專題11三角形中的特殊模型-高分線模型雙（三）垂直模型（原卷版）

專題11三角形中的特殊模型高分線模型、雙（三）垂直模型近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題高分線模型、雙垂直模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1：高分線模型條件：AD是高，AE是角平分線結(jié)論：∠DAE=例1．（2023·遼寧本溪·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，∠B=40°，∠C=60°，則∠EAD的度數(shù)為（

）A．20° B．10° C．50° D．60°例2．（2023春·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點(diǎn)，BG的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，CF與AD垂直，交AD于點(diǎn)H，則下面判斷正確的有（）①AD是△ABE的角平分線；②BE是△ABD的邊AD上的中線；③CH是△ACD的邊AD上的高；④AH是△ACF的角平分線和高A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例3．（2022秋·北京朝陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，是高，是中線，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．4例4．（2023春·河北滄州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，、分別是的高和角平分線．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，且，請(qǐng)直接寫(xiě)出與，關(guān)系．模型2：雙垂直模型結(jié)論：①∠A=∠C；②∠B=∠AFD=∠CFE；③。例1．（2023·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在中，分別是邊上的高，并且交于點(diǎn)P，若，則的度數(shù)為（）

A． B． C． D．例2．（2023·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)?？荚驴迹┤鐖D，在中，，，的邊上的高與邊上的高的比值是（

）A． B． C．1 D．2例3．（2023春·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，于點(diǎn)F，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，．(1)求的度數(shù)．(2)若，求的長(zhǎng)．

模型3：子母型雙垂直模型(射影定理模型)結(jié)論：①∠B=∠CAD；②∠C=∠BAD；③。例1．（2023·廣東廣州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，于D，求證：．例2．（2023·云南玉溪·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠1＝∠B．(1)求證：CD是△ABC的高；(2)如果AC＝8，BC＝6，AB＝10，求CD的長(zhǎng)．例3．（2022秋·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，垂足為．如果，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．例4．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在中，，、分別在邊、上，、相交于點(diǎn)．(1)給出下列信息：①；②是的角平分線；③是的高．請(qǐng)你用其中的兩個(gè)事項(xiàng)作為條件，余下的事項(xiàng)作為結(jié)論，構(gòu)造一個(gè)真命題，并給出證明；條件：______，結(jié)論：______．（填序號(hào)）證明：(2)在（1）的條件下，若，求的度數(shù)．（用含的代數(shù)式表示）

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·云南·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，AE，AD分別是的高和角平分線，，，則的度數(shù)為（

）A．40° B．20° C．10° D．30°2．（2023·綿陽(yáng)市八年級(jí)月考）如圖，在中，平分交于點(diǎn)、平分交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，是邊上的高，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，、分別是的高和角平分線，點(diǎn)E為邊上一點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，則．

4．（2023秋·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，平分，若，，則．5．（2023·江蘇八年級(jí)校考課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，AC⊥BC，垂足為C，∠BCD是∠B的余角求證：∠ACD=∠B證明：∵AC⊥BC（已知）∴∠ACB=90°（

）∴∠BCD是∠DCA的余角∵∠BCD是∠B的余角（已知）

∴∠ACD=∠B（

）6．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)校考期末）如圖，是直角三角形，，于點(diǎn)D，是的角平分線，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)G，求證：．請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過(guò)程．證明：∵（已知），∴（_____），∴（直角三角形兩銳角互余），∵（已知），∴（直角三角形兩銳角互余），∵是的角平分線，，∴（______），∴（______），∵（______），∴（等量代換），∵（已知），∴（______），∴（______）．7．（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，于點(diǎn)D，平分交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，求證：．

8．（2023春·四川樂(lè)山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角中，，是斜邊上的高，，求：

（1）的度數(shù)；（2）的度數(shù)．對(duì)于上述問(wèn)題，在以下解答過(guò)程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容（理由或數(shù)學(xué)式）解：（1）∵，（已知），又∵（______），∴（______）．（2）∵（______），∴（等式的性質(zhì)）．∵（已知），∴（垂直定義）．∴______（等量代換）．9．（2022秋·遼寧撫順·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，在中，，平分．(1)求的度數(shù)；(2)求的度數(shù)；(3)直接寫(xiě)出，，三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系．10．（2023·上海閔行·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知的兩條高相交于點(diǎn)，，，求的度數(shù)．11．（2022秋·山東威?！て吣昙?jí)校聯(lián)考期中）如圖，是的高，E是上一點(diǎn)，交于F，且有，，試說(shuō)明．

12．（2022春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，在中，已知于D，于E，，，求的大?。?/p>

13．如圖所示，在中，是高，、是角平分線，它們相交于點(diǎn)，，，求、的度數(shù).14．（2022秋·廣東東莞·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，為的高，為的角平分線，交于點(diǎn)G，比大，，求的大?。?5．（2023秋·山東·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知在中，，于點(diǎn)．

（1）尺規(guī)作圖：作的平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)；（要求：保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，不下結(jié)論）（2）在（1）的條件下，求證：．__________又______________________________平分__________．16．（2023春·黑龍江·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，平分，，．(1)求的度數(shù)．(2)直接寫(xiě)出圖中四對(duì)相等的銳角，

17．（2023春·陜西榆林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，是的邊上的中線．(1)若的周長(zhǎng)為13，，，求的長(zhǎng)度；(2)若，的面積為10，，求點(diǎn)到的距離．

18．（2023·江蘇·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，中，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，作于點(diǎn)（1）如圖①，若于點(diǎn)，那么是的平分線嗎？若是，請(qǐng)說(shuō)明理由．請(qǐng)完成下列證明并在下面的括號(hào)內(nèi)填注依據(jù)解：是，理由如下：（已