2024年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)試題（含解析）

第第頁(yè)2024年長(zhǎng)春市初中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)本試卷包括三道大題，共6頁(yè)．全卷滿分為120分，考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)．2．答題時(shí)，考生務(wù)必按照考試要求在答題卡上的指定區(qū)域內(nèi)作答，在草稿紙、試卷上答題無(wú)效．一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.根據(jù)有理數(shù)加法法則，計(jì)算過(guò)程正確是（）A. B. C. D.2.南湖公園是長(zhǎng)春市著名旅游景點(diǎn)之一，圖①是公園中“四角亭”景觀的照片，圖②是其航拍照片，則圖③是“四角亭”景觀的（）．A.主視圖 B.俯視圖 C.左視圖 D.右視圖3.在剪紙活動(dòng)中，小花同學(xué)想用一張矩形紙片剪出一個(gè)正五邊形，其中正五邊形一條邊與矩形的邊重合，如圖所示，則的大小為（）A. B. C. D.4.下列運(yùn)算一定正確的是（）A. B. C. D.5.不等關(guān)系在生活中廣泛存在．如圖，、分別表示兩位同學(xué)的身高，表示臺(tái)階的高度．圖中兩人的對(duì)話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（）A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則6.2024年5月29日16時(shí)12分，“長(zhǎng)春凈月一號(hào)”衛(wèi)星搭乘谷神星一號(hào)火箭在黃海海域成功發(fā)射．當(dāng)火箭上升到點(diǎn)時(shí)，位于海平面處的雷達(dá)測(cè)得點(diǎn)到點(diǎn)的距離為千米，仰角為，則此時(shí)火箭距海平面的高度為（）A千米 B.千米 C.千米 D.千米7.如圖，在中，是邊的中點(diǎn)．按下列要求作圖：①以點(diǎn)為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)，交于點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫弧，交線段于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心、長(zhǎng)為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)在直線同側(cè)；④作直線，交于點(diǎn)．下列結(jié)論不一定成立的是（）A. B.C. D.8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上．將直線沿軸向上平移，平移后的直線與軸交于點(diǎn)，與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．9.單項(xiàng)式的次數(shù)是_____．10.計(jì)算：____．11.若拋物線（是常數(shù)）與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則的取值范圍是________．12.已知直線（、是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且隨的增大而減小，則的值可以是________．（寫出一個(gè)即可）13.一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式擺放，邊與直線重合，．現(xiàn)將該三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)至少為________．（結(jié)果保留）14.如圖，是半圓的直徑，是一條弦，是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)．給出下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③當(dāng)，時(shí)，；④當(dāng)，時(shí)，的面積是．上述結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)有________．三、解答題：本題共10小題，共78分．15.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．16.2021年吉林省普通高中開始施行新高考選科模式，此模式有若干種學(xué)科組合，每位高中生可根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇一種．一對(duì)雙胞胎姐妹考入同一所高中且選擇了相同組合，該校要將所有選報(bào)這種組合的學(xué)生分成、、三個(gè)班，其中每位學(xué)生被分到這三個(gè)班的機(jī)會(huì)均等．用畫樹狀圖（或列表）的方法，求這對(duì)雙胞胎姐妹被分到同一個(gè)班的概率．17.《九章算術(shù)》被歷代數(shù)學(xué)家尊為“算經(jīng)之首”．下面是其卷中記載的關(guān)于“盈不足”的一個(gè)問(wèn)題：今有共買金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．問(wèn)人數(shù)、金價(jià)各幾何？這段話的意思是：今有人合伙買金，每人出400錢，會(huì)剩余3400錢；每人出300錢，會(huì)剩余100錢．合伙人數(shù)、金價(jià)各是多少？請(qǐng)解決上述問(wèn)題．18.如圖，在四邊形中，，是邊的中點(diǎn)，．求證：四邊形是矩形．19.某校為調(diào)研學(xué)生對(duì)本校食堂的滿意度，從初中部和高中部各隨機(jī)抽取名學(xué)生對(duì)食堂進(jìn)行滿意度評(píng)分（滿分分），將收集到的評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息：a．高中部名學(xué)生所評(píng)分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布直方圖如下圖：（數(shù)據(jù)分成4組：，，，）b．高中部名學(xué)生所評(píng)分?jǐn)?shù)在這一組的是：c．初中部、高中部各名學(xué)生所評(píng)分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：

平均數(shù)中位數(shù)初中部高中部根據(jù)以上信息，回答下列問(wèn)題：（1）表中值為________；（2）根據(jù)調(diào)查前制定的滿意度等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)，評(píng)分不低于分為“非常滿意”．①在被調(diào)查的學(xué)生中，設(shè)初中部、高中部對(duì)食堂“非常滿意”的人數(shù)分別為、，則________；（填“>”“<”或“=”）②高中部共有名學(xué)生在食堂就餐，估計(jì)其中對(duì)食堂“非常滿意”的學(xué)生人數(shù)．20.圖①、圖②、圖③均是的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．點(diǎn)A、均在格點(diǎn)上，只用無(wú)刻度的直尺，分別在給定的網(wǎng)格中按下列要求作四邊形，使其是軸對(duì)稱圖形且點(diǎn)、均在格點(diǎn)上．（1）在圖①中，四邊形面積為2；（2）在圖②中，四邊形面積為3；（3）在圖③中，四邊形面積為4．21.區(qū)間測(cè)速是指在某一路段前后設(shè)置兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)，根據(jù)車輛通過(guò)兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)的時(shí)間來(lái)計(jì)算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經(jīng)過(guò)一段長(zhǎng)度為20千米的區(qū)間測(cè)速路段，從該路段起點(diǎn)開始，他先勻速行駛小時(shí)，再立即減速以另一速度勻速行駛（減速時(shí)間忽略不計(jì)），當(dāng)他到達(dá)該路段終點(diǎn)時(shí)，測(cè)速裝置測(cè)得該輛汽車在整個(gè)路段行駛的平均速度為100千米/時(shí)．汽車在區(qū)間測(cè)速路段行駛的路程（千米）與在此路段行駛的時(shí)間（時(shí)）之間的函數(shù)圖象如圖所示．（1）的值為________；（2）當(dāng)時(shí)，求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明在此區(qū)間測(cè)速路段內(nèi)，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超過(guò)120千米/時(shí)）22.【問(wèn)題呈現(xiàn)】小明在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)時(shí)遇到一個(gè)幾何問(wèn)題：如圖①，在等邊中，，點(diǎn)、分別在邊、上，且，試探究線段長(zhǎng)度的最小值．【問(wèn)題分析】小明通過(guò)構(gòu)造平行四邊形，將雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，再通過(guò)定角發(fā)現(xiàn)這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，進(jìn)而解決上述幾何問(wèn)題．【問(wèn)題解決】如圖②，過(guò)點(diǎn)、分別作、的平行線，并交于點(diǎn)，作射線．在【問(wèn)題呈現(xiàn)】的條件下，完成下列問(wèn)題：（1）證明：；（2）的大小為度，線段長(zhǎng)度的最小值為________．【方法應(yīng)用】某種簡(jiǎn)易房屋在整體運(yùn)輸前需用鋼絲繩進(jìn)行加固處理，如圖③．小明收集了該房屋的相關(guān)數(shù)據(jù)，并畫出了示意圖，如圖④，是等腰三角形，四邊形是矩形，米，．是一條兩端點(diǎn)位置和長(zhǎng)度均可調(diào)節(jié)的鋼絲繩，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上．在調(diào)整鋼絲繩端點(diǎn)位置時(shí)，其長(zhǎng)度也隨之改變，但需始終保持．鋼絲繩長(zhǎng)度的最小值為多少米．23.如圖，在中，，．點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），作射線，在射線上取點(diǎn)，使，以為邊作正方形，使點(diǎn)和點(diǎn)在直線同側(cè)．（1）當(dāng)點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為________；（3）連結(jié)，當(dāng)時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng)；（4）若點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)到直線距離的3倍，則的長(zhǎng)為________．（寫出一個(gè)即可）24.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)．點(diǎn)、是該拋物線上不重合的兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)分別為、，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，連結(jié)、．（1）求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求證：當(dāng)取不為零任意實(shí)數(shù)時(shí)，的值始終為2；（3）作的垂直平分線交直線于點(diǎn)，以為邊、為對(duì)角線作菱形，連結(jié)．①當(dāng)與此拋物線的對(duì)稱軸重合時(shí)，求菱形的面積；②當(dāng)此拋物線在菱形內(nèi)部的點(diǎn)的縱坐標(biāo)隨的增大而增大時(shí)，直接寫出的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.【答案】D【解析】解：．故選D．2.【答案】B【解析】解：由題意可知圖③是從“四角亭”上方看到的，即為俯視圖．故選B．3.【答案】D【解析】解：，故選：D．4.【答案】C【解析】解：A．，故本選項(xiàng)不符合題意；B．，故本選項(xiàng)不符合題意；C．，故本選項(xiàng)符合題意；D．，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．5.【答案】A【解析】解：由作圖可知：，由右圖可知：，即A選項(xiàng)符合題意．故選：A．6.【答案】A【解析】解：由題意得：∴千米故選：A7.【答案】D【解析】解：A．根據(jù)作圖可知：一定成立，故A不符合題意；B．∵，∴，∴一定成立，故B不符合題意；C．∵是邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴一定成立，故C不符合題意；D．不一定成立，故D符合題意．8.【答案】B【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)D，則軸，∵，∴，，∴．∵在反比例函數(shù)的圖象上，∴．∴將直線向上平移若干個(gè)單位長(zhǎng)度后得到直線，∴，∴，∵軸，∴，∴，∴，∴，解得：，即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為2，將代入，得，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴,，∴，∴,∴故選：B．二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分．9.【答案】【解析】單項(xiàng)式的次數(shù)是：，故答案為：．10.【答案】【解析】解：故答案是：．11.【答案】【解析】解：∵拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，∴沒(méi)有實(shí)數(shù)根，∴，．故答案為：．12.【答案】2（答案不唯一）【解析】解：∵直線（k、b是常數(shù)）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴．∵y隨x的增大而減小，∴，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴b的值可以是2．故答案為：2（答案不唯一）13.【答案】【解析】解：∵將該三角板繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在直線上，∴,即，∴點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)至少為．故答案為：．14.【答案】①②③【解析】解：如圖：連接，∵是的中點(diǎn)，∴,∴，即①正確；∵是直徑，∴，∴，∵∴,∵，∴，∴，∵，,∴，∵，∴，∴，∴,即②正確；在和,，∴，∴,即,∴，即,∴,∵，∴，即③正確；如圖：假設(shè)半圓的圓心為O，連接，∵，，是的中點(diǎn)，∴∴，∵，∴是等邊三角形，∴，即是菱形，∴，∵，∴，即，解得：,∴，∵∴，即④錯(cuò)誤．故答案為：①②③．三、解答題：本題共10小題，共78分．15.【答案】，【解析】解：原式∵，∴原式16.【答案】【解析】解：列表如下：

ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C共有9種等可能的結(jié)果，其中這對(duì)雙胞胎姐妹被分到同一個(gè)班的結(jié)果有3種，所以這對(duì)雙胞胎姐妹被分到同一個(gè)班的概率為．17.【答案】共33人合伙買金，金價(jià)為9800錢【解析】解：設(shè)共x人合伙買金，金價(jià)為y錢，依題意得：，解得：．答：共33人合伙買金，金價(jià)為9800錢．18.【答案】證明見(jiàn)解析．【解析】證明：∵是邊的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形．19.【答案】（1）（2）①；②估計(jì)其中對(duì)食堂“非常滿意”的學(xué)生人數(shù)為人【解析】【小問(wèn)1詳解】解：由題意知，高中部評(píng)分的中位數(shù)為第位數(shù)的平均數(shù)，即，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】①解：由題意知，初中部評(píng)分的中位數(shù)為，高中部評(píng)分的中位數(shù)為，∴，故答案為：；②解：∵，∴估計(jì)其中對(duì)食堂“非常滿意”的學(xué)生人數(shù)為人．20.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解析】【小問(wèn)1詳解】解：如圖①：四邊形即為所求；（不唯一）．【小問(wèn)2詳解】解：如圖②：四邊形即為所求；（不唯一）．【小問(wèn)3詳解】解：如圖③：四邊形即為所求；（不唯一）．21.【答案】（1）（2）（3）沒(méi)有超速【解析】【小問(wèn)1詳解】解：由題意可得：，解得：．故答案為：．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)當(dāng)時(shí)，y與x之間函數(shù)關(guān)系式為，則：，解得：，∴．【小問(wèn)3詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∴先勻速行駛小時(shí)的速度為：，∵，∴輛汽車減速前沒(méi)有超速．22.【答案】問(wèn)題解決：（1）見(jiàn)解析（2）30，；方法應(yīng)用：線段長(zhǎng)度的最小值為米【解析】解：?jiǎn)栴}解決：（1）證明：過(guò)點(diǎn)、分別作、的平行線，并交于點(diǎn)，作射線，四邊形是平行四邊形，；（2）在等邊中，，；當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)最小，在中，，線段長(zhǎng)度的最小值為；方法應(yīng)用：過(guò)點(diǎn)、分別作、的平行線，并交于點(diǎn)，作射線，連接，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)最小，作于點(diǎn)R，在中，，在中，，線段長(zhǎng)度的最小值為米．23.【答案】（1）（2）（3）（4）或【解析】【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意可知：，為等腰三角形，故點(diǎn)是邊的中點(diǎn)時(shí)，；在中，；【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意作，如圖所示；當(dāng)時(shí)，則，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，，解得：；【小問(wèn)3詳解】如圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)落在上，設(shè)，則，，過(guò)點(diǎn)作于則，，，解得：故，所以正方形的邊長(zhǎng)為；【小問(wèn)4詳解】如圖，，在異側(cè)時(shí)；設(shè)，，則三邊的比值為，，，當(dāng)，在同側(cè)設(shè)，則，，三邊比為，三邊比為，設(shè)，則，，解得：綜上所述：的長(zhǎng)為或24.【答案】（1）（2）見(jiàn)詳解（3）①；②或或【解析】【小問(wèn)1詳解】解：將代入，得：，解得：，∴拋物線表達(dá)式為：；【小問(wèn)2詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，則，由題意得：，∴，，∴在中，；【小問(wèn)3詳解】解：①如圖，記交于點(diǎn)M，由題意得，，由，得：對(duì)稱軸為直線：∵四邊形是菱形，∴點(diǎn)A、C關(guān)于對(duì)稱，，∵與此拋物線的對(duì)稱軸重合，∴，解得：，∴，∴∴，∵，∴，則，∴；②記拋物