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文檔簡介
專題1.9圓錐曲線-雙曲線
考向解讀
(1)解析幾何的解答題一般難度較大,多為試卷的壓軸題之一,常考查直線與圓錐曲
線的位置關(guān)系及最值范圍、定點(diǎn)、定值、存在性問題及證明問題,多涉及最值求法,綜合性
強(qiáng).多考查直線與圓或拋物線的位置關(guān)系,但也要注意對橢圓、雙曲線知識的考查,解題時,
充分利用數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想.同時注重?cái)?shù)學(xué)思想在解題中的指導(dǎo)作用,以及注
重對運(yùn)算能力的培養(yǎng).
(2)直線與圓錐曲線的弦長問題有三種解法:
①過圓錐曲線的焦點(diǎn)的弦長問題,利用圓錐曲線的定義可優(yōu)化解題.
②將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立,求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo),再運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式
求弦長.
③它體現(xiàn)了解析幾何中的設(shè)而不求的思想,其實(shí)質(zhì)是利用兩點(diǎn)之間的距離公式以及一
元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.
(3)解決中點(diǎn)弦問題的兩種方法:
①根與系數(shù)的關(guān)系法:聯(lián)立直線與曲線方程構(gòu)成方程組,消去一個未知數(shù),利用一元
二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決;
②點(diǎn)差法:設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo),利用交點(diǎn)在曲線上,坐標(biāo)滿足方程,將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線
方程,然后作差,構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系.
最新模擬題賞析
1.在①加>0,且C的左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為3+6,②C的焦距為
6,③C上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對值為4.這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下面的問
22
題中.問題:已知雙曲線C:工—上一=1,,求c的方程.
m2m
注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計(jì)分.
【試題來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)一遍過
【答案】答案不唯一,見解析
【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì),從①②③三個條件中選一個,求出雙曲線的方程即可.
【解析】若選①,因?yàn)闄C(jī)>0,所以/=加,從=2%。2="+力2=3加,所以
1
a=Vm,c=V3m?
因?yàn)?。的左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離的最小值為a+c,
所以\[m+>/3m=(1+>/3)>/m=3+^3,
22
解得m=3,故C的方程為匕—2-=l.
36
若選②,則c=3.
若加>0,則/=機(jī)力2=2機(jī),(?=/+匕2=3”,所以c=J§/=3,
X2V2
解得加=3,則C的方程為二一工=1;
36
若〃?<0,則/=-2/w,02=TM,C2=/+/??=-3m,所以c=3m-3,
y2%2
解得加=一3,則C的方程為2———=1.
63
選③,因?yàn)?。上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對值為4,所以2a=4,即a=2.
22
??m>0■則。2=m,所以a=J£=2,解彳)機(jī)=4,則C的方程為----=1:
48
22
若“<0,則/=一2加,所以a=J^=2,解得加=一2,則C的方程為匕—土=1.
42
2.雙曲線C的一條漸近線方程是x-2y=0,且雙曲線C過點(diǎn)(2拉,1).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)設(shè)雙曲線C的左、右頂點(diǎn)分別是小,A2,尸為C上任意一點(diǎn),直線以I,以2分別與
直線/:x=l交于A/,N,求的最小值.
【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型精選精練(新高考地區(qū)專用)
r2
【答案】⑴---y2=l;(2)y/3.
4
【分析】(1)設(shè)出雙曲線方程/一始=〃(每0),將點(diǎn)代入即可求解.
(2)設(shè)直線Rh,以2的斜率分別為人,依的,依>0),由(1)可得女而=,,寫出直線an
4
的方程與刃2的方程,求出點(diǎn)M,N,表示出此加,利用基本不等式即可求解.
【解析】由漸近線方程可設(shè)雙曲線C的方程為N—4y=/(原0),
2
把(20,1)代入可得4=4,所以雙曲線C的方程為土一/=1.
4
(2)由題易知,尸在右支上時取最小值.
由(1)可得4(-2,0),4(2,0),設(shè)尸(x,回,根據(jù)雙曲線方程可得」....-
x-2x+24
直線Rh,Rh的斜率分別為小,kz(h,依>0),則大業(yè)2=1,
4
的方程為y=%i(x+2),令x=l,得M(l,3川,
以2的方程為了=依。-2),令x=l,得Ml,一左2),
所以|MM=|3七一(一心)|=3木+讓2取芯=百,
當(dāng)且僅當(dāng)3%=公,即心=3,左2=、5時,等號成立.
62
故的最小值為.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是求出/業(yè)2=L,再表示出
4
\MN\>考查r運(yùn)算能力.
3.已知雙曲線C:「—與=1(。>0/>0)經(jīng)過點(diǎn)4(272,1)且實(shí)軸長是半焦距的迪.
a'"5
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線/與雙曲線C交于P,。兩點(diǎn),且線段。。的中點(diǎn)為(1,2),求直線/的方程.
【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型精選精練(新高考地區(qū)專用)
2
【答案】(1)--/=1;(2)x-8y+15=O.
4
【分析】(1)根據(jù)題意可得a=¥c,再根據(jù)雙曲線過點(diǎn)A(20,l),再結(jié)合c?=儲+〃,
代入即可求得a=2,b=l,即可得到雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)先設(shè)出P,。的坐標(biāo),根
據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得玉+々=2,x+%=4,將尸,。兩點(diǎn)代入雙曲線方程,兩式相
減即可得到斜率為:,再利用點(diǎn)斜式即可求出宜線/的方程.
【解析】(1)因?yàn)閷?shí)軸長是半焦距的逑倍,所以2a=生叵c,即q=&5c,
555
3
QI
因?yàn)殡p曲線。經(jīng)過點(diǎn)A(2j^,1),.二1~—yy=l,
ab
因?yàn)椤?=42+/?2,所以。=2,b=l,c=>/5
2
故雙曲線。的標(biāo)準(zhǔn)方程為x土-y2=1:
4.
(2)設(shè)尸,°的坐標(biāo)分別為(玉,y),(乙,%),
因?yàn)榫€段。。的中點(diǎn)為(1,2),所以%+%=2,y+%=4,
因?yàn)樾l(wèi)_弁=1,§_找=1,所以"二字3_(y—%)(%+%)=0,
444
整理得江&=三,即直線/的斜率為《,
%一工288
所以直線/的方程為y—2='(x—1),即龍一8y+15=0.
8
4.設(shè)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)-,工,且《鳥=2月,
橢圓的長半軸與雙曲線實(shí)半軸之差為4,離心率之比為3:7.
(1)求這兩曲線方程;
(2)若尸為這兩曲線的一個交點(diǎn),求cos/月尸入的值.
【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型精選精練(新高考地區(qū)專用)
尤2y-V2y24
【答案】(1)橢圓方程為二+匕=1,雙曲線方程為L—L=l;(2)
4936945
【分析】(1)利用題設(shè)分別求橢圓和雙曲線的基本量;(2)根據(jù)橢圓及雙曲線的定義建立等
式PK+PK=14,P1—P6=6,可求出尸耳、PF2,再用余弦定理即可.
【解析】(1)由己知得,=舊,設(shè)橢圓長、短半軸長分別為4、b,雙曲線實(shí)半軸、虛半
a-m-4,
軸長分別為山、“,則<J13J13解得。=7,m=3-所以b=6,〃=2.
7---=3--—,
am
222v2
故橢圓方程為x三+v乙=1,雙曲線方程為x乙-匕=1.
493694
(2)不妨設(shè)士、尸2分別為左、右焦點(diǎn),P是第一象限的一個交點(diǎn),
4
則P£+Pg=14,PG—P6=6,所以=10,尸鳥=4.又月月=2a,
PF;+PF;-咽102+42-(2713)2_4
故cosN^P鳥=
2PF].PF?2x10x4-5
5.已知4(—2,0),3(2,0),直線A〃,相交于點(diǎn)且它們的斜率之積是3.
(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程.
(2)過點(diǎn)N(2,3)能否作一條直線用與軌跡C交于兩點(diǎn)P,Q,且點(diǎn)N是線段PQ的中點(diǎn)?
若能,求出直線機(jī)的方程;若不能,說明理由.
【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型精選精練(新高考地區(qū)專用)
【答案】(1)三—E=I(XH±2);(2)不能,理由見解析.
412
【分析】(1)設(shè)出點(diǎn)M(x,y),利用斜率之積即可求出軌跡方程;
(2)設(shè)出P(x,y),。(%2,%),利用點(diǎn)差法可求出.
【解析】(1)設(shè)M(x,y),XH±2,kAM=^,怎”=匕1,
x+2x-2
-23,即法.線=3,整理得32=12("),
即軌跡C方程為二一上=l(x?!?);
412
(2)顯然直線加的斜率存在,設(shè)為&,設(shè)尸(%/),。(々,%),
止上二]
則:12,兩式相減得G―々)(*+±)_(Xf)(X+%),
々2必2412
I412
y,-v,cx.+X.
整理可得;;=3x」~,
%一ZX+M
;N是線段PQ的中點(diǎn),二』二旦=3x^=2,即%=2,
x,-x26
故直線機(jī)的方程為丁一3=2“一2),即2x-y-1=(),
5
將直線代入雙曲線可得/一4X+13=0,△=(Y)2—4X13<0,
此時直線與雙曲線不相交.故不能作出這樣的直線.
22
6.已知點(diǎn)片、b2為雙曲線0-£=1(4〉0,力>0)的左、右焦點(diǎn),過尸2作垂直于X軸的
直線在X軸上方交上雙曲線于點(diǎn)M,且NM4心=30°,的面積為4G.
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線實(shí)軸右端點(diǎn)P作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為耳、鳥,求所.朋
的值.
【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型精選精練(新高考地區(qū)專用)
r2v24
【答案】(1)三—匕=1;(2)
249
【分析】(1)求出點(diǎn)〃的坐標(biāo),根據(jù)已知條件可得出關(guān)于a、b、c的方程組,解出。、b
的值,即可得出雙曲線的方程;(2)設(shè)漸近線4:y=0的傾斜角為。,可得tan6=正,
求出cos加的值,利用點(diǎn)到直線的距離公式求出|所|、|理|,利用平面向量數(shù)量積的定義
可求得電?理的值.
【解析】(1)設(shè)6(。,0)、加(。,%)(%>0),則。2=儲+「
乂v2川
將點(diǎn)”的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得、-與=1,可得),:=',
a2b2a2
?二為>。,—?%二—?\MF1=一?
a2ci
o/2
QNM£居=30。,軸,所以,|峭|=2阿馬=竺9,
由雙曲線的定義可得pW用一眼用=2。=忙,則°=,?+巳2=&,
2
S^MFF--x2cx--^-^--2y/3a-4y/3,:.a=\[2>b=2,
122aa
22
因此,雙曲線的方程為三-工=1;
24
6
(2)雙曲線的兩條漸近線為4:JIr—y=0,l2-.41x+y=0<
易知產(chǎn)(JIo),漸近線4的傾斜角為e,則tane=及,
由平面向量數(shù)量積的定義可得所.理=|所,珂cos(7r_2e)=gxg=:.
【名師點(diǎn)睛】求兩個向量的數(shù)量積有三種方法:利用定義;利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算;利用數(shù)量
積的幾何意義.具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇,同時要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用.
22
7.已知雙曲線h>Q),過點(diǎn)(、反,3),離心率為
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn)N(L2),過點(diǎn)N的直線交雙曲線C于4、8兩點(diǎn),且麗=g(E+礪).求
直線AB的方程
【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型精選精練(新高考地區(qū)專用)
2
【答案】(I)%2-21=1:(2)y=x+\.
2
7
【分析】(1)由離心率可得關(guān)系,再將點(diǎn)(、回,/)代入可求出方程;
(2)設(shè)直線45為y=k(x-l)+2,聯(lián)立直線與雙曲線方程,得出芯+々=2;(2],)
由題可得N是<8的中點(diǎn),建立方程可求.
【解析】(1)由題意得£=百,即c=/a,
a
r2v2
則A?=c2—cr=3a2—〃=2a2?雙曲線方程為一^----z-=1?
a22a2
將點(diǎn)(、/5,代入二r=1,得\"—2=1,得〃2=1,
'7a22a2a22a2
二雙曲線方程f—3=1.
2
(2)由題意知直線AB的斜率存在.
2
設(shè)直線)=左(兀-1)+2,代入f—]_=1,
得(2—女2)f_2女(2_k)無_(2_女『_2=0.(*)
令A(yù)(Xi,yj,B(X2,%),則苞、*2是方程(*)的兩根,
,,,2k(2-k)
.?.2—%wO,且%+%=——-——
12l-k2
?.?西=;(西+礪),;.N是的中點(diǎn),=
:.k\2-k)=-k2+2,4=1,.,.直線的方程為y=x+l.
【名師點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟:
(1)得出直線方程,設(shè)交點(diǎn)為A(孫弘),8(孫凡);
(2)聯(lián)立直線與曲線方程,得到關(guān)于x(或?。┑囊辉畏匠?
(3)寫出根與系數(shù)關(guān)系;
(4)將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為王+馬,%/形式;
(5)代入根與系數(shù)關(guān)系求解.
8
v2V2
雙曲線亮-的左、右焦點(diǎn)分別為、直線/經(jīng)過鳥且與「的兩條漸近
8.r:1>=i4F2,
線中的一條平行,與另一條相交且交點(diǎn)在第一象限.
(1)設(shè)p為「右支上的任意一點(diǎn),求1尸片1的最小值;
(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn),求。到/的距離,并求/與「的交點(diǎn)坐標(biāo).
【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型精選精練(新高考地區(qū)專用)
【答案】(1)歸耳1min=9;(2)。到/的距離3;/與「的交點(diǎn)坐標(biāo)為(4.1,0.675).
【分析】(1)設(shè)尸10,%),由兩點(diǎn)距離公式有I尸耳1=:%+4,結(jié)合已知即可
求1/^1的最小值;(2)根據(jù)雙曲線方程寫出漸近線方程為y=?2x,由題設(shè)知/:
4
3x+4y-15=0,由點(diǎn)線距離公式求。至I”的距離,聯(lián)立雙曲線、直線方程即可求交點(diǎn)坐標(biāo).
9
【解析】(1)根據(jù)題設(shè)條件,可得片(—5,0).設(shè)尸(玉),為),其中玉)24,且為2二二城—鄉(xiāng)
16
/41=他+5)2+%2=+o+4,x0>4
所以當(dāng)5=4時,|尸耳|*=9.
3
(2)E(5,0),T的兩條漸近線方程為y=?—x,
4
,|3x0+4x0-15|.
根據(jù)題設(shè),得八3x+4y-15=0,。到/的距離"=~~五京丁一-=3-
3x+4y—15=0
將/與「的方程聯(lián)立,得,“2,消去y得,10%=41,解得x=4.1,代入得
9%-16/=144
y=0.675,所以/與「的交點(diǎn)坐標(biāo)為(4.1,0.675).
【名師點(diǎn)睛】(1)設(shè)P(x°,%),應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式以及點(diǎn)在曲線方程上列I尸耳I關(guān)于x。方程,
尸在雙曲線右支有玉)24,求范圍即可.
(2)由直線/與雙曲線漸近線關(guān)系寫出直線方程,結(jié)合點(diǎn)線距離公式求距離,聯(lián)立方程求
交點(diǎn)即可.
9.已知雙曲線C的焦點(diǎn)F(百,0),雙曲線C上一點(diǎn)尸到尸的最短距離為百—J5.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線方程;
9
(2)已知點(diǎn)MO,1),設(shè)尸是雙曲線C上的點(diǎn),。是P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn).設(shè)%=近況0,
求2的取值范圍.
【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型精選精練(新高考地區(qū)專用)
【答案】(1)-..>2=1,y—+^3LX.(2)(-00,-1].
22
【分析】(1)由題可得。=百,c—a=6-夜,即可得出橢圓方程,進(jìn)而求出漸近線方
程;⑵利用坐標(biāo)關(guān)系表示出2=麗?詼=一[其+2,再由聞2血可求出.
)2
【解析】(1)設(shè)雙曲線的方程為之
一爐
因?yàn)殡p曲線c的焦點(diǎn)廠(石,0),雙曲線c上一點(diǎn)p到尸的最短距離為
c->J3>c-a=-\/3一5/2>ci-"V2,
b2=。2-/=(6)2_(忘了=1,則雙曲線的方程為:|_一>2=],
令上—>2=0,則,=±也x,即漸近線方程為y=±也%.
222
(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(xo,/),則。的坐標(biāo)為(一y,一%),
丸-MP-MQ=(x0,-1)?(-%?,-y0-1)=-Xg-yl+1=---XQ+2.
?.?聞?血,的取值范圍是(一8,T].
【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和漸近線的求解,以及數(shù)量積的范圍,解題的關(guān)鍵是
理清題意,得出雙曲線C上一點(diǎn)P到尸的最短距離即為c一。,再利用雙曲線x的范圍求解.
22
10.己知雙曲線C:=-4=l(a>0/>0)過點(diǎn)A(-4,6),且。=4.
a"b-
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過點(diǎn)8(-1,0)的直線/交雙曲C于點(diǎn)直線M4,24分別交直線為=-1于點(diǎn)
\PB\
P、Q.試判斷匕3是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
I8QI
【試題來源】福建省厘門大學(xué)附屬科技中學(xué)2021屆高三12月月考
10
【答案】(1)--一匕=1;(2)\PB\
412\BQ\
【分析】(1)將點(diǎn)4—4,6),5=百。代入烏一烏=1,求出“2,進(jìn)一步得出。2,即求.
ab
(2)設(shè)直線MN所在的直線方程,與雙曲線方程聯(lián)立,設(shè)出",N的坐標(biāo),寫出K4,N4所
在的直線方程,求出P,Q的縱坐標(biāo),結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得=,從讓他可得
_I_物__—力___—.I
\BQ\~yQ~?
22
【解析】(1)將點(diǎn)A(—4,6),〃=百。代入「―4=1,
ab1
1A36Y2v2
可得手一者=1,解得〃2=4,則〃=3儲=12,...雙曲線的方程為上一匕二1.
CT3。2412
(2)由題意可知,直線MN的斜率存在,設(shè)直線MN的方程為y=Z(x+l),
y=k(x+l)
聯(lián)立<元2y2,可得(3~~公)爐—2人公—]2=0,
-=1
412
由A=4/+4(3—42)僅2+12)>(),解得一2<%<2,
設(shè)則-77,xix2=~;—7T~1
D—KJ-K
11
又點(diǎn)A(T,6),.?.40的方程為'-6=號三(x+4),
得“5(6%+3y+66%+3攵(芭+1)+6(3攵+6)(%+1)
令1=—1,
%+4%+4%+4百+4
(3女+6)(々+1)
同理可得y。
%2+4
(3左+6)(%+1)(3女+6)仇+1)
?.?丹+北
%+4馬+4
(3攵+6)[(M+1)(工2+4)+(/+1)(%+4)]
(%+4)(“2+4)
?.?(%+l)(x,+4)+(%2+l)(x,+4)=2x,x2+5(%(+馬)+8
-2k2-2410k2?一242—24+10/+24-8公
-------+r+8=----------=0,
3-k23-k23-k2
pB
.?+%=0八,即.|謁i=l聞l,.?\?雨\=0yp=1!,.??\P西B\為定值1.
【名師點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線方程的求法,考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵
是利用根與系數(shù)關(guān)系得出|y/=|%|,考查了運(yùn)算求解能力.
22
11.雙曲線C:0-當(dāng)=1(“>0力>0)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為尸,動點(diǎn)5在C上.當(dāng)
a~b
BELA尸時,14F|=|BE
(1)求C的離心率;
(2)若8在第一象限,證明:ZBFA=2ZBAF.
【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型精選精練(新高考地區(qū)專用)
【答案】(1)2;(2)見解析.
2
【分析】(1)根據(jù)已知條件可得b幺=a+c,據(jù)此可求離心率.
a
⑵設(shè)35,%)'則tan〃FA=-p'tan/BA八會’再計(jì)算.24”,
利用點(diǎn)在雙曲線上化簡后可得tan2NB4F=tan/BE4,從而可得結(jié)論成立.
12
【解析】(1)設(shè)雙曲線的半焦距為C,則£(C,O),Bc,±—,
\a7
因?yàn)閨A/71=|6尸],故2_=a+c,故c2—ac—2。2=0,即e?—e—2=0,
a
故e=2.
(2)設(shè)3(5,%),其中%>見%>。.
因?yàn)閑=2,故c=2。,b—\[3a,
7
故漸近線方程為y=±,所以NBA/ef0,—'j,Z.BFAGf(),—,
當(dāng)天>6f,x0w2a時,
又tan/8FA=—一=——tanZBAF=^~
x()—cxQ-2a+a
2yo
2%(/+。)
所以2ZBAF=——-------L
/"I以tan/\2=/.八'\2—(2\
1Iy?(%+。)f-b2與-
i-----0-(x0+t?)-1
1方+”\a)
2%(&)+。)=2yo(%+。)=2%
(x0+a)2―3a2‘¥_;(%+。)2-3((%+。)-3(/-a)
\a7
=----^―=tanZBFA,因?yàn)?NBA/7e10,,故ZB曰=2NBAF.
/-2aI3J
TT7T
當(dāng)斤=2a,由(1)可得ZBE4=—,NE48=一,故NBE4=2ZR4尸.
24
綜上,ZBFA=2ZBAF.
【名師點(diǎn)睛】(I)圓錐曲線中離心率的計(jì)算,關(guān)鍵是找到a/,c?組等量關(guān)系(齊次式).
(2)圓錐曲線中與有角有關(guān)的計(jì)算,注意通過動點(diǎn)的坐標(biāo)來刻畫角的大小,還要注意結(jié)合
點(diǎn)在曲線上滿足的方程化簡目標(biāo)代數(shù)式.
v-2
12.(1)已知雙曲線三一》2=1的左、右頂點(diǎn)分別為4、A,點(diǎn)p(x,X),點(diǎn)。(西,-必)
3
13
是雙曲線三一y2=1上不同的兩個動點(diǎn),求直線AP與直線4。的交點(diǎn)的軌跡E的方程;
3一
(2)設(shè)直線4:y={x+2交軌跡E于。、。兩點(diǎn),且直線4與直線4:y=&x交于點(diǎn)尸,
若明=-;,試證明尸為CO的中點(diǎn)?
【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型精選精練(新高考地區(qū)專用)
r2
【答案】(I)E:—+/=1:(2)證明見解析.
【分析】(1)先由雙曲線方程,得到4、4坐標(biāo),得出直線AP與直線&Q的方程,兩式
聯(lián)立,結(jié)合題中條件,化簡整理,即可得出所求軌跡方程;(2)設(shè)C(X2,%),。(七,%),
聯(lián)立直線/1:y=《x+2與橢圓E的方程,根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系,結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得出CO
中點(diǎn)坐標(biāo),再由直線4與直線4聯(lián)立,根據(jù)4/2=-;,求出點(diǎn)尸坐標(biāo),得出F與8中點(diǎn)
重合,即可證明結(jié)論成立.
【解析】(1)由已知得4卜百,°),4(百,0),玉H±JL
則":y=—%(x+百)①,4Q:y=二"卜一?②
①X②得y2=-^-爐—3),又—y;1_五,所以
3年-33
因此V=—
⑵設(shè)c(和必),。(毛,為),
2
X21
____p=]
由J3)消去丁可得,整理得(3父+1)/+12匕X+9=(),
y-Z/+2
12k,/、6K
則%+七=一于七,設(shè)CO的中點(diǎn)G5,%),則工。=一定七
D/C1I1D/C1I1
…龍。+2=品’
14
2
x=-----
y=k^xk、-k、’22k?、
由V.■得《2「則尸
y-%x+2、/一Kk?-k、)
1,12-6k}2k2_2
因?yàn)榭?一3,所以——則與===寺y
Fk,—k3k;+1
即F與G重合,所以尸為CO的中點(diǎn).
【名師點(diǎn)睛】證明本題第二問的關(guān)鍵在于求出CD中點(diǎn)以及點(diǎn)尸的坐標(biāo):求解時,聯(lián)立直
線與橢圓方程,結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出CD中點(diǎn);聯(lián)立兩直線方程,結(jié)
合題中條件,求出產(chǎn)坐標(biāo)即可.
22
13.已知雙曲線。:0-j=1(。>0,方>0)的左頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為尸,離心率e=2,
焦距為4.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)設(shè)”是雙曲線。上任意一點(diǎn),且AZ在第一象限,直線M4與ME的傾斜角分別為火,
%,求2%+。2的值.
【試題來源】2021新高考普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)考向卷(一)
【答案】(1)Y—匕=1:(2)兀.
3
【分析】(1)由離心率以及雙曲線的焦距列出關(guān)于a,c的方程解出即可得結(jié)果;(2)由雙曲
線的性質(zhì)得出AF的坐標(biāo),當(dāng)天=2時易得結(jié)果,當(dāng)網(wǎng),。2時,結(jié)合斜率計(jì)算公式可得
tan2%和tan%,進(jìn)而可得結(jié)果.
2c=4
ra=\
【解析】(1)由C,得<C,所以。2=/-4=3,
—=2c=2
la
所以雙曲線。的方程為/―£=].
3
(2)由(1)知雙曲線C的方程為爐―21=1,
3
15
所以左頂點(diǎn)A(—1,0),右焦點(diǎn)尸(2,0).
設(shè)”(%,%)(%>0,%>。),則片-年=1.
TT-JT
當(dāng)%=2時,%=3,此時?I=->?2=-.所以2al+%=兀;
當(dāng)天72,L=tan%=告ra.=tan%=J^.因?yàn)榛?3(片—1),
2%
c凡+12($+1)%2(%+1)%_-%
所以tan2%=「------
(x+1)--j)(/+1)--3(x;-1)xo-2
1-*0(
+U
又由點(diǎn)M在第一象限,易知名€(0,制,a2e(O,n),
所以2al+4=兀.綜上,2%+02的值為兀.
2
【名師點(diǎn)睛】利用點(diǎn)在雙曲線上,滿足考-年=1,利用整體代換思想求Tjan2al和tan%
相反是解題的關(guān)鍵.
14.已知雙曲線C:=_與=13,/?0)的左、右焦點(diǎn)分別為Q(-c,0),F2(C,0),其中
a~b~
c>0,M(c,3)在C上,且C的離心率為2.
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
22
(2)若O為坐標(biāo)原點(diǎn),的角平分線/與曲線。:[+4=1的交點(diǎn)為尸,Q,
cb~
試判斷。尸與。。是否垂直,并說明理由.
【試題來源】廣東省湛江市2021屆高三一模
【答案】(1)爐_1=1:(2)0P與。。不垂直,答案見解析.
【分析】(1)利用點(diǎn)在曲線上和離心率,解出a/,c,進(jìn)而得出雙曲線方程;
(2)利用角平分線定理求出N點(diǎn)坐標(biāo),聯(lián)立直線MN與曲線。的方程,由根與系數(shù)的關(guān)
系,結(jié)合平面向量的數(shù)量積得出結(jié)論.
16
2?2Q
【解析】(1)由題意得b,即4-瓦=1,解得匕=百,又。2=儲+〃,可得
—=2
、a
a=l,c=2,故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為£=];
3
F、N4用
(2)設(shè)角平分線與x軸交于點(diǎn)N,根據(jù)角平分線性質(zhì)可得~NF\~~MF\
耳時=5,gM=3,黑=g,;.N(g,O),MN:y=21x_g)=2x_]
y=2x-l
設(shè)尸(X,y),Q(W,%),聯(lián)立方程,x2y1,可得19/一161—8=0
43
16
%十%二歷
Q,乂必=(2%一1)(29-1)=4%為-2(%+9)+1
:.OPOQ-xx+yy=5XX-2(玉+x)+1=5x-2x—+1^0
}2}2}2219
即。尸與O。不垂直.
【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查宜線與橢圓的位置關(guān)系,考查平面向量的數(shù)
量積,解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用角平分線定理求出/F1MF2的角平分線與X軸交點(diǎn)N,利
用直線與曲線方程聯(lián)立寫出根與系數(shù)的關(guān)系,借助于平面向量的數(shù)量積得出結(jié)論,考查學(xué)生
邏輯思維能力和計(jì)算能力,屬于中檔題.
15.已知△OFQ的面積為2#,OFFQ=m.
17
(1)設(shè)指6%指,求/。尸。正切值的取值范圍;
(2)設(shè)以。為中心,尸為焦點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)。(如圖),\OF\=c,m=也-1)W,
4
當(dāng)|麗|取得最小值時,求此雙曲線的方程.
【試題來源】2021年高考數(shù)學(xué)【熱點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)】專練
22
【答案】(l)[1,4];(2)-二=1
L」412
3。斗忻Q|sinO_0=2#
【分析】(1)設(shè)〈面,而〉=e,由已知可得<2______,化簡得
|(?F|-|FQ|COS6-m
tane=?_=gY5,根據(jù)加的范圍即可求1k(2)設(shè)。則由做的面積可
cos,m
得y=±生但,山赤?①=乎一1o?可得看=邁入表示出|而|利用基本不等式
c\)4
可求出。的坐標(biāo),再代入雙曲線方程即可求出.
【解析】(1)由已知,△。尸。的面積為2后,0FFQ=m,設(shè)〈礪,所〉=6,
];|。斗間|sin-6)=2#sind4娓
得y.tan0=-----==一,
\OF\.\FQ\cos0=mcos。m
vV6</n<476..-.I<tan6><4,故/。尸。正切值的取值范圍為[1,4]:
2
(2)設(shè)所求的雙曲線方程為與1(a>0,ft>0),
一瓦
Q(xi,y\),則尸Q=(不一c,x),
18
因?yàn)椤鱋F0的面積口。外聞=25/6,X=土蛔,
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