專項(xiàng)23二次函數(shù)和線段周長面積最大值（原卷版）

專項(xiàng)23二次函數(shù)和線段周長面積最大值考點(diǎn)1：線段、周長最大問題考點(diǎn)2：面積最大問題（1）鉛錘法（1）求A、B兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；（2）過點(diǎn)C作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D，可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；（3）求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；（4）根據(jù)C、D坐標(biāo)求得鉛垂高（5）（2）面積方法如圖1，同底等高三角形的面積相等．平行線間的距離處處相等．如圖2，同底三角形的面積比等于高的比．如圖3，同高三角形的面積比等于底的比．如圖1如圖2如圖3（3）利用相似性質(zhì)利用相似圖形，面積比等于相似比的平方?！究键c(diǎn)1線段最大值問題】【典例1】（盤錦）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4交y軸于點(diǎn)C，交x軸于A、B兩點(diǎn)，A（﹣2，0），a+b＝，點(diǎn)M是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M在頂點(diǎn)和B點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)（不包括頂點(diǎn)和B點(diǎn)），ME∥y軸，交直線BC于點(diǎn)E．（1）求拋物線的解析式；（2）求線段ME的最大值；【變式11】（2022春?豐城市校級期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．求線段PM的最大值；【變式12】（2021?柳南區(qū)校級模擬）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，0），直線y＝x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），B點(diǎn)在軸y上．（1）求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）P為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)E點(diǎn)，設(shè)線段PE的長為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x．①求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；②線段PE的長h是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時(shí)的x值；若不存在，請說明理由？【典例2】（2022?澄海區(qū)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），對稱軸為x＝1．點(diǎn)M為線段OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與兩端點(diǎn)重合），過點(diǎn)M作PM⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)Q．（1）求拋物線及直線BC的表達(dá)式；（2）過點(diǎn)P作PN⊥BC，垂足為點(diǎn)N．求線段PN的最大值；【變式2】（2022?廣元）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．（1）求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；（2）當(dāng)a＝1時(shí)，若點(diǎn)Q是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QD⊥AB于點(diǎn)D，當(dāng)QD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)及QD的最大值．【考點(diǎn)2周長最大值問題】【典例3】（2022春?衡陽期中）如圖，直線y＝﹣x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）如圖1，點(diǎn)E在線段AB上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)（不與A、B重合），過點(diǎn)E作ED⊥AB，交AB于點(diǎn)D，作EF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)M，求△DEM的周長的最大值；【變式3】（2022春?北碚區(qū)校級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y＝ax2+bx+2交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，一次函數(shù)y＝﹣x﹣1交拋物線于A，D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)D（3，﹣4）．（1）求拋物線C1的解析式；（2）點(diǎn)G為拋物線上一點(diǎn)，且在線段BC上方，過點(diǎn)G作GH∥y軸交BC于H，交x軸于點(diǎn)N，作GM⊥BC于點(diǎn)M，求△GHM周長的最大值；【考點(diǎn)3面積最大值問題】【典例4】（2021秋?龍江縣校級期末）綜合與探究如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+4經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式，連接BC，并求出直線BC的解析式；（2）請?jiān)趻佄锞€的對稱軸上找一點(diǎn)P，使AP+PC的值最小，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是；（3）點(diǎn)Q在第一象限的拋物線上，連接CQ，BQ，求出△BCQ面積的最大值．【變式41】（2022春?南岸區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C，且OC＝3．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為直線BC下方拋物線上的一點(diǎn)，連接AC、BC、CP、BP，求四邊形PCAB的面積的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；【變式42】（2022?東方二模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過B（3，0）、C（0，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），當(dāng)點(diǎn)E在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△CBE的面積的最大值；【典例5】（聊城）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，8），連接BC．又已知位于y軸右側(cè)且垂直于x軸的動(dòng)直線l，沿x軸正方向從O運(yùn)動(dòng)到B（不含O點(diǎn)和B點(diǎn)），且分別交拋物線、線段BC以及x軸于點(diǎn)P，D，E．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）作PF⊥BC，垂足為F，當(dāng)直線l運(yùn)動(dòng)時(shí)，求Rt△PFD面積的最大值．【變式5】（2022?廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．（1）求該拋物線的解析式；（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．1．（2022春?豐城市校級期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸相交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若P是第四象限內(nèi)這個(gè)二次函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，PH⊥x軸于點(diǎn)H，與BC交于點(diǎn)M，連接PC．求線段PM的最大值；2．（2022?玉州區(qū)一模）如圖，拋物線y＝﹣x2x+4交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在A的右邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，PM交BC于點(diǎn)Q．（1）求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過點(diǎn)P作PN上BC，垂足為點(diǎn)N，請用含m的代數(shù)式表示線段PN的長，并求出當(dāng)m為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？3．（2022?懷化）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線y＝ax2+2x+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D．在線段CB上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，作PF∥AB交BC于點(diǎn)F．（1）求拋物線和直線BC的函數(shù)表達(dá)式．（2）當(dāng)△PEF的周長為最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PEF的周長．4．（2022?黃岡模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交點(diǎn)為A（﹣4，0）、B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，P為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥AC于D．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若P在直線AC上方，PE⊥x軸于E，交AC于F．①求sin∠PFD的值；②求線段PD的最大值．5．（2022?齊齊哈爾模擬）綜合與探究如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，對稱軸與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）在直線BC上方的拋物線上找一點(diǎn)P，作PG⊥BC，求線段PG的最大值；6．（2022?習(xí)水縣模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，C兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)B，且C（1，0），OA＝OB＝3．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)P是拋物線位于第二象限上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交直線AB于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PD⊥AB于點(diǎn)D．求線段PD的最大值；7．（2022?覃塘區(qū)三模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（0，﹣1）和點(diǎn)B（5，4），P是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PC∥y軸與AB交于點(diǎn)C，PD⊥AB于點(diǎn)D，連接PA．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）當(dāng)△PCD的周長取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PCD周長的最大值；8．（2022?大同三模）綜合與實(shí)踐如圖，二次函數(shù)y＝x2﹣x﹣3的圖象與x軸交于點(diǎn)A和B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求直線BC的函數(shù)解析式；（2）如圖2，點(diǎn)D在直線BC下方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作DM∥y軸交BC于點(diǎn)M，9．（2022春?浦江縣期末）如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，9），與坐標(biāo)軸交于B、C、D三點(diǎn)，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在二次函數(shù)圖象位于x軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M、N，且點(diǎn)N在點(diǎn)M的左側(cè)，過M、N作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)G、H兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形MNHG為矩形時(shí)，求該矩形周長的最大值；10.（婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，且過點(diǎn)D（2，﹣3）．點(diǎn)P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求△POD面積的最大值．11．（2022春?青秀區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c，與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)E、B．且點(diǎn)A（0，5），B（5，0），拋物線的對稱軸與AB交于點(diǎn)M．（