第二十章一次函數(shù)（7個知識歸納20類題型突破）

第二十章一次函數(shù)（7個知識歸納+20類題型突破）1.掌握一次函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)；2.掌握一次函數(shù)與方程、不等式之間的關(guān)系；3.掌握一次函數(shù)的實際問題的解決；知識點1：函數(shù)一般地，在一個變化過程中.如果有兩個變量與，并且對于的每一個確定的值，都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說是自變量，是的函數(shù).

是的函數(shù)，如果當＝時＝，那么叫做當自變量為時的函數(shù)值.

函數(shù)的表示方法有三種：解析式法，列表法，圖象法.1.在一個變化過程中，我們稱數(shù)值發(fā)生變化的量為變量，數(shù)值始終不變的量稱之為常量。2.一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)。如果當x=a時，y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數(shù)值。3.一般地，對于一個函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形，就是這個函數(shù)的圖象。畫函數(shù)圖像的步驟：第一步：列表。在自變量取值范圍內(nèi)選定一些值，通過函數(shù)關(guān)系式求出對應函數(shù)值列成表格。第二步：描點。在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應函數(shù)值為縱坐標，描出表中對應各點。第三步：連線。按照坐標由小到大的順序把所有點用平滑曲線連結(jié)起來。知識點2：一次函數(shù)的概念一般地，形如（，是常數(shù)，≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).要點詮釋：當＝0時，即，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).一次函數(shù)的定義是根據(jù)它的解析式的形式特征給出的，要注意其中對常數(shù)，的要求，一次函數(shù)也被稱為線性函數(shù).一次函數(shù)有三種表示方法，如下：1、解析式法用含自變量x的式子表示函數(shù)的方法叫做解析式法。2、列表法把一系列x的值對應的函數(shù)值y列成一個表來表示的函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法。3、圖像法用圖象來表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。知識點3：一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)1.函數(shù)（、為常數(shù)，且≠0）的圖象是一條直線；當＞0時，直線是由直線向上平移個單位長度得到的；當＜0時，直線是由直線向下平移||個單位長度得到的.2.一次函數(shù)（、為常數(shù)，且≠0）的圖象與性質(zhì)：3.、對一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)的影響：決定直線從左向右的趨勢，決定它與軸交點的位置，、一起決定直線經(jīng)過的象限．4.兩條直線：和：的位置關(guān)系可由其系數(shù)確定：（1）與相交；（2），且與平行；直線y=kx+b的圖象和性質(zhì)與k、b的關(guān)系如下表所示：k>0，b>0：經(jīng)過第一、二、三象限k>0，b<0：經(jīng)過第一、三、四象限k>0，b=0：經(jīng)過第一、三象限（經(jīng)過原點）結(jié)論：k>0時，圖象從左到右上升，y隨x的增大而增大。k<0，b>0：經(jīng)過第一、二、四象限k<0，b<0：經(jīng)過第二、三、四象限k<0，b=0：經(jīng)過第二、四象限（經(jīng)過原點）結(jié)論：k<0時，圖象從左到右下降，y隨x的增大而減小?？偨Y(jié)：1、y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k。即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b為常數(shù)）。2、當x=0時，b為函數(shù)在y軸上的交點，坐標為（0，b）。當y=0時，該函數(shù)圖象在x軸上的交點坐標為（b/k，0）。3、當b=0時（即y=kx），一次函數(shù)圖象變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。4、函數(shù)圖象性質(zhì)：當k相同，且b不相等，圖像平行；當k不同，且b相等，圖象相交于Y軸；當k互為負倒數(shù)時，兩直線垂直。5、平移時：上加下減在末尾，左加右減在中間。知識點4：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式一次函數(shù)（，是常數(shù)，≠0）中有兩個待定系數(shù)，，需要兩個獨立條件確定兩個關(guān)于，的方程，這兩個條件通常為兩個點或兩對，的值.要點詮釋：先設出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件確定解析式中未知數(shù)的系數(shù)，從而具體寫出這個式子的方法，叫做待定系數(shù)法.由于一次函數(shù)中有和兩個待定系數(shù)，所以用待定系數(shù)法時需要根據(jù)兩個條件列二元一次方程組（以和為未知數(shù)），解方程組后就能具體寫出一次函數(shù)的解析式.分段函數(shù)對于某些量不能用一個解析式表示，而需要分情況（自變量的不同取值范圍）用不同的解析式表示，因此得到的函數(shù)是形式比較復雜的分段函數(shù).解題中要注意解析式對應的自變量的取值范圍，分段考慮問題.要點詮釋：對于分段函數(shù)的問題，特別要注意相應的自變量變化范圍.在解析式和圖象上都要反映出自變量的相應取值范圍.知識點5：一次函數(shù)與方程用函數(shù)的觀點看方程、方程組、不等式方程（組）、不等式問題函數(shù)問題從“數(shù)”的角度看從“形”的角度看求關(guān)于、的一元一次方程＝0（≠0）的解為何值時，函數(shù)的值為0？確定直線與軸（即直線＝0）交點的橫坐標求關(guān)于、的二元一次方程組的解．為何值時，函數(shù)與函數(shù)的值相等？確定直線與直線的交點的坐標求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集為何值時，函數(shù)的值大于0？確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標的范圍一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系一次函數(shù)（≠0，為常數(shù)）.當函數(shù)＝0時，就得到了一元一次方程，此時自變量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以轉(zhuǎn)化為：當某一個一次函數(shù)的值為0時，求相應的自變量的值.

從圖象上看，這相當于已知直線（≠0，為常數(shù)），確定它與軸交點的橫坐標的值.一次函數(shù)與二元一次方程組每個二元一次方程組都對應兩個一次函數(shù)，于是也對應兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當于確定兩條直線交點的坐標.

要點詮釋：

1.兩個一次函數(shù)圖象的交點與二元一次方程組的解的聯(lián)系是：在同一直角坐標系中，兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標就是相應的二元一次方程組的解.反過來，以二元一次方程組的解為坐標的點一定是相應的兩個一次函數(shù)的圖象的交點.如一次函數(shù)與圖象的交點為(3，－2)，則就是二元一次方程組的解.

2.當二元一次方程組無解時，相應的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線就沒有交點，則兩個一次函數(shù)的直線就平行.反過來，當兩個一次函數(shù)直線平行時，相應的二元一次方程組就無解.如二元一次方程組無解，則一次函數(shù)與的圖象就平行，反之也成立.

3.當二元一次方程組有無數(shù)解時，則相應的兩個一次函數(shù)在直角坐標系中的直線重合，反之也成立.方程組解的幾何意義1．方程組的解的幾何意義：方程組的解對應兩個函數(shù)的圖象的交點坐標．2．根據(jù)坐標系中兩個函數(shù)圖象的位置關(guān)系，可以看出對應的方程組的解情況：根據(jù)交點的個數(shù)，看出方程組的解的個數(shù)；根據(jù)交點的坐標，求出（或近似估計出）方程組的解．3．對于一個復雜方程組，特別是變化不定的方程組，用圖象法可以很容易觀察出它的解的個數(shù)．

知識點6：一次函數(shù)與一元一次不等式由于任何一個一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為＞0或＜0或≥0或≤0（、為常數(shù)，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當一次函數(shù)的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）時求相應的自變量的取值范圍.要點詮釋：求關(guān)于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，從“數(shù)”的角度看，就是為何值時，函數(shù)的值大于0？從“形”的角度看，確定直線在軸（即直線＝0）上方部分的所有點的橫坐標的范圍.（≠，且）的解集的函數(shù)值大于的函數(shù)值時的自變量取值范圍直線在直線的上方對應的點的橫坐標范圍．知識點7：一次函數(shù)的平移將函數(shù)向上平移n格，函數(shù)解析式為y=kx+b+n，將函數(shù)向下平移n格，函數(shù)解析式為y=kx+bn，將函數(shù)向左平移n格，函數(shù)解析式為y=k（x+n）+b，將函數(shù)向右平移n格，函數(shù)解析式為y=k（xn）+b。平移時：上加下減在末尾，左加右減在中間題型一一次函數(shù)的概念1．（2024上·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期末）下列各式①；②；③；④；⑤，是一次函數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的定義，一般地，形如，（k為常數(shù)，）的函數(shù)叫做一次函數(shù)．根據(jù)定義分析即可．【詳解】解：①的右邊不是整式，不是一次函數(shù)；②的右邊不是整式，不是一次函數(shù)；；③是一次函數(shù)；④的自變量的次數(shù)是2，不是一次函數(shù)；⑤是一次函數(shù)．故選B．2．（2023上·江西吉安·八年級校聯(lián)考期中）下列函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥中，是一次函數(shù)的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)的定義，根據(jù)“一般形如，（k，b是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，當時，，所以說正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)”逐項進行判斷即可．【詳解】解：①②④是一次函數(shù)，③是反比例函數(shù)，⑤需要添加這個條件才是一次函數(shù)，⑥是二次函數(shù)，故選：C．鞏固訓練：1．（2021下·上海寶山·八年級?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中，是一次函數(shù)的是（

）A． B．C．（、是常數(shù)） D．【答案】B【分析】根據(jù)形如的函數(shù)為一次函數(shù)判斷即可．【詳解】A、不是一次函數(shù)，不符合題意；B、是一次函數(shù)，符合題意；C、（、是常數(shù)），當時，不是一次函數(shù)，不符合題意；

D、不是一次函數(shù)，不符合題意；故選B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022下·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）以下函數(shù)中y是x的一次函數(shù)的有個．①；②；③；④；⑤；⑥．【答案】4【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義“一般地，形如（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)”進行解答即可得．【詳解】解：①，不是一次函數(shù)；②，是一次函數(shù)；③，不是一次函數(shù)；④，是一次函數(shù)；⑤，是一次函數(shù)；⑥，是一次函數(shù)；綜上，②④⑤⑥是一次函數(shù)，有4個一次函數(shù)，故答案為：4．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的識別，解題的關(guān)鍵是熟記一次函數(shù)的定義．3．（2023下·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）下列函數(shù)中哪些是一次函數(shù)，哪些又是正比例函數(shù)？（1）；

（2）；

（3）；

（4）．【答案】（1）（4）是一次函數(shù)，（1）是正比例函數(shù)．【分析】根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義，即可求解．【詳解】解：（1）是正比例函數(shù)，也是一次函數(shù)；（2）自變量在分母中，不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)；（3）自變量的次數(shù)是2，不是一次函數(shù)，也不是正比例函數(shù)；（4）是一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)．所以（1）（4）是一次函數(shù)，（1）是正比例函數(shù)．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義，熟練掌握形如（k、b為常數(shù)，且）的形式的函數(shù)是一次函數(shù)，當時，一次函數(shù)（k、b為常數(shù)，且）變?yōu)?，此時的函數(shù)稱為正比例函數(shù)是解題的關(guān)鍵．題型二根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)3．（2023上·安徽蚌埠·八年級統(tǒng)考階段練習）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，且當時，，則k的值為（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】分別把點，代入一次函數(shù)，根據(jù)，時，即可得出結(jié)論．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，，，，，，，即．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，掌握一次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式是解題關(guān)鍵．4．（2023下·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）若函數(shù)是一次函數(shù)，則的值為（

）A． B． C．2 D．0【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義可知，、為常數(shù)，，自變量的次數(shù)為1，即可求解．【詳解】解：是關(guān)于的一次函數(shù)，，且，，且，且，．故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的定義，熟練掌握一次函數(shù)的定義和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．鞏固訓練1．（2023下·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知函數(shù)是一次函數(shù)，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義進行解答．【詳解】解：由題意得：，∴，故選：A．【點睛】本題考查一次函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)的定義．2．（2021下·上海閔行·八年級?？计谥校┤绻瘮?shù)是一次函數(shù)，那么的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義得到：，由此求得的值．【詳解】解：依題意得：，解得．故答案為：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的定義．關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的比例系數(shù)不等于0．3．（2023下·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）已知．（1）滿足什么條件時，是一次函數(shù)？（2）滿足什么條件時，是正比例函數(shù)？【答案】（1）；（2）．【分析】（1）形如是一次函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)的定義解題；（2）形如是正比例函數(shù)，根據(jù)正比例函數(shù)的定義解題.【詳解】（1）：當時為一次函數(shù)，解得．（2）：當時為正比例函數(shù)，解得．【點睛】本題考查一次函數(shù)、正比例函數(shù)的定義，其中涉及絕對值等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.題型三求一次函數(shù)自變量或函數(shù)值5．（2023上·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）下列各點中在直線上的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；因此此題可把各個點的坐標代入一次函數(shù)解析式進行驗證即可．【詳解】解：A、把代入得：，故不在這條直線上；B、把代入得：，故不在這條直線上；C、把代入得：，故在這條直線上；D、把代入得：，故不在這條直線上；故選C．6．（2023上·吉林長春·九年級?？茧A段練習）描點法是畫函數(shù)圖象的主要方法，一般有三個步驟：列表、描點、連線．小明同學在畫一次函數(shù)的圖象時列出了如下表格，小穎看到后說有一個函數(shù)值求錯了．這個錯誤的函數(shù)值是（

）…012……035…A． B．0 C．3 D．5【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)表格數(shù)據(jù)分析，即可求解．【詳解】解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)可得當增大1時，函數(shù)值增大2，而在時，表格中的函數(shù)應為，故這個錯誤的函數(shù)值是；故選：B．鞏固訓練1．（2023下·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）下列各點中，在函數(shù)上的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把點的坐標代入函數(shù)解析式進行判斷即可．【詳解】解：A.當時，代入可得，故點不在函數(shù)的圖象上，不符合題意；B.當時，代入可得，故點不在函數(shù)的圖象上，不符合題意；C.當時，代入可得，故點不在函數(shù)的圖象上，不符合題意；D.當時，代入可得，故點在函數(shù)的圖象上，符合題意；故選：D．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象上點的坐標與函數(shù)解析式的關(guān)系，掌握函數(shù)圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2021下·上海長寧·八年級?？计谥校┮阎淮魏瘮?shù)滿足，則．【答案】2【分析】將代入函數(shù)解析式進行計算即可．【詳解】解：∵，∴，解得．故答案為：2．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關(guān)系式．3．（2023上·上海松江·八年級統(tǒng)考期中）定義：對于給定的兩個函數(shù)，當時，它們對應函數(shù)值相等；當時，它們對應的函數(shù)值互為相反數(shù)．我們稱這樣的兩個函數(shù)互為相關(guān)函數(shù)．例如：正比例函數(shù)，它的相關(guān)函數(shù)為(1)已知點在正比例函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上，則m的值為______；(2)已知正比例函數(shù)①這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為______；②若點在這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上，求n的值．【答案】(1)(2)①；②或【分析】（1）根據(jù)題意把點代入求解即可；（2）①根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義求解即可；②分類討論：當、時，分別把點代入相應的函數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：∵點在正比例函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上，，∴把點代入得，，故答案為：；（2）解：①由題意可得，正比例函數(shù)的相關(guān)函數(shù)為，故答案為：；②∵點在這個函數(shù)的相關(guān)函數(shù)的圖象上，當時，把點代入得，，∴，當時，把點代入得，，∴，∴或．題型四列一次函數(shù)解析式并求值7．（2022下·八年級單元測試）一段導線，在℃時的電阻為歐，溫度每增加1℃，電阻增加歐，那么電阻歐表示為溫度t℃的函數(shù)關(guān)系為（

）A．. B． C． D．【答案】B【分析】溫度每增加1℃，電阻增加歐，那么溫度從℃到t℃，電阻增加歐，進而可得答案.【詳解】解：∵一段導線，在℃時的電阻為歐，溫度每增加1℃，電阻增加歐，∴電阻歐表示為溫度t℃的函數(shù)關(guān)系為；故選：B.【點睛】本題考查了列出實際問題中的一次函數(shù)關(guān)系式，正確理解題意、弄清函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.8．（2021下·天津和平·八年級校考階段練習）一次函數(shù)中，當時，可以消去，求出結(jié)合一次函數(shù)圖象可知，無論取何值，一次函數(shù)的圖象一定過定點，則定義像這樣的一次函數(shù)圖象為“點旋轉(zhuǎn)直線”若一次函數(shù)y=的圖象為“點旋轉(zhuǎn)直線”，那么它的圖象一定經(jīng)過點（

）A．（1，3） B．（－1，6） C．（1，－6） D．（－1，3）【答案】B【分析】把一次函數(shù)整理為，再令，求出y的值即可．【詳解】解：一次函數(shù)整理得，∴令，則，∴，∴它的圖象一定經(jīng)過點．故選：B．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知一次函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵．鞏固訓練1．（2020上·甘肅蘭州·八年級?？计谥校τ谝淮魏瘮?shù)（k，b為常數(shù)），下表中給出5組自變量及其對應的函數(shù)值，其中恰好有1個函數(shù)值計算有誤，則這個錯誤的函數(shù)值是（）x0123yA． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法可求出一次函數(shù)解析式，分別代入，及求出與之對應的y值，再對照表格中的y值即可得出結(jié)論．【詳解】解：將，代入，得：，解得：，∴一次函數(shù)的解析式為．當時，；當時，，；當時，．故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，牢記直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）新定義：函數(shù)圖象上任意一點，稱為該點的“坐標差”，函數(shù)圖像上所有點的“坐標差”的最大值稱為該函數(shù)的“特征值”，一次函數(shù)（）的“特征值”是．【答案】4【分析】由題意知，一次函數(shù)的“特征值”為，當時，最大，代入求解即可．【詳解】解：由題意知，一次函數(shù)的“特征值”為，當時，，∴一次函數(shù)的“特征值”為4，故答案為：4．【點睛】本題考查了新定義，一次函數(shù)．解題的關(guān)鍵在于理解題意并正確的運算．3．（2023下·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）下表中，是的一次函數(shù)，寫出該函數(shù)表達式，并補全下表．－3－2－10164【答案】，3個空依次填寫2，0，－2．【分析】因為y是x的一次函數(shù)，可設y=kx+b，由圖表可知，x=3時y=6，x=2時y=4，然后可得到關(guān)于k、b的方程組，進而可求出解析式；把x=1，0，1代入求出相應的y值．【詳解】解：∵y是x的一次函數(shù)，∴設y=kx+b，又∵由圖表可知，x=3時y=6，x=2時y=4∴解得：∴所求的一次函數(shù)的解析式為y=2x；∴當x=1時，y=2×（1）=2；當x=0時，y=2×0=0；當x=1時，y=2×1=2；∴一次函數(shù)的解析式為y=2x，三個空依次填寫2，0，－2．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．題型五一次函數(shù)的圖象9．（2023上·寧夏銀川·八年級銀川一中校聯(lián)考期中）已知正比例函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而減小，則一次函數(shù)的圖象大致是圖的（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，先根據(jù)正比例函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而減小判斷出k的符號，再根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：正比例函數(shù)函數(shù)值隨x的增大而減小，，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限，故選：B．10．（2024上·甘肅酒泉·八年級校聯(lián)考期末）已知一次函數(shù)，和，函數(shù)和的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象．根據(jù)題意，利用分類討論的方法和一次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷哪個選項中的圖象是正確的．【詳解】解：當，時，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，沒有正確選項；當，時，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故選項A正確；當，時，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，沒有正確選項；當，時，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，故選項A正確；故選：A．鞏固訓練1．（2023上·陜西榆林·八年級?？计谀┰谕黄矫嬷苯亲鴺讼抵?，正比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查正比例函數(shù)和一次函數(shù)的函數(shù)圖像，解題的關(guān)鍵在于對進行分情況討論，找出符合題意的函數(shù)圖像即可．【詳解】當時，正比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，一次函數(shù)經(jīng)過第一、三、四象限；當時，正比例函數(shù)經(jīng)過第二、四象限，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限；對照各選項中的圖象，只有A符合．故選：A．2．（2023上·江蘇蘇州·八年級蘇州市立達中學校?？茧A段練習）若點在函數(shù)的圖像上，則．【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)圖像上點的坐標特征，牢記“直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關(guān)系式”是解題的關(guān)鍵．據(jù)此可得出關(guān)于的一元一次方程，求解即可．【詳解】解：∵點在函數(shù)的圖像上，∴，∴．故答案為：．3．（2023上·江蘇蘇州·八年級蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學校校考階段練習）已知與成正比例，當時，．(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)試判斷點是否在此函數(shù)圖象上，說明理由．【答案】(1)(2)不在，理由見解析【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式：求一次函數(shù)，需要兩組，的值．也考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正比例函數(shù)的定義，設，然后把已知的對應值代入求出，從而得到與的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征進行判斷．【詳解】（1）解：設，把，代入得，解得，∴，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：不在．理由如下：∵時，，∴點不在函數(shù)的圖象上．題型六已知函數(shù)經(jīng)過的象限求參數(shù)范圍11．（2023上·江蘇·八年級專題練習）若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則（）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于，當，的圖象在第一、二、三象限；當，的圖象在第一、三、四象限；當，的圖象在第一、二、四象限；當，的圖象在第二、三、四象限．根據(jù)一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系得到且，即可得到答案．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，即圖象經(jīng)過第一、三、四象限或圖象經(jīng)過一、三象限，∴且，∴，．故選：D．12．（2024上·廣東揭陽·八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)的圖象如圖所示，則值可能是（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象，熟練掌握、對一次函數(shù)的影響是解題的關(guān)鍵，由圖可知，即可得到答案．【詳解】解：∵圖象從左往右逐漸降低，∴，觀察A、B、C、D四個選項中，只有B為負數(shù)，符合題意，故選：B．鞏固訓練1．（2024上·江蘇南京·八年級期末）在平面直角坐標系中，已知點，若一次函數(shù)的圖像與射線有交點，則的取值范圍是(

)A．或 B．且C．或 D．或，且【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)解析式特點可知為一次函數(shù)的定點，再分別將，，代入解析式求出得值，即可得出答案．【詳解】可知當時，為一次函數(shù)的定點令過點，則令過點，則如圖所示，當或，且一次函數(shù)的圖像與射線有交點，故選：D．2．（2024上·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，若一次函數(shù)（k為常數(shù)）經(jīng)過一、三、四象限，則k的值可以是（寫出一個即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的經(jīng)過的象限與系數(shù)的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一次函數(shù)中的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，∴，解得：，故只需寫出的任意一個數(shù)即可，故答案為：（答案不唯一）．3．（2023上·甘肅蘭州·八年級?？计谥校┮阎瘮?shù)，(1)當m為何值時，該函數(shù)圖象經(jīng)過原點；(2)若該函數(shù)圖象與y軸交點在x軸上方，求m的取值范圍；(3)若該函數(shù)圖象經(jīng)過一、二、四象限，求m的取值范圍．【答案】(1)2；(2)且；(3)．【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、解一元一次不等式（方程或不等式組）以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點．（1）根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出，解之即可得出結(jié)論；（2）由函數(shù)圖象與y軸交點在x軸上方即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論；（3）由函數(shù)圖象經(jīng)過一、二、四象限結(jié)合一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，∴，解得：．∴當m為2時，該函數(shù)圖象經(jīng)過原點；（2）解：∵函數(shù)的圖象與y軸交點在x軸上方，∴，解得：且．∴若該函數(shù)圖象與y軸交點在x軸上方，m的取值范圍為且；（3）解：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，∴，解得：．∴若該函數(shù)圖象經(jīng)過一、二、四象限，m的取值范圍為．題型七一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題13．（2024上·廣東佛山·八年級?？计谀┤艉瘮?shù)圖象與坐標軸圍成的三角形的面積為2，則下列說法正確的是（

）A．y的值隨x的增大而增大 B．該函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限C．k的值為或 D．在在范圍內(nèi)，y的最大值為1【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論求解出的值是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)與y軸交于，結(jié)合與坐標軸圍成的三角形的面積為2，分與x軸的交點坐標或兩種情況討論，求出k的值，結(jié)合一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷是解題的關(guān)鍵．【詳解】、當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減?。还叔e誤；、當時，該函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限；當時，該函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、三象限；故錯誤；、時，，所以直線與y軸的交點坐標為，當時，該函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限，又直線與坐標軸圍成的三角形的面積為2，∴該直線與軸的交點坐標為即解得；當時，該函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、三象限，此時該直線與x軸的交點坐標為，∴，解得，故正確；、當時，當時，取最大值，當時，當時，取最大值，故錯誤；故選：．14．（2023上·陜西西安·九年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，若將直線向左平移3個單位長度后與y軸的交點在點的上方，則k的值可以為（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的平移，平移規(guī)律為“上加下減，左加右減”，根據(jù)一次函數(shù)的圖象左平移3個單位長度k不變，可得平移后的函數(shù)解析式為：，結(jié)合交點的意義即可得到k的范圍．【詳解】解：∵若將一次函數(shù)的圖象左平移3個單位長度，∴平移后的函數(shù)解析式為：，整理可得∵函數(shù)與y軸的交點在點的上方，∴∴解得：，結(jié)合選項，只有C選項的2符合，故選：C．鞏固訓練1．（2024上·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期末）一次函數(shù)的圖象與y軸的交點是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題．令，求出y值，即可得解．【詳解】解：令，，一次函數(shù)的圖象與y軸的交點是，故選：C．2．（2023上·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學校考階段練習）已知一次函數(shù)經(jīng)過、兩點，，且該函數(shù)的圖象與坐標軸圍成的三角形面積是4，則k的值是．【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)解析式的確定及其與坐標軸圍成面積的計算方法，由函數(shù)解析式確定與x軸的交點坐標為，與y軸的交點坐標為，然后根據(jù)函數(shù)圖象與坐標軸的面積為4列出方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一次函數(shù)經(jīng)過、兩點，，∴隨的增大而減小，∴，∵在中，當時，；當時，，∴的圖象與x軸的交點坐標為，與y軸的交點坐標為，由題意可得：，解得：（舍去）或．故答案為：．3．（2023上·寧夏銀川·八年級?？计谥校┮阎阂淮魏瘮?shù)，圖象與x軸、y軸分別相交于點A，B．(1)在直角坐標系內(nèi)畫出該函數(shù)的圖象．(2)求的面積．【答案】(1)見解析(2)4【分析】本題主要考查一次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可知點A、B的坐標，然后再圖象上描出點A、B，進而問題可求解；（2）根據(jù)（1）可直接進行求解的面積．【詳解】（1）解：列表表示當，時函數(shù)的對應值：x002過點與點畫一條直線，如圖即是函數(shù)的圖象．（2）解：由圖可知，，，為直角三角形，∴，，∴，∴的面積為4．題型八一次函數(shù)的平移問題15．（2024上·福建三明·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，直線l是函數(shù)的圖象，將直線l平移后得到直線，則下列平移方式正確的是(

)A．將直線l向上平移2個單位長度 B．將直線l向下平移2個單位長度C．將直線l向左平移2個單位長度 D．將直線l向右平移2個單位長度【答案】A【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與平移變換，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律：右加左減，上加下減．【詳解】解：設將直線向左平移a個單位后得到直線（），∴，解得：，故將直線向左平移1個單位后得到直線，同理可得，將直線向上平移2個單位后得到直線，觀察選項，只有選項A符合題意．故選：A．16．（2024上·江蘇南京·八年級期末）在平面直角坐標系中，把直線沿y軸向上平移2個單位長度后，得到的直線的函數(shù)表達式為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象的平移．熟練掌握一次函數(shù)圖象平移上加下減是解題的關(guān)鍵．根據(jù)上加下減進行求解作答即可．【詳解】解：由題意知，平移后的直線的函數(shù)表達式為，故選：B．鞏固訓練1．（2024上·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，將直線向下平移6個單位后，正好經(jīng)過點，則的值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】此題主要考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，直線平移后的解析式有這樣的規(guī)律“左加右減，上加下減”，熟記一次函數(shù)平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平移規(guī)律可得，直線向下平移6個單位后得，然后把代入即可求出k的值．【詳解】直線向下平移6個單位平移后所得解析式為，平移后的直線正好經(jīng)過點，，解得：故選：A2．（2024上·上海靜安·八年級上海田家炳中學?？计谀┤糁本€與直線平行，在y軸上的截距為5，則一次函數(shù)的解析式為．【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移問題，兩直線平行，則一次項系數(shù)相同，據(jù)此可得，一次函數(shù)與y軸的截距即為解析式中常數(shù)項的值，則，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵直線與直線平行，∴，∵直線在y軸上的截距為5，∴，∴直線的解析式為，故答案為：．3．（2023下·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）設一次函數(shù)（k，b是常數(shù)，且）．(1)若，此函數(shù)的圖象過下列哪個點______．A

B

C

D(2)若點在該一次函數(shù)的圖象上，把點P先向右平移2個單位，再向下平移2個單位，得到點，也在該函數(shù)圖象上，求k的值；(3)若，點（）在該一次函數(shù)圖象上，求k的取值范圍．【答案】(1)B(2)(3)【分析】（1）把代入得，即可判斷此函數(shù)的圖象過點；（2）求得點，然后利用待定系數(shù)法即可求得k的值；（3）由點（）在該一次函數(shù)圖象上得到，即，根據(jù)可知，即可求得．【詳解】（1）解：若，此函數(shù)的圖象過點，故答案為：B；（2）點，把點P先向右平移2個單位，再向下平移2個單位，得到點，∵和點都在（k，b是常數(shù)，且）的圖象上．∴，解得．（3）∵點在一次函數(shù)的圖象上，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，能夠明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型九一次函數(shù)與方程的關(guān)系17．（2023上·陜西西安·八年級校考期中）若關(guān)于x的方程的解是，則直線一定經(jīng)過點（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)方程可知當，，從而可判斷直線經(jīng)過點即可．【詳解】解：由方程的解可知：當時，，即當，，∴直線的圖象一定經(jīng)過點，故選：C．【點睛】本題主要考查的是一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，掌握一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．18．（2023下·全國·八年級專題練習）已知方程的解為，則一次函數(shù)的圖象與軸交點的坐標為(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】關(guān)于的一元一次方程的根是，即時，函數(shù)值為，所以直線過點，于是得到一次函數(shù)的圖象與軸交點的坐標．【詳解】解：方程的解為，則一次函數(shù)的圖象與軸交點的坐標為，故選：D．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程：任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為，為常數(shù)，的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當某個一次函數(shù)的值為時，求相應的自變量的值．從圖象上看，相當于已知直線確定它與軸的交點的橫坐標的值．鞏固訓練1．（2023上·貴州畢節(jié)·八年級?？计谥校┤鐖D，直線過點和點，則方程的解是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)與坐標軸的交點問題，根據(jù)方程的解，即為函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標即可求解．【詳解】解：方程的解，即為函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標，∵直線過點，∴方程的解是，故選：B．2．（2023上·山西太原·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，一次函數(shù)與的圖象交于點，則關(guān)于x的方程的解是．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，根據(jù)圖象的交點的橫坐標就是方程的解即可求解，熟練掌握基礎知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象得：方程的解是，故答案為：．3．（2023上·安徽阜陽·八年級?？茧A段練習）如圖，一次函數(shù)的圖象為直線，求關(guān)于的方程的解．

【答案】關(guān)于x的方程的解為．【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象可得一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，利用待定系數(shù)法即可求得m、n的值，從而得到方程，解方程即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，∴，解得，∴關(guān)于x的方程為，∴，故關(guān)于x的方程的解為．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解一元一次方程，求得m、n的值是解題的關(guān)鍵．題型十一次函數(shù)與不等式的關(guān)系19．（2023上·安徽淮北·八年級校聯(lián)考階段練習）一次函數(shù)與的圖像如圖所示，由圖像可知不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，正確利用函數(shù)圖象分析是解題關(guān)鍵．直接利用函數(shù)圖象，結(jié)合，得出的取值范圍．【詳解】解：如圖所示：不等式的解集為：．故選：C．20．（2023上·廣東梅州·九年級?？奸_學考試）一次函數(shù)與的圖像如圖，則下列結(jié)論①；②；③；④當時，中，正確的是（

）A．③④ B．①② C．①③ D．②④【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對①②③進行判斷；利用函數(shù)圖象，當時，一次函數(shù)在直線的上方，則可對④進行判斷．【詳解】解：∵一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，，所以①錯誤，③正確；∵直線的圖象與y軸的交點在x軸下方，，所以②錯誤；當時，，即所以④正確．故選：A．鞏固訓練1、（2023上·江蘇徐州·八年級?？茧A段練習）已知一次函數(shù)的圖象（如圖），當時，y的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)圖象直接進行求解．【詳解】解：由圖象可知：當時，y的取值范圍是；故選：A．2．（2024上·上海靜安·八年級上海田家炳中學?？计谀┖瘮?shù)的圖像，如圖所示與x軸的交點坐標為，與y軸的交點坐標為，若時，則y的取值范圍是．【答案】/【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)圖象找到當時，y的取值范圍即可．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當時，y的取值范圍是，故答案為：．3．（2023上·河南鄭州·八年級鄭州市第七十三中學?？茧A段練習）根據(jù)一次函數(shù)的圖象，寫出下列問題的答案：(1)關(guān)于x的方程的解是；(2)關(guān)于x的方程的解是；(3)當時，y的取值范圍是．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，（1）利用函數(shù)圖象寫出函數(shù)值為0時對應的自變量的值即可；（2）利用函數(shù)圖象寫出時對應的自變量的值即可（3）利用函數(shù)圖象寫出時對應的函數(shù)值范圍即可．【詳解】（1）利用函數(shù)圖象可知函數(shù)值為0時，，故答案為：；（2）利用函數(shù)圖象可知時對應的自變量的值為，故答案為：；（3）根據(jù)圖象可知：當時，，故答案為：．題型十一求直線圍成的圖形面積21．（2024下·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，與正比例函數(shù)的圖象交于點，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B22．（2023上·重慶沙坪壩·八年級重慶一中校考期中）如圖，將直線向下平移8個單位長度后，與直線及x軸圍成的的面積是（

）A．25 B．28 C．30 D．35【答案】C【分析】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，先求出直線向下平移8個單位長度后的解析式，故可得出C點坐標，再由直線得出B點坐標，聯(lián)立兩解析式得出A點坐標，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵直線向下平移8個單位長度后的解析式為，令，則，解得：，，∵直線中，當時，，，聯(lián)立方程，解得，，．故選：C．鞏固訓練1．（2023上·四川眉山·九年級?？茧A段練習）如圖，直線交x軸于點A，交y軸于點B，與直線的交點C的縱坐標是，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令求出的值，從而得到點的坐標，再根據(jù)點的縱坐標得到點到軸的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解．【詳解】解：令，則，解得，所以，點的坐標為，∵點的縱坐標是，∴點C到軸的距離為，∴的面積．故選：B．【點睛】本題考查了兩條直線相交的問題，根據(jù)直線解析式求出點的坐標是解題的關(guān)鍵．2．（2023下·四川巴中·八年級?？计谥校┮阎淮魏瘮?shù)與的圖象都經(jīng)過點，且與軸分別交于點，，若點在一次函數(shù)的圖象上，則的面積為．【答案】3【分析】將兩一次函數(shù)的解析式聯(lián)立，求出點坐標，再根據(jù)一次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出、、的坐標，然后根據(jù)的面積的面積的面積求解．【詳解】解：由，解得，則．一次函數(shù)與的圖象與軸分別交于點，，，．點在一次函數(shù)的圖象上，，解得，．的面積的面積的面積．故答案為：3．

【點睛】本題考查了兩條直線的交點問題：兩條直線的交點坐標，就是由這兩條直線相對應的一次函數(shù)表達式所組成的二元一次方程組的解．也考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，三角形的面積．3．（2024上·陜西寶雞·八年級統(tǒng)考期末）如圖，己知直線與直線交于點A．(1)求點A和點C的坐標；(2)在y軸上是否存在一點P，使得？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)，(2)存在，或【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；（1）聯(lián)立兩個函數(shù)解析式即可求出交點坐標，直線，令，解得，即可得到；（2）先求出，再設，分別求出和，最后列方程求解即可．【詳解】（1）聯(lián)立方程組，解得，∴A點坐標為；直線，令，解得，∴；（2）直線，令，解得,∴，∴，設，∴，，∵，∴，∴點P的坐標為或．題型十二根據(jù)一次函數(shù)增減性求參數(shù)23．（2023上·江蘇·八年級專題練習）若一次函數(shù)的函數(shù)值y隨x增大而增大，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，，當時，函數(shù)值隨的增大而增大．根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．【詳解】解：一次函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而增大，，解得，故選：D．24．（2024上·北京海淀·九年級?？奸_學考試）若一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點和點，當時，，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查正比例函數(shù)的增減性，根據(jù)正比例函數(shù)的大小變化規(guī)律判斷k的符號：當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減?。驹斀狻拷猓寒敃r，，一次函數(shù)的隨x的增大而減小，則，解得．故選：C．鞏固訓練1．（2024上·安徽滁州·八年級?？茧A段練習）若點和點都在一次函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象上，且當時，，則m的值可能是（

）A．0 B． C． D．3【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)的增減性，解題關(guān)鍵是利用一次函數(shù)增減性，求出．從而可得答案．【詳解】解：∵當時，，∴一次函數(shù)的y隨x的增大而增大∴∴∴m的值可能是3故選：D．2．（2024上·廣東深圳·八年級深圳中學?？计谀┮阎淮魏瘮?shù)，當時，對應的函數(shù)值y的取值范圍是，則b的值為．【答案】或【分析】本題考查求一次函數(shù)解析式，分兩種情況進行分析：①當時，y隨x的增大而增大；②當時，y隨x隨的增大而減小，利用待定系數(shù)法求解即可得出結(jié)果．【詳解】解：分兩種情況：當時，y隨x的增大而增大，當時，對應的函數(shù)值y的取值范圍是，當時，，時，，，解得；當時，y隨x的增大而減小，當時，對應的函數(shù)值y的取值范圍是，當時，，時，，，解得，綜上可知，b的值為或．3．（2023上·浙江杭州·八年級杭州育才中學?？茧A段練習）已知一次函數(shù)，其中．(1)若點在y的圖象上，求k的值．(2)當時，若函數(shù)有最大值9，求y的函數(shù)表達式．【答案】(1)(2)或【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上的點，一次函數(shù)的性質(zhì)；（1）將點代入關(guān)系式，求出，即可求解；（2）①當時，即：，利用一次函數(shù)的增減性得當時，，將此代入即可求解；②當時，即：，利用一次函數(shù)的增減性得當時，，將此代入即可求解；掌握一次函數(shù)的性質(zhì)中的增減性，并利用其確定取得最值的條件是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：點在的圖象上，，解得：；故答案為：；（2）解：①當時，即：，當時，函數(shù)的最大值為9，當時，，，解得：，一次函數(shù)解析式為；②當時，即：，當時，函數(shù)的最大值為9，當時，，，解得：，一次函數(shù)解析式為；綜上所述：一次函數(shù)解析式為或；題型十三比較一次函數(shù)值的大小25．（2023上·江蘇·八年級專題練習）已知點，都在直線上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)的增減性和實數(shù)的大小比較，根據(jù)，可得隨著x的增大而減小，即可解答，熟知，時，y隨著x的增大而增大；時，y隨著x的增大而減小是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴y隨x的增大而減小，又∵點，都在直線上，且，∴．故選：A．26．（2024上·廣東河源·八年級統(tǒng)考期末）點和都在直線上，且，則與的關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了函數(shù)值比較大小，理解并掌握一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意，確定還函數(shù)圖像的增減性，即可獲得答案．【詳解】解：對于直線，∵，∴該函數(shù)值隨的增大而減小，又∵，∴．故選：D．鞏固訓練1．（2023上·陜西西安·八年級校考期中）點，在一次函數(shù)的圖像上，則，的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，由得到隨的增大而減小，由即可求解，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴隨的增大而減小，∵，∴，故選：．2．（2024上·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）已知，是一次函數(shù)（是常數(shù)）的圖象上的兩點，則．（填“>”“<”或“=”）【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)k值得到一次函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)一次函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)的增減性，再根據(jù)兩點橫坐標的大小即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵一次函數(shù)中，，∴y隨x的增大而增大．∵，∴．故答案為：．3．（2023上·浙江杭州·八年級校聯(lián)考階段練習）已知y是x的一次函數(shù)，且當時，；當時，．(1)求此函數(shù)表達式和自變量x的取值范圍．(2)當時，求自變量x的取值范圍．(3)若，，對應的函數(shù)值分別為，．比較與的大?。敬鸢浮?1)，x為全體實數(shù)(2)(3)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與不等式，一次函數(shù)的性質(zhì)；（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)得出不等式，解不等式可得答案；（3）根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得答案．【詳解】（1）解：設，∵當時，；當時，，∴，解得：，∴，x為全體實數(shù)；（2）當時，即，解得：；（3）∵中，，∴y隨x的增大而減小，∵，，即，∴．題型十四一次函數(shù)的規(guī)律探究題27．（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預測）已知一次函數(shù)，點A為其圖象第一象限上一點，過點A作軸于點B，點B的橫坐標為2018，若在線段AB上恰好有2018個整點包括端點，則b的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可以的關(guān)于b的不等式，然后根據(jù)題意即可求得b的取值范圍．【詳解】解：由題意可得，點A的橫坐標為2018，在線段AB上恰好有2018個整點包括端點，，解得，，故選：D．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用函數(shù)的思想和不等式的性質(zhì)解答．28．（2023上·陜西西安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖象分別為直線，過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點，過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點……依次進行下去，則點的橫坐標為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意分別求出的坐標，找出的橫坐標的規(guī)律，即可求解．【詳解】解：∵過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點，過點作x軸的垂線交于點，過點作y軸的垂線交于點，……依次進行下去，∴與橫坐標相同，與縱坐標相同，∴當時，，∴，∴當時，，，同理可得：，，，，…∴的橫坐標為，當時，，∴點的橫坐標．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征及規(guī)律型中數(shù)字的變化類，找出點的橫坐標是解題的關(guān)鍵．鞏固訓練1．（2023上·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知直線：，直線：和點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，過點作軸的平行線交直線于點，…，按此作法進行下去，則點的橫坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，規(guī)律型：點的坐標，正確的找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．點在直線上，得到，求得的縱坐標的縱坐標，得到，即的橫坐標為，同理，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，求得的橫坐標為，于是得到結(jié)論．【詳解】點，在直線上，，軸，的縱坐標的縱坐標，在直線上，，，，即的橫坐標為，同理，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，∴的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，故選：A．2．（2024上·甘肅蘭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點，，，…分別在x軸上，點，，，…分別在直線上，，，，，，…都是等腰直角三角形，如果，則點的橫坐標為．【答案】【分析】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)，是等腰直角三角形，得到和的橫坐標為1，根據(jù)點在直線上，得到點的縱坐標，結(jié)合為等腰直角三角形，得到和的橫坐標為，同理：和的橫坐標為，和的橫坐標為，依此類推，即可得到點的橫坐標．此題是一道規(guī)律型的試題，鍛煉了學生歸納總結(jié)的能力，以數(shù)學結(jié)合思想靈活運用等腰直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意得：和的橫坐標為1，把代入得：，∴的縱坐標為1，即，∵為等腰直角三角形，∴，∴和的橫坐標為，同理：和的橫坐標為，和的橫坐標為，依此類推，的橫坐標為，故答案為：．3．（2023下·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）【定義】如果在平面直角坐標系中，點在直線上，我們就把直線叫做點P的“依附線”，點叫做這條直線的“依附點”，叫做點的“依附數(shù)”．例如，點在直線上，所以直線為點的“依附線”，點的“依附數(shù)”為．【應用】(1)已知點，在，，中，與點的“依附數(shù)”相同的點是______；(2)已知矩形中，點，，，．若矩形邊上存在兩個不同的點，都是直線的“依附點”，求的取值范圍；(3)若直線上存在點，且點的“依附數(shù)”為，當，時，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)，且【分析】（1）根據(jù)題中關(guān)于“依附數(shù)”的定義可知，對任意一點，若滿足，則是點的“依附數(shù)”，分別判斷點，，，的依附數(shù)即可；（2）設，，根據(jù)題意可得，分類討論即可分別得到的范圍和的范圍，取其公共部分即可；（3）根據(jù)題意列方程組求得，結(jié)合，進行求解即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知，點在在直線上，將代入得：，解得，即直線的解析式為；故點是直線的“依附點”，是點的“依附數(shù)”，由此可得，對任意一點，若滿足，則是點的“依附數(shù)”；∴對于，，故是點的“依附數(shù)”，對于，，故是點的“依附數(shù)”，對于，，是點的“依附數(shù)”，∴與點的“依附數(shù)”相同的點是．故答案為：．（2）解：設，，若點，都是直線的“依附點”，即，∵點，是兩個不同的點，即點，在不同邊上，設點在上，則，，∴，①點在上，則，，∴，故；②點在上，則，，∴，故不存在；③點在上，則，，∴，故；綜上，的取值范圍為．（3）解：根據(jù)題意可知若點的“依附數(shù)”為，即直線是點的“依附線”，點在直線上，故點是直線和直線的交點，故整理得：，∵，即，當時，解得：，∵，則，，即，故該情況下無解；當時，解得：，∵，則，，即，故該情況下無解；當時，解得：∵，則，，即，故當，時，的取值范圍為，且．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，兩直線交點與方程的解，求不等式組的解，熟練掌握“依附數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵．題型十五一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實際問題29．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）某種玻璃原材料需在環(huán)境保存，取出后勻速加熱至高溫，之后停止加熱，玻璃制品溫度會逐漸降低至室溫（），加熱和降溫過程中可以對玻璃進行加工，且玻璃加工的溫度要求不低于．玻璃溫度與時間的函數(shù)圖象如下，降溫階段y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象信息，以下判斷正確的是（

）A．玻璃加熱速度為 B．玻璃溫度下降時，y與x的函數(shù)關(guān)系式為C．能夠?qū)ΣＡнM行加工時長為 D．玻璃從降至室溫需要的時間為【答案】C【分析】根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)逐項分析求解即可．【詳解】解：∵，∴玻璃加熱速度為，故A選項不合題意；由題可得，在反比例函數(shù)圖象上，設反比例函數(shù)解析式為，代入點可得，，∴玻璃溫度下降時，y與x的函數(shù)關(guān)系式是，故B選項不合題意；∴設玻璃溫度上升時的函數(shù)表達式為，由題可得，在正比例函數(shù)圖象上，代入點可得，，∴玻璃溫度上升時，y與x的函數(shù)關(guān)系式是，∴將代入，得，∴將代入，得，∴，∴能夠?qū)ΣＡнM行加工時長為，故C選項符合題意；將代入得，，∴，∴玻璃從降至室溫需要的時間為，故D選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的應用，讀懂函數(shù)圖像，獲取信息是解決本題的關(guān)鍵．30．（2021上·山西·九年級山西實驗中學校考期中）某藥品研究所開發(fā)一種抗菌新藥，經(jīng)多年動物實驗，首次用于臨床人體試驗，測得成人服藥后血液中藥物濃度（微克/毫升）與服藥時間小時之間函數(shù)關(guān)系如圖所示（當時，與成反比例）．血液中藥物濃度不低于微克毫升的持續(xù)時間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先分別利用正比例函數(shù)以及反比例函數(shù)解析式，再利用y＝6分別得出x的值，進而得出答案．【詳解】解：當0≤x≤4時，設直線解析式為：y＝kx，將（4，8）代入得：8＝4k，解得：k＝2，故直線解析式為：y＝2x，當4≤x≤10時，設反比例函數(shù)解析式為：y＝，將（4，8）代入得：8＝，解得：a＝32，故反比例函數(shù)解析式為：y＝；因此血液中藥物濃度上升階段的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x（0≤x≤4），下降階段的函數(shù)關(guān)系式為y＝（4≤x≤10）．當y＝6，則6＝2x，解得：x＝3，當y＝6，則6＝，解得：x＝，∵?3＝（小時），∴血液中藥物濃度不低于6微克/毫升的持續(xù)時間小時故選A．【點睛】此題主要考查了反比例函數(shù)的應用，根據(jù)題意得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．鞏固訓練1．（2023上·福建福州·九年級福建省福州銅盤中學?？茧A段練習）教室里的飲水機接通電源就進入自動程序，開機加熱時每分鐘上升，加熱到，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫與開機后用時成反比例關(guān)系．直至水溫降至，飲水機關(guān)機．飲水機關(guān)機后即刻自動開機，重復上述自動程序．若在水溫為時，接通電源后，水溫和時間的關(guān)系如圖，為了在上午第一節(jié)下課時能喝到不超過的水，則接通電源的時間可以是當天上午的（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用待定系數(shù)法求出開機加熱時一次函數(shù)關(guān)系式，進而求出當時的值，再求出關(guān)機降溫時反比例函數(shù)關(guān)系式，進而求出當時的值，觀察可知飲水機的一個循環(huán)周期為分鐘，每一個循環(huán)內(nèi)，在及時間段內(nèi)，水溫不超過，最后逐項判斷即可．【詳解】解：∵開機加熱時間每分鐘上升，∴從到需要分鐘．設一次函數(shù)關(guān)系式為，將點，代入，得，解得，∴一次函數(shù)關(guān)系式為，令，則，解得：，設反比例函數(shù)關(guān)系式為，將點代入關(guān)系式，得，解得，∴反比例函數(shù)關(guān)系式為，將代入，得，∴．令，解得，

∴飲水機的一個循環(huán)周期為分鐘，每一個循環(huán)內(nèi)，在及時間段內(nèi)，水溫不超過．∵至之間有85分鐘，，不在及時間段內(nèi)，A選項不符合題意；∵至之間有75分鐘，，不在及時間段內(nèi)，B選項不符合題意；∵至之間有60分鐘，，在及時間段內(nèi)，C選項符合題意；∵至之間有45分鐘，，不在及時間段內(nèi)，D選項不符合題意；．故選：C．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應用，求一次函數(shù)關(guān)系式，求反比例函數(shù)關(guān)系式，求自變量的值，從圖像中獲取信息是解題的關(guān)鍵．2．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）為了預防“流感”，某學校對教室采用藥熏消毒法進行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量與時間成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例（如圖）．現(xiàn)測得藥物燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為．研究表明，當空氣中每立方米的含藥量不低于才有效，那么此次消毒的有效時間是分鐘．

【答案】12【分析】首先根據(jù)題意確定一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，然后代入確定兩個自變量的值，差即為有效時間．【詳解】解：藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為把代入中得；，∴，∴藥物燃燒時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為設藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為把代入中得；，∴，∴藥物燃燒后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為把代入，得：，把代入，得：，∵，∴那么此次消毒的有效時間是12分鐘，故答案為：12．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的實際應用，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．3．（2024上·廣東江門·九年級統(tǒng)考期末）通過試驗研究發(fā)現(xiàn)：一節(jié)40分鐘的課堂，初中生在數(shù)學課上聽課注意力指標隨上課時間的變化而變化，上課開始時，學生興趣激增，中間一段時間，學生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開始分散．如圖，學生注意力指標y隨時間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象，當和時，圖象是線段；當時，圖象是反比例函數(shù)的一部分．

(1)求反比例函數(shù)解析式和點A、D的坐標；(2)陳老師在一節(jié)課上講解一道數(shù)學綜合題需要16分鐘，他能否經(jīng)過適當?shù)陌才?，使學生在聽這道綜合題的講解時，注意力指標都不低于32？請說明理由．【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為，，(2)陳老師能經(jīng)過適當?shù)陌才牛箤W生在聽這道綜合題的講解時，注意力指標都不低于32，理由見解析【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的實際應用：（1）設反比例函數(shù)的解析式為，由求出，可得坐標，從而求出的坐標；（2）求出解析式，得到時，，由反比例函數(shù)可得時，，根據(jù)，即可得到答案．【詳解】（1）解：設當時，反比例函數(shù)的解析式為，將代入得：，解得，反比例函數(shù)的解析式為，當時，，，；（2）解：陳老師能經(jīng)過適當?shù)陌才?，使學生在聽這道綜合題的講解時，注意力指標都不低于32，理由如下：設當時，的解析式為，將、代入得：，解得，的解析式為，在中，當時，，在中，當時，，時，注意力指標都不低于32，∵，陳老師能經(jīng)過適當?shù)陌才牛箤W生在聽這道綜合題的講解時，注意力指標都不低于32．題型十六一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合31．（2023上·廣東茂名·九年級校考階段練習）如圖，一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交于點，，則不等式的解集是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】本題是一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題：主要考查了由函數(shù)圖象求不等式的解集．利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．利用函數(shù)圖象得到當一次函數(shù)圖象不在反比例函數(shù)圖象上方時x的取值即可．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當一次函數(shù)圖象不在反比例函數(shù)圖象上方時，x的取值范圍是：或，∴不等式的解集是：或，故選：D．32．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知雙曲線與雙曲線與直線從左到右依次交于四點，若（為坐標原點），則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，不妨設，，由雙曲線的對稱關(guān)系可知，，則，從而，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，作出圖像，如圖所示：，設，，由雙曲線的對稱關(guān)系可知，，，，故選：A．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖像與性質(zhì)，根據(jù)題意，作出圖像，由圖像與性質(zhì)求出線段長度是解決問題的關(guān)鍵．鞏固訓練1．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線與雙曲線交于點和點，則不等式的解集是（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【分析】利用數(shù)形相結(jié)合，借助圖象求出不等式的解集即可．【詳解】解：∵把，直線與雙曲線交于點和點，∴當時，直線在雙曲線的下方且直線在x軸的上方，∴不等式的解集是：，故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用數(shù)形相結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．2．（2022·河北石家莊·校聯(lián)考三模）如圖，直線與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象相交于、兩點，其中點的坐標為．（1）的值為；（2）若點是該反比例函數(shù)圖象上一點，點是直線在第二象限部分上一點，分別過點、作軸的垂線，垂足為點和若時，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)直線與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象相交于，可得，進而可求的值；解析式聯(lián)立成方程組，解方程組求得的坐標；觀察圖象即可得出結(jié)論．【詳解】解：直線與反比例函數(shù)為常數(shù)，的圖象相交于，，，由點的坐標為得所以；故答案為：；解得或，；觀察圖象可知，若時，的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，三角形的面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·四川達州·九年級校考期末）如圖，一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像交于，兩點，與軸交于點，與軸交于點，已知，點的坐標為，過點作軸，垂足為，．(1)求點坐標和反比例函數(shù)關(guān)系式；(2)求一次函數(shù)的解析式；(3)求的面積?！敬鸢浮?1)，(2)(3)【分析】本題考查了勾股定理，待定系數(shù)法求反比例解析式及一次函數(shù)解析式，利用割補法求三角形面積．（1）由，設，則，在中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于的方程，可得到的值，進而得到的坐標，把的坐標代入即可確定出解析式；（2）把的橫坐標代入（1）中求出的反比例解析式，確定的坐標，把和的坐標代入即可確定解析式；（3）令解析式中求出的值，進而得到的長，而把分為兩個三角形，底邊都為，高為和到軸的距離，根據(jù)三角形的面積公式即可求出的面積．【詳解】（1）解：（1）由，設，則，又，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得或（舍去），所以，，則的坐標為，把的坐標代入反比例解析式得：，則反比例函數(shù)的解析式為；（2）（2）把的橫坐標代入反比例解析式得：，所以的坐標為，又，將和的坐標代入解析式得：，解得：，則一次函數(shù)解析式為：；（3）令，解得，即，則．題型十七一次函數(shù)的應用之分配方案問題33．（2022·全國·八年級假期作業(yè)）網(wǎng)紅“臟臟包”是時下最流行的一款面包，“臟臟包”正如其名，它看起來臟臟的，吃完以后嘴巴和手上會因沾上巧克力而變“臟”，因而得名“臟臟包”．某面包店每天固定制作甲、乙兩種款型的臟臟包共200個，且所有臟臟包當天全部售出，原料成本、銷售單價及店員生產(chǎn)提成如表所示：甲（元/個）乙（元/個）原料成本128銷售單價1812生產(chǎn)提成10.6設該店每天制作甲款型的臟臟包x（個），每天獲得的總利潤為y（元）．則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝1.6x+680 B．y＝﹣1.6x+680C．y＝﹣1.6x﹣680 D．y＝﹣1.6x﹣6800【答案】A【詳解】根據(jù)總利潤＝單個利潤×生產(chǎn)的個數(shù)，即可求解．【解答】解：由題意得：y＝（18﹣12﹣1）x+（12﹣8﹣0.6）（200﹣x）＝1.6x+680，故y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝1.6x+680，故選：A．【點評】本題考查了一次函數(shù)的應用，難度一般，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．34．（2020下·湖北黃岡·八年級統(tǒng)考期末）某公司話費收費有套餐（月租費元，通話費每分鐘元）和套餐（月租費元，通話費每分鐘元）兩種．當月通話時間為（

）時，，兩種套餐收費一樣．A．分鐘 B．分鐘 C．分鐘 D．分鐘【答案】C【分析】根據(jù)A套餐的收費為月租加上話費，B套餐的收費為話費列式，再根據(jù)兩種收費相同列出方程，求解即可．【詳解】A套餐的收費方式：y1＝0.1x＋15；B套餐的收費方式：y2＝0.15x；由0.1x＋15＝0.15x，得到x＝300，故選C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，是典型的收費問題，求出兩種收費相同的時間是確定選擇不同的繳費方式的關(guān)鍵．鞏固訓練1．（2020下·山東濰坊·七年級?？茧A段練習）一輛甲種車每次可運貨物3噸，一輛乙種車每次可運貨物2噸，某公司有20噸貨物，計劃同時租用兩種車一次運完，且每輛車都裝滿貨物，一共有（

）種租車方案．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】設租用甲種車x輛，即乙種車輛，根據(jù)x，均為正整數(shù)求出所有的租車方案即可．【詳解】設租用甲種車x輛，即乙種車輛∵x，均為正整數(shù)∴當成立故存在3種租車方案故答案為：C．【點睛】本題考查了租車方案的問題，掌握正整數(shù)的性質(zhì)列出所有租車方案是解題的關(guān)鍵．2．（2021上·廣東茂名·八年級統(tǒng)考期末）本年度某單位常有集體外出學習活動，因此準備與出租車公司簽訂租車協(xié)議．現(xiàn)有甲、乙兩家出租車公司供選擇．設每月行駛千米，應付給甲公司元，應付給乙公司元，、分別與之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，若這個單位估計每月需要行駛的路程為3500千米，那么為了省錢，這個單位應租公司．【答案】甲【分析】由題意可知x=3500>1500，此時觀察圖像，則此時甲省錢．【詳解】根據(jù)圖象可知當x>1500時，，此時甲省錢．∵x=3500>1500，此時，∴此時甲省錢．故答案為：甲．【點睛】本題考查一次函數(shù)的實際應用，根據(jù)兩個一次函數(shù)的交點判斷出與的大小是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023上·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學校考階段練習）馇酥是陜西省咸陽市乾縣的著名小吃，被列為陜西省第二批非物質(zhì)文化遺產(chǎn)項目之一，作為當?shù)氐拿耖g食品，有著悠久的歷史和文化背景，因其油多而不膩、糖多而不厭、滋養(yǎng)而不過補，深受省內(nèi)外人們的喜愛．王英去咸陽旅游，準備帶些馇酥回家給家人品嘗，她發(fā)現(xiàn)甲、乙兩家食品超市都在銷售相同品質(zhì)的馇酥，且標價均為12元/千克，經(jīng)詢問，兩家超市均給出了優(yōu)惠方案，甲超市的優(yōu)惠方案是：無論購買多少，一律按標價的8折付款；乙超市的優(yōu)惠方案是：若一次性購買不超過5千克，按標價付款，若一次性購買超過5千克，則超過部分按標價的5折付款．設王英購買的數(shù)量為x（）千克，在甲超市購買需付款元，在乙超市購買需付款元．(1)分別求、與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若王英一次性購買9千克，請計算并說明，王英在哪家超市購買較劃算？【答案】(1)，(2)王英在乙超市購買較劃算，見解析【分析】本題考查一次函數(shù)的實際應用．（1）根據(jù)各自得優(yōu)惠方案，列出函數(shù)關(guān)系式即可．（2）將代入兩個函數(shù)解析式，求出函數(shù)值，比較大小后，進行判斷即可．讀懂題意，正確的列出函數(shù)關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得；；（2）當時，，，∵，∴王英在乙超市購買較劃算．題型十八一次函數(shù)的應用之最大利潤問題35．（2022上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）樂樂超市購進一批拼裝玩具，進價為每個15元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，日銷售量（個）與銷售單價（元）之間滿足如圖所示的一次函數(shù)關(guān)系，若該玩具某天的銷售單價是20元時，則當日的銷售利潤為（

）A．200元 B．300元 C．350元 D．500元【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用待定系數(shù)法求出與的一次函數(shù)關(guān)系式，然后將代入即可求出銷售量，最后利用銷售收入減去成本支出即可求出銷售利潤．【詳解】解：設與的一次函數(shù)關(guān)系式為，由圖可得，解得，所以與的一次函數(shù)關(guān)系式為，把代入可得，所以銷售利潤為（元）．故選B．【點睛】本題考查求一次函數(shù)的關(guān)系式和利潤問題，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．36．（2021下·山東濟南·七年級統(tǒng)考期末）在某一階段，某商品的銷售量與銷售價之間存在如下關(guān)系：設該商品的銷售價為x元，售量為y件，估計當x＝137時，y的值可能為（

）銷售價/元90100110120130140銷售量/件908070605040A．63 B．59 C．53 D．43【答案】D【分析】通過待定系數(shù)法求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，再將x＝137代入求解．【詳解】解：設售量y件與銷售價x元之間的關(guān)系為y＝kx+b，將x＝90，y＝90與x＝100，y＝80分別代入可得：，解得，∴y＝﹣x+180，將x＝137代入可得y＝43，故選：D．【點睛】此題主要考查一次函數(shù)的實際應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)待定