第5講一元一次不等式八年級數(shù)學下冊講義（北師大版）原卷版

第5講一元一次不等式目標導航目標導航掌握不等式的基本性質(zhì)并能正確運用它們將不等式變形；理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念，掌握在數(shù)軸上表示不等式的解的集合的方法；掌握解一元一次不等式的方法和步驟并準確地求出不等式的解集．知識精講知識精講知識點01不等式的相關(guān)概念1．不等式用不等號連接起來的式子叫做不等式．常見的不等號有五種：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”．2．不等式的解與解集不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一個含有未知數(shù)的不等式的解的全體，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀的表示出來，具體表示方法是先確定邊界點：解集包含邊界點，是實心圓點；不包含邊界點，則是空心圓圈；再確定方向：大向右，小向左.3．解不等式求不等式的解集的過程或證明不等式無解的過程，叫做解不等式.要點詮釋：不等式的解與一元一次方程的解是有區(qū)別的：不等式的解是不確定的，是一個范圍，而一元一次方程的解則是一個具體的數(shù)值．【知識拓展】（2021春?萍鄉(xiāng)期末）“實數(shù)x不小于6”是指（）A．x≤6 B．x≥6 C．x＜6 D．x＞6【即學即練】（2021春?建平縣期末）據(jù)天氣預(yù)報，2021年7月5日建平縣最高氣溫是25℃，最低氣溫是22℃，則當天我縣氣溫t（℃）的變化范圍是（）A．t＞25 B．t≤22 C．22＜t＜25 D．22≤t≤25知識點02不等式的性質(zhì)性質(zhì)1：不等式兩邊加上（或減去）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變，即如a＞b，那么a±c＞b±c．性質(zhì)2：不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或＞）．性質(zhì)3：不等式兩邊乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或＜）．要點詮釋：（1）不等式的其他性質(zhì)：①若a＞b，則b＜a；②若a＞b，b＞c，則a＞c；③若a≥b，且b≥a，則a=b；④若a2≤0，則a=0；⑤若ab＞0或，則a、b同號；⑥若ab＜0或，則a、b異號.（2）任意兩個實數(shù)a、b的大小關(guān)系：①ab＞Oa＞b；②ab=Oa=b；③ab＜Oa＜b．不等號具有方向性，其左右兩邊不能隨意交換：但a＜b可轉(zhuǎn)換為b＞a，c≥d可轉(zhuǎn)換為d≤c.【知識拓展1】（2021春?饒平縣校級期末）若2a+3b﹣1＞3a+2b，試比較a，b的大?。炯磳W即練1】（2021?梁園區(qū)校級一模）若a＞b＞0，c＞d＞0，則下列式子不一定成立的是（）A．a(chǎn)﹣c＞b﹣d B． C．a(chǎn)c＞bc D．a(chǎn)c＞bd【即學即練2】（2021秋?澧縣期末）若a＞b，則﹣2a﹣2b．（用“＜”號或“＞”號填空）【即學即練3】（2021春?萬柏林區(qū)校級月考）利用不等式的性質(zhì)，解答下列問題．（1）①如果a﹣b＜0，那么ab；②如果a﹣b＝0，那么ab；③如果a﹣b＞0，那么ab；（2）比較2a與a的大?。?）若a＞b，c＞d．①比較a+c與b+d的大?。虎诒容^a﹣d與b﹣c的大小．【即學即練4】（2021春?未央?yún)^(qū)校級月考）若m＜n，且（a﹣5）m＞（a﹣5）n，求a的取值范圍．【即學即練5】（2021春?饒平縣校級期末）根據(jù)要求，回答下列問題：（1）由2x＞x﹣，得2x﹣x＞﹣，其依據(jù)是；（2）由x＞x﹣，得2x＞6x﹣3，其依據(jù)是；（3）不等式x＞（x﹣1）的解集為．【即學即練6】（2021?連州市模擬）已知a＞b，則下列結(jié)論正確的是（）A．﹣2a＞﹣2b B．a(chǎn)+c＞b+c C．3a＜3b D．a(chǎn)c＞bc【即學即練7】（2021春?濰坊期末）若a＞b，則下列不等式一定成立的是．A．a(chǎn)+2＞b+2B.＜C．﹣2a＜﹣2bD．a(chǎn)2＜b2【即學即練8】（2021?內(nèi)江）已知非負實數(shù)a，b，c滿足＝＝，設(shè)S＝a+2b+3c的最大值為m，最小值為n，則的值為．知識點03一元一次不等式1．一元一次不等式的概念只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1，系數(shù)不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其標準形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0)，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)．2．一元一次不等式的解法一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)時，不等號要改變方向．解一元一次不等式的一般步驟：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；(4)合并同類項；(5)化系數(shù)為1．要點詮釋：解一元一次不等式和解一元一次方程類似．不同的是：一元一次不等式兩邊同乘以(或除以)同一個負數(shù)時，不等號的方向必須改變，這是解不等式時最容易出錯的地方．【知識拓展1】（2021春?皇姑區(qū)校級期中）若x2m﹣1＞5是關(guān)于x的一元一次不等式，則m＝．【即學即練1】（2021春?饒平縣校級期末）已知（b+2）xb+1＜﹣3是關(guān)于x的一元一次不等式，試求b的值，并解這個一元一次不等式．【即學即練2】（2021春?平川區(qū)校級期末）在數(shù)學表達式：﹣4＜0，2x+y＞0，x＝1，x2+2xy+y2，x≠5，x+2＞y+3中，是一元一次不等式的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【即學即練3】（2021?南崗區(qū)校級開學）下列各式中，是一元一次不等式的有（）（1）x+2+x2＜2x﹣5+x2；（2）2x+xy+y；（3）3x﹣4y≥0；（4）﹣5＜x；（5）x≠0；（6）a2+1＞5．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【即學即練4】（2021春?甘孜州期末）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．x＜y B．a(chǎn)2+b2＞0 C．＞1 D．＜0【即學即練5】（2021春?冠縣期末）若（m+1）x|m|+2＞0是關(guān)于x的一元一次不等式，則m＝．【知識拓展2】（2021秋?肇源縣期末）若不等式組無解，則a的取值范圍是．【即學即練1】（2021?滕州市一模）下列各數(shù)中，不是不等式2（x﹣3）+3＜0的一個解的是（）A．﹣3 B． C． D．2【即學即練2】（2021?河南模擬）用三個不等式x＞﹣4，x＜﹣1，x＞1中的兩個組成不等式組，其中有解集的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【即學即練3】（2021?新野縣三模）已知關(guān)于x的不等式組有實數(shù)解，則m的取值范圍是．【即學即練4】（2021春?沭陽縣期末）如圖，是關(guān)于x的不等式的解集示意圖，則該不等式的解集為．【即學即練5】（2021春?陸河縣校級期末）如圖，此不等式的解集為．【即學即練6】（2021春?天津期末）分別用含x的不等式表示如圖數(shù)軸中所表示的不等式的解集：；②．【即學即練7】（2021?潮陽區(qū)模擬）把某個關(guān)于x的不等式的解集表示在數(shù)軸上如圖所示，則該不等式的解集是（）A．x≥﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2【即學即練8】（2021春?撫州期末）在實數(shù)范圍內(nèi)規(guī)定新運算“*”，基本規(guī)則是a*b＝a﹣2b，已知不等式x*m≤3的解集在數(shù)軸上表示如圖所示，則m的值為．【即學即練9】（2021春?饒平縣校級期末）解不等式7﹣2x＞（1﹣）2，把它的解集在數(shù)軸上表示出來，并求出它的正整數(shù)解．【即學即練10】（2019?衢江區(qū)二模）如圖，在數(shù)軸上，點A、B分別表示數(shù)1和﹣2x+3．（1）求x的取值范圍；（2）將x的取值范圍在數(shù)軸上表示出來．【知識拓展3】（2021秋?龍鳳區(qū)校級期末）若不等式（3a﹣2）x+2＜3的解集是x＜2，那么a必須滿足（）A．a(chǎn)＝ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)＝﹣【即學即練1】（2021秋?濟南期末）不等式﹣3x≤6的解集為．【即學即練2】（2021秋?鹿城區(qū)校級期中）若不等式（m﹣3）x＞m﹣3，兩邊同除以（m﹣3），得x＜1，則m的取值范圍為．【即學即練3】（2021秋?肇源縣期末）若關(guān)于x的方程x+k＝2x﹣1的解是負數(shù)，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1 D．k≤﹣1【即學即練4】（2021?安徽模擬）解不等式≤．【即學即練5】（2021?永定區(qū)模擬）解不等式：7x﹣2≤5x，并把解集在數(shù)軸上表示出來．【即學即練6】（2021秋?清鎮(zhèn)市期中）已知點M（﹣6，3﹣a）是第二象限的點，則a的取值范圍是．【知識拓展4】（2021?陜西）求不等式﹣x+1＞﹣2的正整數(shù)解．【即學即練1】（2021?長興縣模擬）整數(shù)x滿足不等式2x+1＜8，則x的值可能是.（寫出一個符合的值即可）【即學即練2】（2021春?聊城期末）解不等式，并寫出它的負整數(shù)解．【即學即練3】（2021春?鞍山期末）解不等式（1﹣2x）≥；并寫出它所有的非負整數(shù)解．【即學即練4】（2021秋?朝陽區(qū)校級期中）不等式4（x﹣2）＜2x﹣3的非負整數(shù)解的個數(shù)為（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個能力拓展能力拓展1.比較和的大小．2.等式的最小整數(shù)解是方程的解，求a的值．3.解不等式：．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共4小題）1．（2021秋?龍鳳區(qū)校級期末）若不等式（3a﹣2）x+2＜3的解集是x＜2，那么a必須滿足（）A．a(chǎn)＝ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)＝﹣2．（2021?錦江區(qū)校級開學）若a＞b，則下列不等式不一定成立的是（）A．﹣2a＜﹣2b B．a(chǎn)m＜bm C．a(chǎn)﹣3＞b﹣3 D．3．（2021秋?龍鳳區(qū)期末）已知a＜b，則下列不等式錯誤的是（）A．a(chǎn)﹣7＜b﹣7 B．a(chǎn)c2＜bc2 C． D．1﹣3a＞1﹣3b4．（2021秋?杜爾伯特縣期末）若m＜n，則下列各式正確的是（）A．﹣2m＜﹣2n B． C．1﹣m＞1﹣n D．m2＜n2二．填空題（共6小題）5．（2021秋?肇源縣期末）若不等式組無解，則a的取值范圍是．6．（2021秋?甌海區(qū)月考）根據(jù)“3x與5的和是負數(shù)”可列出不等式．7．（2021秋?青羊區(qū)校級期中）﹣＜x＜的所有整數(shù)的和是．8．（2021秋?濟南期末）不等式﹣3x≤6的解集為．9．（2021秋?澧縣期末）若a＞b，則﹣2a﹣2b．（用“＜”號或“＞”號填空）10．（2020秋?開化縣期末）若x＜y，且（a﹣3）x≥（a﹣3）y，則a的取值范圍是．三．解答題（共2小題）11．（2021春?澄城縣期末）已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是關(guān)于x的一元一次不等式，求這個不等式的解集．12．（2021春?秦都區(qū)月考）解不等式：3x﹣4＜4+2（x﹣2）．題組B能力提升練一、單選題1．在數(shù)學表達式：，，，，，中，是一元一次不等式的有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．不等式x﹣3≤3x+1的解集在數(shù)軸上表示如下，其中正確的是（）A．B．C．D．3．不等式2﹣3x≥2x﹣8的非負整數(shù)解有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．如圖，是關(guān)于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集，則a的取值是（）A．a(chǎn)≤﹣1 B．a(chǎn)≤﹣2 C．a(chǎn)=﹣1 D．a(chǎn)=﹣25．已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．若方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．7．若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B． C． D．二、填空題8．不等式5x9≤3(x+1)的解集是________.9．已知不等式的正整數(shù)解恰是1，2，3，4，那么的取值范圍是_________________.10．不等式的正整數(shù)解的個數(shù)為___________________．11．當x_____________時，的值小于的值．12．不等式的最小整數(shù)解為_____．13．（1）已知的解集中的最大整數(shù)為3，則a的取值范圍是________．（2）已知的解集中最小整數(shù)為2，則a的取值范圍是________．14．若不等式中的最大值是m，不等式中的最小值為n，則不等式的解集是________．三、解答題15．解一元一次不等式．16．解不等式，并把不等式的解集在數(shù)軸上表示出來．（1）；（2）．17．已知，關(guān)于x的不等式（2a