高三數(shù)學(xué)同步練習(xí)下

［解析］(1)直線(xiàn)/的方程可化為y=直線(xiàn)/的斜率八意不因?yàn)閨列甘(丁

+1)，

所以KI當(dāng)且僅當(dāng)M??時(shí)等號(hào)成立?

所以，斜率左的取值范圍是H/I

(2)不能.由(1)知/的方程為y=%(x-4),其中國(guó)W；.

圓C的圓心為C(4,-2),半徑/'=2.

2

圓心。到直線(xiàn)/的距離d=~r-.

I4K

由博W],得d》忑>1,即d>2'

從而，若/與圓C相交，則圓C截直線(xiàn)/所得的弦所對(duì)的圓心角小于2學(xué)7r，

所以/不能將圓c分割成弧長(zhǎng)的比值為3的兩段弧.

14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)/(x)=x2+2x+MxGR)的圖像與兩坐標(biāo)軸有三

個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C

(1)求實(shí)數(shù)/)的取值范圍：

(2)求圓C的方程：

(3)問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)(其坐標(biāo)與6無(wú)關(guān))？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

[解析](1)令x=0,得拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(0,b).

令危)=0>得f+2%+6=0.

由題意應(yīng)有6#0且4=4-4/>>0.

???/)<1且bWO.

(2)設(shè)圓的方程為f+_/+￡)x+助+尸=0.

令y=0,#x2+Dx+F=0.

這與丁+本+6=0是同一個(gè)方程，.F=b.

令x=0,得/+&+尸=0.此方程有一個(gè)根為6.

；.戶(hù)+E，b+F=0.而F=b>■?E=-b-

圓C的方程為j?+y^+2x~by-y+b=O.

(3)圓C過(guò)定點(diǎn)，證明如下：

假設(shè)圓C過(guò)定點(diǎn)(xo,yo),(xo,乂)不依賴(lài)于6),將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程并變形為

/+據(jù)+2x0-yo+b(l-yo)=o.

1-yo=0

為了使上述方程對(duì)所有滿(mǎn)足6<1(6^0)的b都成立，必須有22c△，解得

[xo+^o+2xo-70=0

Xo=ox=-2

'或J0

yo=1tvo=1

經(jīng)驗(yàn)證：點(diǎn)(0,1),(-2,1)均在圓C上，因此圓C過(guò)定點(diǎn).

15.(2011?溫州)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知圓/+/一12%+32=0的圓心為。，過(guò)點(diǎn)

P(0,2)且斜率為4的直線(xiàn)與圓相交于不同的兩點(diǎn)/、B.

(1)求上的取值范圍；

(2)是否存在常數(shù)左，使得向量為+協(xié)與通共線(xiàn)？如果存在，求上值；如果不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由.

［解析］(1)圓(x-6)2+/=4的圓心。(6,0),半徑r=2,設(shè)過(guò)P點(diǎn)的直線(xiàn)方程為y=foc+2,

根據(jù)題意得塔望*2,「.4必+3k0,■為＜0.

W+24

(2)設(shè)/(xi，為)，5(x2,y2),

則ON+08=(xi+》2，為+力)，

將、=履+2代A?+J-］2x+32=0中消去y得(1+F)?+4(k-3)x+36=0,

X2是此方程兩根，?..則Xi+必=

1十/C

4k(k-3)

又yi+y2=k(x\+X2)+4=-+

P(0,2),0(6,0),?,屈=(6,-2),

為+協(xié)與匝共線(xiàn)等價(jià)于-2g+X2)=6(yi+y2),

.8?g不-齊3)一64(kn-3)24,小3

不

3

由⑴知0),故沒(méi)有符合題意的常數(shù)北

專(zhuān)題6第2講圓錐曲線(xiàn)

一、選擇題

1.(2011?安徽理，2)雙曲線(xiàn)2?一丁=8的實(shí)軸長(zhǎng)是()

A.2B.2啦

C.4D.4啦

［答案］C

［解析］由%2-/=8可得'-'=1,

則一=4,a=2,2。=4,故選C.

22

2.（2011?湖南理，5）設(shè)雙曲線(xiàn)》一方=1（心0）的漸近線(xiàn)方程為3肚2y=0,貝布的值為（）

A.4B.3

C.2D.1

［答案］C

3

［解析］雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為^=±不，

,3

比較y=±］x,.,?。=2.

22

3.（2011?天津文，6）已知雙曲線(xiàn)，一方=l（a>0,b>0）的左頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)y=2川仍>0）的

焦點(diǎn)的距離為4,且雙曲線(xiàn)的??條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,-1）,則雙曲

線(xiàn)的焦距為（）

A.2y［3B.2小

C.473D.4小

［答案］B

［解析］..?拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)的交點(diǎn)為（-2,-1）,

-2=-2,p=4,拋物線(xiàn)方程為J=8x,

雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)的斜率

???拋物線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）.

由題意2-（-a）=4,得。=2,

.,./>=1,c2=a2+/>2=4+1=5.

-'-2c=2點(diǎn).

4.（2011?山東荷澤）方程為5+9=13泌>。）的橢圓左頂點(diǎn)為4左、右焦點(diǎn)分別為自、

尸2,。是它短軸上的一個(gè)頂點(diǎn)，若3加|=扇+2旗，則該橢圓的離心率為（）

A2Bl

［答案］D

［解析］-：?>DF}=DA+2DF2,

■■■2（DF］-DFi）=DA-DFi,

?'-F\A=2F2F\?即a-c=4c,

c1

「?e=_=￡.

a5

5.（2011?海南五校聯(lián)考）如圖，正六邊形48CQE/的兩個(gè)頂點(diǎn)力、。為雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦

點(diǎn)，其余4個(gè)頂點(diǎn)都在雙曲線(xiàn)上，則該雙曲線(xiàn)的離心率是（）

A.,\/3+1B幣一1

C幣D.小

［答案］A

［解析］設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1,則ED=1,

AD=2,.■-2a=AE-ED=yf3-1,2c=AD=2,

6.（201卜大連一模）設(shè)尸為拋物線(xiàn)/=2網(wǎng)戶(hù)0）的焦點(diǎn)，A,B,C為該拋物線(xiàn)上三點(diǎn)，當(dāng)蕩

+F8+FC=0,且|法|+|兩+|所=3時(shí)，此拋物線(xiàn)的方程為（）

A.y^—2jcB.，=4x

C./=6xD.J=8x

［答案］A

［解析］由題意知焦點(diǎn)畤，0）,設(shè)4（xi，%）,5（X2.y2）,C（x3,y3）,則由成+無(wú)+元?

=0,得（X|，）+（X2，）+（X3-2）=0>-1-^i+X2+X3=當(dāng)又由拋物線(xiàn)定義，得04|+\FB\+\FC

I=（xi+，+（》2+§）+（X3+§=3p=3,，p=1,因此所求拋物線(xiàn)的方程為J=2x.

7.（2011?大綱全國(guó)卷理，10）已知拋物線(xiàn)C：“=4x的焦點(diǎn)為尸，直線(xiàn)y=2x-4與C交于Z,

8兩點(diǎn)，則cos//F8=（）

A.1B.|

［答案］D

“=4x

［解析］方法一：聯(lián)立"，不妨設(shè)/在x軸上方，:./GM）,8（1,-2）,

y=2x-4

點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),?,?法=(3,4),FB=(O,-2),

FA-FB-84

cosNAFB

\FA\-\FB\5X25,

方法二：|力8|=3小，|/用=5,即=2,

人……心開(kāi)+-L4BI24

由余弦正理知，cosN/FB=?2抽丁?但尸|---=

8.（文）（2011?遼寧文，7）已知產(chǎn)是拋物線(xiàn)y=丫的焦點(diǎn)，A,8是該拋物線(xiàn)上的兩點(diǎn)，\AF\

+|8g=3,則線(xiàn)段N8的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為（）

A、B.1

「D2

J4u'4

［答案］C

［解析］如圖所示：

■■■\AF\=\AK\,\BF\=\BM\

\AK\+\BM\=\AF\+網(wǎng)=3

■'-AB的中點(diǎn)尸到準(zhǔn)線(xiàn)的距離

\PN\=如K|+\BM\）=I

315

;?點(diǎn)p至物軸的距離為5-w=1

222

（理）（2011?浙江理，8）已知橢圓G：夕+齊=1（心6>0）與雙曲線(xiàn)Cz：f=1有公共的

焦點(diǎn)，C的一條漸近線(xiàn)與以Ci的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于4,B兩點(diǎn).若Ci恰好將線(xiàn)段三

等分，貝W）

B.，=13

D.Z>2=2

［答案］C

???橢圓中：a=b2+5,由條件知|/8|=2”,

2222

ay=ah得/=4/+,

丁=4：弁廬又2山2+丁=土陰,

a2b24a2b2a

彳天+彳天=馬

整理，得：a=II/?2,結(jié)合。2=〃+5,得/=；?,b2=^,選C.

二、填空題

9.（2011?陜西質(zhì)檢二）已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸匕直線(xiàn)y=x與拋物線(xiàn)

C交于/,8兩點(diǎn).若尸（2,2）為的中點(diǎn)，則拋物線(xiàn)C的方程為.

［答案］y2=4x

［解析］設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁=2px,A（x）,pi）,8（x2，及），則=2pxi,￡=212,

兩式相減可得（yi-㈤必+及）=2p（xi-X2）,則kAB=""我=?,-'.^=1,解得p=2,

修一工2乃十”一

即所求拋物線(xiàn)方程為/=4x.

10.已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為網(wǎng)1,0）,直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)C相交于4、B

兩點(diǎn),若48的中點(diǎn)為（2,2）,則直線(xiàn)/的方程為.

［答案］y=x

［解析］因?yàn)閽佄锞€(xiàn)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)尸（1,0）,故拋物線(xiàn)方程為丁=4x.設(shè)4Q］,力），8（如

y2）。1￡工2），

則才=4勺，族=4工2.

???S一及）5+力）=4（修一孫），

???直線(xiàn)為8的方程為y-2=x-2,即y=x.

2222

11.（文）（2011?山東文，15）已知雙曲線(xiàn)'一5=l（a>0,6>0）和橢圓,+彳=1有相同的焦

點(diǎn)，且雙曲線(xiàn)的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線(xiàn)的方程為

［答案］

［解析］橢圓焦點(diǎn)為（士、Q,0）,所以々2+/=7,橢圓離心率為e=￥，「.烏二手乂？，

「.。=2,6=市，

X2v2

?,?雙曲線(xiàn)方程為『［=1.

（理）（2011?江西理，14）若橢圓?+》=1的焦點(diǎn)在x軸匕過(guò)點(diǎn)（1,1）作圓，+丁=1的切

線(xiàn)，切點(diǎn)分別為4,8,直線(xiàn)48恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是

22

故橢圓的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）.因此c=l,b=2,。=小，所求橢圓方程為方+；=1.

解法二：由題意可得切點(diǎn)4（1,0）.

\n2mn4\

切點(diǎn)加，〃）滿(mǎn)足J-二一:，解得噌，工

jn,+力2=1,

???過(guò)切點(diǎn)44的直線(xiàn)方程為2x+y-2=0.

令y=0得x=1,即c=1;

令x=0得y=2,即6=2.

22

?"2=ft2+C2=5,.二橢圓方程為］■+；=1.

22

12.（文）（2011?江西文，12）若雙曲線(xiàn)上一\=1的離心率e=2,則加=.

［答案］48

［解析］c2=<72+fe2=16+m,又.?？=%

V16+7W

「?e=2=―----,「?m=48.

（理）（2011?海淀模擬）-知有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左、

右焦點(diǎn)分別為P、F2,且它們?cè)诘谝幌笙薜慕稽c(diǎn)為尸，是以尸分為底邊的等腰三角

形.若|PF||=10,雙曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為(1,2).則該橢圓的離心率的取值范圍是

|2

［答案］(§，g)

［解析］設(shè)橢圓的半焦距為c,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為m由橢圓的定義及題意知，\PF,\=2a-\PF2\

=2a-2c=10,得到o-c-5=0,因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率的取值范圍為(1,2),所以1＜痣五＜2,

.?1＜碧，?…/七川-喂，且;＜1-娛4?.?該橢圓的離心率的取值范圍是4,

Z3ac+5c+53c+533

三、解答題

13.(2011?北京西城5月抽考)已知橢圓C：夕+/=l(a＞Q0)的離心率為坐橢圓C上任

意一點(diǎn)到橢圓C兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)/：y=h-2與橢圓C交于/,8兩點(diǎn)，點(diǎn)尸(0,1),且四|=|PB|,求直線(xiàn)/的

方程.

［解析］⑴由已知2q=6,e=：=乎，

解得4=3,C=雜,所以yJ一02=3,

22

所以橢圓C的方程為a+1=1.

《+/=1

(2)由產(chǎn)3得，(1+3然)？-12&+3=0,

y=kx-2

因?yàn)橹本€(xiàn)/與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以A=144〃-12(1+3必)＞0,解得必

設(shè)/（xi，y\）,8（x2，72）＞的中點(diǎn)為E,

12k3

則X|+"2=EP'XM2=7T/

4

Ni+%=k（x\+X2）-4=k、+31-4=

1+3*'

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為

因?yàn)閨以|=|尸8],所以尸kPE-kAB=-1,

…1+31

所以一6k一…卜

1+3必

解得4=1或左=-1,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.

所以直線(xiàn)/的方程為x-y-2=0或x+y+2=0.

22

14.(文)(2011?天津文，18)設(shè)橢圓方+3=1(心6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸尸2,點(diǎn)尸3

6)滿(mǎn)足尸&|=四&|.

(1)求橢圓的離心率e；

(2)設(shè)直線(xiàn)尸&與橢圓相交于48兩點(diǎn)，若直線(xiàn)P&與圓。+1)2+&-小尸=16相交于河,

N兩點(diǎn)、,且|〃做=//用，求橢圓的方程.

［解析］(1)設(shè)FI(-GO)，F(xiàn)2(C,0)(C>0),

因?yàn)閨「&|=\F\FzV所以.(q-cy+J=2c,整理得2(/+^-1=0,得，-1(舍)或亍=

1

T

所以e=；.

(2)由(1)知“=2c,b=R可得橢圓方程為3父+4/=12。2,直線(xiàn)P&的方程為y=

-c)，

f3?+4j/2=12c2,

A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組<廣，

［y=yl3(x-c).

Q

消去y并整理，得5x?-8cx=0,解得X|=o,X2=-c,

fx,=O,卜2三，

得方程組的解廠(chǎng)，〈廠(chǎng)

卜=-小。3A/3

［及=寸—

不妨設(shè)力修，B(0,-小c),

所以=?豺+(乎°+同、=ye.

于是

圓心(-1,小)到直線(xiàn)P巳的距離

I一小一5-/c|市|2+c|

d=-----------=-------

22

因?yàn)?+(號(hào)">=42,所以1(2+°)2+°2=16.

整理得7c2+12c-52=0,得c=-7(舍)，或c=2,

X2V2

所以橢圓方程為2++=1.

1012

(理)(2011?天津理，18)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,6)3>6>0)為動(dòng)點(diǎn)，丹，B分別

22

為橢圓￡+5=1的左、右焦點(diǎn)，已知△吊P&為等腰三角形.

(1)求橢圓的離心率e；

(2)設(shè)直線(xiàn)尸&與橢圓相交于4B兩點(diǎn),M是直線(xiàn)PF?上的點(diǎn)，滿(mǎn)足工序說(shuō)/=-2,求點(diǎn)“

的軌跡方程.

[解析](1)設(shè)入(-c,0),尸2(。,0)(。>0).由題意，可得即叱“-cP+A=2c.

整理得

2俳+/1=。得17(舍)或汨.

所以e=g.

(2)由(1)知”=2c,b=?可得橢圓方程為3x2+4/=Me?,直線(xiàn)尸&方程為。=小。-

c).

f3x2+4y-=12c

A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程組<廠(chǎng)

[y=y]3(x-c).

8

消去y并整理，得5f-8cx=0,解得xi=0,X2=鏟.

(X1=0,卜2=鏟，

得方程組的解V廠(chǎng)《廠(chǎng)

Lxi=一5c，3V5

卜2=5a

不妨設(shè)'(°’-小C)

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),則彳y-BM=（x,y+y/3c\

由y=y[3(x-c),得。=x-坐y.

于是4A/=-|x,BM=（x,小x）.

由《MBA/=-2,即（4陰y+（5,小工=-2,化簡(jiǎn)得-16小中一15

=0,

此18x2-15”、、10』+5

將尸代入1一,得'=一位L

所以x>0.

因此，點(diǎn)M的軌跡方程是18x2-16小9-15=0(x>0).

2

15.(2011?北京理，19)已知橢圓G：，+，=1,過(guò)點(diǎn)(〃7,0)作圓x?+”=l的切線(xiàn)/交橢圓

G于4B兩點(diǎn).

(1)求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；

(2)將表示為m的函數(shù)，并求的最大值.

［解析］(1)由已知得。=2,6=1,

所以c=qj一九=5

所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-，5,0),(小,0),離心率為6=亍=坐

(2)由題意知，困21,

當(dāng)加=1時(shí)，切線(xiàn)/的方程為x=1,點(diǎn)48的坐標(biāo)分別為(1,乎)，(1,-),此時(shí)148|

=黃.

當(dāng)m=-1時(shí)，同理可得|48|=,.

當(dāng)|相|>1時(shí)，設(shè)切線(xiàn)/的方程為y=-X-m).

y=k(x-m)，

由<f得(1+4月)工2-8后mx+4必加2-4=0.

彳+y1.

設(shè)45兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(X1，「1),(孫，%)，則

8仗m4/^m2-4

修+乃=77^'

又由/與圓密+:/=I相切，得.\km\_i

即加2*=[+I

22

所以M8廣^/(x2-X|)+(y2-yi)

T(1+*)[(xi+MJ二4XIM]

匚,2、.640/4(4k2m2-4\

=4(i+爐)i+4后]

m2+3'

由于當(dāng)機(jī)=±1時(shí)，\AB\=y[3,

4xFi\m\

所以|N8|=涓]31mW(_8,-1]u[1,+8).

因?yàn)?4'3<2,且當(dāng)機(jī)=士>/5時(shí)，\AB\=2.

m網(wǎng)+而

所以M目的最大值為2.

專(zhuān)題6

QHXL強(qiáng)化訓(xùn)練

1.（2011?長(zhǎng)沙5月模擬）已知三直線(xiàn)八：2x~y+a^0（a>0）,直線(xiàn)小一4x+2y+l=0和

7

，3：x+y—1=0,且/i與，2的距離是而仃.

⑴求。的值；

（2）能否找到一點(diǎn)P,使尸同時(shí)滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：①P是第一象限的點(diǎn)；②點(diǎn)尸到6的距

離是點(diǎn)P到/2的距離的3：③點(diǎn)尸到/|的距離與點(diǎn)P到八的距離之比是啦小.若能,求點(diǎn)P坐標(biāo);

若不能，說(shuō)明理由.

[解析]（l）'-'/i：2x-y+a=0,l2:2x~y-^=0,

解得0=3或4=-4（丫0>0,舍去）

（2）設(shè)存在點(diǎn)尸（xo,次）滿(mǎn)足②，則點(diǎn)尸在與小，2平行的直線(xiàn)/'：2x-y+c=0,且，全引=

產(chǎn)上

釘&

_13._11

即0nc2一$，

c13…八11八

.二2%0一如+g=0或2x（）』+不=0.

若點(diǎn)尸滿(mǎn)足條件③，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，有

加-%+3|—/.隔+泗-1|

小y（5y[2

即|2x（）-），（）+3|=恒）+），0-1|

啦

+

SP|2x0-yo3|=|x0+yo-1[,

/?Xo-2yo+4=0或3XQ+2=0.

在第一象限，，3xo+2=0（舍去）.

13

聯(lián)立方程2ro+丁=0和X。-3如+4=0,

x0=~3

解得11（舍去），

泗=，

1

2xo-yo+^-=Oxo=9

由'得＜

37

、xo-2yo+4=0泗=而

福即為同時(shí)滿(mǎn)足條件的點(diǎn).

2.(文)如圖，直角三角形/8C的頂點(diǎn)坐標(biāo)/(—2,0),直角頂點(diǎn)8(0,-2啦)，頂點(diǎn)C在x

軸上，點(diǎn)尸為線(xiàn)段0/的中點(diǎn).

(1)求8C邊所在直線(xiàn)方程；

(2)/0為直角三角形Z8C外接圓的圓心，求圓"的方程；

(3)若動(dòng)圓N過(guò)點(diǎn)P且與圓M相切，求動(dòng)圓N的圓心N的軌跡方程.

,

[解析](l)V^fi=-^2,AB1BC,■■■kcB=2

???BC邊所在直線(xiàn)方程為嚴(yán)冬-2^2.

(2)在BC邊所在直線(xiàn)方程中，令y=0,得C(4,0),

???圓心M(l,0).又；|/盟=3，

???外接圓的方程為(X-1)2+J=9.

(3)”(-1,0),

圓N過(guò)點(diǎn)尸(-1,0),是該圓的半徑.

又；動(dòng)圓N與圓M內(nèi)切，

.,.pVW|=3-|PN],即|A4N|+|PN|=3,

點(diǎn)N的軌跡是以M、P為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3的橢圓.

=c=1,b=y]a2-c2=\

2

.??軌跡方程為5+151

-

4

4

(理)(2011?吉林市質(zhì)檢)己知圓滿(mǎn)足：

①截y軸所得弦長(zhǎng)為2；②被x軸分成兩段圓弧，其弧長(zhǎng)的比為31；③圓心到直線(xiàn)/：x

-2y=0的距離為號(hào).求該圓的方程.

［解析］解法一：設(shè)圓P的圓心為尸(a,b),半徑為小則點(diǎn)P到x軸、y軸的距離分別

為步|,同.

由題意知圓P截x軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為90。，

所以圓尸被x軸所截得的弦長(zhǎng)為加人

故2\b\=y［2r,得尸=2b2.

又圓P被y軸所截得的弦長(zhǎng)為2,

由勾股定理得/=/+1,得2戶(hù)-/=1

又因尸(a,b)到直線(xiàn)x-2y=0的距離為生，得

八官和雪，即有。-2…L

2b2-a2=1

綜上所述得

a-2b=1\a-2h=-1

(7=-1a=1c-

解得，，或，，于是/=2必=2.

b=-i［o=1

故所求圓的方程是(x+1)2+0+1)2=2或(X-1)2+(y-1)2=2.

解法2:設(shè)圓方程為(X-a)2+0-6)2=M,

令x=0,得丁-2by+/+/-/=().

歷_力|=弋例+")2一%必=2.尸一°2=2,

得尸=a2+1.

再令y=0,可得f-2辦+d+b2-，=o.

同理，可得卜|-》2|=2<尸-方\2y)r2-b2=yf2r,

KPr2=2b2,從而有2戶(hù)_q2=i.

以下同解法一.

3.(2011?江西文，19)已知過(guò)拋物線(xiàn)J=2QC>O)的焦點(diǎn)，斜率為2啦的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于

A(xt,yi),8(x2,P2)(X|<X2)兩點(diǎn)，且附=9,

(1)求該拋物線(xiàn)的方程；

(2)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若沆=為十加k求%的值.

［解析］(1)直線(xiàn)48的方程是了=2啦。-§,

與j，=2px聯(lián)立，從而有4x2-5px+/?2=0,

所以：x}+x2=乎

+=

由拋物線(xiàn)定義得：\AB\=x\+x2/?9,所以p=4,從而拋物線(xiàn)方程是9=8x.

(2)由p=4,4f-5px+p2=0可簡(jiǎn)化為f-5x+4=0,從而修=1,x2=4

yx=-2/，y2=4y[2,從而4(1,-2啦)，8(4,4的

設(shè)歷=。3,為)=(1，-272)+2(4,472)

=(42+1,4?-2的

又抬=8x3，即［2^2(22-1)］2=8(42+1),

即(24-1)2=44+1,解得；1=0,或/1=2.

4.(2011?湖南文，21)已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)尸到點(diǎn)尸(1,0)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離的差

等于1.

(1)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)尸作兩條斜率存在且互相垂直的直線(xiàn)/卜12,設(shè)/i與軌跡C相交于點(diǎn)4、B,/2與軌

跡C相交于點(diǎn)。、E,求心?港的最小值.

［解析］(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),由題意有彳

化簡(jiǎn)得_/=2X+2\X\.--------------------------2

當(dāng)x20時(shí)，y2=4x；

當(dāng)x<0時(shí)，_y=0.

所以，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡C的方程為了=4x(x20)和尸0(x<0).

(2)由題意知，直線(xiàn)/1的斜率存在且不為0,設(shè)為七則八的方程為、=網(wǎng)》-1).

\y=k(x-1),____

由I2得%-Q42+4H+%2=0.

y=4x

設(shè)4(X］,力),%2,月)，則》1，孫是上述方程的兩個(gè)實(shí)根,

4

于是修+工2=2+7,X\X2=1.

因?yàn)樗裕?的斜率為

設(shè)。(工3，乃)，E(XA,J4)，則同理可得

工3+工4=2+42，X3X4=1.

故病晝=(蘇+Fb)(EF+FB)

=AFEF+AFFB+FDEF+FDFB

=I拓?|兩+I所際

=(U+l)(x2+l)+(x3+1)(x4+1)

=X|X2+(X|+X2)+1+X3X4+(%3+X4)+1

=1+(2+%)+1+1+(2+4*)+1

=8+4(必+/)28+4X2y必?土=16.

當(dāng)且僅當(dāng)然=+,即人=±1時(shí)，而?礪取最小值16.

22

5.(文)已知長(zhǎng)、出是橢圓，+方=1(。＞6＞0)的左、右焦點(diǎn)，/是橢圓上位于第一象限內(nèi)

的一點(diǎn)，點(diǎn)8也在橢圓上，且滿(mǎn)足由+加=0(0為坐標(biāo)原點(diǎn))，后2，百萬(wàn)2=0.若橢圓的離心率

等*.

(1)求直線(xiàn)N8的方程；

(2)若△48-2面積等于4啦，求橢圓的方程.

［解析］⑴由①+協(xié)=0知，直線(xiàn)Z8經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

又由疣?廠(chǎng)市2=0，知力尸2，尸1尸2.

因?yàn)闄E圓的離心率等于坐，所以家坐,b2=^a\

2

故橢圓方程可以寫(xiě)為f+2y2=a.

設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(c,y),代入方程f+2y2=/,得y=；a,

所以點(diǎn)工的坐標(biāo)為Pp”，|a),

故直線(xiàn)”的斜率正坐

因此直線(xiàn)的方程為了=乎二

(2)連結(jié)4-、BF},由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知

SAABF2=SA4BF\=SAAFIF2,

所以=4啦,解得＜?=16,b2=16-8=8,

22

故橢圓方程為出+^=1.