第5講一元一次不等式八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（北師大版）原卷版

第5講一元一次不等式目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航掌握不等式的基本性質(zhì)并能正確運(yùn)用它們將不等式變形；理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在數(shù)軸上表示不等式的解的集合的方法；掌握解一元一次不等式的方法和步驟并準(zhǔn)確地求出不等式的解集．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01不等式的相關(guān)概念1．不等式用不等號(hào)連接起來(lái)的式子叫做不等式．常見的不等號(hào)有五種：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．2．不等式的解與解集不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的解的全體，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀的表示出來(lái)，具體表示方法是先確定邊界點(diǎn)：解集包含邊界點(diǎn)，是實(shí)心圓點(diǎn)；不包含邊界點(diǎn)，則是空心圓圈；再確定方向：大向右，小向左.3．解不等式求不等式的解集的過(guò)程或證明不等式無(wú)解的過(guò)程，叫做解不等式.要點(diǎn)詮釋：不等式的解與一元一次方程的解是有區(qū)別的：不等式的解是不確定的，是一個(gè)范圍，而一元一次方程的解則是一個(gè)具體的數(shù)值．【知識(shí)拓展】（2021春?萍鄉(xiāng)期末）“實(shí)數(shù)x不小于6”是指（）A．x≤6 B．x≥6 C．x＜6 D．x＞6【即學(xué)即練】（2021春?建平縣期末）據(jù)天氣預(yù)報(bào)，2021年7月5日建平縣最高氣溫是25℃，最低氣溫是22℃，則當(dāng)天我縣氣溫t（℃）的變化范圍是（）A．t＞25 B．t≤22 C．22＜t＜25 D．22≤t≤25知識(shí)點(diǎn)02不等式的性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變，即如a＞b，那么a±c＞b±c．性質(zhì)2：不等式兩邊乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）．性質(zhì)3：不等式兩邊乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）．要點(diǎn)詮釋：（1）不等式的其他性質(zhì)：①若a＞b，則b＜a；②若a＞b，b＞c，則a＞c；③若a≥b，且b≥a，則a=b；④若a2≤0，則a=0；⑤若ab＞0或，則a、b同號(hào)；⑥若ab＜0或，則a、b異號(hào).（2）任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b的大小關(guān)系：①ab＞Oa＞b；②ab=Oa=b；③ab＜Oa＜b．不等號(hào)具有方向性，其左右兩邊不能隨意交換：但a＜b可轉(zhuǎn)換為b＞a，c≥d可轉(zhuǎn)換為d≤c.【知識(shí)拓展1】（2021春?饒平縣校級(jí)期末）若2a+3b﹣1＞3a+2b，試比較a，b的大?。炯磳W(xué)即練1】（2021?梁園區(qū)校級(jí)一模）若a＞b＞0，c＞d＞0，則下列式子不一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣c＞b﹣d B． C．a(chǎn)c＞bc D．a(chǎn)c＞bd【即學(xué)即練2】（2021秋?澧縣期末）若a＞b，則﹣2a﹣2b．（用“＜”號(hào)或“＞”號(hào)填空）【即學(xué)即練3】（2021春?萬(wàn)柏林區(qū)校級(jí)月考）利用不等式的性質(zhì)，解答下列問題．（1）①如果a﹣b＜0，那么ab；②如果a﹣b＝0，那么ab；③如果a﹣b＞0，那么ab；（2）比較2a與a的大?。?）若a＞b，c＞d．①比較a+c與b+d的大?。虎诒容^a﹣d與b﹣c的大?。炯磳W(xué)即練4】（2021春?未央?yún)^(qū)校級(jí)月考）若m＜n，且（a﹣5）m＞（a﹣5）n，求a的取值范圍．【即學(xué)即練5】（2021春?饒平縣校級(jí)期末）根據(jù)要求，回答下列問題：（1）由2x＞x﹣，得2x﹣x＞﹣，其依據(jù)是；（2）由x＞x﹣，得2x＞6x﹣3，其依據(jù)是；（3）不等式x＞（x﹣1）的解集為．【即學(xué)即練6】（2021?連州市模擬）已知a＞b，則下列結(jié)論正確的是（）A．﹣2a＞﹣2b B．a(chǎn)+c＞b+c C．3a＜3b D．a(chǎn)c＞bc【即學(xué)即練7】（2021春?濰坊期末）若a＞b，則下列不等式一定成立的是．A．a(chǎn)+2＞b+2B.＜C．﹣2a＜﹣2bD．a(chǎn)2＜b2【即學(xué)即練8】（2021?內(nèi)江）已知非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c滿足＝＝，設(shè)S＝a+2b+3c的最大值為m，最小值為n，則的值為．知識(shí)點(diǎn)03一元一次不等式1．一元一次不等式的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其標(biāo)準(zhǔn)形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0)，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)．2．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)要改變方向．解一元一次不等式的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；(4)合并同類項(xiàng)；(5)化系數(shù)為1．要點(diǎn)詮釋：解一元一次不等式和解一元一次方程類似．不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向必須改變，這是解不等式時(shí)最容易出錯(cuò)的地方．【知識(shí)拓展1】（2021春?皇姑區(qū)校級(jí)期中）若x2m﹣1＞5是關(guān)于x的一元一次不等式，則m＝．【即學(xué)即練1】（2021春?饒平縣校級(jí)期末）已知（b+2）xb+1＜﹣3是關(guān)于x的一元一次不等式，試求b的值，并解這個(gè)一元一次不等式．【即學(xué)即練2】（2021春?平川區(qū)校級(jí)期末）在數(shù)學(xué)表達(dá)式：﹣4＜0，2x+y＞0，x＝1，x2+2xy+y2，x≠5，x+2＞y+3中，是一元一次不等式的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【即學(xué)即練3】（2021?南崗區(qū)校級(jí)開學(xué)）下列各式中，是一元一次不等式的有（）（1）x+2+x2＜2x﹣5+x2；（2）2x+xy+y；（3）3x﹣4y≥0；（4）﹣5＜x；（5）x≠0；（6）a2+1＞5．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【即學(xué)即練4】（2021春?甘孜州期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．x＜y B．a(chǎn)2+b2＞0 C．＞1 D．＜0【即學(xué)即練5】（2021春?冠縣期末）若（m+1）x|m|+2＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則m＝．【知識(shí)拓展2】（2021秋?肇源縣期末）若不等式組無(wú)解，則a的取值范圍是．【即學(xué)即練1】（2021?滕州市一模）下列各數(shù)中，不是不等式2（x﹣3）+3＜0的一個(gè)解的是（）A．﹣3 B． C． D．2【即學(xué)即練2】（2021?河南模擬）用三個(gè)不等式x＞﹣4，x＜﹣1，x＞1中的兩個(gè)組成不等式組，其中有解集的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【即學(xué)即練3】（2021?新野縣三模）已知關(guān)于x的不等式組有實(shí)數(shù)解，則m的取值范圍是．【即學(xué)即練4】（2021春?沭陽(yáng)縣期末）如圖，是關(guān)于x的不等式的解集示意圖，則該不等式的解集為．【即學(xué)即練5】（2021春?陸河縣校級(jí)期末）如圖，此不等式的解集為．【即學(xué)即練6】（2021春?天津期末）分別用含x的不等式表示如圖數(shù)軸中所表示的不等式的解集：；②．【即學(xué)即練7】（2021?潮陽(yáng)區(qū)模擬）把某個(gè)關(guān)于x的不等式的解集表示在數(shù)軸上如圖所示，則該不等式的解集是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2【即學(xué)即練8】（2021春?撫州期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)規(guī)定新運(yùn)算“*”，基本規(guī)則是a*b＝a﹣2b，已知不等式x*m≤3的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則m的值為．【即學(xué)即練9】（2021春?饒平縣校級(jí)期末）解不等式7﹣2x＞（1﹣）2，把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，并求出它的正整數(shù)解．【即學(xué)即練10】（2019?衢江區(qū)二模）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示數(shù)1和﹣2x+3．（1）求x的取值范圍；（2）將x的取值范圍在數(shù)軸上表示出來(lái)．【知識(shí)拓展3】（2021秋?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）若不等式（3a﹣2）x+2＜3的解集是x＜2，那么a必須滿足（）A．a(chǎn)＝ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)＝﹣【即學(xué)即練1】（2021秋?濟(jì)南期末）不等式﹣3x≤6的解集為．【即學(xué)即練2】（2021秋?鹿城區(qū)校級(jí)期中）若不等式（m﹣3）x＞m﹣3，兩邊同除以（m﹣3），得x＜1，則m的取值范圍為．【即學(xué)即練3】（2021秋?肇源縣期末）若關(guān)于x的方程x+k＝2x﹣1的解是負(fù)數(shù)，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1 D．k≤﹣1【即學(xué)即練4】（2021?安徽模擬）解不等式≤．【即學(xué)即練5】（2021?永定區(qū)模擬）解不等式：7x﹣2≤5x，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．【即學(xué)即練6】（2021秋?清鎮(zhèn)市期中）已知點(diǎn)M（﹣6，3﹣a）是第二象限的點(diǎn)，則a的取值范圍是．【知識(shí)拓展4】（2021?陜西）求不等式﹣x+1＞﹣2的正整數(shù)解．【即學(xué)即練1】（2021?長(zhǎng)興縣模擬）整數(shù)x滿足不等式2x+1＜8，則x的值可能是.（寫出一個(gè)符合的值即可）【即學(xué)即練2】（2021春?聊城期末）解不等式，并寫出它的負(fù)整數(shù)解．【即學(xué)即練3】（2021春?鞍山期末）解不等式（1﹣2x）≥；并寫出它所有的非負(fù)整數(shù)解．【即學(xué)即練4】（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）不等式4（x﹣2）＜2x﹣3的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)能力拓展能力拓展1.比較和的大?。?.等式的最小整數(shù)解是方程的解，求a的值．3.解不等式：．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練一．選擇題（共4小題）1．（2021秋?龍鳳區(qū)校級(jí)期末）若不等式（3a﹣2）x+2＜3的解集是x＜2，那么a必須滿足（）A．a(chǎn)＝ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)＝﹣2．（2021?錦江區(qū)校級(jí)開學(xué)）若a＞b，則下列不等式不一定成立的是（）A．﹣2a＜﹣2b B．a(chǎn)m＜bm C．a(chǎn)﹣3＞b﹣3 D．3．（2021秋?龍鳳區(qū)期末）已知a＜b，則下列不等式錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)﹣7＜b﹣7 B．a(chǎn)c2＜bc2 C． D．1﹣3a＞1﹣3b4．（2021秋?杜爾伯特縣期末）若m＜n，則下列各式正確的是（）A．﹣2m＜﹣2n B． C．1﹣m＞1﹣n D．m2＜n2二．填空題（共6小題）5．（2021秋?肇源縣期末）若不等式組無(wú)解，則a的取值范圍是．6．（2021秋?甌海區(qū)月考）根據(jù)“3x與5的和是負(fù)數(shù)”可列出不等式．7．（2021秋?青羊區(qū)校級(jí)期中）﹣＜x＜的所有整數(shù)的和是．8．（2021秋?濟(jì)南期末）不等式﹣3x≤6的解集為．9．（2021秋?澧縣期末）若a＞b，則﹣2a﹣2b．（用“＜”號(hào)或“＞”號(hào)填空）10．（2020秋?開化縣期末）若x＜y，且（a﹣3）x≥（a﹣3）y，則a的取值范圍是．三．解答題（共2小題）11．（2021春?澄城縣期末）已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是關(guān)于x的一元一次不等式，求這個(gè)不等式的解集．12．（2021春?秦都區(qū)月考）解不等式：3x﹣4＜4+2（x﹣2）．題組B能力提升練一、單選題1．在數(shù)學(xué)表達(dá)式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（）．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．不等式x﹣3≤3x+1的解集在數(shù)軸上表示如下，其中正確的是（）A．B．C．D．3．不等式2﹣3x≥2x﹣8的非負(fù)整數(shù)解有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如圖，是關(guān)于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，則a的取值是（）A．a(chǎn)≤﹣1 B．a(chǎn)≤﹣2 C．a(chǎn)=﹣1 D．a(chǎn)=﹣25．已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．若方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．7．若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B． C． D．二、填空題8．不等式5x9≤3(x+1)的解集是________.9．已知不等式的正整數(shù)解恰是1，2，3，4，那么的取值范圍是_________________.10．不等式的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為___________________．11．當(dāng)x_____________時(shí)，的值小于的值．12．不等式的最小整數(shù)解為_____．13．（1）已知的解集中的最大整數(shù)為3，則a的取值范圍是________．（2）已知的解集中最小整數(shù)為2，則a的取值范圍是________．14．若不等式中的最大值是m，不等式中的最小值為n，則不等式的解集是________．三、解答題15．解一元一次不等式．16．解不等式，并把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．（1）；（2）．17．已知，關(guān)于x的不等式（2a