例析高考數(shù)學運用導數(shù)證明不等式問題的策略-國際應用數(shù)學進展

【摘要】導數(shù)背景下的不等式證明問題在高考命題中占據(jù)重要地位，常常以選擇題和解答題的形式出生的數(shù)學思維和推理能力。在實際教學中，我們發(fā)現(xiàn)部分學生面對導數(shù)背景下不等式的證明問題時束手無類問題的常用策略，以此來幫助學生更好地分析并掌握解決該類題型的方法和技【關鍵詞】不等式證明；導數(shù)；高考；解題策略提出新【Abstract】Theproblemofprovinginequalitiesunderthecontextofderivativesisofgreatimportanceinthecollegeentranceexamination,oftenappearingintheformofmultiple-choicequestionsandsolutionprotheimplementationofthenewcollegeentranceexaminationpolicy,theproportionofusuallywithtwotothreesumathematicalideas.Theynotonlyteststudents'understandingofmathematicalthinkingandrewiththeproblemofprovinginequalitiesunderthecontextofderivativesandchoosetogiveregrettable.Thisarticletakesrecentcollegeentranceexaminatcommonderivativeinequalityproblemsincollegeentranceexaminationmathematicsandproviskillsforsolvingthistypeofproblem,therebyimprovingtheirproblem-solvingefficiency.【Keywords】Inequalityproof;Derivative;CollegeEntranceExamination;Problemsolvingstrat是高考命題的熱點，需要學生具備較強的數(shù)學例析高考數(shù)學運用導數(shù)證明不等式問題的策略考查了證明含參不等式恒成立，22（2）考查了函數(shù)導數(shù)的單調(diào)性與不等式以及處取得極值，函數(shù)值點偏移問題的本質(zhì)是函數(shù)的不對稱性。用數(shù)學語言表達即是：若函數(shù)f(x)在處取得極值，函數(shù)則稱函數(shù)f(x)的極值點發(fā)生偏移。按照極值點的偏移來分，可分為兩類：（1）函數(shù)圖象左陡右緩，極值點向左偏移。此時，若f(x)=f(x2)，則2x,。f(x)=f(x)，則2x,。常見的極值點偏移題型如：已知f(x)=f(x2)或X1,x2為f(x)的兩個零點，為f(x)的極值點，證（4）構造對稱“差函數(shù)”：構造差函數(shù)F(x)=f(x)-f(2xo-x)或者F(x)=-。（1）若f(x)之0，求a的取值范圍；（2）證明：若f(x)有兩個零點則。令f'(x)=0，得x=1，故f(x)，f'(x)的變化情況如下表：10f(x)↘↗所以當x=1，f(x)?,=e十l-a，因為f(x)≥0，所以e+1-a≥0，所以a≤e+1。設t=x-lnx，則y=el+t-a，y'=et+1。例析高考數(shù)學運用導數(shù)證明不等式問題的策略因為y'=e"+1>0，所以y=e*+t-a為增函數(shù)，所以x1-lnx1=x2-lnx2。10↘1↗F(x)=f(x)F(x)=f(x)則設(0,1)(0,1)0<x<10<x<1p'(x)>0p(x)(0,1)p(x)<p(1)=0F'(X)>0F(X)(0,1)F(X)<F(1)=0F'(X)>0F(X)(0,1)F(X)<F(1)=0,所以，即。f(x)(1,,所以，即。f(x)(1,+co)f(x)=x(1-lnx)例2（2021新高考全國Ⅰ卷數(shù)學22f(x)=x(1-lnx)f(x)f(x),證明：,證明：abblnu-,令abblnu-,令f(x)(0,f(x)(0,+o)f'(x)=-lnxf'(x)>00<x<1f'(x)<0x>1f(x)(0,1)(1,+o)（2）證明：由blna-alnb=a-b得f(x)=k,且，故。f(x)→0+X心十,且，故。f(x)→0+X心十f(x)→-0of(1)=lKE(0,1)x1E(0,1)x,E(1,e)2-e-x1>lf(x2)=f(x)<f(2-x)h(x)=f(x)-f(2-x),XE(0,1)h'(x)x1E(0,1)x,E(1,e)2-e-x1>lf(x2)=f(x)<f(2-x)h(x)=f(x)-f(2-x),XE(0,1)h'(x)=f'(x)+f'(2-x)=-Inx-In(2-x)=-In[x(2-x)]XE(0,1)x(2-x)E(0,1)h'(x)>0h(x)h(x)<h(1)=0f(x)<f(2-x)f(x2)=f(x)>f(e-x)p(x)=f(x)-f(e-x)xe(0,1)w'(x)=-In[x(e-x)]f(x)<f(2-x)f(x2)=f(x)>f(e-x)p(x)=f(x)-f(e-x)xe(0,1)w'(x)=-In[x(e-x)]。。,所以p'(x)→+0o,所以p'(x)→+0op'(1)=-ln(e-1)<0p'(x)(0,1)例析高考數(shù)學運用導數(shù)證明不等式問題的策略到在(0,1)上必存在唯一的點，使vp''((x))=0。且當xe(0,x0)時，p'(x)>0，p(x)單調(diào)遞增；當xe(x,,I)時，p'(x)<0，p(x)單調(diào)遞減。又因為當x→0+時，f(x)→0+，且f(e)=0，故當x→0+時，p(1)=f(1)-f(e-1)>0，故p(x)>0（2）轉(zhuǎn)化不等式，要證x+x2>2xo，即證；（3）說明與在同一單調(diào)區(qū)間比較f(x)、f(x2)與的大??；（4）設g(x)=f(x)-f(2x0-)討論其單調(diào)性，進而得證不等式。“切線放縮”是處理不等式問題的一種重要技巧，如：y=e在點(0,1)處的切線為y=x+l，通過圖象易知除切點(0,1)外，y=e圖象上其余所有的點均在y=x+l的上方，故有ex≥1+x，該結論可構造函數(shù)f(x)=e*-x-l并求其最小值來證明。顯然，選擇的切點不同，所得的不等式也不同。（1）ex≥1+x，當且僅當x=0時取等號；），（6）當時，當且僅當時取等號。例3（2023年新高考全國Ⅰ卷數(shù)學19）已知函數(shù)f(x)=a(e*+a)-x。（1）討論f(x)的單調(diào)性。（1）先求導，再對a分類討論，從而判斷a的不同取值范圍下f(x)的單調(diào)性。（2）解法一切線放縮）f(x)=a(ex+a)-x=ex+ln+a2-x≥x+lna+1+a2-x=a+lnq+1。令i-故g(a)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。所以g(a)。例析高考數(shù)學運用導數(shù)證明不等式問題的策略g'(a)0+g(a)↘↗解法二同構+切線放縮）又ex≥x+1，故ex+ln(-(x+lna+1)≥0。又因為lnx≤x-1，故。化為利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式。構造函數(shù)證明不等式有六種常見方法：移項例4（2022新高考II卷數(shù)學，22）已知函數(shù)f(x)=xe(?-e*。（1）當a=1時，討論f(x)的單調(diào)性；（2）當x>0時，f(x)<-l，求a的取值范圍。（1）當a=1時，f(x)=xe(?-e*，則f'(x)=xe*，當XE(-co,0)時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當XE(0,+o)時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。（2）當x>0時，有f(x)<-l，所以xe+ex<-1在(0,+o)上恒成立。令F(x)=xe(-e*+1(x>o)，則在(0,+o)上F(x)<0恒成立，易得F(0)=0，F(xiàn)'(x)=e'+axe'-ex，=0。例析高考數(shù)學運用導數(shù)證明不等式問題的策略若F"(0)>0，則F'(X)也必存在一個單調(diào)遞增區(qū)間(0,x'0)，即有F(X)>F((0))=0在(0,x'0)上恒成立，F(xiàn)(x)≤-e"tl在(0,+o)上成立。因為ex>x+1在(0,+o)上成立，故在(0,+o)上成立，因為G'(x)<0，故G(x)在(0,+o)上單調(diào)遞減，所以G(x)<G(0)=0。所以在(0,+o)上成立。故當時，xe(x-ex<-1在(0,+o)上成立，所以故h'(x)>0，所以h(x)在(1,+o)上單調(diào)遞增，所以h(x)>h(1)=0，即，