第21章　第9課時　實際問題與一元二次方程(二)(互贈、握手、數(shù)字問題) 　教學(xué)設(shè)計　2024-2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊

第21章第9課時實際問題與一元二次方程(二)(互贈、握手、數(shù)字問題)教學(xué)設(shè)計2024—2025學(xué)年人教版數(shù)學(xué)九年級上冊授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間設(shè)計思路本節(jié)課圍繞實際問題與一元二次方程的運(yùn)用，以互贈、握手、數(shù)字問題為情境，引導(dǎo)學(xué)生通過建立方程解決現(xiàn)實生活中的問題。結(jié)合人教版數(shù)學(xué)九年級上冊第21章第9課時的內(nèi)容，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。課程設(shè)計以課本為核心，通過情境創(chuàng)設(shè)、問題引導(dǎo)、合作探討、鞏固練習(xí)等環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生掌握一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。核心素養(yǎng)目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維與創(chuàng)新意識。通過解決互贈、握手、數(shù)字問題，使學(xué)生能夠建立并運(yùn)用一元二次方程模型，提升數(shù)學(xué)抽象與建模素養(yǎng)。同時，通過小組合作探討，增強(qiáng)學(xué)生的團(tuán)隊協(xié)作與交流表達(dá)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用與問題解決素養(yǎng)。教學(xué)難點與重點1.教學(xué)重點

-掌握一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和求解方法。例如，在解決互贈禮物問題時，學(xué)生需要能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為求解ax^2+bx+c=0的形式，并運(yùn)用求根公式進(jìn)行解答。

-能夠根據(jù)實際問題建立一元二次方程模型。如握手問題中，學(xué)生需要理解每個人握手的次數(shù)與總握手次數(shù)的關(guān)系，并據(jù)此列出方程。

-培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。例如，在數(shù)字問題中，學(xué)生需要能夠從題目中提取關(guān)鍵信息，構(gòu)建方程，從而解決具體問題。

2.教學(xué)難點

-理解并運(yùn)用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。在解決互贈問題時，學(xué)生可能難以理解方程的根如何代表具體的人數(shù)或物品數(shù)量，需要通過具體例子進(jìn)行講解和練習(xí)，如設(shè)x為某人的互贈對象數(shù)，則方程的根即為具體的人數(shù)。

-突破方程建模的障礙。在握手問題中，學(xué)生可能難以理解為何總握手次數(shù)是偶數(shù)，以及如何通過方程表示這一關(guān)系。教師可以通過實際操作或圖示來幫助學(xué)生形象地理解握手的對稱性，從而簡化建模過程。

-解決數(shù)字問題中的逆向思維。在數(shù)字問題中，學(xué)生可能不習(xí)慣從結(jié)果反推條件，如已知一個兩位數(shù)的數(shù)字之和與數(shù)字之積的關(guān)系，需要逆向構(gòu)建方程。教師應(yīng)通過逐步引導(dǎo)，幫助學(xué)生建立逆向思維的解題習(xí)慣。教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法

-采用講授法，系統(tǒng)地介紹一元二次方程的解法及其在實際問題中的應(yīng)用，確保學(xué)生掌握必要的理論知識。

-運(yùn)用討論法，組織學(xué)生針對具體問題進(jìn)行小組討論，鼓勵他們提出解題思路，共同探討解決問題的方法。

-實施問題驅(qū)動法，通過提出實際問題，引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)并解決問題，培養(yǎng)他們的探究精神和解決問題的能力。

2.教學(xué)手段

-使用多媒體設(shè)備展示一元二次方程的圖像，幫助學(xué)生直觀理解方程的根與圖像的關(guān)系。

-利用教學(xué)軟件模擬實際問題的情景，如握手和互贈問題，讓學(xué)生在虛擬環(huán)境中操作，增強(qiáng)實踐體驗。

-通過在線平臺分享優(yōu)秀解題案例，拓寬學(xué)生的解題思路，提高他們的自主學(xué)習(xí)能力。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

以生活中的簡單實例（如人數(shù)統(tǒng)計問題）引導(dǎo)學(xué)生思考如何用數(shù)學(xué)方法解決，自然過渡到一元二次方程的應(yīng)用。提出問題：“如果你和你的朋友互贈禮物，如何計算總共需要準(zhǔn)備多少禮物？”通過這個問題激發(fā)學(xué)生的興趣，引出一元二次方程在實際生活中的應(yīng)用。

2.新課講授（15分鐘）

-講解一元二次方程的基本概念，包括標(biāo)準(zhǔn)形式、根的概念以及求根公式，結(jié)合課本中的例子進(jìn)行演示。

-通過互贈問題，展示如何將實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程。例如，如果有5個人互贈禮物，每個人送出4份禮物，總共送出了多少份？引導(dǎo)學(xué)生列出方程并求解。

-利用握手問題，讓學(xué)生理解方程的根與實際問題中的具體人數(shù)的關(guān)系。例如，如果5個人握手，總共會發(fā)生多少次握手？引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建方程并解釋為什么總握手次數(shù)是10。

3.實踐活動（10分鐘）

-讓學(xué)生獨立解決一個數(shù)字問題，如“一個兩位數(shù)的十位數(shù)是個位數(shù)的兩倍，且它們的和是12，求這個數(shù)?！睂W(xué)生需要建立方程并求解。

-通過小組合作，解決一個握手問題的變體，如“一個班級有30名學(xué)生，如果每兩名學(xué)生之間都要握手一次，總共會有多少次握手？”

-讓學(xué)生嘗試解決一個互贈問題的變體，例如，“一個團(tuán)隊有8名成員，他們決定互贈禮物，每個人送出相同數(shù)量的禮物，且每個人收到的禮物總數(shù)相同，求每個人送出了多少份禮物?！?/p>

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

-讓學(xué)生討論以下問題：“在解決握手問題時，為什么總握手次數(shù)是偶數(shù)？”學(xué)生需要通過討論理解握手的對稱性。

-討論如何將一個復(fù)雜的實際問題簡化為一元二次方程，例如，將一個涉及多個變量的問題轉(zhuǎn)化為只含有一個變量的方程。

-讓學(xué)生分享在解決數(shù)字問題時遇到的問題和解決方法，討論如何從結(jié)果反推方程的建立。

5.總結(jié)回顧（5分鐘）

回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，強(qiáng)調(diào)一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用，總結(jié)解決互贈、握手、數(shù)字問題的方法和步驟。通過提問的方式檢查學(xué)生對課程內(nèi)容的理解，例如：“在解決互贈問題時，我們首先需要做什么？如何確保我們的方程是正確的？”確保學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)知識應(yīng)用到實際問題中。教學(xué)資源拓展1.拓展資源

-一元二次方程的擴(kuò)展：介紹一元二次方程的其他解法，如配方法、因式分解法等，以及它們在實際問題中的應(yīng)用。

-實際問題案例：收集更多類型的實際問題，如投資問題、面積問題、速度問題等，這些問題都可以通過一元二次方程來解決。

-數(shù)學(xué)建模：介紹如何將現(xiàn)實生活中的復(fù)雜問題簡化為一元二次方程模型，以及如何從實際問題中提取關(guān)鍵信息來建立方程。

-方程的歷史背景：介紹一元二次方程在數(shù)學(xué)發(fā)展史上的地位，以及歷史上數(shù)學(xué)家對方程求解方法的貢獻(xiàn)。

-數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練：提供一些數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練題，如邏輯推理題、數(shù)學(xué)謎題等，這些題目能夠幫助學(xué)生鍛煉數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。

2.拓展建議

-鼓勵學(xué)生在課后自主搜索相關(guān)的實際問題，嘗試用一元二次方程解決，并分享解題過程和經(jīng)驗。

-建議學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)歷史書籍或文章，了解一元二次方程的發(fā)展過程，增加對數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣。

-建議學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽或挑戰(zhàn)活動，通過解決更復(fù)雜的問題來提高自己的數(shù)學(xué)能力。

-推薦學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)雜志或期刊，特別是那些包含實際問題解決的專欄，以獲得更多的數(shù)學(xué)知識和解題靈感。

-鼓勵學(xué)生組建學(xué)習(xí)小組，定期討論和解決一元二次方程相關(guān)的實際問題，相互學(xué)習(xí)和幫助。

-建議學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，如在線教育平臺和數(shù)學(xué)論壇，與其他學(xué)生和教師交流一元二次方程的學(xué)習(xí)心得和解題技巧。

-提議學(xué)生在日常生活中注意觀察，尋找可以用一元二次方程來解決的問題，將數(shù)學(xué)知識與實際生活緊密結(jié)合。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測課堂小結(jié)（5分鐘）

在課堂的最后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容和學(xué)習(xí)目標(biāo)。首先，教師可以簡要復(fù)述一元二次方程在實際問題中的應(yīng)用，包括互贈、握手和數(shù)字問題。接著，強(qiáng)調(diào)一元二次方程的建立和解法，以及如何從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型。最后，教師可以總結(jié)學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)，指出他們在理解和應(yīng)用一元二次方程方面的進(jìn)步，以及仍需改進(jìn)的地方。

具體小結(jié)內(nèi)容如下：

-回顧一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和求解方法。

-強(qiáng)調(diào)在實際問題中建立方程的步驟和注意事項。

-分享學(xué)生在課堂討論中的亮點和不足，鼓勵他們在課后繼續(xù)努力。

-提醒學(xué)生復(fù)習(xí)課本相關(guān)章節(jié)，鞏固所學(xué)知識。

當(dāng)堂檢測（10分鐘）

為了檢驗學(xué)生對本節(jié)課內(nèi)容的掌握程度，教師可以設(shè)計一些當(dāng)堂檢測題目。這些題目應(yīng)涵蓋本節(jié)課的重點和難點，旨在幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識，并能夠立即反饋學(xué)習(xí)效果。

1.選擇題：給出一個握手問題的情境，讓學(xué)生選擇正確的方程形式。

-一個班級有20名學(xué)生，每兩名學(xué)生之間都要握手一次，請問總共會發(fā)生多少次握手？

A.190次B.210次C.220次D.240次

2.填空題：讓學(xué)生完成一個數(shù)字問題的方程。

-一個兩位數(shù)的個位數(shù)是十位數(shù)的3倍，且這個兩位數(shù)是18的倍數(shù)，求這個數(shù)。（答案：72）

3.解答題：給出一個互贈問題的情境，要求學(xué)生建立方程并求解。

-有6個人互贈禮物，每個人送出5份禮物，求每個人收到多少份禮物。

4.簡答題：讓學(xué)生解釋一元二次方程的根在實際問題中的意義。

-當(dāng)我們解決握手問題時，方程的根代表什么？內(nèi)容邏輯關(guān)系①一元二次方程的基本概念

-知識點：一元二次方程的定義、標(biāo)準(zhǔn)形式、根的概念。

-詞：一元、二次、方程、標(biāo)準(zhǔn)形式、解、根。

-句：一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0。

②實際問題與一元二次方程的關(guān)聯(lián)

-知識點：如何從實際問題中提取信息，建立一元二次方程模型。

-詞：實際、問題、信息、提取、建立、模型。

-句：解決實際問題時，首先要識別關(guān)鍵信息，然后根據(jù)信息建立相應(yīng)的一元二次方程。

③一元二次方程的求解方法

-知識點：求根公式、配方法、因式分解法等。

-詞：求根、公式、配方法、因式分解、解法。

-句：一元二次方程可以通過求根公式或配方法、因式分解法來求解，具體方法取決于方程的特點。教學(xué)反思與改進(jìn)在完成本節(jié)課的教學(xué)后，我進(jìn)行了一系列的反思活動，以評估教學(xué)效果并識別需要改進(jìn)的地方。以下是我的反思和改進(jìn)措施：

在設(shè)計反思活動時，我首先回顧了學(xué)生的學(xué)習(xí)反饋。通過課堂問答和學(xué)生的作業(yè)，我發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生能夠理解一元二次方程的基本概念，但在將實際問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程時，一些學(xué)生仍然感到困難。我也注意到，在小組討論環(huán)節(jié)，一些學(xué)生參與度不高，可能是因為他們對于如何開始解題感到迷茫。

針對這些情況，我制定了以下改進(jìn)措施：

1.加強(qiáng)實際問題的解析

在未來的教學(xué)中，我會更多地使用實際生活中的案例來引導(dǎo)學(xué)生理解一元二次方程的應(yīng)用。我會詳細(xì)講解如何從實際問題中提取關(guān)鍵信息，以及如何構(gòu)建方程。例如，在講解握手問題時，我會更清晰地解釋為什么總握手次數(shù)是偶數(shù)，以及如何通過方程表示這一關(guān)系。

2.提供更多的示例和練習(xí)

我會準(zhǔn)備更多的示例和練習(xí)題，以幫助學(xué)生鞏固一元二次方程的建立和解法。這些練習(xí)將包括不同難度的問題，以滿足不同層次學(xué)生的需求。我還會鼓勵學(xué)生在課堂上分享他們的解題過程，以便其他學(xué)生可以從他們的方法中學(xué)習(xí)。

3.改進(jìn)小組討論環(huán)節(jié)

為了提高小組討論的效率，我會提前為學(xué)生提供一些引導(dǎo)問題，幫助他們開始討論。我也會在課堂上更頻繁地走動，觀察小組討論的情況，確保每個學(xué)生都參與其中。此外，我會考慮在小組討論后增加一個小組匯報環(huán)節(jié)，讓每個小組有機(jī)會分享他們的討論成果。

4.強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練

我會增加一些數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的環(huán)節(jié)，如邏輯推理題和數(shù)學(xué)謎題，以提高學(xué)生的邏輯思維和問題解決能力。這些活動不僅能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，還能夠幫助他們更好地理解數(shù)學(xué)概念。

5.定期復(fù)習(xí)和反饋

為了確保學(xué)生能夠長期記住所學(xué)的知識，我會定期安排復(fù)習(xí)課，并讓學(xué)生進(jìn)行自我評估。我還會收集學(xué)生的反饋，了解他們在學(xué)習(xí)過程中遇到的困難，并根據(jù)反饋調(diào)整教學(xué)方法。課后作業(yè)1.數(shù)字問題

已知一個兩位數(shù)的個位數(shù)是十位數(shù)的平方，且這個兩位數(shù)大于20。求這個數(shù)。

解答：設(shè)十位數(shù)為x，則個位數(shù)為x^2。根據(jù)題意，有10x+x^2>20。解這個不等式，得到x>2。由于x是個位數(shù)，所以x的取值范圍是3到9。通過嘗試，發(fā)現(xiàn)只有x=3時，個位數(shù)x^2=9，得到的兩位數(shù)是39，滿足條件。

2.互贈問題

一個小組有8名成員，他們決定互贈禮物，每個人送出相同數(shù)量的禮物，且每個人收到的禮物總數(shù)相同。求每個人送出了多少份禮物。

解答：設(shè)每個人送出的禮物數(shù)為x。根據(jù)題意，每個人送出的禮物數(shù)乘以人數(shù)等于每個人收到的禮物數(shù)乘以人數(shù)，即8x=8x。這個方程的解是x=7，所以每個人送出了7份禮物。

3.握手問題

一個班級有25名學(xué)生，每兩名學(xué)生之間都要握手一次。求總共會發(fā)生多少次握手？

解答：設(shè)學(xué)生人數(shù)為n，則握手的總次數(shù)為n(n-1)/2。將n=25代入公式，得到握手的總次數(shù)為25(25-1)/2=300次。

4.面積問題

一個矩形的長是寬的2倍，且矩形的面積是120平方厘米。求矩形的寬和長。

解答：設(shè)矩形的寬為x厘米，則長為2x厘米。根據(jù)題意，有x(