3.5探索與表達(dá)規(guī)律（練習(xí)）

第三章整式及其加減第五節(jié)探索與表達(dá)規(guī)律精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2021·江蘇吳中區(qū)·西安交大蘇州附中七年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第20個(gè)這樣的圖案需要黑色棋子的個(gè)數(shù)為（）A．448 B．452 C．544 D．602【答案】C【分析】觀察各圖可知，第一個(gè)圖案需要黑色棋子的個(gè)數(shù)為(1+2+3)×2（個(gè)），第二個(gè)圖案需要的個(gè)數(shù)為[(1+2+3+4)×2+2×1]（個(gè)），第三個(gè)圖案需要的個(gè)數(shù)為[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（個(gè)），第四個(gè)圖案需要的個(gè)數(shù)為[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（個(gè)）…由此可以推出第n個(gè)圖案需要的個(gè)數(shù)為（個(gè)），所以第20個(gè)圖案需要的個(gè)數(shù)只需將n=20代入即可．【詳解】解：由圖知第一個(gè)圖案需要黑色棋子的個(gè)數(shù)為(1+2+3)×2（個(gè)）；第二個(gè)圖案需要的個(gè)數(shù)為[(1+2+3+4)×2+2×1]（個(gè)）；第三個(gè)圖案需要的個(gè)數(shù)為[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（個(gè)）；第四個(gè)圖案需要的個(gè)數(shù)為[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（個(gè)）；…第n個(gè)圖案需要的個(gè)數(shù)為（個(gè)）∴第20個(gè)圖案需要的個(gè)數(shù)為(1+2+3+…+22)×2+2×19=544（個(gè)）故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化．解題的關(guān)鍵是觀察各個(gè)圖形找到它們之間的規(guī)律．2．（2021·山東濱城區(qū)·七年級(jí)期末）已知一列數(shù)：1，2，3，4，5，6，7，…將這列數(shù)排成下列形式：第1行1第2行23第3行456第4行78910第5行1112131415……按照上述規(guī)律排下去，那么第100行從左邊數(shù)第4個(gè)數(shù)是（）A．4954 B．4954 C．4953 D．4953【答案】A【分析】分析可得：第n行有n個(gè)數(shù)，此行最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為；且奇數(shù)為正，偶數(shù)為負(fù)；先求出99行最后一個(gè)數(shù)，然后可求出100行從左邊數(shù)第4個(gè)數(shù)．【詳解】解：第1行有1個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是：1；第2行有2個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是：3=1+2=；第3行有3個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是：6=1+2+3=；第4行有4個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是：10=1+2+3+4=；第5行有5個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是：15=1+2+3+4+5=；……；∴第n行有n個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是：；∴第99行有99個(gè)數(shù)，此行最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為：；∴第100行從左邊數(shù)第4個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為4954，∵奇數(shù)為正，偶數(shù)為負(fù)，∴第100行從左邊數(shù)第4個(gè)數(shù)為4954，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類以及學(xué)生分析數(shù)據(jù)，總結(jié)、歸納數(shù)據(jù)規(guī)律的能力，關(guān)鍵是找出規(guī)律，要求學(xué)生要有一定的解題技巧．本題的關(guān)鍵是得到規(guī)律：第n行有n個(gè)數(shù)，此行最后一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值為；且奇數(shù)為正，偶數(shù)為負(fù)．3．（2021·重慶市徐悲鴻中學(xué)校七年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）按圖示的方式擺放餐桌和椅子，圖1中共有6把椅子，圖2中共有10把椅子，…，按此規(guī)律，則圖7中椅子把數(shù)是（）A．28 B．30 C．36 D．42【答案】B【分析】觀察圖形變化，得出n張餐桌時(shí)，椅子數(shù)為4n+2把（n為正整數(shù)），代入n＝7即可得出結(jié)論．【詳解】解：1張桌子可以擺放的椅子數(shù)為：2+1×4＝6，2張桌子可以擺放的椅子數(shù)為：2+2×4＝10，3張桌子可以擺放的椅子數(shù)為：2+3×4＝14，…，n張桌子可以擺放的椅子數(shù)為：2+4n，令n＝7，可得2+4×7＝30（把）．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查圖形類規(guī)律探究，列式計(jì)算,根據(jù)圖形的排列總結(jié)規(guī)律并運(yùn)用解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．4．（2021·全國(guó)九年級(jí)專題練習(xí)）觀察式子：13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算53+63+73+83+93+103的結(jié)果是()A．2925 B．2025 C．3225 D．2625【答案】A【分析】根據(jù)題意找到規(guī)律：即可求解．【詳解】解：∵13=12，13+23=(1+2)2=32，13+23+33=(1+2+3)2=62，13+23+33+43=(1+2+3+4)2=102，…，∴，53+63+73+83+93+103()()．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律．5．（2020·高州市新垌第一中學(xué)）觀察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，由以上等式可推知3＋32＋33＋34＋…＋32021的結(jié)果的末位數(shù)字是()A．0 B．9 C．3 D．2【答案】C【分析】觀察所給等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律末位數(shù)字為：3，9，7，1，3，9，7，…，每4個(gè)數(shù)一組循環(huán)，進(jìn)而可得算式：3+32+33+34+…+32021結(jié)果的末位數(shù)字．【詳解】解：觀察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：末位數(shù)字為：3，9，7，1，3，9，7，…，每4個(gè)數(shù)一組循環(huán)，所以2021÷4＝505……1，而3+9+7+1＝20，20×505+3＝10103．所以算式：3+32+33+34+…+32021結(jié)果的末位數(shù)字是3．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)字的變化尋找規(guī)律．6．（2020·沙坪壩區(qū)·重慶南開(kāi)中學(xué)八年級(jí)月考）如圖，由等圓組成的一組圖中，第①個(gè)圖由1個(gè)圓組成，第②個(gè)圖由5個(gè)圓組成，第③個(gè)圖由11個(gè)圓組成，…，按照這樣的規(guī)律排列下去，則第⑧個(gè)圖由（）個(gè)圓組成A．71 B．72C．73 D．74【答案】A【分析】先觀察前幾個(gè)圖形，找到規(guī)律，用含有n的代數(shù)式將規(guī)律表示出來(lái)，然后算第⑧個(gè)．【詳解】解：可以將整個(gè)圖形分成三部分看，上面部分整體和中間一行以及下面部分整體，上部分和下部分都是一樣的規(guī)律，第n個(gè)圖形有個(gè)圓，所以上部分加上下部分一共有個(gè)圓，中間一行，第n個(gè)圖形有個(gè)圓，所以第n個(gè)整個(gè)圖形中有個(gè)圓，令，解得第⑧個(gè)圖形中有71個(gè)圓．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查找規(guī)律，解題的關(guān)鍵是能夠用含有n的代數(shù)式將圖形的規(guī)律表示出來(lái)．7．（2020·廣東外語(yǔ)外貿(mào)大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）如圖是一個(gè)三角點(diǎn)陣，從上向下數(shù)有無(wú)數(shù)多行，其中第一行一個(gè)點(diǎn)，第二行兩個(gè)點(diǎn)……第n行有n個(gè)點(diǎn)……，已知前m行的點(diǎn)數(shù)和為210，則m的值為（）A．19 B．20 C．21 D．22【答案】B【分析】根據(jù)題意得出這個(gè)點(diǎn)陣中前n行的點(diǎn)數(shù)和等于1+2+3+4+……+n，再計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意知，1+2+3+4+……+n

=n（n+1）

=．∴，解得：（負(fù)值已舍去）；故選B．【點(diǎn)睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，結(jié)合圖形，找出數(shù)字的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．8．（2020·福建寧化縣·七年級(jí)期中）如圖，在紙面所在的平面內(nèi)，一只電子螞蟻從數(shù)軸上表示原點(diǎn)的位置O點(diǎn)出發(fā)，按向上、向右、向下、向右的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位，其移動(dòng)路線如圖所示，第1次移動(dòng)到A1，第2次移動(dòng)到A2，第3次移動(dòng)到A3，……，第n次移動(dòng)到An，則△OA2A2019的面積是（）A．504 B． C． D．1009【答案】B【分析】觀察圖形可知：，由，推出，由此即可解決問(wèn)題．【詳解】觀察圖形可知：點(diǎn)在數(shù)軸上，，，，點(diǎn)在數(shù)軸上，，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積，數(shù)軸等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．二、填空題9．（2020·浙江杭州市·）由一些正整數(shù)組成的數(shù)表如下（表中下一行中數(shù)的個(gè)數(shù)是上一行中數(shù)的個(gè)數(shù)的2倍）：第1行2第2行46第3行8101214若規(guī)定坐標(biāo)號(hào)表示第m行從左向右第n個(gè)數(shù)，則所表示的數(shù)是________；數(shù)2022對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)號(hào)是________．【答案】【分析】根據(jù)每行的第一個(gè)數(shù)分別為：…故第行的第一個(gè)數(shù)為：，第個(gè)數(shù)為；進(jìn)而得出每一行的數(shù)字即可分別求出對(duì)應(yīng)數(shù)字，再利用每行數(shù)字個(gè)數(shù)，得出2022所在位置．【詳解】解：根據(jù)每行的第一個(gè)數(shù)分別為：…第行的第一個(gè)數(shù)為：第5行的第一個(gè)數(shù)為：，第6個(gè)數(shù)為：，所表示的數(shù)是；每一行的數(shù)字個(gè)數(shù)為：第行為：，，數(shù)2022在第10行，從右向左數(shù)第12個(gè)數(shù)，得出，故數(shù)2022對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)號(hào)是，故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律，利用每行中數(shù)字的個(gè)數(shù)以及每行第一個(gè)數(shù)字變化規(guī)律得出是解題的關(guān)鍵．10．（2021·遼寧錦州市·）觀察下列式子：；；；；…，按此規(guī)律，計(jì)算______．【答案】【分析】觀察已知式子可得規(guī)律，進(jìn)而進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：觀察下列式子可知：

；

；

；

；

…，

按此規(guī)律，

則．

∴a1+a2+a3+…+a2020=1+++…+=1

=．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律．11．（2021·全國(guó)七年級(jí)）一動(dòng)點(diǎn)P從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā)，按下列規(guī)則運(yùn)動(dòng)：（1）沿?cái)?shù)軸的正方向先前進(jìn)5個(gè)單位，然后后退3個(gè)單位，如此反復(fù)進(jìn)行；（2）已知點(diǎn)P每秒只能前進(jìn)或后退1個(gè)單位．設(shè)xn表示第n秒點(diǎn)P在數(shù)軸上的位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)，則x1998為_(kāi)_．【答案】502【分析】先解出點(diǎn)P每8秒完成一個(gè)循環(huán)，解出對(duì)應(yīng)的數(shù)值，再根據(jù)規(guī)律推導(dǎo)出答案．【詳解】解：依題意得，點(diǎn)P每8秒完成一個(gè)前進(jìn)和后退，即前8個(gè)對(duì)應(yīng)的數(shù)是1、2、3、4、5、4、3、2；第二組8個(gè)數(shù)即9～16是3、4、5、6、7、6、5、4，第三組8個(gè)數(shù)即17～24是5、6、7、8、9、8、7、6，，得到規(guī)律：第二組8個(gè)數(shù)是：第一組8個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)，如：第10秒，，余數(shù)為2，則第一組對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)即第2個(gè)數(shù)為2，∴；第三組8個(gè)數(shù)是：第一組8個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)，如：第21秒，，余數(shù)為5，則第一組對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)即第5個(gè)數(shù)為5，∴；，∵，余數(shù)為6，則第一組對(duì)應(yīng)數(shù)位上的數(shù)即第6個(gè)數(shù)為4，故．故答案為：502．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是找出循環(huán)的規(guī)律．12．（2020·豐縣歡口鎮(zhèn)歡口初級(jí)中學(xué)）如圖，下列圖形是由同樣大小的●和▲按一定規(guī)律組成，其中第1個(gè)圖形由3個(gè)●和1個(gè)▲組成，第2個(gè)圖形由6個(gè)●和3個(gè)▲組成，第3個(gè)圖形由9個(gè)●和6個(gè)▲組成，…，照此規(guī)律，在第45個(gè)圖形中，●比▲的個(gè)數(shù)少______個(gè)．【答案】900【分析】觀察圖形特點(diǎn)，從中找出規(guī)律，單獨(dú)找出“●”的規(guī)律為：3n，“▲”的規(guī)律為：，單獨(dú)求出時(shí)“●”和“▲”的個(gè)數(shù)即可．【詳解】∵n＝1時(shí)，“●”的個(gè)數(shù)是3＝3×1；n＝2時(shí)，“●”的個(gè)數(shù)是6＝3×2；n＝3時(shí)，“●”的個(gè)數(shù)是9＝3×3；n＝4時(shí)，“●”的個(gè)數(shù)是12＝3×4；∴第45個(gè)圖形中“●”的個(gè)數(shù)是3×45＝135；又∵n＝1時(shí)，“▲”的個(gè)數(shù)是；n＝2時(shí)，“▲”的個(gè)數(shù)是；n＝3時(shí)，“▲”的個(gè)數(shù)是；n＝4時(shí)，“▲”的個(gè)數(shù)是；∴第45個(gè)圖形中“▲”的個(gè)數(shù)是；由題意知，在第45個(gè)圖形中“●”比“▲”少的個(gè)數(shù)為：－135＝900．故答案為：900．【點(diǎn)睛】本題考查的是探究規(guī)律的知識(shí)，關(guān)鍵是總結(jié)出圖形變化的規(guī)律．提升篇提升篇三、解答題13．（2021·全國(guó)八年級(jí)專題練習(xí)）觀察下列各式：，，，，…，你有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律?請(qǐng)用含的代數(shù)式表示此規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律寫(xiě)出接下來(lái)的式子．【答案】．(≥1且為整數(shù))，【分析】觀察等式的規(guī)律，可分別觀察等式的左邊：第一個(gè)的底數(shù)分別為：3=221，8=321，15=421，24=521，第n個(gè)式子為（n+1）21，第二個(gè)的底數(shù)是4，6，8…連續(xù)的偶數(shù)．右邊的底數(shù)是比左邊的第一個(gè)數(shù)大2，得到規(guī)律：[（n+1）21]2+[2（n+1）]2=[（n+1）2+1]2．再根據(jù)規(guī)律即可寫(xiě)出下一個(gè)式子即可【詳解】解：，．(≥1且為整數(shù))【點(diǎn)睛】本題主要考查整式規(guī)律的問(wèn)題，注意分別觀察等式的左邊和右邊以及左右兩邊的關(guān)系，這需要平時(shí)的努力．14．（2021·江西吉水縣·）已知下列等式：①22﹣12＝3；②32﹣22＝5；③42﹣32＝7，…（1）請(qǐng)仔細(xì)觀察前三個(gè)式子的規(guī)律，寫(xiě)出第④個(gè)式子：；（2）請(qǐng)你找出規(guī)律，寫(xiě)出第n個(gè)式子．（3）利用（2）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：1+3+5+7+…+2019+2021．【答案】（1）52﹣42=9；（2）（n+1）2﹣n2=2n+1；（3）10112．【分析】（1）由等式左邊兩數(shù)的底數(shù)可知，兩底數(shù)是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)，右邊為兩底數(shù)的和，由此得出規(guī)律；（2）等式左邊減數(shù)的底數(shù)與序號(hào)相同，由此得出第n個(gè)式子；（3）由3=22﹣12，5=32﹣22，7=42﹣32，…，將算式逐一變形，再尋找抵消規(guī)律．【詳解】解：（1）依題意，得第④個(gè)算式為：52﹣42=9；故答案為：52﹣42=9；（2）根據(jù)幾個(gè)等式的規(guī)律可知，第n個(gè)式子為：（n+1）2﹣n2=2n+1；故答案為：（n+1）2﹣n2=2n+1；（3）由（2）的規(guī)律可知，1+3+5+7+…+2021=1+（22﹣12）+（32﹣22）+（42﹣32）+…+（10112﹣10102）=10112．【點(diǎn)睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的聯(lián)系，得出運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題是解決此題的關(guān)鍵．15．（2020·江蘇蘇州市·七年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)都為的正方形內(nèi)分別排列著一些大小相等的圓．（1）根據(jù)圖中的規(guī)律，第4個(gè)正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)是_________，第個(gè)正方形內(nèi)圓的個(gè)數(shù)是_________（用含的代數(shù)