專項23二次函數(shù)和線段周長面積最大值（原卷版）

專項23二次函數(shù)和線段周長面積最大值考點1：線段、周長最大問題考點2：面積最大問題（1）鉛錘法（1）求A、B兩點水平距離，即水平寬；（2）過點C作x軸垂線與AB交于點D，可得點D橫坐標同點C；（3）求直線AB解析式并代入點D橫坐標，得點D縱坐標；（4）根據C、D坐標求得鉛垂高（5）（2）面積方法如圖1，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖2，同底三角形的面積比等于高的比．如圖3，同高三角形的面積比等于底的比．如圖1如圖2如圖3（3）利用相似性質利用相似圖形，面積比等于相似比的平方?！究键c1線段最大值問題】【典例1】（盤錦）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+4交y軸于點C，交x軸于A、B兩點，A（﹣2，0），a+b＝，點M是拋物線上的動點，點M在頂點和B點之間運動（不包括頂點和B點），ME∥y軸，交直線BC于點E．（1）求拋物線的解析式；（2）求線段ME的最大值；【變式11】（2022春?豐城市校級期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）若P是第四象限內這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與BC交于點M，連接PC．求線段PM的最大值；【變式12】（2021?柳南區(qū)校級模擬）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C（1，0），直線y＝x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在軸y上．（1）求m的值及這個二次函數(shù)的關系式；（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E點，設線段PE的長為h，點P的橫坐標為x．①求h與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；②線段PE的長h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時的x值；若不存在，請說明理由？【典例2】（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，點A的坐標為（﹣1，0），點C坐標為（0，3），對稱軸為x＝1．點M為線段OB上的一個動點（不與兩端點重合），過點M作PM⊥x軸，交拋物線于點P，交BC于點Q．（1）求拋物線及直線BC的表達式；（2）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．求線段PN的最大值；【變式2】（2022?廣元）在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經過A，B兩點，并與x軸的正半軸交于點C．（1）求a，b滿足的關系式及c的值；（2）當a＝1時，若點Q是直線AB下方拋物線上的一個動點，過點Q作QD⊥AB于點D，當QD的值最大時，求此時點Q的坐標及QD的最大值．【考點2周長最大值問題】【典例3】（2022春?衡陽期中）如圖，直線y＝﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+x+c經過A、B兩點．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）如圖1，點E在線段AB上方的拋物線上運動（不與A、B重合），過點E作ED⊥AB，交AB于點D，作EF⊥AC，交AC于點F，交AB于點M，求△DEM的周長的最大值；【變式3】（2022春?北碚區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y＝ax2+bx+2交x軸于A、B兩點（點A在點B的左側），交y軸于點C，一次函數(shù)y＝﹣x﹣1交拋物線于A，D兩點，其中點D（3，﹣4）．（1）求拋物線C1的解析式；（2）點G為拋物線上一點，且在線段BC上方，過點G作GH∥y軸交BC于H，交x軸于點N，作GM⊥BC于點M，求△GHM周長的最大值；【考點3面積最大值問題】【典例4】（2021秋?龍江縣校級期末）綜合與探究如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4經過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式，連接BC，并求出直線BC的解析式；（2）請在拋物線的對稱軸上找一點P，使AP+PC的值最小，此時點P的坐標是；（3）點Q在第一象限的拋物線上，連接CQ，BQ，求出△BCQ面積的最大值．【變式41】（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點C，且OC＝3．（1）求該拋物線的解析式；（2）點P為直線BC下方拋物線上的一點，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的最大值，以及此時點P的坐標；【變式42】（2022?東方二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經過B（3，0）、C（0，﹣3）兩點，與x軸的另一個交點為A，頂點為D．（1）求該拋物線的解析式；（2）點E為該拋物線上一動點（與點B、C不重合），當點E在直線BC的下方運動時，求△CBE的面積的最大值；【典例5】（聊城）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0），點B（4，0），與y軸交于點C（0，8），連接BC．又已知位于y軸右側且垂直于x軸的動直線l，沿x軸正方向從O運動到B（不含O點和B點），且分別交拋物線、線段BC以及x軸于點P，D，E．（1）求拋物線的表達式；（2）作PF⊥BC，垂足為F，當直線l運動時，求Rt△PFD面積的最大值．【變式5】（2022?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點為C，與x軸交于A，B兩點，A（1，0），AB＝4，點P為線段AB上的動點，過P作PQ∥BC交AC于點Q．（1）求該拋物線的解析式；（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時P點坐標．1．（2022春?豐城市校級期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸相交于點C（0，﹣3）．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）若P是第四象限內這個二次函數(shù)的圖象上任意一點，PH⊥x軸于點H，與BC交于點M，連接PC．求線段PM的最大值；2．（2022?玉州區(qū)一模）如圖，拋物線y＝﹣x2x+4交x軸于A，B兩點（點B在A的右邊），與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第一象限內拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q．（1）求A、B兩點坐標；（2）過點P作PN上BC，垂足為點N，請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？3．（2022?懷化）如圖一所示，在平面直角坐標中，拋物線y＝ax2+2x+c經過點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，頂點為點D．在線段CB上方的拋物線上有一動點P，過點P作PE⊥BC于點E，作PF∥AB交BC于點F．（1）求拋物線和直線BC的函數(shù)表達式．（2）當△PEF的周長為最大值時，求點P的坐標和△PEF的周長．4．（2022?黃岡模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交點為A（﹣4，0）、B（1，0），與y軸交于點C，P為拋物線上一點，過點P作PD⊥AC于D．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若P在直線AC上方，PE⊥x軸于E，交AC于F．①求sin∠PFD的值；②求線段PD的最大值．5．（2022?齊齊哈爾模擬）綜合與探究如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D，點P是直線BC上方拋物線上一點．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線BC上方的拋物線上找一點P，作PG⊥BC，求線段PG的最大值；6．（2022?習水縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，C兩點（點A在點C的左側），與y軸交于點B，且C（1，0），OA＝OB＝3．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點P是拋物線位于第二象限上的點，過點P作PQ∥y軸，交直線AB于點Q，交x軸于點H，過點P作PD⊥AB于點D．求線段PD的最大值；7．（2022?覃塘區(qū)三模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經過點A（0，﹣1）和點B（5，4），P是直線AB下方拋物線上的一個動點，PC∥y軸與AB交于點C，PD⊥AB于點D，連接PA．（1）求拋物線的表達式；（2）當△PCD的周長取得最大值時，求點P的坐標和△PCD周長的最大值；8．（2022?大同三模）綜合與實踐如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣3的圖象與x軸交于點A和B，點A在點B的左側，與y軸交于點C．（1）求直線BC的函數(shù)解析式；（2）如圖2，點D在直線BC下方的拋物線上運動，過點D作DM∥y軸交BC于點M，9．（2022春?浦江縣期末）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為A（1，9），與坐標軸交于B、C、D三點，且B點的坐標為（﹣2，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個動點M、N，且點N在點M的左側，過M、N作x軸的垂線交x軸于點G、H兩點，當四邊形MNHG為矩形時，求該矩形周長的最大值；10.（婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C，且過點D（2，﹣3）．點P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動點．（1）求拋物線的解析式；（2）當點P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．11．（2022春?青秀區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c，與y軸交于點A，與x軸交于點E、B．且點A（0，5），B（5，0），拋物線的對稱軸與AB交于點M．（