∴整理得：代入得：即∴（舍去），（符合）∴直線∴即動直線AB經(jīng)過定點．【點睛】本題考查了直線與拋物線的位置關系中的弦長問題、定點問題，此題要求有較高的計算求解實力，屬于中檔題.21.已知函數(shù)在上單調遞增，函數(shù)．（1）求的值；（2）若存在，使得成立，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)函數(shù)單調性可知導函數(shù)不小于0恒成立，轉化為恒成馬上可求解；（2）構造函數(shù)，求函數(shù)導數(shù)，分類探討，得出函數(shù)的單調性，求即可求解.【詳解】（1）∵∵在上恒成立．∴恒成立，即∵，，∴，∴．（2）令∵，∴當時，即；在上單調遞增，∴∴當時，即，在上單調遞減，∴∴當時，存在使得在上單調遞減，在上單調遞增∴∴，解得綜合上述：m的取值范圍是【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)探討函數(shù)的單調性，最值，分類探討思想，不等式有解問題，屬于難題.（二）選考