第三章代數(shù)式（圖形數(shù)字規(guī)律的探索與整式加減實際應用壓軸）

第三章代數(shù)式（壓軸題專練）一、圖形類規(guī)律探索1．數(shù)學實踐課中：一張紙片，第一次將其撕成四小片,以后每次都將其中一片撕成更小的四片，如此進行下去,撕到第2次手中共有7張紙片，問撕到第4次時，手中共有張，撕到第n次時，手中共有（用含有n的代數(shù)式表示）張．【答案】133n+1【詳解】解：從圖中可以看出，當撕了1次時，手中有4張紙=3×1+1；當撕了2次時，手中有7張紙=3×2+1；當撕了3次時，手中有10張紙=3×3+1；…可以發(fā)現(xiàn)：撕了幾次后，手中紙的張數(shù)等于3與幾的乘積加1．所以，當撕了4次時，手中有3×4+1=13張紙．設(shè)撕的次數(shù)為n，紙的張數(shù)為s，按照規(guī)律可得：s=3n+1．故答案為：13；3n+1．2．下列是用火柴棒拼出的一列圖形．仔細觀察，找出規(guī)律，解答下列各題：(1)第4個圖中共有_________根火柴，第6個圖中共有_________根火柴；(2)第n個圖形中共有_________根火柴(用含n的式子表示)(3)若f(n)=2n?1（如f(?2)=2×(?2)?1，f(3)=2×3?1），求的值．(4)請判斷上組圖形中前2017個圖形火柴總數(shù)是2017的倍數(shù)嗎，并說明理由?【答案】(1)17，25(2)(4n+1)(3)2017(4)是，理由見解析【詳解】（1）第4個圖案中火柴有4×4+1=17；第6個圖案中火柴有4×6+1=25；（2）當n=1時，火柴的根數(shù)是4×1+1=5；當n=2時，火柴的根數(shù)是4×2+1=9；當n=3時，火柴的根數(shù)是4×3+1=13；所以第n個圖形中火柴有4n+1．（3）f(1)=2×1?1=1，f(2)=2×2?1=3，f(3)=2×3?1=5，∴原式=2017.（4）4×1+1+4×2+1+?+4×2017+1=4×（1+2+?+2017）+1×2017=4××（1+2017）×2017+2017=2×（1+2017）×2017+2017=4037×2017.∴是2017倍數(shù).3．請閱讀下列材料，并解答相應的問題：將若干個數(shù)組成一個正方形數(shù)陣，若任意一行，一列及對角線上的數(shù)字之和都相等，則稱具有這種性質(zhì)的數(shù)字方陣為“幻方”中國古代稱“幻方”為“河圖“、“洛書“等，例如，下面是三個三階幻方，是將數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到3×3的方格中得到的，其每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和相等．（1）設(shè)圖1的三階幻方中間的數(shù)字是x，用x的代數(shù)式表示幻方中9個數(shù)的和為；（2）請你將下列九個數(shù)：﹣10、﹣8、﹣6、﹣4、﹣2、0、2、4、6分別填入圖2方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和都相等；（3）圖3是一個三階幻方，那么標有x的方格中所填的數(shù)是；（4）如圖4所示的每一個圓中分別填寫了1、2、3…19中的一個數(shù)字（不同的圓中填寫的數(shù)字各不相同），使得圖中每一個橫或斜方向的線段上幾個圓內(nèi)的數(shù)之和都相等，現(xiàn)在已知該圖中七個圓內(nèi)的數(shù)字，則圖中的x＝，y＝．【答案】（1）9x；（2）答案見解析；（3）21；（4）1,19.【詳解】解：（1）三階幻方如圖1所示：用x的代數(shù)式表示幻方中9個數(shù)的和S＝（x+3）+（x﹣4）+（x+1）+（x﹣2）+（x+2）+x+（x﹣1）+（x+4）+（x﹣3）＝9x；故答案為9x；（2）三階幻方如圖2所示：（3）故答案為21；（4）如圖所示：x＝1，y＝19；故答案氣為1，19；4．數(shù)學問題：計算（其中m，n都是正整數(shù)，且m≥2，n≥1）．探究問題：為解決上面的數(shù)學問題，我們運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進行探究．探究一：計算．第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為+；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，…；…第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為+++…+，最后空白部分的面積是．根據(jù)第n次分割圖可得等式：+++…+=1﹣．探究二：計算+++…+．第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為+；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，…；…第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為+++…+，最后空白部分的面積是．根據(jù)第n次分割圖可得等式：+++…+=1﹣，兩邊同除以2，得+++…+=﹣．探究三：計算+++…+．（仿照上述方法，只畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并寫出探究過程）解決問題：計算+++…+．（只需畫出第n次分割圖，在圖上標注陰影部分面積，并完成以下填空）根據(jù)第n次分割圖可得等式：_________，所以，+++…+=________．拓廣應用：計算+++…+．【答案】【答題空1】【答題空2】【詳解】探究三：第1次分割，把正方形的面積四等分，其中陰影部分的面積為；第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)四等分，陰影部分的面積之和為；第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)四等分，…，第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后四等分，所有陰影部分的面積之和為：，最后的空白部分的面積是，根據(jù)第n次分割圖可得等式：=1﹣，兩邊同除以3，得=；解決問題：=1﹣，=；故答案為=1﹣，；拓廣應用：，=1﹣+1﹣+1﹣+…+1﹣，=n﹣（+++…+），=n﹣（﹣），=n﹣+．5．我國著名的數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”．【I】如圖，請你用“數(shù)形結(jié)合”的思想．（1）求的值為；（2）請你利用（1）的結(jié)論，求下列各式的值：①=；②計算：【II】將若干個同樣大小的小長方形紙片拼成如圖形狀的大長方形（小長方形紙片寬為a，長為b），請你仔細觀察圖形，解答下列問題：（1）a和b之間的關(guān)系滿足．（2）圖中陰影部分的面積與大長方形面積的比值是．（3）請你仔細觀察圖中的一個陰影部分，根據(jù)面積的不同表示方法，請你寫出（ba）2與（b+a）2，ab三個代數(shù)式之間的等量關(guān)系；應用：根據(jù)探索中的等量關(guān)系，解決如下問題：x+y＝9，xy＝，求x﹣y的值．【答案】【I】（1）；（2）①；②；【II】（1）b＝3a；（2）；（3）．【詳解】【I】（1）根據(jù)圖形面積得出這些數(shù)的和即為1與的面積差，故答案為：；（2）分析得：故答案為：；（3）分析得：故答案為：【Ⅱ】（1）由大長方形的長的不同拼圖可得，4b＝3a+3b，即b＝3a，故答案為：b＝3a；（2）由于b＝3a，大長方形的長為4b＝12a，寬為3a+b＝6a，因此面積為12a×6a＝72a2；陰影部分的面積為3（b﹣a）2＝3（2a）2＝12a2；因此其比值為，故答案為：；（3）如圖，陰影正方形的邊長為，因此面積為，正方形ABCD的邊長為，因此面積為，四個小矩形的面積為4ab，因此有，故答案為：；把：，代入得，，∴．二、數(shù)字規(guī)律探索6．現(xiàn)有一列數(shù)，，，…，，，，其中，，，且滿足任意相鄰三個數(shù)的和為定值，則的值為.【答案】26【詳解】因為任意相鄰三個數(shù)的和為定值所以所以，，，因為，，所以因為所以所以故答案為267．一列數(shù)：，，，，，其中，，且當時，，用含的式子表示的結(jié)果是．【答案】【詳解】解：，有，，，，，左右兩邊同時累加得，令，則，，解得：．．故答案為：．8．設(shè)，，，…；另設(shè)，，，…．已知是一個關(guān)于的三次多項式（為正整數(shù)），可表示為，則．【答案】1【詳解】解：∵N1=n1=1∴令k=1，則有：N1==a+b+c+d∴a+b+c+d=1．故填1．9．為了求的值，可令，則，因此，所以.請仿照以上推理計算出的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：令∴∴∴∴故選D10．觀察下列各等式：第1個：；第2個：；第3個：……（1）這些等式反映出多項式乘法的某種運算規(guī)律，請利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想并填空：若為大于1的正整數(shù)，則______；（2）利用（1）的猜想計算：（為大于1的正整數(shù)）；（3）拓展與應用：計算（為大于1的正整數(shù)）．【答案】（1）；（2）；（3）．【詳解】解：（1）若為大于1的正整數(shù)，則根據(jù)這些等式的運算規(guī)律可得：，故答案為：；（2）（3）．三、整式加減的應用11．把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長方形（長為3a厘米，寬為（2a－b）厘米）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．（1）求大長方形ABCD的周長；（2）求圖②中兩塊陰影部分周長之和．（用含a，b的式子表示）【答案】(1)10a2b;(2)8a4b.【詳解】解：（1）大長方形ABCD的周長為：2（3a+2ab）=10a2b；（2）設(shè)小長方形的長為m，寬為n；則大陰影的長寬分別為：3a2n，2ab2n，周長為：2（3a2n+2ab2n）=10a2b8n小陰影的長寬分別為：3am，2abm，周長為：2（3am+2abm）=10a2b4m由圖2可知：m+2n=3a兩塊陰影部分周長之和2（10a2b）4m8n=2（10a2b）4（m+2n）=20a4b12a=8a4b12．將7張相同的長方形紙片(如圖1)按圖2所示的方式不重疊地放在長方形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分恰好可以分割為兩個長方形，面積分別為S1和S2.已知小長方形紙片的長為a，寬為b，且a＞b.(1)當a=9,b=2,AD=30時，S1－S2=______.(2)當AD=30時，用含a,b的式子表示S1－S2.(3)若AB長度不變，AD變長，將這7張小長方形紙片按照同樣的方式放在新的長方形ABCD內(nèi)，而且S1－S2的值總保持不變，則a，b滿足的關(guān)系是______.

【答案】(1)48；(2)30a－120b+ab；(3)a=4b.【詳解】(