專題17比例線段重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（6大題型）（原卷版）

專題17比例線段重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（6大題型）【題型目錄】題型一比例的性質(zhì)題型二線段的比題型三成比例線段題型四由平行判斷成比例的線段題型五由平行截線求相關(guān)線段的長或比值題型六黃金分割【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、線段的比與成比例線段線段的比兩條線段長度的比叫做兩條線段的比.注意：求兩條線段的比時(shí)必須統(tǒng)一單位）．成比例線段四條線段、、、中，如果，那么這四條線段、、、叫做成比例線段，簡稱比例線段．知識(shí)點(diǎn)二、比例的性質(zhì)基本性質(zhì)合比的性質(zhì)等比性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)三、黃金分割黃金分割若線段AB上一點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC與BC（AC>BC），如果，這時(shí)稱點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，這個(gè)比值稱為黃金比，它的值為．知識(shí)點(diǎn)四、相似圖形相似圖形在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點(diǎn)詮釋：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形是全等；相似多邊形如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．要點(diǎn)詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．（2）相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比稱為相似比．知識(shí)點(diǎn)五、平行線分線段成比例定理定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。圖形：幾何語言：∵l1∥l2∥l3，∴，，推論平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。圖形：幾何語言：∵DE∥BC，∴，，【經(jīng)典例題一比例的性質(zhì)】1．（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市胥江實(shí)驗(yàn)中學(xué)校校考階段練習(xí)）下列比例式中，不能由比例式得到的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）若，則的值為（

）A． B．1 C．1.5 D．33．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知（，，均不為0），則式子的值是．4．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，若，則5．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知a，b，c，d四個(gè)數(shù)滿足：，，其中a，b，c為非負(fù)數(shù)．(1)若，則___________．(2)d可取的整數(shù)有___________個(gè)．【經(jīng)典例題二線段的比】1．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）已知點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，線段是和的比例中項(xiàng)，下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，將矩形紙片按照以下方法裁剪：剪去矩形邊長的，邊長的（稱為第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（陰影部分）邊長的，長的（稱為第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的圖形恰好是正方形，則原矩形的長寬比為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)P把線段分成兩部分，且為與的比例中項(xiàng)．如果，那么．4．（2023秋·廣東佛山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)E，若E為中點(diǎn)，則．5．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀、操作與探究：小亮發(fā)現(xiàn)一種方法，可以借助某些直角三角形畫矩形，使矩形鄰邊比的最簡形式（如的最簡形式為）為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的比，具體操作如下：如圖1，中，的長分別為3，4，5，先以點(diǎn)B為圓心，線段的長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)D，再過D，A兩點(diǎn)分別作的平行線，交于點(diǎn)E．得到矩形，則矩形的鄰邊比為．請(qǐng)仿照小亮的方法解決下列問題：（1）如圖2，已知中，，請(qǐng)你在圖2中畫一個(gè)矩形，使所畫矩形鄰邊比的最簡形式為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的比，并寫出這個(gè)比值；（2）若已知直角三角形的三邊比為（n為正整數(shù)），則所畫矩形（鄰邊比的最簡形式為兩個(gè)連續(xù)自然數(shù)的比）的鄰邊比為．

【經(jīng)典例題三成比例線段】51．（2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè)）如果四條線段、、、構(gòu)成，，則下列式子中，成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龍江大慶·九年級(jí)校考開學(xué)考試）下面四組線段中，不能成比例的是（）A． B．C． D．3．（2023春·廣東河源·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，線段OA與函數(shù)y（x＞0）的圖象交于點(diǎn)B，且AB＝2OB，點(diǎn)C也在函數(shù)y（x＞0）圖象上，連結(jié)AC并延長AC交x軸正半軸于點(diǎn)D，且AC＝3CD，連結(jié)BC，若△BCD的面積為3，則k的值為．4．（2023·山東濟(jì)南·?？家荒＃┤鐖D，在邊長為2的正方形ABCD中，以BC為邊作等邊△BCM，連接AM并延長交CD于N，則CN的長為．5．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)，分別在邊，上，，交于點(diǎn)，，，，，．(1)求的長；(2)若的面積為70，求的面積．【經(jīng)典例題四由平行判斷成比例的線段】1．（2023春·天津和平·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，、、分別是邊、、上的點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn)，若四邊形是平行四邊形，則下列說法不正確的是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，．點(diǎn)F是中點(diǎn)，連接，把線段沿射線方向平移到，點(diǎn)D在上．則線段在平移過程中掃過區(qū)域形成的四邊形的周長和面積分別是(

)

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，163．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，且，，交于點(diǎn)．若，則的長是．

4．（2023春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，把沿著翻折得到，連接交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則的長為．

5．（2023春·江蘇無錫·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在中，，，．直線從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)方向運(yùn)動(dòng)，并始終與平行，與線段交于點(diǎn)．同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．

(1)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是矩形？(2)當(dāng)面積是的面積的倍時(shí)，求出的值．【經(jīng)典例題五由平行截線求相關(guān)線段的長或比值】1．（2023秋·安徽六安·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在的邊上，，，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)N，則的值是（

）

A． B． C． D．2．（2023春·江蘇無錫·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，，是線段的中點(diǎn)，和交于點(diǎn)，已知的面積是，求四邊形的面積（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·河南鄭州·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，D，E分別是和上的點(diǎn)，，，，且，則的長為．4．（2023·湖北黃石·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正方形的邊長為，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，若正方形的中心記為點(diǎn)，則過定點(diǎn)，長的最小值是．

5．（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）本學(xué)期我們研究了三角形的中位線的性質(zhì)，回顧研究的過程，請(qǐng)回答以下問題：(1)三角形中位線定理是：；(2)梯形是有一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊不平行的四邊形，連接梯形兩腰的中點(diǎn)，得到的線段叫做梯形的中位線．如圖①，就是梯形的中位線，梯形的中位線具有什么性質(zhì)呢？小明思考之后給出了如下的證明思路：如圖②，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)G．先證和全等，再說明是△ABG的中位線．經(jīng)過你的分析，請(qǐng)寫出梯形的中位線和兩底、之間的關(guān)系：、；

(3)已知梯形的中位線長為，高為，則梯形面積是；(4)如圖③，直線l為外的任意一條直線，過A、B、C、D分別作直線l的垂線段、、、，請(qǐng)?zhí)剿骶€段、、、之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【經(jīng)典例題六黃金分割】1．（2023秋·浙江·九年級(jí)專題練習(xí)）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖（1），點(diǎn)把線段分成兩部分，如果，那么稱點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)．如圖（2），點(diǎn)分別是線段的黃金分割點(diǎn)，（），若，則的長是（）A． B． C． D．2．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）五角星是我們生活中常見的一種圖形，在如圖所示的正五角星中，點(diǎn)C，D為線段的黃金分割點(diǎn)，且，則圖中五邊形的周長為（

）A． B． C． D．3．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)校聯(lián)考期末）在學(xué)習(xí)畫線段的黃金分割點(diǎn)時(shí)，小明過點(diǎn)作的垂線，取的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧交射線于點(diǎn)，連接，再以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與交于，兩點(diǎn)，最后，以為圓心，“■■”的長度為半徑畫弧交于點(diǎn)，點(diǎn)即為的其中一個(gè)黃金分割點(diǎn)，這里的“■■”指的是線段．

4．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，黃金分割在日常生活中處處可見；例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺(tái)長米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)B進(jìn)入，她至少走米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上．（結(jié)果保留根號(hào)）

5．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)【操作判斷】操作一：如圖1，將矩形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在上的點(diǎn)E處，折痕為，把紙片展平，連接；操作二：如圖2，將矩形紙片再次折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，得到折痕為，把紙片展平；操作三：如圖3，連接，并把折到上的處，得到折痕，把紙片展平，連接．

根據(jù)以上操作，直接寫出圖3中的值：______；(2)【問題解決】請(qǐng)判斷圖3中四邊形的形狀，并說明理由．(3)【拓展應(yīng)用】我們知道：將一條線段分割成長、短兩條線段，，若，則點(diǎn)P叫做線段的黃金分割點(diǎn)．在以上探究過程中，已知矩形紙片的寬為，當(dāng)點(diǎn)M是線段的黃金分割點(diǎn)時(shí)，直接寫出的長．【重難點(diǎn)訓(xùn)練】1．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，若直線，且，，則（

）

A．5 B．6C．9 D．102．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，若，則長為（

）

A．1.8 B．2.7 C．3.6 D．4.53．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)福建省莆田市中山中學(xué)?？奸_學(xué)考試）下列四條線段中，不能成比例的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，4．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，D是邊上的中點(diǎn)，E在上，且，則（）A．2 B．3 C．4 D．55．（2023春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，正方形頂點(diǎn)E、F在邊上，點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在內(nèi)部，連接并延長交于點(diǎn)D，若，，則長為（

）

A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.56．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則．7．（2023秋·安徽蕪湖·九年級(jí)校考開學(xué)考試）如圖，在正方形中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，為對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最大值為．8．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，平分，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)．若，，則的長為．

9．（2023·四川成都·校考三模）已知點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，．若，則的長為．10．（2023秋·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)分別在的邊上，且，過點(diǎn)作，分別交、的平分線于點(diǎn)．若，平分線段，則．

11．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，求的值．12．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，已知，；，，．求的長．

13．（2023春·吉林長春·八年級(jí)?？计谀﹫D①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，分別按下列要求畫圖，保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡.

(1)在圖①中畫線段，點(diǎn)E在邊上、點(diǎn)F在邊上，且；(2)在圖②中的線段上找一點(diǎn)O，使；(3)在圖③中畫一條線段、將線段分為兩部分.（要求：點(diǎn)M、N均在格點(diǎn)上）14．（2023秋·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，正方形的對(duì)角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在、上，且，、的延長線交于點(diǎn)M，、的延長線交于點(diǎn)N，連