高考數(shù)學圓錐曲線雙曲線解答題專項訓練含答案

專題1.9圓錐曲線-雙曲線

考向解讀

（1）解析幾何的解答題一般難度較大，多為試卷的壓軸題之一，常考查直線與圓錐曲

線的位置關系及最值范圍、定點、定值、存在性問題及證明問題，多涉及最值求法，綜合性

強.多考查直線與圓或拋物線的位置關系，但也要注意對橢圓、雙曲線知識的考查，解題時，

充分利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想.同時注重數(shù)學思想在解題中的指導作用，以及注

重對運算能力的培養(yǎng).

（2）直線與圓錐曲線的弦長問題有三種解法：

①過圓錐曲線的焦點的弦長問題，利用圓錐曲線的定義可優(yōu)化解題.

②將直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點的坐標，再運用兩點間距離公式

求弦長.

③它體現(xiàn)了解析幾何中的設而不求的思想，其實質(zhì)是利用兩點之間的距離公式以及一

元二次方程根與系數(shù)的關系.

（3）解決中點弦問題的兩種方法：

①根與系數(shù)的關系法：聯(lián)立直線與曲線方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元

二次方程根與系數(shù)的關系以及中點坐標公式解決；

②點差法：設出交點坐標，利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標代入曲線

方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標和斜率的關系.

最新模擬題賞析

1.在①加＞0,且C的左支上任意一點到右焦點的距離的最小值為3+6,②C的焦距為

6,③C上一點到兩焦點距離之差的絕對值為4.這三個條件中任選一個，補充在下面的問

22

題中.問題：已知雙曲線C：工—上一=1，，求c的方程.

m2m

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【試題來源】備戰(zhàn)2021年高考數(shù)學一輪復習考點一遍過

【答案】答案不唯一，見解析

【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，從①②③三個條件中選一個，求出雙曲線的方程即可.

【解析】若選①，因為機＞0,所以/=加,從=2%。2="+力2=3加，所以

1

a=Vm,c=V3m?

因為。的左支上任意一點到右焦點的距離的最小值為a+c,

所以\[m+>/3m=（1+>/3）>/m=3+^3，

22

解得m=3,故C的方程為匕—2-=l.

36

若選②，則c=3.

若加>0,則/=機力2=2機,（？=/+匕2=3”，所以c=J§/=3，

X2V2

解得加=3,則C的方程為二一工=1；

36

若〃?<0，則/=-2/w,02=TM,C2=/+/??=-3m，所以c=3m-3，

y2%2

解得加=一3,則C的方程為2———=1.

63

選③，因為。上一點到兩焦點距離之差的絕對值為4,所以2a=4,即a=2.

22

??m>0■則。2=m，所以a=J￡=2，解彳）機=4，則C的方程為----=1：

48

22

若“<0,則/=一2加，所以a=J^=2,解得加=一2,則C的方程為匕—土=1.

42

2.雙曲線C的一條漸近線方程是x-2y=0,且雙曲線C過點（2拉，1）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設雙曲線C的左、右頂點分別是小，A2,尸為C上任意一點，直線以I,以2分別與

直線/：x=l交于A/,N,求的最小值.

【試題來源】2021年高考數(shù)學二輪復習熱點題型精選精練（新高考地區(qū)專用）

r2

【答案】⑴---y2=l；（2）y/3.

4

【分析】（1）設出雙曲線方程/一始=〃（每0）,將點代入即可求解.

（2）設直線Rh,以2的斜率分別為人，依的，依>0）,由（1）可得女而=,，寫出直線an

4

的方程與刃2的方程，求出點M,N,表示出此加，利用基本不等式即可求解.

【解析】由漸近線方程可設雙曲線C的方程為N—4y=/（原0）,

2

把（20，1）代入可得4=4,所以雙曲線C的方程為土一/=1.

4

（2）由題易知，尸在右支上時取最小值.

由（1）可得4（-2,0）,4（2,0）,設尸（x,回，根據(jù)雙曲線方程可得」....-

x-2x+24

直線Rh,Rh的斜率分別為小，kz（h,依＞0）,則大業(yè)2=1,

4

的方程為y=%i（x+2）,令x=l,得M（l,3川,

以2的方程為了=依。-2）,令x=l,得Ml，一左2），

所以|MM=|3七一（一心）|=3木+讓2取芯=百，

當且僅當3%=公，即心=3，左2=、5時，等號成立.

62

故的最小值為.

【名師點睛】本題考查了直線與雙曲線的位置關系，解題的關鍵是求出/業(yè)2=L，再表示出

4

\MN\＞考查r運算能力.

3.已知雙曲線C:「—與=1（。＞0/＞0）經(jīng)過點4（272,1）且實軸長是半焦距的迪.

a'"5

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）若直線/與雙曲線C交于P,。兩點，且線段。。的中點為（1,2）,求直線/的方程.

【試題來源】2021年高考數(shù)學二輪復習熱點題型精選精練（新高考地區(qū)專用）

2

【答案】（1）--/=1；（2）x-8y+15=O.

4

【分析】（1）根據(jù)題意可得a=￥c，再根據(jù)雙曲線過點A（20,l）,再結(jié)合c?=儲+〃，

代入即可求得a=2,b=l，即可得到雙曲線C的標準方程；（2）先設出P,。的坐標，根

據(jù)中點坐標公式即可求得玉+々=2，x+%=4,將尸，。兩點代入雙曲線方程，兩式相

減即可得到斜率為:，再利用點斜式即可求出宜線/的方程.

【解析】（1）因為實軸長是半焦距的逑倍，所以2a=生叵c，即q=&5c，

555

3

QI

因為雙曲線。經(jīng)過點A（2j^,1）,.二1~—yy=l,

ab

因為。2=42+/?2,所以。=2,b=l，c=>/5

2

故雙曲線。的標準方程為x土-y2=1：

4.

（2）設尸，°的坐標分別為（玉，y）,（乙,%），

因為線段。。的中點為（1,2）,所以％+%=2,y+%=4,

因為衛(wèi)_弁=1，§_找=1，所以"二字3_（y—%）（%+%）=0,

444

整理得江&=三，即直線/的斜率為《，

%一工288

所以直線/的方程為y—2='（x—1）,即龍一8y+15=0.

8

4.設中心在原點,焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點-，工，且《鳥=2月，

橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4,離心率之比為3：7.

（1）求這兩曲線方程；

（2）若尸為這兩曲線的一個交點，求cos/月尸入的值.

【試題來源】2021年高考數(shù)學二輪復習熱點題型精選精練（新高考地區(qū)專用）

尤2y-V2y24

【答案】（1）橢圓方程為二+匕=1，雙曲線方程為L—L=l;（2）

4936945

【分析】（1）利用題設分別求橢圓和雙曲線的基本量；（2）根據(jù)橢圓及雙曲線的定義建立等

式PK+PK=14,P1—P6=6,可求出尸耳、PF2,再用余弦定理即可.

【解析】（1）由己知得,=舊，設橢圓長、短半軸長分別為4、b，雙曲線實半軸、虛半

a-m-4,

軸長分別為山、“，則<J13J13解得。=7,m=3-所以b=6,〃=2.

7---=3--—,

am

222v2

故橢圓方程為x三+v乙=1,雙曲線方程為x乙-匕=1.

493694

（2）不妨設士、尸2分別為左、右焦點，P是第一象限的一個交點,

4

則P￡+Pg=14,PG—P6=6,所以=10，尸鳥=4.又月月=2a,

PF；+PF；-咽102+42-(2713)2_4

故cosN^P鳥=

2PF].PF?2x10x4-5

5.已知4（—2,0）,3（2,0）,直線A〃，相交于點且它們的斜率之積是3.

（1）求點M的軌跡C的方程.

（2）過點N（2,3）能否作一條直線用與軌跡C交于兩點P,Q,且點N是線段PQ的中點？

若能，求出直線機的方程；若不能，說明理由.

【試題來源】2021年高考數(shù)學二輪復習熱點題型精選精練（新高考地區(qū)專用）

【答案】（1）三—E=I（XH±2）；（2）不能，理由見解析.

412

【分析】（1）設出點M（x,y），利用斜率之積即可求出軌跡方程;

（2）設出P（x，y）,。（％2，%），利用點差法可求出.

【解析】(1)設M(x,y),XH±2,kAM=^,怎”=匕1，

x+2x-2

-23,即法.線=3,整理得32=12("),

即軌跡C方程為二一上=l（x?！?）；

412

（2）顯然直線加的斜率存在，設為&，設尸（%/）,。（々，%），

止上二］

則：12,兩式相減得G―々）（*+±）_（Xf）（X+%）,

々2必2412

I412

y,-v,cx.+X.

整理可得；；=3x」~,

%一ZX+M

；N是線段PQ的中點，二』二旦=3x^=2,即％=2,

x,-x26

故直線機的方程為丁一3=2“一2）,即2x-y-1=（）,

5

將直線代入雙曲線可得/一4X+13=0，△=（Y）2—4X13<0,

此時直線與雙曲線不相交.故不能作出這樣的直線.

22

6.已知點片、b2為雙曲線0-￡=1（4〉0,力>0）的左、右焦點，過尸2作垂直于X軸的

直線在X軸上方交上雙曲線于點M，且NM4心=30°,的面積為4G.

（1）求雙曲線的方程；

（2）過雙曲線實軸右端點P作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為耳、鳥，求所.朋

的值.

【試題來源】2021年高考數(shù)學二輪復習熱點題型精選精練（新高考地區(qū)專用）

r2v24

【答案】（1）三—匕=1；（2）

249

【分析】（1）求出點〃的坐標，根據(jù)已知條件可得出關于a、b、c的方程組，解出。、b

的值,即可得出雙曲線的方程;（2）設漸近線4：y=0的傾斜角為。，可得tan6=正，

求出cos加的值，利用點到直線的距離公式求出|所|、|理|，利用平面向量數(shù)量積的定義

可求得電?理的值.

【解析】（1）設6（。,0）、加（。,%）（%>0），則。2=儲+「

乂v2川

將點”的坐標代入雙曲線的方程得、-與=1，可得），：=',

a2b2a2

?二為>。,—?%二—?\MF1=一?

a2ci

o/2

QNM￡居=30。，軸，所以，|峭|=2阿馬=竺9，

由雙曲線的定義可得pW用一眼用=2。=忙，則°=，？+巳2=&,

2

S^MFF--x2cx--^-^--2y/3a-4y/3,：.a=\[2>b=2,

122aa

22

因此，雙曲線的方程為三-工=1;

24

6

（2）雙曲線的兩條漸近線為4：JIr—y=0，l2-.41x+y=0<

易知產(chǎn)（JIo）,漸近線4的傾斜角為e，則tane=及，

由平面向量數(shù)量積的定義可得所.理=|所,珂cos（7r_2e）=gxg=：.

【名師點睛】求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標運算；利用數(shù)量

積的幾何意義.具體應用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應用.

22

7.已知雙曲線h>Q）,過點（、反，3）,離心率為

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）已知點N（L2）,過點N的直線交雙曲線C于4、8兩點，且麗=g（E+礪）.求

直線AB的方程

【試題來源】2021年高考數(shù)學二輪復習熱點題型精選精練（新高考地區(qū)專用）

2

【答案】（I）%2-21=1：（2）y=x+\.

2

7

【分析】（1）由離心率可得關系，再將點（、回，/）代入可求出方程；

（2）設直線45為y=k（x-l）+2,聯(lián)立直線與雙曲線方程，得出芯+々=2；（2]，）

由題可得N是＜8的中點，建立方程可求.

【解析】（1）由題意得￡=百，即c=/a，

a

r2v2

則A?=c2—cr=3a2—〃=2a2?雙曲線方程為一^----z-=1?

a22a2

將點（、/5,代入二r=1,得\"—2=1，得〃2=1,

'7a22a2a22a2

二雙曲線方程f—3=1.

2

（2）由題意知直線AB的斜率存在.

2

設直線）=左（兀-1）+2,代入f—]_=1,

得（2—女2）f_2女（2_k）無_（2_女『_2=0.（*）

令A（Xi，yj,B（X2,%），則苞、*2是方程（*）的兩根，

,,,2k（2-k）

.?.2—％wO，且％+%=——-——

12l-k2

?.?西=；（西+礪），；.N是的中點，=

:.k\2-k）=-k2+2,4=1,.,.直線的方程為y=x+l.

【名師點睛】解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：

（1）得出直線方程,設交點為A（孫弘）,8（孫凡）；

（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關于x（或?。┑囊辉畏匠?

（3）寫出根與系數(shù)關系；

（4）將所求問題或題中關系轉(zhuǎn)化為王+馬，%/形式；

（5）代入根與系數(shù)關系求解.

8

v2V2

雙曲線亮-的左、右焦點分別為、直線/經(jīng)過鳥且與「的兩條漸近

8.r：1>=i4F2,

線中的一條平行，與另一條相交且交點在第一象限.

（1）設p為「右支上的任意一點，求1尸片1的最小值；

（2）設。為坐標原點，求。到/的距離，并求/與「的交點坐標.

【試題來源】2021年高考數(shù)學二輪復習熱點題型精選精練（新高考地區(qū)專用）

【答案】（1）歸耳1min=9；（2）。到/的距離3；/與「的交點坐標為（4.1,0.675）.

【分析】（1）設尸10，%），由兩點距離公式有I尸耳1=:%+4,結(jié)合已知即可

求1/^1的最小值；（2）根據(jù)雙曲線方程寫出漸近線方程為y=?2x,由題設知/：

4

3x+4y-15=0,由點線距離公式求。至I”的距離，聯(lián)立雙曲線、直線方程即可求交點坐標.

9

【解析】（1）根據(jù)題設條件，可得片（—5,0）.設尸（玉）,為），其中玉）24,且為2二二城—鄉(xiāng)

16

/41=他+5）2+%2=+o+4,x0>4

所以當5=4時，|尸耳|*=9.

3

（2）E（5,0）,T的兩條漸近線方程為y=?—x，

4

,|3x0+4x0-15|.

根據(jù)題設，得八3x+4y-15=0,。到/的距離"=~~五京丁一-=3-

3x+4y—15=0

將/與「的方程聯(lián)立，得，“2，消去y得，10%=41,解得x=4.1,代入得

9%-16/=144

y=0.675,所以/與「的交點坐標為（4.1,0.675）.

【名師點睛】（1）設P（x°,%），應用兩點距離公式以及點在曲線方程上列I尸耳I關于x。方程，

尸在雙曲線右支有玉）24,求范圍即可.

（2）由直線/與雙曲線漸近線關系寫出直線方程，結(jié)合點線距離公式求距離，聯(lián)立方程求

交點即可.

9.已知雙曲線C的焦點F（百，0）,雙曲線C上一點尸到尸的最短距離為百—J5.

（1）求雙曲線的標準方程和漸近線方程；

9

（2）已知點MO,1），設尸是雙曲線C上的點，。是P關于原點的對稱點.設％=近況0,

求2的取值范圍.

【試題來源】2021年高考數(shù)學二輪復習熱點題型精選精練（新高考地區(qū)專用）

【答案】（1）-..>2=1，y—+^3LX.（2）（-00,-1].

22

【分析】（1）由題可得。=百，c—a=6-夜，即可得出橢圓方程，進而求出漸近線方

程；⑵利用坐標關系表示出2=麗?詼=一[其+2，再由聞2血可求出.

）2

【解析】（1）設雙曲線的方程為之

一爐

因為雙曲線c的焦點廠（石，0）,雙曲線c上一點p到尸的最短距離為

c->J3>c-a=-\/3一5/2>ci-"V2，

b2=。2-/=（6）2_（忘了=1，則雙曲線的方程為:|_一>2=],

令上—>2=0,則,=±也x，即漸近線方程為y=±也％.

222

（2）設P的坐標為（xo,/），則。的坐標為（一y,一%）,

丸-MP-MQ=（x0,-1）?（-%?,-y0-1）=-Xg-yl+1=---XQ+2.

?.?聞？血，的取值范圍是（一8，T].

【名師點睛】本題考查雙曲線標準方程和漸近線的求解，以及數(shù)量積的范圍，解題的關鍵是

理清題意，得出雙曲線C上一點P到尸的最短距離即為c一。，再利用雙曲線x的范圍求解.

22

10.己知雙曲線C:=-4=l（a>0/>0）過點A（-4,6）,且。=4.

a"b-

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過點8（-1,0）的直線/交雙曲C于點直線M4,24分別交直線為=-1于點

\PB\

P、Q.試判斷匕3是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

I8QI

【試題來源】福建省厘門大學附屬科技中學2021屆高三12月月考

10

【答案】(1)--一匕=1；(2)\PB\

412\BQ\

【分析】(1)將點4—4,6),5=百。代入烏一烏=1，求出“2,進一步得出。2,即求.

ab

(2)設直線MN所在的直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，設出",N的坐標，寫出K4,N4所

在的直線方程，求出P,Q的縱坐標，結(jié)合根與系數(shù)的關系可得=,從讓他可得

_I_物__—力___—.I

\BQ\~yQ~?

22

【解析】(1)將點A(—4,6),〃=百。代入「―4=1,

ab1

1A36Y2v2

可得手一者=1,解得〃2=4,則〃=3儲=12，...雙曲線的方程為上一匕二1.

CT3。2412

(2)由題意可知，直線MN的斜率存在，設直線MN的方程為y=Z(x+l),

y=k（x+l）

聯(lián)立<元2y2,可得（3~~公）爐—2人公—]2=0,

-=1

412

由A=4/+4（3—42）僅2+12）>（）,解得一2<%<2,

設則-77,xix2=~；—7T~1

D—KJ-K

11

又點A（T,6）,.?.40的方程為'-6=號三（x+4）,

得“5(6%+3y+66%+3攵(芭+1)+6(3攵+6)(%+1)

令1=—1,

%+4%+4%+4百+4

(3女+6)(々+1)

同理可得y。

%2+4

(3左+6)(%+1)(3女+6)仇+1)

?.?丹+北

%+4馬+4

(3攵+6)[(M+1)(工2+4)+(/+1)(%+4)]

(%+4)(“2+4)

?.?(%+l)(x,+4)+(%2+l)(x,+4)=2x,x2+5(%(+馬)+8

-2k2-2410k2?一242—24+10/+24-8公

-------+r+8=----------=0,

3-k23-k23-k2

pB

.?+%=0八,即.|謁i=l聞l，.?\?雨\=0yp=1!，.??\P西B\為定值1.

【名師點睛】本題考查了雙曲線方程的求法，考查了直線與雙曲線的位置關系，解題的關鍵

是利用根與系數(shù)關系得出|y/=|%|,考查了運算求解能力.

22

11.雙曲線C:0-當=1（“>0力>0）的左頂點為A,右焦點為尸，動點5在C上.當

a~b

BELA尸時，14F|=|BE

（1）求C的離心率；

（2）若8在第一象限，證明：ZBFA=2ZBAF.

【試題來源】2021年高考數(shù)學二輪復習熱點題型精選精練（新高考地區(qū)專用）

【答案】（1）2；（2）見解析.

2

【分析】（1）根據(jù)已知條件可得b幺=a+c,據(jù)此可求離心率.

a

⑵設35,%)'則tan〃FA=-p'tan/BA八會’再計算.24”,

利用點在雙曲線上化簡后可得tan2NB4F=tan/BE4,從而可得結(jié)論成立.

12

【解析】(1)設雙曲線的半焦距為C，則￡(C,O),Bc,±—,

\a7

因為|A/71=|6尸],故2_=a+c,故c2—ac—2。2=0,即e?—e—2=0,

a

故e=2.

(2)設3(5,%),其中%＞見%＞。.

因為e=2,故c=2。，b—\[3a，

7

故漸近線方程為y=±,所以NBA/ef0,—'j,Z.BFAGf(),—,

當天＞6f,x0w2a時,

又tan/8FA=—一=——tanZBAF=^~

x()—cxQ-2a+a

2yo

2%(/+。)

所以2ZBAF=——-------L

/"I以tan/\2=/.八'\2—(2\

1Iy?(%+。)f-b2與-

i-----0-(x0+t?)-1

1方+”\a)

2%(&)+。)=2yo(%+。)=2%

(x0+a)2―3a2‘￥_；(%+。)2-3((%+。)-3(/-a)

\a7

=----^―=tanZBFA,因為2NBA/7e10,,故ZB曰=2NBAF.

/-2aI3J

TT7T

當斤=2a,由(1)可得ZBE4=—,NE48=一，故NBE4=2ZR4尸.

24

綜上，ZBFA=2ZBAF.

【名師點睛】（I）圓錐曲線中離心率的計算，關鍵是找到a/,c?組等量關系（齊次式）.

（2）圓錐曲線中與有角有關的計算，注意通過動點的坐標來刻畫角的大小，還要注意結(jié)合

點在曲線上滿足的方程化簡目標代數(shù)式.

v-2

12.（1）已知雙曲線三一》2=1的左、右頂點分別為4、A,點p（x，X）,點。（西,-必）

3

13

是雙曲線三一y2=1上不同的兩個動點，求直線AP與直線4。的交點的軌跡E的方程;

3一

（2）設直線4：y={x+2交軌跡E于。、。兩點，且直線4與直線4：y=&x交于點尸，

若明=-；,試證明尸為CO的中點?

【試題來源】2021年高考數(shù)學二輪復習熱點題型精選精練（新高考地區(qū)專用）

r2

【答案】（I）E:—+/=1：（2）證明見解析.

【分析】（1）先由雙曲線方程，得到4、4坐標，得出直線AP與直線&Q的方程，兩式

聯(lián)立，結(jié)合題中條件，化簡整理，即可得出所求軌跡方程；（2）設C（X2，%），。（七，%），

聯(lián)立直線/1：y=《x+2與橢圓E的方程，根據(jù)根與系數(shù)關系，結(jié)合中點坐標公式，得出CO

中點坐標，再由直線4與直線4聯(lián)立，根據(jù)4/2=-；，求出點尸坐標，得出F與8中點

重合，即可證明結(jié)論成立.

【解析】（1）由已知得4卜百，°），4（百,0）,玉H±JL

則"：y=—%（x+百）①，4Q：y=二"卜一?②

①X②得y2=-^-爐—3）,又—y；1_五，所以

3年-33

因此V=—

⑵設c（和必），。（毛,為），

2

X21

____p=]

由J3）消去丁可得，整理得（3父+1）/+12匕X+9=（）,

y-Z/+2

12k,/、6K

則%+七=一于七，設CO的中點G5,%）,則工。=一定七

D/C1I1D/C1I1

…龍。+2=品’

14

2

x=-----

y=k^xk、-k、’22k?、

由V.■得《2「則尸

y-%x+2、/一Kk?-k、）

1,12-6k}2k2_2

因為快=一3,所以——則與===寺y

Fk,—k3k；+1

即F與G重合，所以尸為CO的中點.

【名師點睛】證明本題第二問的關鍵在于求出CD中點以及點尸的坐標：求解時，聯(lián)立直

線與橢圓方程，結(jié)合根與系數(shù)關系以及中點坐標公式得出CD中點；聯(lián)立兩直線方程，結(jié)

合題中條件，求出產(chǎn)坐標即可.

22

13.已知雙曲線。：0-j=1（。＞0,方＞0）的左頂點為A，右焦點為尸，離心率e=2,

焦距為4.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）設”是雙曲線。上任意一點，且AZ在第一象限，直線M4與ME的傾斜角分別為火，

%,求2%+。2的值.

【試題來源】2021新高考普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學考向卷（一）

【答案】（1）Y—匕=1：（2）兀.

3

【分析】（1）由離心率以及雙曲線的焦距列出關于a，c的方程解出即可得結(jié)果；（2）由雙曲

線的性質(zhì)得出AF的坐標，當天=2時易得結(jié)果，當網(wǎng),。2時，結(jié)合斜率計算公式可得

tan2%和tan%，進而可得結(jié)果.

2c=4

ra=\

【解析】（1）由C，得＜C，所以。2=/-4=3,

—=2c=2

la

所以雙曲線。的方程為/―￡=].

3

（2）由（1）知雙曲線C的方程為爐―21=1,

3

15

所以左頂點A（—1,0）,右焦點尸（2,0）.

設”（%，%）（%>0,%>。），則片-年=1.

TT-JT

當％=2時，%=3,此時?I=->?2=-.所以2al+%=兀；

當天72,L=tan%=告ra.=tan%=J^.因為火=3（片—1）,

2%

c凡+12($+1)%2(%+1)%_-%

所以tan2%=「------

(x+1)--j)(/+1)--3(x；-1)xo-2

1-*0(

+U

又由點M在第一象限，易知名€（0,制，a2e（O,n）,

所以2al+4=兀.綜上，2%+02的值為兀.

2

【名師點睛】利用點在雙曲線上，滿足考-年=1,利用整體代換思想求Tjan2al和tan%

相反是解題的關鍵.

14.已知雙曲線C：=_與=13,/?0）的左、右焦點分別為Q（-c,0）,F2（C,0）,其中

a~b~

c>0,M（c,3）在C上，且C的離心率為2.

（1）求C的標準方程；

22

（2）若O為坐標原點，的角平分線/與曲線。：[+4=1的交點為尸，Q,

cb~

試判斷。尸與。。是否垂直，并說明理由.

【試題來源】廣東省湛江市2021屆高三一模

【答案】（1）爐_1=1：（2）0P與。。不垂直，答案見解析.

【分析】（1）利用點在曲線上和離心率，解出a/,c,進而得出雙曲線方程；

（2）利用角平分線定理求出N點坐標，聯(lián)立直線MN與曲線。的方程，由根與系數(shù)的關

系，結(jié)合平面向量的數(shù)量積得出結(jié)論.

16

2?2Q

【解析】（1）由題意得b，即4-瓦=1,解得匕=百，又。2=儲+〃，可得

—=2

、a

a=l,c=2,故雙曲線C的標準方程為￡=］；

3

F、N4用

（2）設角平分線與x軸交于點N，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得~NF\~~MF\

耳時=5,gM=3,黑=g,;.N（g,O）,MN:y=21x_g）=2x_]

y=2x-l

設尸（X，y）,Q（W，%），聯(lián)立方程，x2y1，可得19/一161—8=0

43

16

%十%二歷

Q，乂必=（2%一1）（29-1）=4%為-2（%+9）+1

:.OPOQ-xx+yy=5XX-2（玉+x）+1=5x-2x—+1^0

}2}2}2219

即。尸與O。不垂直.

【名師點睛】本題考查雙曲線的標準方程，考查宜線與橢圓的位置關系，考查平面向量的數(shù)

量積，解決本題的關鍵點是利用角平分線定理求出/F1MF2的角平分線與X軸交點N，利

用直線與曲線方程聯(lián)立寫出根與系數(shù)的關系，借助于平面向量的數(shù)量積得出結(jié)論，考查學生

邏輯思維能力和計算能力，屬于中檔題.

15.已知△OFQ的面積為2#,OFFQ=m.

17

(1)設指6%指，求/。尸。正切值的取值范圍;

(2)設以。為中心，尸為焦點的雙曲線經(jīng)過點。(如圖)，\OF\=c,m=也-1)W,

4

當|麗|取得最小值時，求此雙曲線的方程.

【試題來源】2021年高考數(shù)學【熱點重點難點】專練

22

【答案】(l)[1,4]；(2)-二=1

L」412

3。斗忻Q|sinO_0=2#

【分析】(1)設〈面，而〉=e,由已知可得<2______，化簡得

|(?F|-|FQ|COS6-m

tane=?_=gY5,根據(jù)加的范圍即可求1k(2)設。則由做的面積可

cos，m

得y=±生但，山赤?①=乎一1o?可得看=邁入表示出|而|利用基本不等式

c\)4

可求出。的坐標，再代入雙曲線方程即可求出.

【解析】(1)由已知，△。尸。的面積為2后，0FFQ=m,設〈礪，所〉=6,

］；|。斗間|sin-6)=2#sind4娓

得y.tan0=-----==一，

\OF\.\FQ\cos0=mcos。m

vV6</n<476..-.I<tan6><4，故/。尸。正切值的取值范圍為［1,4］：

2

(2)設所求的雙曲線方程為與1(a>0,ft>0),

一瓦

Q(xi,y\),則尸Q=(不一c，x)，

18

因為△OF0的面積口。外聞=25/6,X=土蛔,