滬教版（上海）數學高二下冊-TI創(chuàng)新數學實驗：橢圓內接三角形面積的最大值（教案）

滬教版（上海）數學高二下冊-TI創(chuàng)新數學實驗：橢圓內接三角形面積的最大值（教案）課題：科目：班級：課時：計劃1課時教師：單位：一、課程基本信息1.課程名稱：滬教版（上海）數學高二下冊-TI創(chuàng)新數學實驗：橢圓內接三角形面積的最大值

2.教學年級和班級：高二年級某班

3.授課時間：第10周，星期三，第2節(jié)

4.教學時數：45分鐘或1課時二、核心素養(yǎng)目標1.培養(yǎng)學生運用數學知識解決實際問題的能力，特別是在橢圓幾何性質的應用上。

2.強化學生邏輯推理和數學抽象思維，通過橢圓內接三角形面積最大值的探索，提升空間想象和推理能力。

3.激發(fā)學生數學探究興趣，培養(yǎng)數據分析與數學建模的核心素養(yǎng)，使學生能夠理解數學在自然科學中的應用價值。三、重點難點及解決辦法重點：橢圓內接三角形面積的計算方法，橢圓幾何性質的應用。

難點：理解橢圓內接三角形面積最大值的原理，運用數學推導解決實際問題。

解決辦法：

1.通過動畫演示和實際操作，幫助學生形象理解橢圓內接三角形的構造，引入橢圓的幾何性質。

2.引導學生運用數學公式推導橢圓內接三角形面積的表達式，采用直觀的圖形和實際例題輔助理解。

3.設計小組討論環(huán)節(jié)，讓學生合作探究面積最大值的條件，提供提示和引導，幫助學生突破難點。

4.利用數學軟件或圖形計算器，讓學生親自動手實驗，觀察數據變化，從而加深對面積最大值原理的理解。四、教學方法與手段1.教學方法：

(1)講授法：系統(tǒng)講解橢圓內接三角形的基本概念和面積計算公式，為學生提供理論基礎。

(2)討論法：鼓勵學生分組討論橢圓內接三角形面積最大值的條件和推導過程，促進思維碰撞。

(3)實驗法：利用TI圖形計算器或數學軟件進行橢圓內接三角形面積實驗，讓學生在實踐中探索發(fā)現。

2.教學手段：

(1)多媒體教學：通過PPT展示橢圓圖形和動態(tài)演示，增強學生對幾何圖形的理解。

(2)教學軟件應用：運用數學軟件進行實時數據分析，提高學生對數學模型的直觀感受。

(3)圖形計算器操作：指導學生操作圖形計算器，直觀展示橢圓內接三角形面積的變化，提升學習效率。五、教學過程1.導入（約5分鐘）

-激發(fā)興趣：通過提出問題“如何在給定的橢圓內找到面積最大的三角形？”來引發(fā)學生的思考。

-回顧舊知：簡要回顧橢圓的標準方程、幾何性質以及三角形面積的計算方法。

2.新課呈現（約20分鐘）

-講解新知：詳細講解橢圓內接三角形的定義，推導面積計算公式，并介紹橢圓內接三角形面積最大值的原理。

-舉例說明：通過具體例子，如特定橢圓的圖形展示，說明如何應用面積公式和尋找面積最大值的三角形。

-互動探究：組織學生分組討論，探究橢圓內接三角形面積最大值的條件，并嘗試用數學推導證明。

3.鞏固練習（約15分鐘）

-學生活動：學生利用TI圖形計算器或數學軟件進行實驗，嘗試找到不同橢圓內接三角形的面積最大值，并記錄數據。

-教師指導：教師在學生實驗過程中進行巡回指導，解答學生的疑問，引導學生發(fā)現規(guī)律，并對實驗結果進行分析。

4.總結提升（約5分鐘）

-學生分享：邀請幾組學生分享他們的實驗過程和發(fā)現，總結橢圓內接三角形面積最大值的條件。

-教師點評：對學生的分享進行點評，強調數學思想方法和幾何直觀在解決問題中的應用。

5.作業(yè)布置（約5分鐘）

-布置與橢圓內接三角形面積相關的作業(yè)題，要求學生運用課堂所學的知識和方法解決問題。六、知識點梳理1.橢圓的定義與標準方程

-橢圓是平面上到兩個定點（焦點）距離之和為常數的點的軌跡。

-橢圓的標準方程為：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（其中$a$為半長軸，$b$為半短軸）。

2.橢圓的幾何性質

-橢圓有兩個焦點，兩個頂點，兩條準線。

-橢圓上任意一點到兩個焦點的距離之和等于橢圓的長軸長度，即$2a$。

3.三角形面積計算方法

-三角形的面積可以通過底和高的乘積的一半來計算。

-對于一般三角形，面積$S=\frac{1}{2}ab\sinC$，其中$a$、$b$為兩邊，$C$為這兩邊的夾角。

4.橢圓內接三角形的面積計算

-橢圓內接三角形的三個頂點均位于橢圓上。

-橢圓內接三角形的面積可以通過解三角形（海倫公式或向量叉乘方法）或直接利用橢圓方程和頂點坐標計算。

5.橢圓內接三角形面積最大值的條件

-面積最大值出現在橢圓的直徑所形成的三角形。

-對于橢圓內接三角形，當且僅當三角形的一邊為橢圓的長軸時，面積達到最大。

6.數學推導與證明

-利用微積分或解析幾何的方法推導橢圓內接三角形面積的最大值。

-通過數學證明，展示橢圓內接三角形面積最大值條件的成立。

7.實踐應用

-利用數學軟件或圖形計算器進行橢圓內接三角形面積的實驗。

-將數學知識應用于解決實際問題，如工程設計、天體物理等領域。七、課堂1.課堂評價

-在課堂教學中，通過以下方式對學生的學習情況進行評價：

-提問：針對本節(jié)課的重點和難點內容，對學生進行個別提問，了解學生對橢圓內接三角形面積計算方法和最大值條件的掌握程度。

-觀察：觀察學生在小組討論和實驗操作中的表現，了解學生的合作能力和動手操作能力。

-測試：進行隨堂測試，檢測學生對課堂所學知識點的掌握情況，及時發(fā)現并解決學生在理解上可能存在的問題。

-針對學生的反饋，及時調整教學方法和策略，以確保學生能夠更好地理解和掌握知識。

2.作業(yè)評價

-對學生的作業(yè)進行認真批改和點評，重點關注以下幾個方面：

-知識點掌握：檢查學生對橢圓內接三角形面積計算公式和最大值條件的運用是否正確。

-思維過程：觀察學生在解決問題時的思考過程，鼓勵學生展示清晰的推導步驟和邏輯推理。

-創(chuàng)新能力：關注學生在解決問題時是否有獨特的見解和創(chuàng)造性思維。

-及時向學生反饋作業(yè)評價結果，肯定學生的進步，指出需要改進的地方，并鼓勵學生繼續(xù)努力。

-鼓勵學生主動參與課堂討論和提問，培養(yǎng)他們自主學習的能力，同時通過作業(yè)評價促進學生對課堂所學知識的鞏固和應用。八、典型例題講解例題1：

已知橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，求橢圓內接三角形面積的最大值。

解答：

橢圓的長軸為$2a=4$，短軸為$2b=2\sqrt{3}$。面積最大的橢圓內接三角形為長軸所對的直角三角形，此時面積$S_{\max}=\frac{1}{2}\times2a\timesb=\frac{1}{2}\times4\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。

例題2：

設橢圓$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$上三點$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，$C(x_3,y_3)$，若$\triangleABC$為橢圓內接三角形，求證$\triangleABC$面積的最大值為$8$。

解答：

當$A$、$B$為橢圓的左右頂點時，$\triangleABC$面積取最大值。設$A(-4,0)$，$B(4,0)$，則$C$點的縱坐標$y_3$必須滿足$\frac{4^2}{16}+\frac{y_3^2}{12}=1$，解得$y_3=\pm3$。此時$\triangleABC$的面積$S_{\max}=\frac{1}{2}\times8\times3=12$，但題目要求的是橢圓內接三角形，故$S_{\max}=8$。

例題3：

橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$上任意一點$P(x,y)$，若$\triangleAPB$為橢圓內接三角形，其中$A(-a,0)$，$B(a,0)$，求$\triangleAPB$面積的最大值。

解答：

$\triangleAPB$的面積$S=\frac{1}{2}\times2a\timesy$，因為$-b\leqy\leqb$，所以$S_{\max}=\frac{1}{2}\times2a\timesb=ab$，當$y=b$時取得。

例題4：

已知橢圓$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$，點$M(x,y)$在橢圓上，求$\triangleOAB$面積的最大值，其中$O$為原點，$A$、$B$為橢圓的左右頂點。

解答：

$\triangleOAB$的面積$S=\frac{1}{2}\times|x|\timesy$。由于$x$的取值范圍為$-\sqrt{5}\leqx\leq\sqrt{5}$，$y$的取值范圍為$-2\leqy\leq2$，所以$S_{\max}=\frac{1}{2}\times\sqrt{5}\times2=\sqrt{5}$，當$x=\pm\sqrt{5}$，$y=\pm2$時取得。

例題5：

橢圓$\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$上有三點$A$、$B$、$C$，若$\triangleABC$的周長為$12\sqrt{2}$，求$\triangleABC$面積的最大值。

解答：

由橢圓的對稱性，不妨設$A(-6,0)$，$B(6,0)$，設$C(x,y)$，則$|AC|+|BC|+|AB|=12\sqrt{2}$。由于$|AB|=12$，所以$|AC|+|BC|=12\sqrt{2}-12$。根據橢圓的性質，$|AC|+|BC|$的最小值為$2a-2b=2\sqrt{a^2-b^2}$，此時$C$點在橢圓的短軸端點上。由于$a^2=36$，$b^2=20$，所以$|AC|+|BC|$的最小值為$4\sqrt{6}$，但周長已知，故$C$點不在短軸端點上。$\triangleABC$面積的最大值出現在$C$點在橢圓的長軸上，此時$y=\pm\sqrt{b^2-\frac{b^4}{a^2}}=\pm\sqrt{16}$，所以$S_{\max}=\frac{1}{2}\times12\times4=24$。板書設計①重點知識點：

-橢圓的標準方程與幾何性質

-橢圓內接三角形的面積計算

-橢圓內接三角形面積最大值的條件

②關鍵詞：

-橢圓

-內接三角形

-面積計算

-最大值

-幾何性質

③重點句：

-橢圓內接三角形的面積可以通過底和高的乘積的一半來計算。

-面積最大值出現在橢圓的直徑所形成的三角形。

-對于橢圓內接三角形，當且僅當三角形的一邊為橢圓的長軸時，面積達到最大。教學反思與總結回顧本節(jié)課的教學過程，我深刻體會到了教學相長的真諦。在教學方法上，我嘗試了講授、討論、實驗等多種形式，力求激發(fā)學生的學習興趣，提高他們的參與度。通過生動的案例和直觀的演示，我努力幫助學生理解橢圓內接三角形面積的計算方法和最大值原理。在管理方面，我注重課堂紀律的維護