專題06全等模型-角平分線模型

專題06全等模型角平分線模型角平分線在中考數(shù)學中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R點，需要掌握其各類模型及相應的輔助線作法，且輔助線是大部分學生學習幾何內容中的弱點，本專題就角平分線的幾類全等模型作相應的總結，需學生反復掌握。模型1.角平分線垂兩邊（角平分線+外垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線、于點A時，過點C作.結論：、≌.圖1圖2常見模型1（直角三角形型）條件：如圖2，在中，，為的角平分線，過點D作.結論：、≌.（當是等腰直角三角形時，還有.）圖3常見模型2（鄰等對補型）條件：如圖3，OC是∠COB的角平分線，AC=BC，過點C作CD⊥OA、CE⊥OB。結論：①；②；③.例1．（2023秋·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點B為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于點D、E．②分別以點D、E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點F．③作射線交于點G．如果，，的面積為18，則的面積為（

）

A．20 B．36 C．27 D．【答案】C【分析】如圖，過點作于點，于點．利用角平分線的性質定理證明，利用三角形面積公式求出，可得結論．【詳解】解：如圖，過點作于點，于點．

由作圖可知平分，，，，，，，，，故選：C．【點睛】本題考查作圖復雜作圖，角平分線的性質，三角形的面積等知識，解題的關鍵是讀懂圖象信息，學會添加常用輔助線解決問題，屬于中考?？碱}型．例2．（2023春·山東泰安·七年級統(tǒng)考期末）如圖，的外角的平分線與內角的平分線交與點P，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)外角與內角性質得出的度數(shù)，再利用角平分線的性質以及直角三角形全等的判定證明，得出，即可得出答案．【詳解】解：延長，作，，，設，平分，，，平分，，，，，，，，在和中，，，．故選：C．

【點睛】此題主要考查了角平分線的性質以及三角形外角的性質和直角三角全等的判定等知識，根據(jù)角平分線的性質得出是解決問題的關鍵．例3．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，四邊形中，，點O為的中點，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：；(3)求證：．

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）過點作于，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，可得，從而求出，然后根據(jù)到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上證明即可；（2）利用，證明，根據(jù)全等三角形對應角相等，可得，同理可得，然后求出，再根據(jù)垂直的定義即可證明；（3）根據(jù)全等三角形對應邊相等，可得，，然后根據(jù)線段之間的數(shù)量關系，即可得出結論．【詳解】（1）證明：過點作于，

∵，平分，∴，∵點為的中點，∴，∴，又∵，∴平分；（2）證明：在和中，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；（3）證明：∵，∴，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了角平分線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、垂線的定義，熟記性質并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．例4．（2023春·浙江·八年級專題練習）已知點C是∠MAN平分線上一點，∠BCD的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于B，D兩點，且∠ABC+∠ADC＝180°．過點C作CE⊥AB，垂足為E．（1）如圖1，當點E在線段AB上時，求證：BC＝DC；（2）如圖2，當點E在線段AB的延長線上時，探究線段AB、AD與BE之間的等量關系；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠MAN＝60°，連接BD，作∠ABD的平分線BF交AD于點F，交AC于點O，連接DO并延長交AB于點G．若BG＝1，DF＝2，求線段DB的長．【答案】（1）見解析；（2）AD﹣AB＝2BE，理由見解析；（3）3．【分析】（1）過點C作CF⊥AD，根據(jù)角平分線的性質得到CE＝CF，證明△BCE≌△DCF，根據(jù)全等三角形的性質證明結論；（2）過點C作CF⊥AD，根據(jù)角平分線的性質得到CE＝CF，AE＝AF，證明△BCE≌△DCF，得到DF＝BE，結合圖形解答即可；（3）在BD上截取BH＝BG，連接OH，證明△OBH≌△OBG，根據(jù)全等三角形的性質得到∠OHB＝∠OGB，根據(jù)角平分線的判定定理得到∠ODH＝∠ODF，證明△ODH≌△ODF，得到DH＝DF，計算即可．【詳解】（1）證明：如圖1，過點C作CF⊥AD，垂足為F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，∵∠CBE+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，∴∠CBE＝∠CDF，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS）∴BC＝DC；（2）解：AD﹣AB＝2BE，理由如下：如圖2，過點C作CF⊥AD，垂足為F，∵AC平分∠MAN，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF，AE＝AF，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠CDF＝∠CBE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（AAS），∴DF＝BE，∴AD＝AF+DF＝AE+DF＝AB+BE+DF＝AB+2BE，∴AD﹣AB＝2BE；（3）解：如圖3，在BD上截取BH＝BG，連接OH，∵BH＝BG，∠OBH＝∠OBG，OB＝OB在△OBH和△OBG中，，∴△OBH≌△OBG（SAS）∴∠OHB＝∠OGB，∵AO是∠MAN的平分線，BO是∠ABD的平分線，∴點O到AD，AB，BD的距離相等，∴∠ODH＝∠ODF，∵∠OHB＝∠ODH+∠DOH，∠OGB＝∠ODF+∠DAB，∴∠DOH＝∠DAB＝60°，∴∠GOH＝120°，∴∠BOG＝∠BOH＝60°，∴∠DOF＝∠BOG＝60°，∴∠DOH＝∠DOF，在△ODH和△ODF中，，∴△ODH≌△ODF（ASA），∴DH＝DF，∴DB＝DH+BH＝DF+BG＝2+1＝3．【點睛】本題考查了角平分線的性質，三角形全等的判定和性質，關鍵是依照基礎示例引出正確輔助線．模型2.角平分線垂中間（角平分線+內垂直）【模型解讀與圖示】條件：如圖1，為的角平分線，，結論：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三線合一等。圖1圖2圖3條件：如圖2，為的角平分線，，延長BA，CE交于點F.結論：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三線合一等。例1．（2023·浙江寧波·八年級?？计谥校┤鐖D，△ABC的面積為16，∠PBC與∠PAB互余，AP⊥BP，則△PBC的面積．【答案】8【分析】延長AP交BC于D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得AP=PD，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得=，=，然后求出ΔPBC的面積的面積等于，再進行計算即可得解．【詳解】解：如圖，延長AP交BC于D，∵AP⊥BP，∴∠ABP+∠PAB=90°，又∵∠PBC與∠PAB互余，∴∠ABP=∠PBC，即BP為∠ABC的角平分線，又∵AP⊥BP，∴AP=DP，∴=，=，∴故答案為：8【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質，三角形的面積，主要利用了等底等高的三角形的面積相等，作輔助線構造出等腰三角形是解題的關鍵．例2．（2022·綿陽市·九年級期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于點D．（1）如圖1，點F為BC上一點，連接AF交BD于點E．若AB=BF，求證：BD垂直平分AF．（2）如圖2，CE⊥BD，垂足E在BD的延長線上．試判斷線段CE和BD的數(shù)量關系，并說明理由．（3）如圖3，點F為BC上一點，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足為E，EF與AC交于點M．直接寫出線段CE與線段FM的數(shù)量關系．【答案】（1）見解析；（2）BD=2CE，理由見解析；（3）FM=2CE．【分析】(1)由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可證△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；（2）延長CE，交BA的延長線于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可證△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°∠EMC=22.5°，可證△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可．【詳解】證明(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°，∴BD垂直平分AF．（2）BD=2CE，理由如下：延長CE，交BA的延長線于G，∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE，∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA，又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，（3）FM=2CE，理由如下：作FM的中垂線NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH，∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC，∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN，∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE，又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE．【點睛】本題考查角平分線性質，三角形全等判定與性質，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線，三角形外角性質，掌握角平分線性質，三角形全等判定與性質，直角三角形兩銳角互余，線段垂直平分線是解題關鍵．例3．（2022秋·河南信陽·八年級統(tǒng)考期末）情景觀察：如圖1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分別為D、E，CD與AE交于點F．①寫出圖1中所有的全等三角形；②線段AF與線段CE的數(shù)量關系是，并寫出證明過程．問題探究：如圖2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足為D，AD與BC交于點E．求證：AE=2CD．【答案】①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF=2CE，詳見解析.【分析】情景觀察：①由AB＝AC，AE⊥BC，AE是公共邊，根據(jù)“HL”即可判斷△ABE≌△ACE；根據(jù)等腰三角形“三線合一”和∠A＝45°，可求得∠DAF＝22.5°，利用等邊對等角和三角形內角和定理求得∠B＝67.5°，在Rt△BDC中即可求得∠DCB＝22.5°，在Rt△ADC中由∠DAC＝45°可得AD＝CD，由“ASA”即可得出△ADF≌△CDB；②由①中△ADF≌△CDB得出AF＝BC，再由“三線合一”得出BC＝2CE，等量代換即可得出結論；問題探究：延長AB、CD交于點G，由ASA證明△ADC≌△ADG，得出對應邊相等CD＝GD，即CG＝2CD，證出∠BAE＝∠BCG，由ASA證明△ABE≌△CBG，得出AE＝CG＝2CD即可．【詳解】解：①圖1中所有的全等三角形為△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；故答案為△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②線段AF與線段CE的數(shù)量關系是：AF＝2CE；故答案為AF＝2CE．證明：∵△BCD≌△FAD，∴AF＝BC，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴BC＝2CE，∴AF＝2CE；問題探究：證明：延長AB、CD交于點G，如圖2所示：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠GAD，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ADG＝90°，在△ADC和△ADG中，，∴△ADC≌△ADG（ASA），∴CD＝GD，即CG＝2CD，∵∠BAC＝45°，AB＝BC，∴∠ABC＝90°，∴∠CBG＝90°，∴∠G＋∠BCG＝90°，∵∠G＋∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠BCG，在△ABE和△CBG中，，∴△ABE≌△CBG（ASA），∴AE＝CG＝2CD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握等腰三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．模型3.角平分線構造軸對稱模型（角平分線+截線段相等）【模型解讀與圖示】條件：如圖，為的角平分線，A為任意一點，在上截取，連結.結論：≌，CB=CA。條件：如圖，分別為和的角平分線，，在上截取，連結.結論：≌，≌，AB+CD=BC。例1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）在△ABC中，AD為△ABC的角平分線，點E是直線BC上的動點．（1）如圖1，當點E在CB的延長線上時，連接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，則∠ABC的度數(shù)為．（2）如圖2，AC＞AB，點P在線段AD延長線上，比較AC+BP與AB+CP之間的大小關系，并證明．（3）連接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且滿足AB+AC＝EC，請求出∠ACB的度數(shù)（要求：畫圖，寫思路，求出度數(shù)）．【答案】（1）；（2），見解析；（3）44°或104°；詳見解析．【分析】（1）根據(jù)等邊對等角，可得，，再根據(jù)三角形外角的性質求出，由此即可解題；（2）在AC邊上取一點M使AM=AB，構造，根據(jù)即可得出答案；（3）畫出圖形，根據(jù)點E的位置分四種情況，當點E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，可得，設，則；根據(jù)∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，可得，可證（SAS），得出，利用還有，列方程；當點E在BD上時，∠EAD＜90°，不成立；當點E在CD上時，∠EAD＜90°，不成立；當點E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，可得，得出，設，則；∠BAC＝24°，根據(jù)AD為△ABC的角平分線，得出，證明（SAS），得出，利用三角形內角和列方程，解方程即可．【詳解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，，∵，，∴，∵AD為△ABC的角平分線，即，∴；∴（2）如圖2，在AC邊上取一點M使AM=AB，連接MP，在和中，，∴（SAS），∴，∵，，∴，∴；（3）如圖，點E在射線CB延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設，則；又∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，又∵，∴，解得：，∴；當點E在BD上時，∠EAD＜90°，不成立；當點E在CD上時，∠EAD＜90°，不成立；如圖，點E在BC延長線上，延長CA到G，使AG=AB，∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，設，則；又∵∠BAC＝24°，AD為△ABC的角平分線，∴，又∵，∴，，∴，在和中，，∴（SAS），∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度數(shù)為44°或104°．【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質、全等三角形判定和性質，角平分線，三角形外角性質，三角形內角和，解一元一次方程，根據(jù)角平分線模型構造全等三角形轉換線段和角的關系是解題關鍵．例2．（2023·浙江·九年級專題練習）如圖，在中，，，是的平分線，延長至點，，試求的度數(shù)．【答案】40°【分析】在上截取，連接，通過證明，可得，再通過證明，即可求得【詳解】解：如圖，在上截取，連接，是的平分線，，在和中，，，，∴DE=DF，，又，，，，在和中，，故．【點睛】本題考查了全等三角形的問題，掌握全等三角形的性質以及判定定理是解題的關鍵．例3．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于點E．試說明AD＝AB﹣BC的理由．【答案】見解析【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易證△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根據(jù)平行線性質可證∠C＝∠BFE，即可證明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解題．【詳解】證明：在AB上找到F使得AF＝AD，∵AE平分∠BAD，∴∠EAD＝∠EAF，∵在△AEF和△AED中，，∴△AEF≌△AED，（SAS）∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°，∵∠AFE＋∠BFE＝180°∴∠C＝∠BFE，∵BE平分∠BAD，∴∠FBE＝∠C，∵在△BEC和△BEF中，，∴△BEC≌△BEF，（AAS）∴BF＝BC，∵AB＝AF＋BF，∴AB＝AD＋BC，即AD＝AB﹣BC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊、對應角相等的性質，本題中求證△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解題的關鍵．例4．（2022·山東煙臺·九年級期末）已知在中，滿足，(1)【問題解決】如圖1，當，為的角平分線時，在上取一點使得，連接，求證：．(2)【問題拓展】如圖2，當，為的角平分線時，在上取一點使得，連接，（1）中的結論還成立嗎？若成立，請你證明：若不成立，請說明理由．(3)【猜想證明】如圖3，當為的外角平分線時，在的延長線上取一點使得，連接，線段、、又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并對你的猜想給予證明．【答案】(1)證明見解析(2)成立，證明見解析(3)猜想，證明見解析【分析】（1）先根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質可得，，再根據(jù)三角形的外角性質可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，從而可得，最后根據(jù)線段和差、等量代換即可得證；（2）先根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質可得，，再根據(jù)三角形的外角性質可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，從而可得，最后根據(jù)線段和差、等量代換即可得證；（3）先根據(jù)定理證出，根據(jù)全等三角形的性質可得，，從而可得，再根據(jù)三角形的外角性質可得，然后根據(jù)等腰三角形的判定可得，從而可得，最后根據(jù)線段和差、等量代換即可得證．（1）證明：∵為的角平分線，∴，在與中，，∴，∴，，又∵，，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．（2）解：（1）中的結論還成立，證明如下：∵為的角平分線時，∴，在與中，，∴，∴，，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．（3）解：猜想，證明如下：∵平分，∴，在與中,，∴，∴，，如圖，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質、等腰三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題關鍵．課后專項訓練1．（2022春·江蘇宿遷·七年級?？茧A段練習）如圖，中，，的角平分線、相交于點，過作交的延長線于點，交于點，則下列結論：①；②；③；④四邊形，其中正確的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】根據(jù)三角形全等的判定和性質以及三角形內角和定理逐一分析判斷即可．【詳解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD、BE分別平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD=，∠ABE=∴∠BAD+∠ABE=∴∠APB=180°（∠BAD+∠ABE）=135°，故①正確；∴∠BPD=45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB=90°+45°=135°∴∠APB=∠FPB又∵∠ABP=∠FBPBP=BP∴△ABP≌△FBP（ASA）∴∠BAP=∠BFP，AB=AB，PA=PF，故②正確；在△APH與△FPD中∵∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∴△APH≌△FPD（ASA），∴AH=FD，又∵AB=FB∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正確；連接HD，ED，∵△APH≌△FPD，△ABP≌△FBP∴，，PH=PD，∵∠HPD=90°，∴∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∴HD∥EP，∴∵故④錯誤，∴正確的有①②③，故答案為：B．【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意AAA和SAS不能判定兩個三角形全等．2．（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考開學考試）如圖，在中，，是邊上的高，是的平分線，交于點F，下面說法：①；②；③；④．其中正確的說法有（

）個．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)余角的性質可判斷①，根據(jù)角平分線的定義可判斷③，證明，根據(jù)等角對等邊推出可判斷②，過點作于，根據(jù)角平分線的性質定理可得，利用三角形的面積可判斷④．【詳解】解：是的平分線，，，是邊上的高，，，，，．故①③符合題意．，是邊上的高，，，是的平分線，，，，．故②符合題意．如圖，過點作于，

，是的平分線，，，故④符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的定義和性質，三角形的高，余角的性質，掌握角平分線的性質定理是解題關鍵．3．（2023春·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，分別是和的角平分線，，交于點O，分別過點O作于點M，作于點N．下列結論：①；②；③；④．其中正確的有（

）

A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】根據(jù)，分別是和的角平分線，求出，再根據(jù)三角形的內角和定理，即可求出，即可判斷①；連接，則平分，推出，則，，進而得出，即可判斷②④；通過證明，即可判斷③．【詳解】解：①∵，，，分別是和的角平分線，∴，在中，，故①正確，符合題意；②④連接，∵，分別是和的角平分線，∴平分，∵，，∴，，∵，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，．故②④正確，符合題意；③在和中，，∴，∴，故③正確，符合題意．綜上：正確的有①②③④，共4個．故選：A．

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，三角形的內角和定理，三角形的外角定理，解題的關鍵是掌握三角形的三條角平分線交于一點，角平分線上的點到兩邊距離相等．4．（2023春·廣東惠州·八年級校考開學考試）如圖，在中，平分，，，則與之間的大小關系是（）

A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】作，垂足為D，交延長線于點E，再根據(jù)角平分線的性質得出，證明，得出即可．【詳解】解：作，垂足為D，交延長線于點E，則，

∵平分，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，故選：A．【點睛】此題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，關鍵是添加輔助線來證明三角形全等．5．（2023春·陜西西安·七年級校考期末）如圖，，和分別平分和，過點P且與垂直，若，，則的面積為（

）

A．15 B．20 C．30 D．80【答案】A【分析】過點P作于點E，根據(jù)平行線的性質證，再根據(jù)角平分線的性質得出，再根據(jù)三角形面積公式計算即可．【詳解】解：過點P作于點E，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，和分別平分和，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，故選：A．

【點睛】本題考查平行線的性質、角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．6．（2023春·山東泰安·七年級?？奸_學考試）如圖，在中，交于點平分交于點的面積為20，則的長為．

【答案】8【分析】過作于，據(jù)角平分線的性質得到，然后利用三角形的面積公式列式計算．【詳解】解：如圖，過作于，平分交于點，，的面積為20，，，故答案為：8．

【點睛】本題考查了角平分線的性質，三角形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．7．（2023春·江蘇蘇州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，．以點為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交、邊于點、；再分別以、為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點；作射線交邊于點．若的面積為，則的面積為．【答案】15【分析】作于，作于，由作圖知平分，得，根據(jù)，，求得，再根據(jù)三角形的面積公式求解即可．【詳解】解：如圖，作于，作于，由作圖知平分，，，，，即，解得，則，，故答案為：15．【點睛】本題主要考查作圖—基本作圖，解題的關鍵是掌握角平分線的尺規(guī)作圖及角平分線的性質．8．（2023春·山東棗莊·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖所示，已知直線平分且，求與之間的關系并說明理由．

【答案】，理由見解析【分析】如圖，過點作點，過點作于點，根據(jù)角平分線的性質得到，通過證明，得出，通過推出與之間的關系．【詳解】解：，理由如下：如圖，過點作點，過點作于點，

直線平分，，，，在和中，，，，，，．【點睛】本題考查了角平分線的性質，全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線構造全等三角形是解答本題的關鍵．9．（2023·重慶·八年級專題練習）閱讀與思考下面是小明同學的數(shù)學學習筆記，請您仔細閱讀并完成相應的任務：構造全等三角形解決圖形與幾何問題在圖形與幾何的學習中，常常會遇到一些問題無法直接解答，需要添加輔助線才能解決．比如下面的題目中出現(xiàn)了角平分線和垂線段，我們可以通過延長垂線段與三角形的一邊相交構造全等三角形，運用全等三角形的性質解決問題．例：如圖1，是內一點，且平分，，連接，若的面積為10，求的面積．

該問題的解答過程如下：解：如圖2，過點作交延長線于點，、交于點，

平分，．，．在和中，，（依據(jù)1）（依據(jù)2），，，．……任務一：上述解答過程中的依據(jù)1，依據(jù)2分別是___________，___________；任務二：請將上述解答過程的剩余部分補充完整；應用：如圖3，在中，，，平分交于點，過點作交延長線于點．若，求的長．

【答案】任務一：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（或角邊角或），全等三角形的對應邊相等；任務二：見解析；應用：12【分析】任務一：根據(jù)全等三角形判定和性質即可得到答案；任務二：先推出，得出，，進而可得，即可得到答案；應用：延長、交于點，先推出，得到，進而可得，再推出，即可得出結論．【詳解】解：任務一：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等（或角邊角或ASA），全等三角形的對應邊相等；任務二：……，，；應用：延長、交于點，

平分，，，，在和中，，，，，，，在和中，，．【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質，三角形的面積，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．10．（2022秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延長線上．求證：BE＝CD．【答案】見解析【分析】分別延長BE、CA交于點F，首先結合題意推出△CFE≌△CBE，從而得到BE＝EF＝BF，然后證明△BFA≌△CDA，得到BF＝CD，即可得出結論．【詳解】證明：分別延長BE、CA交于點F，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠FEC＝90°．∵CD平分∠ACB，∴∠FCE＝∠BCE．在△CFE與△CBE中，∵∠BEC＝∠FEC，∠FCE＝∠BCE，CE＝CE，∴△CFE≌△CBE，∴BE＝EF＝BF．在△CFE與△CAD中，∵∠F＋∠FCE＝∠ADC＋∠ACD＝90°，∴∠F＝∠ADC．在△BFA與△CDA中，∵∠F＝∠ADC，∠BAC＝∠FAB，AB＝AC，∴△BFA≌△CDA，∴BF＝CD．∴BE＝CD．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，理解角平分線的基本定義，熟練運用角平分線的性質構造輔助線，并且準確判定全等三角形是解題關鍵．11．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，已知在四邊形ABCD中，BD是的平分線，．2求證：．【答案】見解析【分析】方法一，在BC上截取BE，使，連接DE，由角平分線的定義可得，根據(jù)全等三角形的判定可證和全等，再根據(jù)全等三角形的性質可得，，由AD=CD等量代換可得，繼而可得，由于，可證；方法2，延長BA到點E，使，由角平分線的定義可得，根據(jù)全等三角形的判定可證和全等，繼而可得，．由，可得，繼而求得，由，繼而可得；方法3，作于點E，交BA的延長線于點F，由角平分線的定義可得，由，，可得，根據(jù)全等三角形的判定可證和全等，繼而可得，再根據(jù)HL定理可得可證．【詳解】解：方法1截長如圖，在BC上截取BE，使，連接DE，因為BD是的平分線，所以．在和中，因為所以，所以，．因為，所以，所以．因為，所以．方法2

補短如圖，延長BA到點E，使．因為BD是的平分線，所以在和中，因為，所以，所以，．因為，所以，所以．因為，所以．方法3

構造直角三角形全等作于點E．交BA的延長線于點F因為BD是的平分線，所以．因為，，所以，在和中，因為，所以，所以．在和中，因為，所以，所以．因為，所以．12．（2022秋·浙江·八年級專題練習）如圖，已知B（1，0），C（1，0），A為y軸正半軸上一點，點D為第二象限一動點，E在BD的延長線上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求證：∠ABD=∠ACD；（2）求證：AD平分∠CDE；（3）若在點D運動的過程中，始終有DC=DA+DB，在此過程中，∠BAC的度數(shù)是否變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出∠BAC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）不變，60°【分析】（1）根據(jù)∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，再結合∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，即可得出結論；（2）過點A作AM⊥CD于點M，作AN⊥BE于點N．運用“AAS”證明△ACM≌△ABN得AM＝AN．根據(jù)“到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上”得證；（3）運用截長法在CD上截取CP＝BD，連接AP．證明△ACP≌ABD得△ADP為等邊三角形，從而求∠BAC的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵∠BDC＝∠BAC，∠DFB＝∠AFC，又∵∠ABD＋∠BDC＋∠DFB＝∠BAC＋∠ACD＋∠AFC＝180°，∴∠ABD＝∠ACD；（2）過點A作AM⊥CD于點M，作AN⊥BE于點N．則∠AMC＝∠ANB＝90°，∵OB＝OC，OA⊥BC，∴AB＝AC，∵∠ABD＝∠ACD，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴AM＝AN，∴AD平分∠CDE（到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上）；（3）∠BAC的度數(shù)不變化．在CD上截取CP＝BD，連接AP．∵CD＝AD＋BD，∴AD＝PD，∵AB＝AC，∠ABD＝∠ACD，BD＝CP，∴△ABD≌△ACP，∴AD＝AP，∠BAD＝∠CAP，∴AD＝AP＝PD，即△ADP是等邊三角形，∴∠DAP＝60°，∴∠BAC＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAP＋∠BAD＝60°．【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質，運用了角平分線的判定定理和“截長補短”的數(shù)學思想方法，綜合性較強．13．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，在四邊形中，，點E是的中點，平分．求證：是的平分線．

【答案】見解析【分析】過點E作于點H，反向延長交的延長線于點G，過點E作于點F，證明，可得，根據(jù)角平分線的性質定理可得，從而得到，再由角平分線的性質的逆定理，即可求解．【詳解】證明：過點E作于點H，反向延長交的延長線于點G，過點E作于點F，

∵，∴，，∵點E是的中點，∴，在與中，，∴，∴，∵平分，，∴，∴，又，∴是的平分線．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質，熟練掌握角平分線的性質定理及其逆定理，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．14．（2023秋·浙江·八年級專題練習）如圖，四邊形中，，點E為的中點，且平分．(1)求證：平分；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）過點E作于F，根據(jù)角平分線的性質得出，再根據(jù)，得出，進而根據(jù)角平分線的判定定理可得出結論；（2）根據(jù)角平分線的性質得出，，再證明，，根據(jù)全等三角形的性質得出，，進而得出結論．【詳解】（1）證明：如圖，過點E作于F，

∵，平分，∴，∵E是的中點，∴，∴，又∵，，∴是的平分線．（2）∵平分，平分，，，∴，，∴，，∴，，∴．【點睛】本題考查角平分線的判定與性質，全等三角形的判定與性質．掌握角平分線的判定與性質，是解題的關鍵．15．（