專題2.12反比例函數(shù)與幾何壓軸大題專練（分層培優(yōu)強化40題）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍

20222023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題2.12反比例函數(shù)與幾何壓軸大題專練（分層培優(yōu)強化40題，八下蘇科）【基礎(chǔ)過關(guān)】（每題10分，滿分100分，建議用時：90分鐘）1．（2023?鐘樓區(qū)校級模擬）【閱讀理解】對于任意正實數(shù)a、b，∵，∴a+b﹣2≥0，∴a+b≥2只有當(dāng)a＝b時，等號成立．【數(shù)學(xué)認(rèn)識】：在a+b≥2（a、b均為正實數(shù)）中，若ab為定值，則a+b≥2，只有當(dāng)a＝b時，a+b有最小值2．【解決問圖】：（1）若x＞0時，當(dāng)x＝1時，有最小值為2．（2）如圖，已知點A是反比例函數(shù)的圖象在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一支于點B．以AB為邊作等邊△ABC，點C在第四象限，記點C的運動軌跡為l．過點A作AD∥y軸交l于點D，過點A作AM⊥y軸于點M，過點D作DN⊥y軸于點N，求四邊形ADNM周長的最小值．【分析】（1）直接運用公式可得答案；（2）過點C作CE⊥y軸于點E，則四邊形AMND是矩形，利用等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)可得S△OCE＝3S△AOM＝，則點C在雙曲線y＝﹣上運動，設(shè)A（m，），則C（m，﹣），表示出AM+AD的長，利用公式可得AM+AD的最小值，從而解決問題．【解答】解：（1）∵x+≥2＝2，當(dāng)x＝時，x+有最小值為2，∴x＝1，故答案為：1，2；（2）∵OA＝OB，△ABC是等邊三角形，∴OC⊥AB，OC＝OA，過點C作CE⊥y軸于點E，則四邊形AMND是矩形，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM+∠COE＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠OAM＝∠COE，∵∠AMO＝∠CEO，∴△AMO∽△OEC，∴S△OCE＝3S△AOM＝，∴點C在雙曲線y＝﹣上運動，設(shè)A（m，），則C（m，﹣），∴AM＝m，AD＝，∴m+≥2＝4，∴AM+AD的最小值為4，∴四邊形ADNM周長的最小值為8．2．（2023?高新區(qū)模擬）平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)y＝kx﹣2k圖象交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)）．（1）求A、B兩點的坐標(biāo)（用含k的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)k＝2時，過y軸正半軸上一動點C（0，n）作平行于x軸的直線，分別與一次函數(shù)y＝kx﹣2k、反比例函數(shù)的圖象相交于D、E兩點，若CD＝3DE，求n的值；（3）若一次函數(shù)y＝kx﹣2k圖象與x軸交于點F，AF+BF≤5，直接寫出k的取值范圍．【分析】（1）將兩個解析式聯(lián)立求解，即可得到A、B的坐標(biāo)；（2）因為過C（0，n）的直線平行與x軸，可得點D、E的縱坐標(biāo)都為n．將y＝n代入y＝2x﹣4和，得和，分當(dāng)0＜n＜2時和當(dāng)n＞2時兩種情況，分別表示出CD與DE，根據(jù)CD＝3DE列方程即可求解；（3）結(jié)合（1），根據(jù)AF+BF≤5，即AB≤5，得到關(guān)于k的不等式，即可求解．【解答】解：（1）聯(lián)立解析式得：，解得或，∵點A在點B左側(cè)，∴A（﹣1，﹣3k），B（3，k）；（2）∵k＝2，∴反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式為和y＝2x﹣4，點B（3，2），∵過C（0，n）的直線平行于x軸，∴點D、E的縱坐標(biāo)都為n．將y＝n代入y＝2x﹣4和，得：xD＝+2，xE＝，當(dāng)0＜n＜2時，如圖：∴CD＝+2，DE＝﹣﹣2，∵CD＝3DE，∴+2＝3（﹣﹣2），整理，得n2+4n﹣9＝0，解得n＝﹣2+或n＝﹣2﹣（舍去）；∴n＝﹣2+；當(dāng)n＞2時，如圖：，，∴CD＝+2，DE＝2+﹣，∵CD＝3DE，∴+2＝3（2+﹣），整理，得n2+4n﹣18＝0，解得n＝﹣2+或n＝﹣2﹣（舍去），∴n＝﹣2+，綜上所述：n的值為或；（3）由（1）知A（﹣1，﹣3k），B（3，k），∵AF+BF≤5，AF+BF＝AB，∴AB≤5，∴≤5，整理，得k2≤，∴﹣≤k≤，∴k的取值是﹣≤k≤，且k≠0．3．（2022春?海陵區(qū)校級期末）定義：平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的矩形若滿足以下兩個條件：①各邊平行于坐標(biāo)軸：②有兩個頂點在同一反比例函數(shù)圖象上，我們把這個矩形稱為該反比例函數(shù)的“伴隨矩形”．例如，圖1中，矩形ABCD的邊AD∥BC∥x軸，AB∥CD∥y軸，且頂點A、C在反比例函數(shù)（k≠0）的圖象上，則矩形ABCD是反比例函數(shù)的“伴隨矩形”．解決問題：（1）已知，矩形ABCD中，點A、C的坐標(biāo)分別為：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函數(shù)的“伴隨矩形”的是①③；（填序號）（2）如圖1，點B（2，1.5）是某比例系數(shù)為8的反比例函數(shù)的“伴隨矩形”ABCD的頂點，求直線BD的函數(shù)解析式；（3）若反比例函數(shù)“伴隨矩形”ABCD如圖2所示，試說明有一條對角線所在的直線一定經(jīng)過原點．【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征可得答案；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征可得（2，4），C（，），從而得出點D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可得直線BD的解析式；（3）設(shè)A（m，），C（n，），則B（m，），D（n，），利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式可得答案．【解答】（1）解：①∵A（﹣3，8），C（6，﹣4），∴﹣3×8＝﹣24，6×（﹣4）＝﹣24，∴A、C滿足同一個反比例函數(shù)，②∵A（1，5），C（2，3），∴1×5＝5，2×3＝6，∴A、C不滿足同一個反比例函數(shù)，③∵A（3，4），C（2，6），∴3×4＝12，2×6＝12，∴A、C滿足同一個反比例函數(shù)，∴可能是某反比例函數(shù)的“伴隨矩形”的是①③，故答案為：①③；（2）解：∵點B（2，1.5）是某比例系數(shù)為8的反比例函數(shù)的“伴隨矩形”ABCD的頂點，∴A（2，4），C（，），∴D（，4），設(shè)直線BD的解析式為y＝ax+b，則，∴，∴y＝x；（3）證明：∵A、C在反比例函數(shù)（k≠0）上，設(shè)A（m，），C（n，），則B（m，），D（n，），設(shè)直線BD的解析式為＝cx+d，則，∴，即y＝x，∴直線BD過原點．4．（2023?海陵區(qū)一模）如圖，動點P在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，過點P分別作x軸和y軸的平行線，交函數(shù)y＝的圖象于點A、B，連接AB、OA、OB，設(shè)點P橫坐標(biāo)為a．（1）直接寫出點P、A、B的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示）；（2）點P在運動的過程中，△AOB的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由；（3）在平面內(nèi)有一點Q（，1），且點Q始終在△PAB的內(nèi)部（不包含邊），求a的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征可表示出點P、A、B的坐標(biāo)；（2）由點P、A、B的坐標(biāo)，可知PA、PB的長度，從而得出答案；（3）利用待定系數(shù)法表示出直線AB的解析式，根據(jù)點P始終點AB的上方，得出a的不等式，從而解決問題．【解答】解：（1）∵點P在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點P橫坐標(biāo)為a．∴P（a，），∵PA∥x軸，PB∥y軸，∴B（a，﹣），A（﹣）；（2）是定值，理由如下：∵PA＝a﹣（﹣）＝，PB＝﹣（﹣）＝，∴△APB的面積為×PA×PB＝＝，∵S四邊形AOBP＝3+1＝4，∴△AOB的面積為定值4﹣＝；（3）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，將點B（a，﹣），A（﹣）代入得，k＝﹣，b＝，∴直線AB的解析式為：y＝﹣，當(dāng)x＝時，y＝﹣，∵點Q始終在△PAB的內(nèi)部，∴﹣＜1，且＞1，且a＞，解得a≠1，且＜a＜3，綜上：＜a＜3且a≠1．5．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系第一象限中，已知點A坐標(biāo)為（1，0），點D坐標(biāo)為（1，3），點G坐標(biāo)為（1，1），動點E從點G出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度勻速向點D方向運動，與此同時，x軸上動點B從點A出發(fā)，以相同的速度向右運動，兩動點運動時間為t（0＜t＜2），以AD、AB分別為邊作矩形ABCD，過點E作雙曲線交線段BC于點F，作CD中點M，連接BE、EF、EM、FM．（1）當(dāng)t＝1時，求點F的坐標(biāo)．（2）若BE平分∠AEF，則t的值為多少？（3）若∠EMF為直角，則t的值為多少？【分析】（1）由題意可得點E（1，2），可得雙曲線解析式：y＝，即可求點F坐標(biāo)；（2）由平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得EF＝BF＝1，即可求t的值；（3）延長EM，BC交于點N，由“AAS”可證△DEM≌△CNM，可得EM＝MN，DE＝CN＝2﹣t，由“SAS”可證△EMF≌△NMF，可得EF＝NF，即可求t的值．【解答】解：（1）當(dāng)t＝1時，EG＝1×1＝1＝AB∴點E（1，2）設(shè)雙曲線解析式：y＝∴k＝1×2＝2∴雙曲線解析式：y＝∵OB＝OA+AB＝2，∴當(dāng)x＝2時，y＝1，∴點F（2，1）（2）∵EG＝AB＝t，∴點E（1，1+t），點B（1+t，0）設(shè)雙曲線解析式：y＝∴m＝1+t∴雙曲線解析式：y＝當(dāng)x＝1+t時，y＝1∴點F（1+t，1）∵BE平分∠AEF∴∠AEB＝∠BEF，∵AD∥BC∴∠AEB＝∠EBF＝∠BEF∴EF＝BF＝1∴＝t＝1∴t＝（3）延長EM，交于BC的延長線于點N，∵EG＝AB＝t，∴點E（1，1+t），點B（1+t，0）∴DE＝AD﹣AE＝3﹣（1+t）＝2﹣t，設(shè)雙曲線解析式：y＝∴n＝1+t∴雙曲線解析式：y＝當(dāng)x＝1+t時，y＝1∴點F（1+t，1）∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠NCD，∠DEM＝∠MNC，且DM＝CM，∴△DEM≌△CNM（AAS）∴EM＝MN，DE＝CN＝2﹣t，∵CF＝BC﹣BF＝2∴NF＝CF+CN＝2﹣t+2＝4﹣t，∵∠EMF為直角，∴∠EMF＝∠NMF＝90°，且EM＝MN，MF＝MF，∴△EMF≌△NMF（SAS），∴EF＝NF，∴t＝4﹣t∴t＝4﹣46．（2022春?盱眙縣期末）如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點B在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的第一象限內(nèi)的圖象上，OA＝4，OC＝3，動點P在x軸的上方，且滿足S△PAO＝S矩形AOCB．（1）若點P在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點P的坐標(biāo)；（2）連接PO、PA，求PO+PA的最小值；（3）若點Q是平面內(nèi)一點，使得以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形，則請你直接寫出滿足條件的所有點Q的坐標(biāo)．【分析】（1）首先根據(jù)點B坐標(biāo)，確定反比例函數(shù)的解析式，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為m（m＞0），根據(jù)S△PAO＝，構(gòu)建方程即可解決問題；（2）過點（0，2），作直線l⊥y軸．由（1）知，點P的縱坐標(biāo)為2，推出點P在直線l上作點O關(guān)于直線l的對稱點O′，則OO′＝4，連接AO′交直線l于點P，此時PO+PA的值最?。唬?）分四種情形分別求解即可解決問題；【解答】解：（1）∵四邊形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，∴點B的坐標(biāo)為（4，3），∵點B在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的第一象限內(nèi)的圖象上∴k＝12，∴y＝，設(shè)點P的縱坐標(biāo)為m（m＞0），∵S△PAO＝．∴?OA?m＝OA?OC?，∴m＝2，當(dāng)點，P在這個反比例函數(shù)圖象上時，則2＝，∴x＝6∴點P的坐標(biāo)為（6，2）．（2）過點（0，2），作直線l⊥y軸．由（1）知，點P的縱坐標(biāo)為2，∴點P在直線l上作點O關(guān)于直線l的對稱點O′，則OO′＝4，連接AO′交直線l于點P，此時PO+PA的值最小，則PO+PA的最小值＝PO′+PA＝O′A＝＝4．（3）①如圖2中，當(dāng)四邊形ABQP是菱形時，易知AB＝AP＝PQ＝BQ＝3，P1（4﹣，2），P2（4+，2），∴Q1（4﹣，5），Q2（4+，5）．②如圖3中，當(dāng)四邊形ABPQ是菱形時，P3（4﹣2，2），P4（4+2，2），∴Q3（4﹣2，﹣1），Q4（4+2，﹣1）．綜上所述，點Q的坐標(biāo)為Q1（4﹣，5），Q2（4+，5），Q3（4﹣2，﹣1），Q4（4+2，﹣1）．7．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，A（﹣3，0），B（0，1），C（m，n）．（1）請直接寫出C點坐標(biāo)．（2）將△ABC沿x軸的正方向平移t個單位，B′、C′兩點的對應(yīng)點、正好落在反比例函數(shù)y＝在第一象限內(nèi)圖象上．請求出t，k的值．（3）在（2）的條件下，問是否存在x軸上的點M和反比例函數(shù)y＝圖象上的點N，使得以B′、C′，M，N為頂點的四邊形構(gòu)成平行四邊形？如果存在，請求出所有滿足條件的點M和點N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）由在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，可證得△ADC≌△BOA，繼而求得C點坐標(biāo)；（2）首先設(shè)向右平移了t個單位長度，則點B′的坐標(biāo)為（t，1）、C′的坐標(biāo)為（t﹣4，3），由B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上，即可得t＝3（t﹣4），繼而求得m的值，則可求得各點的坐標(biāo)，于是得到結(jié)論；（3）如圖2，當(dāng)MN為平行四邊形MC′NB′的對角線時，如圖3，當(dāng)MC′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，如圖4，當(dāng)MB′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，根據(jù)中點坐標(biāo)公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖1，過點C作CD⊥x軸于點D，則∠ADC＝∠AOB＝90°，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵Rt△ABC，∠A＝90°，∴∠DAC+∠BAO＝90°，∴∠BAO＝∠ACD，在△ADC和△BOA中，，∴△ADC≌△BOA（AAS），∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝3，∴OD＝OA+AD＝4，∴C點坐標(biāo)為：（﹣4，3）；（2）設(shè)向右平移了t個單位長度，則點B′的坐標(biāo)為（t，1）、C′的坐標(biāo)為（t﹣4，3），∵B′、C′正好落在某反比例函數(shù)圖象上，∴t＝3（t﹣4），解得：t＝6，∴B′（6，1），C′（2，3），∴k＝6，∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝；（3）存在，如圖2，當(dāng)MN為平行四邊形MC′NB′的對角線時，由平行四邊形的對角線互相平分，可知B′C′，MN的中點為同一個點，即＝，∴yN＝4代入y＝得xN＝1.5，∴N（1.5，4）；∵＝，∴xM＝6.5，∴M（6.5，0）；如圖3，當(dāng)MC′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，同理可得M（7，0），N（3，2）；如圖4，當(dāng)MB′為平行四邊形MC′NB′的對角線時，同理可得M（﹣7，0），N（﹣3，﹣2）；綜上所述：存在M（6.5，0），N（1.5，4）或M（7，0），N（3，2）或M（﹣7，0），N（﹣3，﹣2），使得以B′、C′，M，N為頂點的四邊形構(gòu)成平行四邊形．8．（2023春?姜堰區(qū)月考）如圖，點A和點E（2，1）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的兩點，點B在反比例函數(shù)y＝（x＜0）的圖象上，分別過點A，B作y軸的垂線，垂足分別為點C，D，AC＝BD，連接AB交y軸于點F．（1）求反比例函數(shù)y＝的關(guān)系式；（2）設(shè)點A的橫坐標(biāo)為a，點F的縱坐標(biāo)為m，求am的值；（3）連接CE，DE，當(dāng)∠CED＝90°時，求點A的坐標(biāo)．【分析】（1）將E點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得k值；（2）根據(jù)AAS可證△BDF≌△ACF，根據(jù)全等三角形面積相等即可得證結(jié)論；（3）設(shè)A點坐標(biāo)為（a，），則可得C、D的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出a值，即可求得A點的坐標(biāo)．【解答】（1）解：∵點E（2，1）是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上的點，∴k＝1，解得：k＝2，故反比例函數(shù)的關(guān)系式為：y＝；（2）證明：在△ACF和△BDF中，∵∠ACF＝∠BDF，∠CFA＝∠BFD，AC＝BD，∴△ACF≌△BDF（AAS），∴S△BDF＝S△ACF，∵點A坐標(biāo)為（a，），則可得C（0，），∴AC＝a，OC＝，即a×（﹣m）＝a×（+m），整理得am＝﹣2；（3）解：設(shè)A點坐標(biāo)為（a，），則C（0，），D（0，﹣），∵E（2，1），∠CED＝90°，∴CE2+DE2＝CD2，即22+（1﹣）2+22+（1+）2＝（+）2，解得a＝﹣2（舍去）或a＝，∴A點的坐標(biāo)為：（，）．9．（2022春?亭湖區(qū)校級期中）如圖，菱形OABC的點B在y軸上，點C坐標(biāo)為（8，6），雙曲線的圖象經(jīng)過點A．（1）菱形OABC的邊長為10；（2）求雙曲線的函數(shù)關(guān)系式；（3）點B關(guān)于點O的對稱點為D點，過D作直線l垂直于x軸，點P是直線l上一個動點，①將點P繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點Q，當(dāng)點Q落在雙曲線上時，求點Q的坐標(biāo)．②點E在雙曲線上，當(dāng)P、E、A、B四點構(gòu)成平行四邊形時，求點E的坐標(biāo)．【分析】（1）連接AC交y軸于點J，根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC⊥OB，AJ＝JC，OJ＝BJ，根據(jù)點C的坐標(biāo)得AJ＝JC＝8，OJ＝BJ＝6，根據(jù)勾股定理即可得；（2）先求出點A的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)解析式；（3）①過點A作AT⊥PD，過點Q作QR⊥AT，先求出AT＝18，，然后證明△APT≌△QAR得到AT＝RQ＝18，即可得點Q的橫坐標(biāo)；②分別以AB為以P、E、A、B四點構(gòu)成平行四邊形的邊和對角線兩種情況討論求解即可得．【解答】解：（1）如圖1中，連接AC交y軸于點J，∵四邊形OABC是菱形，∴AC⊥OB，AJ＝JC，OJ＝BJ，∵點C的坐標(biāo)為（8，6），∴AJ＝JC＝8，OJ＝BJ＝6，∴，即菱形OABC的邊長為10，故答案為：10．（2）∵AJ＝JC，OJ＝BJ，∴點A的坐標(biāo)為（﹣8，6），∵反比例函數(shù)經(jīng)過點A（﹣8，6），∴，k＝﹣48，∴反比例函數(shù)解析式為；（3）①如圖2中，過點A作AT⊥PD，過點Q作QR⊥AT，∵OJ＝BJ＝6，∴OB＝12，∴點B的坐標(biāo)為（0，12），∴點D的坐標(biāo)為（0，﹣12），∴直線l為y＝﹣12，∵點A的坐標(biāo)為（﹣8，6），直線l為y＝﹣12，∴AT＝18，∵∠ATP＝∠QRA＝∠PAQ＝90°，∴∠PAT+∠APT＝90°，∠PAT+∠QAR＝90°，∴∠APT＝∠QAR，∵AP＝QA，∴△APT≌△QAR（AAS），∴AT＝RQ＝18，∴點Q的橫坐標(biāo)為10，∵點Q在反比例函數(shù)上，∴，∴點Q的坐標(biāo)為；②設(shè)點E的坐標(biāo)為，點P的坐標(biāo)為（a，﹣12），當(dāng)AB是以P、E、A、B四點構(gòu)成平行四邊形的對角線時，∵線段AB與線段PE的中點坐標(biāo)相同，∴，解得，，∴點E的坐標(biāo)為，如圖所示，當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，即以P、E、A、B四點構(gòu)成平行四邊形為ABE'P'時，∵AE'與BP'的中點坐標(biāo)相同時，∴，解得，m＝8，∴E'的坐標(biāo)為（8，﹣6），同理可求出當(dāng)AB為平行四邊形的邊時，即以P、E、A、B四點構(gòu)成平行四邊形為ABE''P''時，點E''的坐標(biāo)為，綜上，當(dāng)點E坐標(biāo)為或（8，﹣6）或時，以P、E、A、B四點構(gòu)成的四邊形是平行四邊形．10．（2022春?姑蘇區(qū)校級月考）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點A（1，6），B（3，n）兩點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）連接OA、OB，求△AOB的面積；（3）直線a經(jīng)過點（0，1）且平行于x軸，點M在直線a上，點N在y軸上，以A、B、M、N為頂點的四邊形可以是平行四邊形嗎？如果可以，直接寫出點M、N的坐標(biāo)，如果不可以，說明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）由△AOB的面積＝S△AOH﹣S△BOH，即可求解；（3）當(dāng)AB是對角線時，由中點坐標(biāo)公式列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解；當(dāng)AM（AN）是對角線時，同理可解．【解答】解：（1）將點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達式得：6＝，解得：m＝6，故反比例函數(shù)表達式為：y＝，當(dāng)x＝3時，y＝＝2，即點B（3，2），由題意得：，解得：，故一次函數(shù)的表達式為：y＝﹣2x+8；（2）設(shè)AB交x軸于點H，令y＝﹣2x+8＝0，解得：x＝4，即OH＝4，則△AOB的面積＝S△AOH﹣S△BOH＝×4×6﹣4×2＝8；（3）設(shè)點M、N的坐標(biāo)別為（m，1）、（0，n），當(dāng)AB是對角線時，由中點坐標(biāo)公式得：，解得：，即點M、N的坐標(biāo)分別為（4，1）、（0，7）；當(dāng)AM是對角線時，由中點坐標(biāo)公式得：，解得：，即點M、N的坐標(biāo)分別為：（﹣2，1）、（0，5）；當(dāng)AN是對角線時，由中點坐標(biāo)公式得：，解得：，即即點M、N的坐標(biāo)分別為：（﹣2，1）、（0，﹣3）；綜上，點M、N的坐標(biāo)分別為（4，1）、（0，7）或（﹣2，1）、（0，5）或（﹣2，1）、（0，﹣3）．【能力提升】（每題10分，滿分100分，建議用時：90分鐘）11．（2022春?沭陽縣月考）如圖1，已知點A（a，0），B（0，b），且a、b滿足+（a+b+3）2＝0，平行四邊形ABCD的邊AD與y軸交于點E，且E為AD中點，雙曲線y＝經(jīng)過C、D兩點．（1）a＝﹣1，b＝﹣2；（2）求反比例函數(shù)表達式；（3）點P在雙曲線y＝上，點Q在x軸上，若以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求滿足要求的所有點Q的坐標(biāo)．【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，故可得出A、B兩點的坐標(biāo)，（2）設(shè)D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出t，由D的坐標(biāo)即可求出反比例函數(shù)表達式；（3）再由點P在雙曲線y＝上，點Q在y軸上，設(shè)Q（x，0），P（x，），再分以AB為邊和以AB為對角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵+（a+b+3）2＝0，，且≥0，（a+b+3）2≥0，，解得，故答案為：﹣1，﹣2；（2）設(shè)反比例函數(shù)表達式為y＝，由（1）知，a＝﹣1，b＝﹣2，∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），∵E為AD中點，∴xD＝1，設(shè)D（1，t），又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴C（2，t﹣2），∴t＝2t﹣4，∴t＝4，∴D（1，4），∵D點在反比例函數(shù)y＝的圖像上，∴4＝，∴k＝4，∴反比例函數(shù)表達式為y＝；（3）由（2）知，反比例函數(shù)的解析式為y＝，∵點P在雙曲線y＝上，點Q在y軸上，∴設(shè)Q（x，0），P（x，），①當(dāng)AB為邊時：如圖2①所示：若ABPQ為平行四邊形，則＝﹣2，解得x＝﹣2，此時P1（﹣2，﹣2），Q1（﹣3，0）；如圖2②所示；若ABQP為平行四邊形，則＝2，解得x＝2，此時P2（2，2），Q2（3，0）；②如圖2③所示；當(dāng)AB為對角線時：AQ＝BP，且AQ∥BP；則＝﹣2，解得x＝﹣2，此時P3（﹣2，﹣2），AQ＝2，，∴OQ＝AQ﹣AO＝1，∴Q3（1，0）；∴P3（﹣2，﹣2），Q3（1，0）；故Q1（﹣3，0）；Q2（3，0）；Q3（1，0）．12．（2022秋?靖江市校級月考）如圖，直線y＝x與雙曲線y＝（k≠0）交于A，B兩點，點A的坐標(biāo)為（m，﹣4），點C是雙曲線第一象限分支上的一點，連接BC并延長交x軸于點D，且BC＝3CD．（1）求k的值并直接寫出點B的坐標(biāo)；（2）點G是y軸上的動點，連接GB，GC，求GB+GC的最小值；（3）點P是坐標(biāo)軸上的一點，點Q是平面內(nèi)一點，是否存在點P、Q使得四邊形ABPQ是矩形？若存在，請求出符合條件的所有P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）將點A的坐標(biāo)為（m，﹣4）代入直線y＝x中，可求得A（﹣3，﹣4），即可求得k＝12，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可求出點B的坐標(biāo)；（2）如圖1，作BE⊥x軸于點E，CF⊥x軸于點F，則BE∥CF，△DCF∽△DBE，利用相似三角形性質(zhì)即可求得C（12，1），作點B關(guān)于y軸的對稱點B′，連接B′C交y軸于點G，則B′C即為BG+GC的最小值，運用勾股定理即可求得答案；（3）分兩種情況：①當(dāng)點P在x軸上時，如圖2，設(shè)點P1的坐標(biāo)為（a，0），過點B作BE⊥x軸于點E，通過△OBE∽△OP1B，建立方程求解即可；②當(dāng)點P在y軸上時，過點B作BN⊥y軸于點N，如圖2，設(shè)點P2的坐標(biāo)為（0，b），利用△BON∽△P2OB，建立方程求解即可．【解答】解：（1）∵A（m，﹣4）在直線y＝x上，∴m＝﹣4，解得m＝﹣3，∴A（﹣3，﹣4），∵A（﹣3，﹣4）在y＝上，∴k＝12，∴y＝，∵直線y＝x與雙曲線y＝（k≠0），∴A、B關(guān)于原點對稱，∴B（3，4）；（2）如圖1，作BE⊥x軸于點E，CF⊥x軸于點F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∴＝，∵BC＝3CD，BE＝4，∴＝，∴＝，∴CF＝1，∴C（12，1），作點B關(guān)于y軸的對稱點B′，連接B′C交y軸于點G，則B′C即為BG+GC的最小值，∵B′（﹣3，4），C（12，1），∴B′C＝＝3，∴BG+GC＝B′C＝3；故GB+GC的最小值為3；（3）（3）存在．理由如下：①當(dāng)點P在x軸上時，如圖2，設(shè)點P1的坐標(biāo)為（a，0），過點B作BE⊥x軸于點E，∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，∴△OBE∽△OP1B，∴＝，∵B（3，4），∴OB＝＝5，∴＝，∴a＝，∴點P1的坐標(biāo)為（，0）；②當(dāng)點P在y軸上時，過點B作BN⊥y軸于點N，如圖2，設(shè)點P2的坐標(biāo)為（0，b），∵∠ONB＝∠P2BO＝90°，∠BON＝∠P2OB，∴△BON∽△P2OB，∴＝，即＝，∴b＝，∴點P2的坐標(biāo)為（0，）；綜上所述，點P的坐標(biāo)為（，0）或（0，）．13．（2022春?相城區(qū)校級期中）【發(fā)現(xiàn)問題】小明在學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)：周長為定值的矩形中面積最大的是正方形．那么，面積為定值的矩形中，其周長的取值范圍如何呢？【解決問題】小明嘗試從函數(shù)圖象的角度進行探究：（1）建立函數(shù)模型設(shè)一矩形的面積為4，周長為m，相鄰的兩邊長為x、y，則xy＝4，2（x+y）＝m，即y＝，y＝?x+，那么滿足要求的（x，y）應(yīng)該是函數(shù)y＝與y＝?x+的圖象在第一象限內(nèi)的公共點坐標(biāo)．（2）畫出函數(shù)圖象①畫函數(shù)y＝（x＞0）的圖象；②在同一直角坐標(biāo)系中直接畫出y＝?x的圖象，則y＝?x+的圖象可以看成是由y＝?x的圖象向上平移個單位長度得到．（3）研究函數(shù)圖象平移直線y＝﹣x，觀察兩函數(shù)的圖象；①當(dāng)直線平移到與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象有唯一公共點的位置時，公共點的坐標(biāo)為（2，2），周長m的值為8；②在直線平移的過程中，兩函數(shù)圖象公共點的個數(shù)還有什么情況？請直接寫出公共點的個數(shù)及對應(yīng)周長m的取值范圍．【結(jié)論運用】（4）面積為10的矩形的周長m的取值范圍為m≥4．【分析】（1）由x＞0，y＞0，可得（x，y）在第一象限；（2）①直接畫出圖象即可；②直接畫出圖象即可，求出y＝?x+與x軸的交點坐標(biāo)，即可求解；（3）①聯(lián)立方程組，可求解；②在直線平移過程中，交點個數(shù)有：0個、1個、2個三種情況，結(jié)合圖象可求解；（4）聯(lián)立方程組，可得2x2﹣mx+20＝0，由根的判別式可求解．【解答】解：（1）∵x，y都是邊長，周長為m，∴x＞0，y＞0，m＞0，∴滿足要求的（x，y）應(yīng)該是函數(shù)y＝與y＝?x+的圖象在第一象限內(nèi)的公共點坐標(biāo)．故答案為：一；（2）①y＝的圖象如圖所示：②y＝﹣x的圖象如上圖所示，∵y＝?x+與x軸的交點為（，0），∴y＝?x+的圖象可以看成是由y＝﹣x的圖象向右平移個單位長度得到，故答案為：；（3）①聯(lián)立方程組可得：，整理得：x2﹣mx+4＝0，∵兩圖象有唯一交點，∴Δ＝m2﹣16＝0，∴m＝8，∴x2﹣×8x+4＝0，解得：x＝2，∴交點坐標(biāo)為（2，2），故答案為：（2，2），8；②由①知：0個交點時，0＜m＜8；2個交點時，m＞8；1個交點時，m＝8；（4）設(shè)相鄰的兩邊長為x、y，則x?y＝10，2（x+y）＝m，即y＝，y＝﹣x+，聯(lián)立方程組可得，整理得：2x2﹣mx+20＝0，∵兩函數(shù)有交點，∴Δ＝m2﹣4×2×20≥0，∴m≥4，故答案為：m≥4．14．（2022春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，已知點A（0，﹣6）、C（﹣3，﹣7），點B在第三象限內(nèi)．（1）求點B的坐標(biāo)；（2）將△ABC以每秒2個單位的速度沿y軸向上平移t秒，若存在某一時刻t，使在第二象限內(nèi)點B、C兩點的對應(yīng)點B'，C'正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，請求出此時t的值以及這個反比例函數(shù)的解析式；（3）在（2）的情況下，問：是否存在x軸上的點P和反比例函數(shù)圖象上的點Q，使得以P、Q、B'、C'四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合題意的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）過點B作BE⊥y軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，證明△ACF≌△BAE得出BE與OE的長度便可求得B點坐標(biāo)；（2）先用t表示B′和C′點的坐標(biāo)，再根據(jù)“B'、C'正好落在某反比例函數(shù)的圖象上”得B′和C′點的橫、縱坐標(biāo)的積相等，列出t的方程求得t，進而求得反比例函數(shù)的解析式；（3）分各種情況：B'C'為平行四邊形的邊，B'C'為平行四邊形的對角線．分別解答問題．【解答】解：（1）如圖1，過點B作BE⊥y軸于點E，過點C作CF⊥y軸于點F，則∠AFC＝∠AEB＝90°，∵點A（0，﹣6），C（﹣3，﹣7），∴CF＝3，AF＝1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠CAF+∠BAE＝∠CAF+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠BAE，∴△ACF≌△BAE（AAS），∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝1，∴OE＝OA﹣AE＝6﹣3＝3，∴B（﹣1，﹣3）；（2）根據(jù)題意得，B′（﹣1，﹣3+2t），C′（﹣3，﹣7+2t），設(shè)經(jīng)過B'、C'的反比例函數(shù)解析式為：y＝（k≠0），∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝﹣3（﹣7+2t），解得，t＝，∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝3﹣9＝﹣6，∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝﹣；（3）存在，設(shè)P（n，0），由（2）知B′（﹣1，6），C′（﹣3，2），①當(dāng)B'C'為平行四邊形的邊時，則B′C′∥QP，B′C′＝QP，∴Q（n+2，4）或（n﹣2，﹣4），把Q（n+2，4）代入y＝﹣中，得，4（n+2）＝﹣6，解得，n＝﹣，∴Q（﹣，4），把Q（n﹣2，﹣4），代入y＝﹣中，得，﹣4（n﹣2）＝﹣6，解得，n＝，∴Q（，﹣4）；②當(dāng)B'C'為對角線時，則B'C'的中點坐標(biāo)為（﹣2，4），∴PQ的中點坐標(biāo)為（﹣2，4），∴Q（﹣4﹣n，8），把Q點坐標(biāo)代入y＝﹣中，得，8（﹣n﹣4）＝﹣6，解得，n＝﹣，∴Q（﹣，8），綜上，存在x軸上的點P和反比例函數(shù)圖象上的點Q，使得以P、Q、B'、C'四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．Q點坐標(biāo)為（﹣，4）或（，﹣4）或（﹣，8）．15．（2022春?吳中區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點B的坐標(biāo)為（﹣1，0），頂點C的坐標(biāo)為（﹣5，1），對角線AC∥x軸，邊AB所在直線y1＝ax+b與反比例函數(shù)y2＝（k＞0）的圖象在第一象限交于A點．（1）求y1和y2的函數(shù)解析式；（2）點P是x軸上一動點，當(dāng)△PAC是以AC為斜邊的直角三角形時，請直接寫出點P的坐標(biāo)．【分析】（1）由圖形的對稱性知，點A、C關(guān)于BD對稱，則點A的坐標(biāo)為（3，1），進而求解；（2）由AC2＝PA2+PC2，即64＝（x﹣3）2+1+（x+5）2+1，即可求解．【解答】解：（1）連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，AC∥x軸，由圖形的對稱性知，點A、C關(guān)于BD對稱，則點A的坐標(biāo)為（3，1），將點A、B的坐標(biāo)代入直線的表達式得，解得，∴y1＝x+；將點A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達式得：1＝，解得k＝3，則y2＝；（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，0），由點P、A、C的坐標(biāo)得：AC2＝（3+5）2＝64，PA2＝（x﹣3）2+1，PC2＝（x+5）2+1，由題意得：AC2＝PA2+PC2，即64＝（x﹣3）2+1+（x+5）2+1，解得x＝﹣1±，故點P的坐標(biāo)為（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）．16．（2022春?姑蘇區(qū)校級期中）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b與反比例函數(shù)的圖象交于點A（1，6），B（3，n）兩點．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；（2）連接OA、OB，求△AOB的面積；（3）直線a經(jīng)過點（0，1）且平行于x軸，點M在直線a上，點N在y軸上，以A、B、M、N為頂點的四邊形可以是平行四邊形嗎？如果可以，直接寫出點M、N的坐標(biāo)，如果不可以，說明理由．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）設(shè)直線y＝2x+8與x軸交于D，與y軸交于點C，由S△AOB＝S△COD﹣S△ACO﹣S△BOD求解即可；（3）設(shè)M（m，1），N（0，n），分三種情況討論：①當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時；②當(dāng)AM為平行四邊形的對角線時；③當(dāng)AN為平行四邊形的對角線時；根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，利用中點坐標(biāo)公式即可求解．【解答】解：（1）將點A（1，6）代入，∴m＝6，∴y＝，將B（3，n）代入y＝，∴n＝2，∴B（3，2），將A（1，6），B（3，2）代入y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣2x+8；（2）設(shè)直線y＝2x+8與x軸交于D，與y軸交于點C，∴C（0，8），D（4，0），∴S△AOB＝S△COD﹣S△ACO﹣S△BOD＝8×4﹣8×1﹣＝8；（3）以A、B、M、N為頂點的四邊形可以是平行四邊形，理由如下：設(shè)M（m，1），N（0，n），①當(dāng)AB為平行四邊形的對角線時，，解得，∴M（4，1），N（0，7）；②當(dāng)AM為平行四邊形的對角線時，，解得，∴M（2，1），N（0，5）；③當(dāng)AN為平行四邊形的對角線時，，解得，∴M（﹣2，1），N（0，﹣3）；綜上所述：M（4，1），N（0，7）或M（2，1），N（0，5）或M（﹣2，1），N（0，﹣3）．17．（2022?鐘樓區(qū)校級模擬）【閱讀理解】對于任意正實數(shù)a、b，∵（）2≥0，∴a+b﹣2≥0∴a+b≥2，只有當(dāng)a＝b時，等號成立．【數(shù)學(xué)認(rèn)識】在a+b≥2（a、b均為正實數(shù)）中，若ab為定值k，則a+b≥2，只有當(dāng)a＝b時，a+b有最小值2．【解決問題】（1）若x＞0時，當(dāng)x＝1時，x+有最小值為2；（2）如圖，已知點A是反比例函數(shù)y＝的圖象在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一支與點B，以AB為邊作等邊△ABC，點C在第四象限．記點C的運動軌跡為l，過點A作AD∥y軸交l于點D，過點A作AM⊥y軸于點M，過點D作DN⊥y軸于點N，求四邊形ADNM周長的最小值．【分析】（1）直接運用公式可得答案；（2）過點C作CE⊥y軸于點E，則四邊形AMND是矩形，利用等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)可得S△OCE＝3S△AOM＝，則點C在雙曲線y＝﹣上運動，設(shè)A（m，），則C（m，﹣），表示出AM+AD的長，利用公式可得AM+AD的最小值，從而解決問題．【解答】解：（1）∵x+≥2＝2，當(dāng)x＝時，x+有最小值為2，∴x＝1，故答案為：1，2；（2）∵OA＝OB，△ABC是等邊三角形，∴OC⊥AB，OC＝OA，過點C作CE⊥y軸于點E，則四邊形AMND是矩形，∴∠AOC＝90°，∴∠AOM+∠COE＝90°，∵∠AOM+∠OAM＝90°，∴∠OAM＝∠COE，∵∠AMO＝∠CEO，∴△AMO∽△OEC，∴S△OCE＝3S△AOM＝，∴點C在雙曲線y＝﹣上運動，設(shè)A（m，），則C（m，﹣），∴AM＝m，AD＝，∴m+≥2＝4，∴AM+AD的最小值為4，∴四邊形ADNM周長的最小值為8．18．（2022?天寧區(qū)校級一模）如圖，點A，B在函數(shù)（其中x＞0）的圖象上，連接AB．取線段AB的中點C．分別過點A，C，B作x軸的垂線，垂足為E，F(xiàn)，G，CF交函數(shù)（其中x＞0）的圖象于點D．小明運用幾何知識得出結(jié)論：AE+BG＝2CF，CF＞DF．設(shè)點E，F(xiàn)的橫坐標(biāo)分別為n﹣1，n（n＞1）．（1）①點G的橫坐標(biāo)為n+1．②請你仔細(xì)觀察函數(shù)其中x＞0）的圖象，并由此得出一個關(guān)于，，，之間數(shù)量關(guān)系的真命題：若n＞1，則．（2）請你說明在（1）中你提出的命題是真命題的理由；（3）比較與的大小，并說明理由．【分析】（1）求出AE，BG，DF，利用AE+BG＝2CF，可得；（2）根據(jù)分式的加減計算，利用求差法比較大小即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論證明即可．【解答】解：（1）①AE，CF，BG都垂直于x軸，∴AE∥CF∥BG，∵C是AB的中點，∴，∴F是EG的中點，設(shè)點E，F(xiàn)的橫坐標(biāo)分別為n﹣1，n（n＞1），∴G（n+1，0），故答案為：n+1；②∵點A，B，D在y＝上，∴A（n﹣1，），B（n+1，），D（n，），∴AE＝，BG＝，DF＝，∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，∴，故答案為：；（2）∵＝＝，∵n＞1，∴n（n﹣1）（n+1）＞0，∴，∴；（3）∵，∴，∴．19．（2022春?惠山區(qū)校級期中）如圖1，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的第一象限內(nèi)的圖象上，OA＝6，OC＝4，動點P在y軸的右側(cè)，且滿足S△PCO＝S矩形OABC．（1）若點P在這個反比例函數(shù)的圖象上，求點P的坐標(biāo)；（2）若點Q是平面內(nèi)一點，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形，請你直接寫出滿足條件的所有點Q的坐標(biāo)．【分析】（1）首先根據(jù)點B坐標(biāo)，確定反比例函數(shù)的解析式，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m（m＞0），根據(jù)S△PCO＝S矩形OABC，構(gòu)建方程即可解決問題；（2）分兩種情形：當(dāng)四邊形CBQP是菱形時；當(dāng)四邊形CBPQ是菱形時．分別求解即可解決問題．【解答】解：（1）∵四邊形OABC是矩形，OA＝6，OC＝4，∴點B的坐標(biāo)為（6，4），∵點B在反比例函數(shù)y＝（k≠0）的第一象限內(nèi)的圖象上∴k＝24，∴y＝，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m（m＞0），∵S△PCO＝S矩形OABC．∴OC?m＝OA?OC，∴m＝5，當(dāng)點，P在這個反比例函數(shù)圖象上時，則P點的縱坐標(biāo)為y＝，∴點P的坐標(biāo)為（5，）；（2）分兩種情況：①如圖2中，當(dāng)四邊形CBQP是菱形時，易知BC＝CP＝PQ＝BQ＝6，P1（5，4﹣），P2（5，4+），∴Q1（11，4﹣），Q2（11，4+）；．②如圖3中，當(dāng)四邊形CBPQ是菱形時，P3（5，4﹣），P4（5，4+），∴Q3（﹣1，4﹣），Q4（﹣1，4+）．綜上所述，點Q的坐標(biāo)為，，，．20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A，點B在x軸上，點C在y軸上，∠ADC＝90°，AB＝BC，線段BC，OB的長是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩根．（1）求OA的長；（2）求經(jīng)過點D的反比例函數(shù)的解析式；（3）點P在直線AD上，在平面內(nèi)是否存在一點Q，使以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請寫出滿足條件的點Q的個數(shù)，并直接寫出其中兩個點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）解方程可得BC、OB的長，即可解決問題．（2）如圖2中，作DE⊥OA于E，求出BE、DE即可解決問題．（3）如圖3中，存在，滿足條件的點Q的個數(shù)有三個．當(dāng)AB為邊時，有兩種情形①四邊形ABQ1P1是菱形，②四邊形ABQ2P2是菱形，③當(dāng)AB為對角線時，四邊形AQ3BP3是菱形，分別求出P、Q坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）如圖1中，∵線段BC，OB的長是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的兩根，∴BC＝4，OB＝2，∵BA＝BC∴AB＝4，OA＝OB+BA＝6．（2）如圖2中，作DE⊥OA于E．∵cos∠CBO＝＝，∴∠ABD＝∠CBO＝60°，∵∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝2，∵∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝1，DE＝BE＝，∴點D坐標(biāo)（3，﹣），設(shè)經(jīng)過點D的反比例函數(shù)解析式為y＝，∴k＝﹣3，∴經(jīng)過點D的反比例函數(shù)解析式為y＝﹣．（3）如圖3中，存在，滿足條件的點Q的個數(shù)有三個．當(dāng)AB為邊時，有兩種情形①四邊形ABQ1P1是菱形，此時P1（6+2，2），Q1（2+2，2），②四邊形ABQ2P2是菱形，此時P2（6﹣2，﹣2），Q2（2﹣2，﹣2），③當(dāng)AB為對角線時，四邊形AQ3BP3是菱形，此時P3（4，﹣），Q3（4，）．【培優(yōu)拔高】（每題10分，滿分100分，建議用時：90分鐘）21．（2022?東城區(qū)校級模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l與雙曲線y＝（k≠0）的兩個交點分別為A（﹣3，﹣1），B（1，m）．（1）求k和m的值；（2）求直線l的解析式；（3）點P為直線l上的動點，過點P作平行于x軸的直線，交雙曲線y＝（k≠0）于點Q．當(dāng)點Q位于點P的左側(cè)時，求點P的縱坐標(biāo)n的取值范圍．【分析】（1）將A（﹣3，﹣1），B（1，m）分別代入y＝，可得答案；（2）利用待定系數(shù)法求出l的解析式即可；（3）分別畫出函數(shù)y＝x+2和y＝的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想可得n的范圍．【解答】解：（1）將A（﹣3，﹣1），B（1，m）分別代入y＝得，∴k＝﹣1×（﹣3）＝3，m＝k＝3；（2）設(shè)直線l的解析式為y＝ax+b，則，解得，∴直線l的解析式為：y＝x+2；（3）如圖，當(dāng)點P在B的上方時，點Q始終在點P的左邊，此時n＞3，當(dāng)點P在點A的上方，x軸的下方時，同樣符合題意，此時﹣1＜n＜0，綜上：n＞3或﹣1＜n＜0．22．（2021秋?歷城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCBA的頂點C、A分別在x軸和y軸的正半軸上，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象與AB，BC分別交于點D，E，且頂點B的坐標(biāo)為（4，2），BD＝2．（1）求反比例函數(shù)y＝（x＞0）的表達式及E點坐標(biāo)；（2）連接DE，AC，判斷DE與AC的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由．（3）點F是反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上的一點，且使得∠AEF＝45°，求直線EF的函數(shù)關(guān)系式．【分析】（1）根據(jù)矩形OABC，得到AB與x軸平行，BC與y軸平行，得到B與D縱坐標(biāo)相同，B與E橫坐標(biāo)相同，再由B橫坐標(biāo)確定出AB的長，由AB﹣BD求出AD的長，進而確定出D坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值，確定出E坐標(biāo)即可；（2）DE∥AC，DE＝AC，理由為：連接AC，DE，由（1）得到D、E分別為中點，即DE為中位線，利用中位線定理即可得證；（3）如圖2所示，作出∠AEF＝45°，交反比例圖象于點F，如圖2所示，過A作AG⊥AE，交直線EF于點G，過G作GH⊥y軸交于點H，過E作EI⊥y軸交于點I，可得出△AGE為等腰直角三角形，即AG＝AE，利用AAS得到△AHG≌△EAI，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到HG＝AI，AH＝EI，根據(jù)題意確定出G坐標(biāo)，設(shè)直線EF解析式是為y＝kx+b，把G與E坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出所求．【解答】解：（1）∵矩形OABC，∴AB∥OC，BC∥OA，且AB＝OC，BC＝OA，∵B（4，2），BD＝2，∴AB＝OC＝4，BC＝OA＝2，∴D坐標(biāo)軸為2，E橫坐標(biāo)為4，AD＝AB﹣BD＝4﹣2＝2，∴D（2，2），把D（2，2）代入反比例解析式得：2＝，解得：k＝4，∴反比例解析式為y＝，把x＝4代入得：y＝1，即E（4，1）；（2）DE∥AC，DE＝AC，理由為：如圖1所示，連接AC，DE，∵AD＝BD＝2，BE＝CE＝1，∴D、E分別為AB、BC的中點，∴DE為△ABC的中位線，∴DE∥AC，DE＝AC；（3）連接AE，作射線EF，使∠AEF＝45°，交反比例圖象于點F，如圖2所示，過A作AG⊥AE，交直線EF于點G，過G作GH⊥y軸交于點H，過E作EI⊥y軸交于點I，∴△AGE為等腰直角三角形，∴AG＝AE，∵∠GAH+∠EAI＝90°，∠GAH+∠HGA＝90°，∴∠IAE＝∠HGA，在△AGH和△EIA中，，∴△AHG≌△EIA（AAS），∴HG＝AI，AH＝EI，∵A（0，2），E（4，1），∴AI＝HG＝OA﹣EC＝2﹣1＝1，EI＝AH＝4，∴OH＝OA+AH＝2+4＝6，∴G（1，6），設(shè)直線EF解析式為y＝kx+b，把E（4，1），G（1，6）代入得：，解得：，即y＝﹣x+．23．（2022?綿竹市模擬）如圖，一次函數(shù)y＝﹣x+b與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A（m，3）和B（3，1）．（1）填空：一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+4，反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）請直接寫出不等式≤﹣x+b的解集是1≤x≤3；（3）點P是線段AB上一點，過點P作PD⊥x軸于點D，連接OP，若△POD的面積為S，求S的最大值和最小值．【分析】（1）將B（3，1）代入y＝﹣x+b得b＝4，即得一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+4，將B（3，1）代入y＝得k＝3，即得反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）求出A（1，3），由圖可得，≤﹣x+b得解集為：1≤x≤3；（3）由點P是線段AB上一點，可設(shè)設(shè)P（n，﹣n+4），且1≤n≤3，可得S＝OD?PD＝﹣（n﹣2）2+2，即得當(dāng)n＝2時，S有最大值，且最大值是2，當(dāng)n＝1或n＝3時，S有最小值，且最小值是．【解答】解：（1）將B（3，1）代入y＝﹣x+b得：1＝﹣3+b，解得b＝4，∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+4，將B（3，1）代入y＝得：1＝，解得k＝3，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）將A（m，3）代入y＝﹣x+4得：3＝﹣m+4，解得m＝1，∴A（1，3），由圖可得，≤﹣x+b得解集為：1≤x≤3；（3）∵點P是線段AB上一點，設(shè)P（n，﹣n+4），∴1≤n≤3，∴S＝OD?PD＝?n（﹣n+4）＝﹣（n2﹣4n）＝﹣（n﹣2）2+2，∵﹣＜0，且1≤n≤3，∴當(dāng)n＝2時，S有最大值，且最大值是2，∴當(dāng)n＝1或n＝3時，S有最小值，且最小值是．24．（2022春?吳江區(qū)期中）如圖，直線y＝2x+6與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A（1，m），與x軸交于點B，與y軸交于點D．（1）求m的值和反比例函數(shù)的表達式；（2）觀察圖象，直接寫出不等式2x+6﹣＞0的解集；（3）在反比例函數(shù)圖象的第一象限上有一動點M，當(dāng)S△BDM＞S△BOD時，直接寫出點M縱坐標(biāo)的取值范圍．【分析】（1）先將點A（1，m）代入y＝2x+6，求出m的值，得到點A的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的表達式；（2）結(jié)合函數(shù)圖象找到直線在雙曲線上方對應(yīng)的x的取值范圍即可；（3）過點O作AB的平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點N，則S△BDN＝S△BOD，由直線AB的解析式可得出直線ON的解析式，聯(lián)立直線ON和反比例函數(shù)解析式成方程組，通過解方程組可求出點N的坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象及S△BDM＞S△BOD，可知M在N的右邊，進而求出點M縱坐標(biāo)的取值范圍；同理求出M在N的左邊時，點M縱坐標(biāo)的取值范圍．【解答】解：（1）∵直線y＝2x+6過點A（1，m），∴m＝2×1+6＝8，∴點A的坐標(biāo)為（1，8），∵點A（1，8）在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，∴k＝1×8＝8，∴反比例函數(shù)的解析式為y＝；（2）在A點右邊，即x＞1時，直線在雙曲線上方，所以不等式2x+6﹣＞0的解集是x＞1；（3）如圖，過點O作AB的平行線，交反比例函數(shù)的圖象于點N，則S△BDN＝S△BOD．∵直線AB的解析式為y＝2x+6，∴直線ON的解析式為y＝2x．由（x＞0），解得，∴點N的坐標(biāo)為（2，4）；∵S△BDM＞S△BOD，∴S△BDM＞S△BDN，∴M在N的右邊，∴0＜點M縱坐標(biāo)＜4；同理M在N的左邊，直線ON的解析式為y＝2x+12．聯(lián)立y＝2x+12與y＝，∴點M縱坐標(biāo)＞6+2．故點M縱坐標(biāo)的取值范圍是0＜點M縱坐標(biāo)＜4或點M縱坐標(biāo)＞6+2．25．（2022?茶陵縣模擬）如圖，直線y＝ax+b（a≠0）與雙曲線y＝（k≠0）交于一、三象限內(nèi)的A，B兩點與x軸交于點C，點A的坐標(biāo)為（2，m），點B的坐標(biāo)為（n，﹣2），tan∠BOC＝．（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式．（2）點E為坐標(biāo)軸上一點，以AE為直徑的圓恰好經(jīng)過點B，直接寫出點E的坐標(biāo)．（3）點P（s，t）（s＞2）在直線AB上運動，PM∥x軸交雙曲線于M，PN∥y軸交雙曲線于N，直線MN分別交x軸，y軸于F，G，求+的值．【分析】（1）先利用tan∠BOC＝分別求出A和B兩點的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求兩個函數(shù)的解析式；（2）如圖2，因為以AE為直徑的圓恰好經(jīng)過點B，所以∠ABE＝90°，過B作AB的垂線，與坐標(biāo)的兩個交點就是符合條件的E點，構(gòu)建直角三角形，利用三角形相似或等腰直角三角形的定義列等式可得結(jié)論；（3）如圖3，作輔助線，根據(jù)P（s，t），表示M（，t），N（s，），利用等角的三角函數(shù)列式可得：＝＝，代入所求式子可得結(jié)果．【解答】解：（1）如圖1，過B作BD⊥x軸于D，∵點B的坐標(biāo)為（n，﹣2），∴BD＝2，在Rt△OBD中，tan∠BOC＝，∴，∴，∴OD＝5，∴n＝﹣5，即B（﹣5，﹣2），∴k＝﹣5×（﹣2）＝10，∴該反比例函數(shù)的解析式為：y＝，當(dāng)x＝2時，m＝5，∴A（2，5），把A（2，5）和B（﹣5，﹣2）代入得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為：y＝x+3；（2）如圖2，過B作BE1⊥AB，交x軸于E1，交y軸于E2，即符合條件的點E有兩個，構(gòu)建直角△ABQ和直角△BE2K，∴AQ＝BQ＝7，∴△ABQ是等腰直角三角形，∵∠ABE2＝90°，∴△BKE2也是等腰直角三角形，設(shè)E2（0，y），∴BK＝KE2，∴5＝﹣y﹣2，y＝﹣7，∴E2（0，﹣7），同理可得：E1（﹣7，0），綜上所述，點E的坐標(biāo)為（0，﹣7）或（﹣7，0）；（3）如圖3，過N作NR∥PM，過M作MR∥PN，交于R，則四邊形MRNP是矩形，∵P（s，t），且PM∥x軸，PN∥y軸，∴M（，t），N（s，），∴RN＝s﹣，MR＝t﹣，∵MR∥OG，∴∠OGF＝∠RMN，∴tan∠OGF＝tan∠RMN，∴＝＝，∵點P（s，t）（s＞2）在直線AB上運動，∴t＝s+3，∴+＝+＝＝1．26．（2021?湘潭）如圖，點A（a，2）在反比例函數(shù)y＝的圖象上，AB∥x軸，且交y軸于點C，交反比例函數(shù)y＝于點B，已知AC＝2BC．（1）求直線OA的解析式；（2）求反比例函數(shù)y＝的解析式；（3）點D為反比例函數(shù)y＝上一動點，連接AD交y軸于點E，當(dāng)E為AD中點時，求△OAD的面積．【分析】（1）由點A（a，2）在反比例函數(shù)y＝的圖像上，得a＝2，即A（2，2），設(shè)直線OA解析式為y＝mx，即得m＝1，故直線OA解析式為y＝x；（2）由AC＝2BC得B（﹣1，2），把B（﹣1，2）代入反比例函數(shù)y＝，即得解析式為y＝；（3）設(shè)D（t，），而A（2，2），故AD中點E（，+1），即有＝0，解得t＝﹣2，可得D（﹣2，1），E（0，），從而可得S△DOE＝，S△AOE＝，即得△OAD面積S＝3．【解答】解：（1）∵點A（a，2）在反比例函數(shù)y＝的圖像上，∴2＝，解得a＝2，∴A（2，2），設(shè)直線OA解析式為y＝mx，則2＝2m，解得m＝1，∴直線OA解析式為y＝x；（2）由（1）知：A（2，2），∵AB∥x軸，且交y軸于點C，∴AC＝2，∵AC＝2BC，∴BC＝1，∴B（﹣1，2），把B（﹣1，2）代入y＝得：2＝，∴k＝﹣2，∴反比例函數(shù)y＝的解析式為y＝；（3）設(shè)D（t，），而A（2，2），∴AD中點E（，+1），而E在y軸上，∴＝0，解得t＝﹣2，∴D（﹣2，1），E（0，），∴S△DOE＝OE?|xD|＝××2＝，S△AOE＝OE?|xA|＝××2＝，∴△OAD面積S＝S△DOE+S△AOE＝3．27．（2021?開封二模）如圖，一次函數(shù)y＝mx+6（m≠0）的圖象經(jīng)過點B（﹣6，0），與y軸交于C點，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點A．連接OA，且△AOC的面積為6．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式．（2）結(jié)合圖象直接寫出當(dāng)x＞0時，mx+6＜的解集；（3）設(shè)點E是反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上一點，點F是直線AB上一點，若以點O，E，C，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，求出點F的坐標(biāo)．【分析】解：（1）由一次函數(shù)y＝mx+6（m≠0）的圖象經(jīng)過點B（﹣6，0），得﹣6m+6＝0，解出m＝1，得一次函數(shù)解析式為y＝x+6；當(dāng)x＝0時，y＝6，由△AOC的面積為6．得，求出xA＝2，寫出點A坐標(biāo)（2，8），即可求解；（2）結(jié)合圖象可知當(dāng)x＞0時，mx+6＜的解集是0＜x＜2；（3）①當(dāng)CO為邊時，如圖1，EF∥CO且EF＝CO，設(shè)點E坐標(biāo)為（m，），則點F的坐標(biāo)為（m，m+6），得EF＝|﹣m﹣6|＝6，當(dāng)﹣m﹣6＝6時，解得m＝4或﹣4（﹣4舍去）此時點F坐標(biāo)為（4，10）；當(dāng)﹣m﹣6＝﹣6時，解得m＝2﹣6或﹣2﹣6（負(fù)值舍去），此時點F坐標(biāo)為（2﹣6，2）；②當(dāng)CO為對角線時，如圖2，則CO與FE互相平分，設(shè)點E坐標(biāo)為（m，），點F的坐標(biāo)為（n，n+6），由中點坐標(biāo)公式得，解得m＝4，n＝﹣4，此時點F坐標(biāo)為（﹣4，2），即可求解．【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y＝mx+6（m≠0）的圖象經(jīng)過點B（﹣6，0），∴﹣6m+6＝0，得m＝1，∴一次函數(shù)解析式為y＝x+6；當(dāng)x＝0時，y＝6，∴CO＝6，∵△AOC的面積為6．∴，∴xA＝2，當(dāng)x＝2時，y＝x+6＝8，∴點A坐標(biāo)（2，8），∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點A，∴k＝16，∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝；（2）結(jié)合圖象可知當(dāng)x＞0時，mx+6＜的解集是0＜x＜2；（3）①當(dāng)CO為邊時，如圖1，EF∥CO且EF＝CO，設(shè)點E坐標(biāo)為（m，），則點F的坐標(biāo)為（m，m+6），∴EF＝|﹣m﹣6|，∴|﹣m﹣6|＝6，當(dāng)﹣m﹣6＝6時，解得m＝4或﹣4（﹣4舍去）此時點F坐標(biāo)為（4，10）；當(dāng)﹣m﹣6＝﹣6時，解得m＝2﹣6或﹣2﹣6（負(fù)值舍去），此時點F坐標(biāo)為（2﹣6，2）；②當(dāng)CO為對角線時，如圖2，則CO與FE互相平分，設(shè)點E坐標(biāo)為（m，），點F的坐標(biāo)為（n，n+6），由中點坐標(biāo)公式得，解得m＝4，n＝﹣4，此時點F坐標(biāo)為（﹣4，2），綜上．點F坐標(biāo)為（4，10）或（2﹣6，2）或（﹣4，2）．28．（2021?鐵西區(qū)二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，四邊形OABC的邊OA在x軸負(fù)半軸上，OC在y軸正半軸上，AB∥y軸，OA＝a，AB＝BC＝b，且a，b滿足（a﹣4）2+（b﹣5）2＝0．（1）求點B，C的坐標(biāo)；（2）點D為邊OA上一點，點E為邊OC上一點，將△DOE沿直線DE翻折，使點O落在AB上的點F處，且雙曲線y＝﹣的一個分支過點F，則線段OD的長為2.5；（3）在（2）的條件下，點G為x軸上一點，點H是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點，當(dāng)以點D，F(xiàn)，G，H為頂點四邊形為矩形時，請直接寫出點H的坐標(biāo)．【分析】（1）由a，b滿足（a﹣4）2+（b﹣5）2＝0，得a＝4，b＝5，故點B坐標(biāo)為（﹣4，5），過點B作BG⊥y軸于點G，在Rt△BCG中，BC＝5，GB＝4，得CG＝3，即可求解；（2）點O落在AB上的點F處，得點F的橫坐標(biāo)為﹣4，由雙曲線y＝﹣的一個分支過點F，得點F坐標(biāo)為（﹣4，2），設(shè)OD＝DF＝x，則AD＝4﹣x，在Rt△AFD中，（4﹣x）2+22＝x2，得x＝2.5，得OD＝2.5；（3）當(dāng)以點D，F(xiàn)，G，H為頂點四邊形為矩形時，①DF為對角線，如圖2，矩形FGDH中，F(xiàn)G＝HD＝2，HD⊥x軸，得點H坐標(biāo)為（﹣2.5，2）；②GD為對角線，設(shè)點G坐標(biāo)為（m，0），由矩形FGHD，得FG2+FD2＝GD2，得（﹣4﹣m）2+22+2.52＝（﹣2.5﹣m）2，m＝﹣，得點G坐標(biāo)為（﹣，0），將點G向右平移1.5個單位，向下平移2個單位得到點H，得點H坐標(biāo)為（﹣，﹣2）．【解答】解：（1）∵a，b滿足（a﹣4）2+（b﹣5）2＝0，∴a﹣4＝0且b﹣5＝0，得a＝4，b＝5，∴點B坐標(biāo)為（﹣4，5），過點B作BG⊥y軸于點G，在Rt△BCG中，BC＝5，GB＝4，∴CG＝3，∴點C坐標(biāo)為（0，8）；（2）∵點O落在AB上的點F處，∴點F的橫坐標(biāo)為﹣4，∵雙曲線y＝﹣的一個分支過點F，∴點F坐標(biāo)為（﹣4，2），設(shè)OD＝DF＝x，則AD＝4﹣x，在Rt△AFD中，（4﹣x）2+22＝x2，∴x＝2.5，得OD＝2.5，故答案為：2.5；（3）當(dāng)以點D，F(xiàn)，G，H為頂點四邊形為矩形時，①DF為對角線，如圖2，矩形FGDH中，F(xiàn)G＝HD＝2，HD⊥x軸，∴點H坐標(biāo)為（﹣2.5，2）；②GD為對角線，設(shè)點G坐標(biāo)為（m，0），由矩形FGHD，得FG2+FD2＝GD2，∴（﹣4﹣m）2+22+2.52＝（﹣2.5﹣m）2，∴m＝﹣，∴點G坐標(biāo)為（﹣，0），將點G向右平移1.5個單位，向下平移2個單位得到點H，∴點H坐標(biāo)為（﹣，﹣2）．綜上所述，點H坐標(biāo)為（﹣2.5，2）或（﹣，﹣2）．29．（2021?南沙區(qū)一模）如圖，菱形ABCD的邊BC在x軸上，點A在y軸上，對角線AC、BD交于點E，且BC＝5，菱形ABCD的面積為24．（1）求點A的坐標(biāo)；（2）求AC+BD的值；（3）若反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點E，且與邊AD交于點F，過點F作FG垂直x軸于點G，請求出△BFG的面積．【分析】（1）由菱形ABCD的面積為24，得BC?AO＝24，求出AO＝，即可求解；（2）由菱形ABCD的面積為24，得AC?BD＝24①，由勾股定理知BE2+CE2＝25，結(jié)合菱形對角線互相平分，可得AC2+BD2＝100②，結(jié)合①②式子就可求出AC+BD的值；（3）由直角△ABO中AB和AO的值求出BO的長，即可求出點C的坐標(biāo)，由AC坐標(biāo)根據(jù)中點坐標(biāo)公式寫出點E坐標(biāo)，就可以求出反比例函數(shù)關(guān)系式，再分別求出B、F、G的坐標(biāo)，可求出△BFG的面積．【解答】解：（1）由菱形ABCD的面積為24，∴BC?AO＝24，∵BC＝5，∴AO＝，∴點A的坐標(biāo)（0，）；（2）由菱形ABCD的面積為24，∴AC?BD＝24即AC?BD＝48①，∵直角△BEC中，BE2+CE2＝25，又∵菱形ABCD中，AC＝2AE，BD＝2BE，∴AC2+BD2＝100②，∴（AC+BD）2＝AC2+BD2+2AC?BD＝100+96＝196，∴AC+BD＝14；（3）在直角△ABO中，BO＝＝＝，∴CO＝BC﹣BO＝＝，∴點C的坐標(biāo)為（，0），∴中點E的坐標(biāo)為（，），∵反比例函數(shù)y＝經(jīng)過點E，∴k﹣1＝，∴反比例函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝＝，當(dāng)y＝時，x＝＝＝，∴BG＝OB+GO＝+＝，∴△BFG的面積＝＝．30．（2022秋?西湖區(qū)校級期中）對于求面積為4，周長為m的矩形中m的取值范圍，小亮已經(jīng)能用“代數(shù)”的方法解決，現(xiàn)在他又嘗試從“圖形”的角度進行探究：設(shè)矩形相鄰兩邊長分別為x，y，由矩形的面積為4，得y＝；由周長為m，得y＝﹣x+．主要研究這兩個圖象的位置關(guān)系．（1）畫出函數(shù)圖象：函數(shù)y＝（x＞0）的圖象如圖所示，而函數(shù)y＝﹣x+的圖象可由直線y＝﹣x平移得到，請在同一直角坐標(biāo)系中直接畫出直線y＝﹣x．（2）平移直線y＝﹣x，觀察函數(shù)圖象：①當(dāng)直線平移到與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象有唯一交點（2，2）時，寫出周長m的值；②在直線平移過程中，請寫出交點個數(shù)的其它情況及對應(yīng)的周長m的取值范圍．（3）得出結(jié)論若能生產(chǎn)出面積為4的矩形模具，求出周長m的取值范圍．（直接寫出結(jié)論）【分析】（1）y＝﹣x的圖象是一條經(jīng)過原點的直線；（2）①利用待定系數(shù)法求解；②欲判斷直線平移過程中的交點個數(shù)，考慮聯(lián)立y＝﹣x+和y＝并整理，判斷一元二次方程x2﹣x+4＝0的實數(shù)根的個數(shù)；（3）構(gòu)建不等式求解即可．【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）①當(dāng)直線平移到與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象有唯一交點（2，2）時，將（2，2）代入y＝﹣x+，解得m＝8，故周長m的值為8．故答案為：8；②在直線平移過程中，交點個數(shù)還有0個，2個兩種情況．聯(lián)立y＝﹣x+和y＝并整理，得x2﹣x+4＝0，有0個交點，即Δ＝b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×1×4＝﹣16＜0，解得0＜m＜8；有兩個交點，即Δ＝b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×1×4＝﹣16＞0，解得m＜﹣8（舍去）或m＞8．綜上所述，當(dāng)有0個交點時，0＜m＜8，當(dāng)有2個交點時，m＞8．（3）由（2）可知，矩形的周長2x+2y＝m≥8，所以若能生產(chǎn)出面積為4的矩形模具，則周長m的取值范圍為m≥8．故答案為：m≥8．【滿分沖刺】（每題10分，滿分100分，建議用時：90分鐘）31．（2022春?濟南月考）如圖，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，點D是邊AB的中點，反比例函數(shù)y1＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點D，交BC邊于點E，直線DE的解析式為y2＝mx+n（m≠0）．（1）求反比例函數(shù)y1＝（x＞0）的解析式和E點坐標(biāo)；（2）在y軸上找一點P，使△PDE的周長最小，求出此時點P的坐標(biāo)；（3）若點M在反比例函數(shù)的圖象上，點N在坐標(biāo)軸上，是否存在以D、E、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)點D為AB的中點，可得點D的坐標(biāo)，從而得出反比例函數(shù)y1＝（x＞0）的解析式，當(dāng)x＝2代入可得點E的坐標(biāo)；（2）作點E關(guān)于y軸的對稱點E'，連接E'D交y軸于P，此時△PDE的周長最小，設(shè)E'E交y軸于F，利用△E'FP∽△DAP，可得PF的長，從而得出點P的坐標(biāo)；（3）分點N在x軸或y軸上兩種情形，分別利用中點坐標(biāo)公式解決問題．【解答】解：（1）∵點D是AB的中點，∴AD＝1，∴D（1，4），∵反比例函數(shù)y1＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點D，∴k＝1×4＝4，∴y＝，當(dāng)x＝2時，y＝2，∴E（2，2）；（2）作點E關(guān)于y軸的對稱點E'，連接E'D交y軸于P，此時△PDE的周長最小，設(shè)E'E交y軸于F，則E'（﹣2，2），∵E'F∥AD，∴△E'FP∽△DAP，∴，∴PF＝＝，∴P（0，）；（3）當(dāng)N在x軸上時，設(shè)N（n，0），M（x，），當(dāng)DE為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，4+2＝，解得x＝，∴M（），當(dāng)DN為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，4+0＝+2，解得x＝2，∴M（2，2）（舍去），當(dāng)DM為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，4+＝2+0，解得x＝﹣2，∴M（﹣2，﹣2）（舍去），當(dāng)N在y軸上時，設(shè)N（0，n），M（x，），當(dāng)DE為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，1+2＝0+x，∴x＝3，∴M（3，），當(dāng)DN為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，1+0＝x+2，∴x＝﹣1，∴M（﹣1，﹣4）（舍去），當(dāng)DM為對角線時，由中點坐標(biāo)公式得，1+x＝0+2，∴x＝1，∴M（1，4）（舍去），綜上：M（）或（3，）．32．（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）已知：如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線y＝kx相交于點A，直線AC與x軸交于點C（2，0），與y軸交于點B，點C是AB的中點．（1）求直線y＝kx的函數(shù)解析式；（2）求點C到直線OA的距離；（3）若點D是直線OA上一點，且△ABD是直角三角形，求點D的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)中點坐標(biāo)公式求出點A的橫坐標(biāo)，進而求出點A坐標(biāo)，即可求出答案；（2）利用三角形AOC的面積建立方程求解，即可求出答案；（3）設(shè)出點D的坐標(biāo)，分三種情況利用勾股定理建立方程求解，即可求出答案．【解答】解：（1）設(shè)點A的坐標(biāo)為（m，），∵點C（2，0）是AB的中點，∴2（m+0）＝2，∴m＝4，∴A（4，2），∵點A在直線y＝kx上，∴4k＝2，∴k＝，∴直線y＝kx的解析式為y＝x；（2）由（1）知，點A（4，2），∴OA＝2，∵點C（2，0），設(shè)點C到直線OA的距離為h，則S△AOC＝OC?|yA|＝OA?h，∴h＝＝＝，即點C到直線OA的距離為；（3）由（1）知，直線OA的解析式為y＝x，設(shè)點D（n，n），∵A（4，2），B（0，﹣2），∴AB2＝32，BD2＝n2+（n+2）2，AD2＝（n﹣4）2+（n﹣2）2，∵△ABD是直角三角形，∴①當(dāng)∠ABD＝90°時，BD2+AB2＝AD2，∴n2+（n+2）2+32＝（n﹣4）2+（n﹣2）2，∴n＝﹣，∴D（﹣，﹣），②當(dāng)∠BAD＝90°時，AD2+AB2＝BD2，∴（n﹣4）2+（n﹣2）2+32＝n2+（n+2）2，∴n＝4（不符合題意，舍去），③當(dāng)∠ADB＝90°時，AD2+BD2＝AB2，∴（n﹣4）2+（n﹣2）2+n2+（n+2）2＝32，∴n＝4（不符合題意，舍去）或n＝﹣，∴D（﹣，﹣），即D（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．33．（2023?舟山一模）已知A是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一個動點，過點A作x軸的平行線，交直線y＝﹣2x于點B，以線段AB為一條對角線，作?OACB（O為坐標(biāo)原點）．（1）如圖1，當(dāng)點C在y軸上時，請證明?OACB是菱形，并求點C的坐標(biāo)；（2）如圖2，當(dāng)?OACB是矩形時，求點B，C的坐標(biāo)．【分析】（1）當(dāng)點C在y軸上時，設(shè)C（0，b）（b＞0）．由直線與雙曲線的交點求法得到B（﹣，）．根據(jù)菱形的軸對稱性質(zhì)知：＝﹣（﹣）．由此求得b＝4，則C（0，4）；（2）如圖2，當(dāng)?OACB是矩形時，則OA⊥OB．根據(jù)直線與雙曲線的交點求法得到A（2，1）．由點A、B的縱坐標(biāo)相同和直線上點的坐標(biāo)特征推知B（﹣，1），結(jié)合矩形的性質(zhì)得到：C（﹣+2，1+1），即C（，2）．【解答】解：（1）當(dāng)點C在y軸上時，設(shè)C（0，b）（b＞0）．∵AB∥x軸，∴AB⊥OC，點A、B的縱坐標(biāo)都是．當(dāng)y＝時，由＝得：x＝，此時A（，）．當(dāng)y＝時，由＝﹣2x得：x＝﹣，此時B（﹣，）．∵平行四邊形ABCD是菱形，∴點A與點B關(guān)于y軸對稱，∴＝﹣（﹣）．解得b＝4或b＝﹣4（舍去）．經(jīng)檢驗b＝4是原方程的解．∴C（0，4）；（2）如圖2，當(dāng)?OACB是矩形時，則OA⊥OB．則直線OA的解析式為：y＝﹣x，聯(lián)立，解得．∴A（2，1）．∵AB∥x軸，∴點A、B的縱坐標(biāo)相同，當(dāng)y＝1時，1＝﹣2x．解得x＝﹣．∴B（﹣，1）．在矩形OABC中，BC∥OC且BC＝OC．∴把點B平移到點C與把點O平移到點A的規(guī)則相同，∴C（﹣+2，1+1），即C（，2）．34．（202