專題全等三角形壓軸題（30題）（原卷版）2

八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第十二章全等三角形》專題全等三角形壓軸題訓(xùn)練（30題）1．（2022秋?忠縣期末）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，設(shè)BE與CD相交于點(diǎn)F．（1）如圖①，設(shè)∠A＝60°，BE、CD分別平分∠ABC、∠ACB，證明：DF＝EF．（2）如圖②，設(shè)BE⊥AC，CD⊥AB，點(diǎn)G在CD的延長(zhǎng)線上，連接AG、AF；若∠G＝∠6，BD＝CD，證明：GD＝DF．2．如圖，△ABC中，AB＝AC，D為AC邊上一點(diǎn)，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CD＝BE，DE與BC相交于點(diǎn)F．（1）求證：DF＝EF．（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥DE，交線段CE于點(diǎn)G，若CE⊥AC，CD＝4，S△EFG＝5，求EG的長(zhǎng)．3．如圖1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)P為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，以AP為直角邊，A為直角頂點(diǎn)，在AP右側(cè)作等腰直角三角形PAD，連接CD．（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)（不與點(diǎn)B重合），求證：△BAP≌△CAD；（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖2），試猜想線段BP和CD的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系分別是什么？請(qǐng)給予證明．4．在△ABC中，∠ABC＝90°．點(diǎn)G在直線BC上，點(diǎn)E在直線AB上，且AG與CE相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作邊AB的垂線AD，且CD∥AG，EB＝AD，AE＝BC．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在△ABC的邊AB上時(shí)，求∠DCE的度數(shù)；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：AB＝BG．5．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，連接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求證：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G是線段FB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接DG，點(diǎn)H是線段DG上一點(diǎn)，連接AH交BD于點(diǎn)K，連接KG．當(dāng)KB平分∠AKG時(shí)，求證：AK＝DG+KG．6．（2023春?市南區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為AC邊上一點(diǎn)，連接BE與AD交于點(diǎn)F，G為△ABC外一點(diǎn)，滿足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，連接EG．（1）求證：△ABF≌△ACG；（2）求證：BE＝CG+EG．7．（2022秋?新市區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，BD為△ABC的角平分線，且BD＝BC，E為BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，BE＝BA，過(guò)E作EF⊥AB，F(xiàn)為垂足．求證：（1）AD＝AE＝EC．（2）BA+BC＝2BF．8．（2023春?余江區(qū)期末）如圖，大小不同的兩塊三角板△ABC和△DEC直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)C處，AC＝BC，DC＝EC，連接AE、BD，點(diǎn)A恰好在線段BD上．（1）找出圖中的全等三角形，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)AD＝AB＝4cm，則AE的長(zhǎng)度為cm．（3）猜想AE與BD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．9．已知，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，連接AE（1）如圖1，當(dāng)AE平分∠BAC時(shí)，EH⊥AB于H，△EHB的周長(zhǎng)為10m，求AB的長(zhǎng)；（2）如圖2，延長(zhǎng)BC至D，使DC＝BC，將線段AE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段AF，連接DF，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥BC，交FC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求證：BG＝BE．10．在△ABC中，∠ABC＝45°，AM⊥MB，垂足為M，點(diǎn)C是BM延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AC．（1）如圖①，點(diǎn)D在線段AM上，且DM＝CM．求證：△BDM≌△ACM；（2）如圖②，在（1）的條件下，點(diǎn)E是△ABC外一點(diǎn)，且滿足EC＝AC，連接ED并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，且F為線段BC的中點(diǎn)，求證：∠BDF＝∠CEF．11．如圖1，在△ABC中，∠A＝120°，∠C＝20°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D．（1）求證：BD＝CD．（2）如圖2，若∠BAC的角平分線AE交BC于點(diǎn)E，求證：AB+BE＝AC．（3）如圖3，若∠BAC的外角平分線AE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，給出證明，若不成立，寫出正確的結(jié)論．12．（2022秋?渝北區(qū)校級(jí)期末）已在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，D為直線AB上一點(diǎn)，連接CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥CD，且CE＝CD，連接DE，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，且∠DCB＝30°時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄緿F，EF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，在（1）的條件下，在FC上任取一點(diǎn)G，連接DG，作射線GP使∠DGP＝60°，交∠DFG的平分線于點(diǎn)Q，求證：FD+FG＝FQ．13．（2022春?運(yùn)城期末）綜合與探究如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)F．（1）求證：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，請(qǐng)直接寫出∠BFC的度數(shù)．（3）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BD于點(diǎn)H，求證：EF+DH＝HF．14．（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)D，延長(zhǎng)BD交AC于E，G、F分別在BD、BC上，連接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）當(dāng)∠A＝80°時(shí)，求∠EDC的度數(shù)；（2）求證：CF＝FG+CE．15．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥BA于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，且BD＝DF．（1）求證：AC＝AE；（2）求證：∠BAC+∠FDB＝180°；（3）若AB＝9.5，AF＝1.5，求線段BE的長(zhǎng)．16．在△ABC中，AB＝AC，D是直線BC上一點(diǎn)，以AD為一條邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，連接DE，CE．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，求證：BD＝CE．（2）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．②當(dāng)點(diǎn)D分別在線段BC上、線段BC的反向延長(zhǎng)線上移動(dòng)時(shí)，α與β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.17．（2022春?南海區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD．以AD為直角邊且在AD的上方作等腰直角三角形ADF．（1）若AB＝AC，∠BAC＝90°．①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），試探討CF與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出相應(yīng)的圖形并說(shuō)明理由；（2）如圖③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA＝45°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，試探究CF與BD的位置關(guān)系．18．如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）△ABC≌△ADE嗎？為什么？（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）延長(zhǎng)BF到G，使得FG＝FB，試說(shuō)明CD＝2BF+DE．19．Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在直線AC上，點(diǎn)E在直線AB上，∠ADE＝∠ABC．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D、E分別在邊AC、AB上時(shí)，求證：DE⊥AB；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在CA延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在BA延長(zhǎng)線上時(shí)，DE、BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，作∠EAC的角平分線AG交DF于點(diǎn)G，求證：∠D+2∠DGA＝90°；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG交CD于點(diǎn)H，若∠DGH＝∠DHG，∠AGB＝3∠CBH，求∠DGA的度數(shù)．20．（2023春?新市區(qū)期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直線AB上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），連接DC并延長(zhǎng)到E，使得CE＝CD，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥直線BC，交直線BC于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D為線段AB上的任意一點(diǎn)時(shí)，用等式表示線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D為線段BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，猜想線段EF、CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明；（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，直接寫出線段EF、CF、AC之間的數(shù)量關(guān)系．21．如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點(diǎn)D為射線BC上一點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°，①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的位置關(guān)系為，線段CF、BD的數(shù)量關(guān)系為；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是銳角，點(diǎn)D在線段BC上，當(dāng)∠ACB滿足什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F不重合），并說(shuō)明理由．22．（1）如圖1，∠B＝∠D＝90°，E是BD的中點(diǎn)，AE平分∠BAC，求證：CE平分∠ACD．（2）如圖2，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分線并于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作BD⊥AM，分別交AM、CN于B、D，請(qǐng)猜想AB、CD、AC三者之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不要求證明．（3）如圖3，AM∥CN，∠BAC和∠ACD的平分線交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作不垂直于AM的線段BD，分別交AM、CN于B、D點(diǎn)，且B、D兩點(diǎn)都在AC的同側(cè)，（2）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)加以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F．（1）求證：AF+EF＝DE；（2）若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出變換后的圖形，并直接寫出你在（1）中猜想的結(jié)論是否仍然成立；（3）若將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其它條件不變，如圖③．你認(rèn)為（1）中猜想的結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)寫出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．24．（2023春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC和△DCE中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∠DCE＝90°，CD＝CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在BC上時(shí)，CB＝10，AE＝4，則S四邊形ABDE＝32；（2）如圖2，當(dāng)B、C、E三點(diǎn)共線時(shí)，D在AC上，連接BD、AE，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AG∥BD，交BF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求證：AG＝AE且AG⊥AE；（3）如圖3，B、C、E三點(diǎn)共線，且∠DBE＝15°，將線段AE繞點(diǎn)A以每秒10°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)線段BE繞點(diǎn)E以每秒20°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后立即以相同速度回轉(zhuǎn)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)BE回到出發(fā)時(shí)的位置時(shí)同時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中．當(dāng)BE和AE互相平行或者垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值．25．如圖1，在△ABC中，點(diǎn)P為BC邊中點(diǎn)，直線a繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，若B、P在直線a的異側(cè)，BM⊥直線a于點(diǎn)M，CN⊥直線a于點(diǎn)N，連接PM、PN；（1）延長(zhǎng)MP交CN于點(diǎn)E（如圖2），①求證：△BPM≌△CPE；②求證：PM＝PN；（2）若直線a繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，點(diǎn)B、P在直線a的同側(cè)，其它條件不變，此時(shí)PM＝PN還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．已知∠BAM+∠MDC＝180°，AB＝AM，DC＝DM，連接BC，N為BC的中點(diǎn)．（1）①定理“等邊對(duì)等角”即：對(duì)于任意△ABC若滿足AB＝AC，則∠ABC＝∠；②如圖1若A、M、D共線，若∠BAM＝70°，求∠NDC的大小；（2）如圖2，A、M、D不共線時(shí)，求∠ANB+∠DNC的值．27．（2023春?將樂(lè)縣校級(jí)期中）如圖，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．（1）如圖1，若∠BAC＝90°，當(dāng)C、D、E共線時(shí)，AD的延長(zhǎng)線AF⊥BC交BC于點(diǎn)F，則∠ACE＝；（2）如圖2，連接CD、BE，延長(zhǎng)ED交BC于點(diǎn)F，若點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∠BAC＝∠DAE，證明：AD⊥CD；（3）如圖3，延長(zhǎng)DC到點(diǎn)M，連接BM，使得∠ABM+∠ACM＝180°，延長(zhǎng)ED、BM交于點(diǎn)N，連接AN，若∠BAC＝2∠NAD，請(qǐng)寫出∠ADM、∠DAE之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出證明過(guò)程．28．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，3），AB＝BC，AB⊥BC，點(diǎn)B在x軸上．（1）如圖1，AC交x軸于點(diǎn)D，若∠DBC＝10°，則∠ADB＝；（2）如圖1，若點(diǎn)B在x軸正半軸上，點(diǎn)C（1，﹣1），求點(diǎn)B坐標(biāo)；（3）如圖2，若點(diǎn)B在x軸負(fù)半軸上，AE⊥x軸于點(diǎn)E，AF⊥y軸于點(diǎn)F，∠BFM＝45°，MF交直線AE于點(diǎn)M，若點(diǎn)B（﹣1，0），BM＝5，求EM的長(zhǎng)．29．（2023春?貴港期末）如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，AB⊥x軸于B，AC⊥y軸于C，點(diǎn)C（0，4），A（4，4），過(guò)C點(diǎn)作∠ECF分別交線段AB、OB于E、F兩點(diǎn)（1）若OF+BE＝AB，求證：CF＝CE．（2）如圖（2），且∠ECF＝45°，S△ECF＝6，求S△BEF的值．30．（1）閱讀理解：如圖①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD