專題2.3二元一次方程組的應用（一）（重點題專項講練）（浙教版）

專題2.3二元一次方程組的應用（一）【典例1】某家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元，若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元．（1）甲、乙兩組工作一天，商店各應付多少錢？（2）現(xiàn)有三種施工方案：①單獨請甲組裝修；②單獨請乙組裝修；③請甲，乙兩組合做．若裝修完后，商店每天可盈利200元，你認為如何安排施工有利于商店經營？說說你的理由．【思路點撥】（1）設甲組工作一天商店應付x元，乙組工作一天商店應付y元，根據(jù)“甲、乙兩個裝修組同時施工8天，需付兩組費用共3520元；甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付費用3480元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設甲組每天完成的工作量為m，乙組每天完成的工作量為n，根據(jù)“請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成”，即可得出關于m，n的二元一次方程組，解之即可得出m，n的值，進而可求出甲、乙兩個裝修組單獨施工所需時間，利用總費用＝（每天需付裝修費+200）×裝修時間，可求出三個方案所需裝修費用及耽誤營業(yè)損失的費用之和，比較后即可得出結論．【解題過程】解：（1）設甲組工作一天商店應付x元，乙組工作一天商店應付y元，依題意得：8x解得：x=300答：甲組工作一天商店應付300元，乙組工作一天商店應付140元．（2）設甲組每天完成的工作量為m，乙組每天完成的工作量為n，依題意得：8m解得：m=∴甲組單獨完成裝修所需時間為1÷112乙組單獨完成裝修所需時間為1÷124施工方案①所需裝修費用及耽誤營業(yè)損失的費用之和為（300+200）×12＝6000（元）；施工方案②所需裝修費用及耽誤營業(yè)損失的費用之和為（140+200）×24＝8160（元）；施工方案③所需裝修費用及耽誤營業(yè)損失的費用之和為（300+140+200）×8＝5120（元）．∵5120＜6000＜8160，∴方案③請甲，乙兩組合做最有利于商店經營．1．（2021?安徽模擬）《孫子算經》中有一道闡述“盈不足術”的問題，原文如下：今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．問：幾何？譯文為：現(xiàn)在有一根木頭，不知道有多長，用一段繩子去測量，拉直后繩子還多四尺五寸；將繩子對折后去量木頭，木頭還剩一尺，問木頭多長？（一尺等于十寸）【思路點撥】設木長x尺、繩子長y尺，由題意：用一段繩子去測量，拉直后繩子還多四尺五寸；將繩子對折后去量木頭，木頭還剩一尺，列出二元一次方程組，解方程組即可．【解題過程】解：設木頭長x尺，繩子長y尺，根據(jù)題意得：y-解得：x=6.5答：木頭長6.5尺．2．（2021?孝感二模）我國西漢時期張蒼等人輯撰的《九章算術》是人類科學史上應用數(shù)學的“算經之首”，書中記載“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問：人與車各幾何？”，其意思是：“今有若干人準備乘若干輛馬車出行，如果每3人共乘1輛車，則有2輛車空出；如果每2人共乘1輛車，則有9人需步行．問：人數(shù)和馬車數(shù)各是多少？”．請你解答此問題．【思路點撥】設共有x人，y輛馬車，根據(jù)“如果每3人共乘1輛車，則有2輛車空出；如果每2人共乘1輛車，則有9人需步行”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解題過程】解：設共有x人，y輛馬車，依題意得：3(y解得：x=39答：共有39人，15輛馬車．3．（2021秋?招遠市期末）程大位是我國明朝商人，珠算發(fā)明家，他60歲時完成的《直指算法統(tǒng)宗》是東方古代數(shù)學名著，詳述了傳統(tǒng)的珠算規(guī)則，確立了算盤用法，書中有如下問題：一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚得幾丁，意思是：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完，大、小和尚各有多少人？請你解決這個問題．【思路點撥】設小和尚有x人，大和尚有y人，由題意：有100個和尚分100個饅頭，如果大和尚1人分3個，小和尚3人分1個，正好分完，列出方程組，解方程組即可．【解題過程】解：設小和尚有x人，大和尚有y人，依題意，得：x+解得：x=75答：小和尚有75人，大和尚有25人．4．（2020春?武川縣期中）“雞兔同籠”是我國古代著名的數(shù)學趣題之一．大約在1500年前成書的《孫子算經》中，就有關于“雞兔同籠”的記載：“今有雉兔同籠，上有二十五頭，下有七十六足，問雉兔各幾何？”這四句話的意思是：有若干只雞兔關在一個籠子里，從上面數(shù)，有25個頭；從下面數(shù)，有76條腿，問籠中各有幾只雞和兔？【思路點撥】設籠中有x只雞，y只兔，根據(jù)“上有二十五頭，下有七十六足”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解題過程】解：設籠中有x只雞，y只兔，根據(jù)題意得：x+解得：x=12答：籠中有12只雞，13只兔．5．（2021春?北碚區(qū)校級月考）一個三位數(shù)比一個兩位數(shù)的2倍少49，若把這個三位數(shù)放在兩位數(shù)的左邊得到一個五位數(shù)，又把這個三位數(shù)放在兩位數(shù)右邊得到一個新的五位數(shù)，且新五位數(shù)比前面的五位數(shù)的7倍大3876，求這個三位數(shù)和兩位數(shù)．【思路點撥】設兩位數(shù)是a，三位數(shù)是b，找到兩個關系式，列出方程組即可解答．【解題過程】解：設這個兩位數(shù)為a，三位數(shù)為b，由題意得，b=2解得：a=75答：這個三位數(shù)為101，兩位數(shù)為75．6．（2020春?楊浦區(qū)校級月考）一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是該兩位數(shù)的18，如果將該兩位數(shù)的個位和十位數(shù)字對調，得到的數(shù)比原數(shù)的13還大【思路點撥】設這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，根據(jù)“十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是該兩位數(shù)的18，如果將該兩位數(shù)的個位和十位數(shù)字對調，得到的數(shù)比原數(shù)的13還大【解題過程】解：設這個兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，依題意，得：x+解得：x=7∴10x+y＝72．答：這個兩位數(shù)為72．7．（2021春?衡陽縣期中）一個n位數(shù)（n≥2，n為正整數(shù)），我們把最高位上的數(shù)移到它的右側，得到一個新數(shù)，再將新數(shù)的最高位上的數(shù)移到它的右側，又得到一個新數(shù)，…，依此類推，我們把這樣操作得到的新數(shù)都叫做原數(shù)的“謙虛數(shù)”，比如56有一個“謙虛數(shù)”是65；156有兩個“謙虛數(shù)”，分別是561、615；2834有三個“謙虛數(shù)”，分別是8342、3428、4283．（1）請寫出四位數(shù)5832的三個“謙虛數(shù)”．（2）一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)與十位上的數(shù)和為9，如果這個兩位數(shù)比它的“謙虛數(shù)”少9，求這個兩位數(shù)．【思路點撥】（1）利用“謙虛數(shù)”的定義，可找出5832的三個“謙虛數(shù)”；（2）設這個兩位數(shù)十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，根據(jù)個位上的數(shù)與十位上的數(shù)和為9且這個兩位數(shù)比它的“謙虛數(shù)”少9，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解題過程】解：（1）5832有三個“謙虛數(shù)”，分別是8325、3258、2583．（2）設這個兩位數(shù)十位數(shù)字為x，個位數(shù)字為y，依題意得：x+解得：x=4∴10x+y＝45．答：這個兩位數(shù)為45．8．（2020春?衡陽期末）一家商店進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付給兩組費用共3520元，若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可以完成，需付給兩組費用共3480元，問：（1）甲、乙兩組單獨工作一天，商店應各付多少元？（2）已知甲組單獨完成需要12天，乙組單獨完成需要24天，單獨請哪組，商店所付費用較少？【思路點撥】（1）設甲單獨工作一天需要x元，乙單獨工作一天商店需付y元，根據(jù)兩組合作8天需付3520元，甲組單獨做6天，乙組單獨做12天，需付費用共3480元，據(jù)此列方程組求解；（2）求出兩組的總費用，然后選擇較少的一組．【解題過程】解：（1）設甲單獨工作一天需要x元，乙單獨工作一天商店需付y元，由題意得，8(x解得：x=300答：甲單獨工作一天需要300元，乙單獨工作一天商店需付140元；（2）甲單獨完成需付：300×12＝3600（元），乙單獨完成需付：140×24＝3360（元）．答：選擇乙組商店所付費用較少．9．（2021秋?渝中區(qū)校級期末）風味美飯店生意火爆，座無虛席，老板決定擴大規(guī)模重新裝修．若先請甲施工隊單獨做3天、再請乙施工隊單獨做24天，可完成施工，風味美飯店老板應付兩隊工錢共7200元．若先請甲施工隊單獨做9天、再請乙施工隊單獨做16天，可完成施工，風味美飯店老板應付兩隊工錢共7600元．（1）甲、乙兩施工隊工作一天，風味美飯店老板應各付多少錢？（2）若裝修完后，風味美飯店馬上投入使用，每天可盈利300元，現(xiàn)有三種方案：①甲隊單獨做：②乙隊單獨做；③甲、乙兩隊同時做，你認為哪一種施工方案更有利于飯店老板？請你說明理由．【思路點撥】（1）設甲施工隊工作一天，風味美飯店老板應付x元，乙施工隊工作一天，風味美飯店老板應付y元，根據(jù)“若先請甲施工隊單獨做3天、再請乙施工隊單獨做24天，風味美飯店老板應付兩隊工錢共7200元；若先請甲施工隊單獨做9天、再請乙施工隊單獨做16天，風味美飯店老板應付兩隊工錢共7600元”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）施工方案③更有利于飯店老板，設甲施工隊的工作效率為m，乙施工隊的工作效率為n，根據(jù)“若先請甲施工隊單獨做3天、再請乙施工隊單獨做24天，可完成施工；若先請甲施工隊單獨做9天、再請乙施工隊單獨做16天，可完成施工”，即可得出關于m，n的二元一次方程組，解之即可得出m，n的值，若將施工耽誤的工期影響的盈利算入總費用中，利用總費用＝（每天需付的工錢+300）×工期，即可分別求出選擇三個方案所需總費用，比較后即可得出結論．【解題過程】解：（1）設甲施工隊工作一天，風味美飯店老板應付x元，乙施工隊工作一天，風味美飯店老板應付y元，依題意得：3x解得：x=400答：甲施工隊工作一天，風味美飯店老板應付400元，乙施工隊工作一天，風味美飯店老板應付250元．（2）施工方案③更有利于飯店老板，理由如下：設甲施工隊的工作效率為m，乙施工隊的工作效率為n，依題意得：3m解得：m=∴甲隊單獨做需1121=21天完成施工任務，乙隊單獨做需1128若將施工耽誤的工期影響的盈利算入總費用中，則選擇方案①所需總費用為（400+300）×21＝14700（元）；選擇方案②所需總費用為（250+300）×28＝15400（元）；選擇方案③所需總費用為（400+250+300）×12＝11400（元）．∵15400＞14700＞11400，∴施工方案③更有利于飯店老板．10．（2021秋?金臺區(qū)期末）甲、乙兩人從相距36km的兩地相向而行，如果甲比乙先走2h，那么他們在乙出發(fā)2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他們在甲出發(fā)3h后相遇，甲、乙兩人的速度分別是多少？【思路點撥】設甲的速度為xkm/h，乙的速度為ykm/h，根據(jù)“如果甲比乙先走2h，那么他們在乙出發(fā)2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他們在甲出發(fā)3h后相遇”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出甲、乙兩人的速度．【解題過程】解：設甲的速度為xkm/h，乙的速度為ykm/h，依題意得：(2+2.5)x解得：x=6答：甲的速度為6km/h，乙的速度為3.6km/h．11．（2021春?伊通縣期末）小明和小麗兩相距8千米，小明騎自行車，小麗步行．兩人同時出發(fā)相向而行，0.8小時相遇；若兩人同時出發(fā)同向而行，小明2小時可以追上小麗，求小明、小麗每小時各前行多少千米？【思路點撥】設小明每小時騎行x千米，小麗每小時走y千米，根據(jù)路程＝速度×時間，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結論．【解題過程】解：設小明每小時騎行x千米，小麗每小時走y千米，根據(jù)題意得：0.8x解得：x=7答：小明每小時騎行7千米，小麗每小時走3千米．12．（2021春?雄縣期末）一次越野賽跑中，當小明跑了1600m時，小剛跑了1450m，此后兩人分別以am/s和bm/s勻速跑，又過100s時小剛追上小明，200s時小剛到達終點，300s時小明到達終點．這次越野賽跑的全程為多少米？【思路點撥】根據(jù)“小明之前跑的1600m+小明100s所跑路程＝小剛之前跑的1450m+小剛100s所跑路程；小剛之前跑的1450m+小剛200s所跑路程＝小明之前跑的1600m+小明300s所跑路程”列二元一次方程組求解可得．【解題過程】解：根據(jù)題意可知：1600+100a解得a=1.5∴1600+300a＝1600+300×1.5＝2050．答：這次越野賽跑的全程為2050米．13．（2020春?鼓樓區(qū)校級期中）南京紅山動物園與南京牛首山大約相距30千米，一輛電動車和一輛自行車從兩地同時出發(fā)相向而行，1小時后相遇．相遇后，自行車繼續(xù)前進，電動車沒電了，通過路邊充電站速充20分鐘后，按原路返回，在電動車再次出發(fā)15分鐘后追上了自行車，這時電動車、自行車從出發(fā)到現(xiàn)在各自行駛了多少千米？【思路點撥】設汽車的速度是x千米每小時，拖拉機速度y千米每小時，根據(jù)南京紅山動物園與南京牛首山大約相距30千米1小時后相遇和自行車繼續(xù)前進，電動車沒電了，通過路邊充電站速充20分鐘后，按原路返回，在電動車再次出發(fā)15分鐘后追上了自行車，列出方程，求出x，y的值，再根據(jù)路程＝速度×時間即可得出答案．【解題過程】解：設電動車的速度是x千米/小時，自行車的速度y千米/小時，根據(jù)題意得：(x解得：x=9則電動車行駛的路程是：9×（1+20+1560）自行車行駛的路程是：21×（1+1560）答：電動車從出發(fā)到現(xiàn)在行駛了574千米，自行車從出發(fā)到現(xiàn)在行駛了10514．（2021秋?百色期末）甲乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇．相遇后，拖拉機繼續(xù)前進，汽車在相遇處停留1個小時后調頭按原速返回，汽車在返回后半個小時追上了拖拉機．（1）在這個問題中，1小時20分＝小時；（2）相向而行時，汽車行駛小時的路程+拖拉機行駛小時的路程＝160千米；同向而行時，汽車行駛小時的路程＝拖拉機行駛小時的路程；（3）全程汽車、拖拉機各自行駛了多少千米？【思路點撥】（1）由1小時＝60分鐘可得出1小時20分=4（2）分析全程中兩個路程相等的量，即可得出結論；（3）設汽車的速度為x千米/小時，拖拉機的速度為y千米/小時，由路程＝速度×時間，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再利用路程＝速度×時間可分別求出汽車、拖拉機全程行駛的路程．【解題過程】解：（1）1小時20分=4故答案為：43（2）相向而行時，汽車行駛43小時的路程+拖拉機行駛43小時的路程＝160千米；同向而行時，汽車行駛12小時的路程＝拖拉機行駛（1+故答案為：43；43；12（3）設汽車的速度為x千米/小時，拖拉機的速度為y千米/小時，依題意，得：43解得：x=90全程汽車行駛的路程為（43+12）x＝（43全程拖拉機行駛的路程為（43+1+12）y＝（43+1答：汽車全程行駛了165千米，拖拉機全程行駛了85千米．15．（2020春?青龍縣期末）為了測得隧道長度和火車通過隧道時的速度，小明和小亮在隧道兩端進行觀察：火車從開始入隧道到完全出隧道共用時24秒，整列火車完全在隧道內的時間為14秒，整列火車長300米．請你根據(jù)小明和小亮獲得的數(shù)據(jù)，求出隧道的長度和火車過隧道的速度．【思路點撥】設火車的車身長為x米，速度是ym/s，根據(jù)行程問題的數(shù)量關系路程＝速度×時間建立方程組求出其解即可．【解題過程】解：設隧道的長度為x米，火車過隧道的速度為y米/秒，根據(jù)題意，得24y解得：x=1140答：隧道長1140米，火車過隧道的速度為60米/秒．16．（2021秋?雙牌縣期末）解詩謎：悟空順風探妖蹤，千里只用四分鐘；歸時四分行六百，試問風速是多少？題目的意思是：孫悟空追尋妖精的行蹤，去時順風，1000里只用了4分鐘；回來時逆風，4分鐘只走了600里，試求風的速度．【思路點撥】設孫悟空的速度為x里/分鐘，風速為y里/分鐘，根據(jù)順風4分鐘飛躍1000里及逆風4分鐘走了600里，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可．【解題過程】解：設孫悟空的速度為x里/分鐘，風速為y里/分鐘，依題意，得：4(x解得：x=200答：風的速度為50里/分鐘．17．（2021春?城廂區(qū)校級期中）列方程（組）解應用題已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一輪船往返于甲、乙兩地之間，此輪船現(xiàn)由甲地順流而下到達乙地用18小時，由乙地逆流而上到達甲地用24小時，求此輪船在靜水中的速度以及此江水流的速度．【思路點撥】本題中的等量關系有2個：順流時間×順流速度＝總路程；逆流時間×逆流速度＝總路程，據(jù)此可列方程組求解．【解題過程】解：設船在靜水中的速度為x，水流速度為y．18(x解得：x=17.5答：此輪船在靜水中的速度為17.5千米/小時，此江水流的速度為2.5千米/小時．18．（2021秋?渦陽縣期末）某體育場的環(huán)行跑道長400m，甲、乙分別以一定的速度練習徒步和騎自行車．如果反向而行，那么他們每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔90s乙就追上甲一次．甲、乙的速度分別是多少？【思路點撥】利用題中的等量關系有：①反向而行，則兩人30秒共走400米；②同向而行，則80秒乙比甲多跑400米，進而得出方程組求出即可．【解題過程】解：設甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒．根據(jù)題意可得：①根據(jù)反向而行，得方程為30（x+y）＝400；②根據(jù)同向而行，得方程為90（y﹣x）＝400．那么列方程組30(x解得：x=答：甲的速度是409m/s，乙的速度是809m/19．（2021春?昆明期末）甲、乙兩名同學都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，如果同時同地出發(fā)，反向而行，每隔32分鐘相遇一次；如果同時同地出發(fā)，同向而行，每隔9【思路點撥】設甲每分鐘跑x圈，乙每分鐘跑y圈，由題意：如果同時同地出發(fā)，反向而行，每隔32分鐘相遇一次；如果同時同地出發(fā)，同向而行，