專題9.10以乘法公式為背景綜合問題大題專練（重難點培優(yōu)30題七下蘇科）-2022-2023學年七年級數學下冊尖子生培優(yōu)必刷題（原卷版）

【拔尖特訓】20222023學年七年級數學下冊尖子生培優(yōu)必刷題【蘇科版】專題9.10以乘法公式為背景綜合問題大題專練（重難點培優(yōu)30題）班級：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事項：本試卷試題解答30道，共分成三個層組：基礎過關題（第110題）、能力提升題（第1120題）、培優(yōu)壓軸題（第2130題），每個題組各10題，可以靈活選用．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一．解答題（共30小題）1．（2022春?盱眙縣期中）對于一個圖形，通過不同的方法計算圖形的面積，就可以得到一個數學等式．（1）模擬練習：如圖，寫出一個我們熟悉的數學公式；（2）解決問題：如果a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；（3）類比探究：如果一個長方形的長和寬分別為（8﹣x）和（x﹣2），且（8﹣x）2+（x﹣2）2＝20，求這個長方形的面積．2．（2022秋?鎮(zhèn)江期中）現有3張卡片，它們可以拼成一個大的長方形（如圖1）．（1）你還能用三張卡片拼成其他的四邊形嗎？請畫出草圖；（2）小明寫出圖1中大的長方形的周長為2（a+b）+2b，小紅寫出大長方形的周長為2（a+2b）+2（b+a）﹣2a﹣2b，兩位同學寫的算式結果一樣嗎？為什么？（3）如圖2，有四張邊長分別為a，b，c的直角三角形紙片，將它們拼成一個大的空心的正方形，利用這個大正方形解決問題：①請根據（2）中蘊含的思想方法寫出一個關于a，b，c的等式；②已知小直角三角形紙片的面積為6，兩條直角邊之和為7，求中間小正方形的邊長．3．（2022春?玄武區(qū)校級期中）如圖①，有邊長為a與邊長為b的兩種正方形紙片．（1）將兩種正方形紙片各一張如圖②放置，其未疊合部分（陰影）面積為S1，若再在圖②中大正方形的右下角擺放一個邊長為b的小正方形（如圖③），兩個小正方形疊合部分（陰影）面積為S2．①用含a，b的代數式分別表示S1＝，S2＝．②若a+b＝10，ab＝15，求S1+S2的值；（2）將兩種正方形紙片各一張按圖④的方式放置在一個邊長為m的正方形桌面上（a+b＞m），若兩個正方形疊合部分（陰影）的面積為S3，桌面上未被這兩張正方形紙片覆蓋部分（點狀陰影）的面積為S4，求S3﹣S4（結果用含a，b，m的代數式表示）．4．（2022春?工業(yè)園區(qū)校級期中）如圖①是一個長為4a、寬為b的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個“回形”正方形（如圖②）．（1）根據上述過程，寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關系：；（2）利用（1）中的結論，若x+y＝4，，則（x﹣y）2的值是；（3）實際上通過計算圖形的面積可以探求相應的等式，如圖③，請你寫出這個等式：；（4）兩個正方形ABCD，AEFG如圖④擺放，邊長分別為x，y．若x2+y2＝34，BE＝2，求圖中陰影部分面積和．5．（2022春?常州期中）如圖，將邊長為a+3的正方形紙片剪去一個邊長為a的正方形后，剩余部分可剪拼成一個長方形（不重疊無縫隙），若拼成的長方形一邊長為3，請解答下列問題：（1）分別計算剪拼后所得的長方形的周長和面積（用含a的代數式表示）；（2）若將剪拼后的長方形的長減少4，寬增加4，所得的新長方形的面積恰好等于原長方形的面積，求a的值．6．（2022春?鐘樓區(qū)期中）數學中，常對同一個量（圖形的面積、點的個數、三角形的內角和等）用兩種不同的方法計算，從而建立相等關系，我們把這一思想稱為“算兩次”．“算兩次”也稱做富比尼原理，是一種重要的數學方法．（1）在學習乘法公式時，我們通過對圖1的面積“算兩次”得到（a+b）2＝a2+2ab+b2．請設計一個圖形說明（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立；（畫出示意圖，并標上字母）（2）如圖2，兩個直角邊長分別為a、b、斜邊長為c的直角三角形和一個兩條直角邊都是c的直角三角形拼成一個梯形．試用兩種不同的方法計算梯形的面積，你能發(fā)現直角三角形的三邊長a、b、c有什么數量關系嗎？（注：寫出解答過程）（3）根據（2）中的結論回答，當a＝4，b＝3時，c的值為．7．（2022春?相城區(qū)校級期中）若x滿足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（x﹣5）2+（2﹣x）2的值．解：設5﹣x＝a，x﹣2＝b，則（5﹣x）（x﹣2）＝ab＝2，a+b＝（5﹣x）+（x﹣2）＝3，所以（x﹣5）2+（2﹣x）2＝（5﹣x）2+（x﹣2）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×2＝5．請仿照上面的方法求解下面問題：（1）若x滿足（x+2）（x﹣7）＝6，求（x+2）2+（x﹣7）2的值．（2）已知正方形ABCD的邊長為x，E，F分別是AD、DC上的點，且AE＝1，CF＝3，長方形EMFD的面積是35，分別以MF、DF為邊作正方形，求陰影部分的面積．8．（2022春?惠山區(qū)期中）數形結合是解決數學問題的一種重要思想方法，借助圖形的直觀性，可以幫助理解數學問題．（1）請寫出圖1，圖2，圖3陰影部分的面積分別能解釋的數學公式．圖1：；圖2：；圖3：．其中，完全平方公式可以從“數”和“形”兩個角度進行探究，并通過公式的變形或圖形的轉化可以解決很多數學問題．例如：如圖4，已知a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．方法一：從“數”的角度解：∵a+b＝3，∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又∵ab＝1∴a2+b2＝7．方法二：從“形”的角度解：∵a+b＝3，∴S大正方形＝9，又∵ab＝1，∴S2＝S3＝ab＝1，∴S1+S4＝S大正方形﹣S2﹣S3＝9﹣1﹣1＝7．即a2+b2＝7．類比遷移：（2）若（5﹣x）?（x﹣1）＝3，則（5﹣x）2+（x﹣1）2＝；（3）如圖，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝10，兩正方形的面積和S1+S2＝72，求圖中陰影部分面積．9．（2022春?海州區(qū)校級期末）圖形是一種重要的數學語言，它直觀形象，能有效地表示一些代數中的數量關系，而運用代數思想也能巧妙地解決一些圖形問題，比如：用圖1所示的正方形與長方形紙片可以拼成一個圖2所示的正方形．【問題發(fā)現】利用不同的代數式表示圖2中陰影部分的面積S，寫出你從中獲得的等式為；【類比探究】已知x滿足（11﹣x）（x﹣8）＝2，則（11﹣x）2+（x﹣8）2＝；【拓展延伸】學校計劃在如圖3的兩塊正方形草地間種些花，兩塊草地分別是以AC、BC為邊的正方形，且兩正方形的面積和S1+S2＝25，點C是線段AG上的點，若AG＝7，求用來種花的陰影部分的面積．10．（2022春?邗江區(qū)期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2適當的變形，可以解決很多的數學問題．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因為a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因為ab＝1，所以a2+b2＝7．根據上面的解題思路與方法，解決下列問題：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，則（4﹣x）2+x2＝；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，則（4﹣x）2+（5﹣x）2＝．（3）如圖，在長方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，點E．F是BC、CD上的點，且BE＝DF＝x，分別以FC、CE為邊在長方形ABCD外側作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為200平方單位，求圖中陰影部分的面積和．11．（2022春?東海縣期末）完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2進行適當的變形后，可以解決很多的數學問題．如：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．解題思路：由（a+b）2＝a2+2ab+b2得a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，可設9﹣x＝a，x﹣4＝b，則（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；（1）請仿照上面的方法求解下面問題：①若x滿足（6﹣x）（x﹣2）＝2，求（6﹣x）2+（x﹣2）2的值；②若x滿足（6+x）（2+x）＝5，求（6+x）2+（2+x）2的值；（2）應用上面的解題思路解決問題：如圖，點C是線段AB上的一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝8，兩正方形的面積和S1+S2＝34，求圖中陰影部分的面積．12．（2022秋?蘇州期中）如圖①是一張邊長為a的正方形紙片，在它的一角剪去一個邊長為b的小正方形，然后將圖①剩余部分（陰影部分）剪拼成如圖②的一個大長方形（陰影部分）．（1）請分別用含a、b的代數式表示圖①和圖②中陰影部分的面積：圖①陰影部分面積為：；圖②陰影部分面積為：；（2）請?zhí)骄坎⒅苯訉懗鯽2﹣b2、a+b、a﹣b這三個式子之間的等量關系；（3）利用（2）中的結論，求542.72﹣457.32的值．13．（2022春?南京期中）如圖①是由邊長為a的大正方形紙片減去一個邊長為b的小正方形后余下的圖形．我們把該紙片剪開后，拼成一個長方形（如圖②），驗證了公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．請你通過對紙片的剪拼，在圖③、圖④上畫出兩種不同拼法的示意圖．要求：①與以上方法不能相同；②拼成的圖形是四邊形；③在圖上畫剪切線（用虛線表示）；④在拼出的圖形上標出已知的邊長．拼法一：拼法二：14．（2022春?大豐區(qū)校級月考）從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是；（請選擇正確的選項）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．a（a+b）＝a2+ab（2）用你選的等式進行簡便計算：1012﹣2×992+972；（3）用你選的等式進行簡便計算：20222﹣20212+20202﹣20192+20182﹣20172+…+19522﹣19512+19502﹣19492．15．（2021春?濱湖區(qū)期中）如圖1，從邊長為a的正方形紙片中剪去一個邊長為b的小正方形，再沿著虛線剪開，把剪成的兩張紙片拼成如圖2所示的長方形．（1）設圖1中的陰影部分面積為S1，圖2中的陰影部分面積為S2，請直接用含有a、b的代數式表示，則S1＝，S2＝；（2）請寫出上述剪拼過程所揭示的乘法公式：；（3）請你利用（2）中的公式計算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）+1．16．（2022春?亭湖區(qū)校級月考）【探究】如圖①，從邊長為a的大正方形中剪掉一個邊長為b的小正方形，將陰影部分沿虛線剪開，拼成圖②的長方形．（1）請你分別表示出這兩個圖形中陰影部分的面積；；（2）比較兩圖的陰影部分面積，可以得到乘法公式：（用字母表示）；【應用】請應用這個公式完成下列各題：計算：（2a+b﹣c）（2a﹣b+c）．【拓展】①（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1結果的個位數字為；②計算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12．17．（2022春?亭湖區(qū)校級月考）如圖1，從邊長為a的大正方形中剪去一個邊長為b的小正方形，把剩下的陰影部分拼成如圖2所示的長方形．（1）上述操作能驗證的公式是；（2）請應用這個公式完成下列各題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝；②計算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）．18．（2022春?大豐區(qū)校級月考）乘法公式的探究及應用．（1）如圖1，是將圖2陰影部分裁剪下來，重新拼成的一個長方形，面積是；如圖2，陰影部分的面積是；比較圖1，圖2陰影部分的面積，可以得到乘法公式；（2）運用你所得到的公式，計算下列各題：①103×97；②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．19．（2022春?高新區(qū)月考）如圖1，邊長為a的大正方形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗證的等式是；（請選擇正確的選項）A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a2+ab＝a（a+b）（2）請利用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝．②計算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．20．（2021春?射陽縣校級月考）【探究】如圖1，邊長為a的大正方形中有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示），通過觀察比較圖2與圖1中的陰影部分面積，可以得到乘法公式．（用含a，b的等式表示）【應用】請應用這個公式完成下列各題：（1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，則2m﹣n的值為．（2）計算：20192﹣2020×2018．【拓展】計算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．21．（2022秋?南昌縣期中）如圖1所示是一個長為2m，寬為2n的長方形，沿虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖2的方式拼成一個正方形．（1）圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于；（2）請用兩種不同的方法列代數式表示圖2中陰影部分的面積：方法①；方法②；（3）觀察圖2，直接寫出（m+n）2，（m﹣n）2，mn這三個代數式之間的等量關系；（4）根據（3）題中的等量關系，解決如下問題：若a+b＝8，ab＝5，求（a﹣b）2的值．22．（2022春?鹽都區(qū)月考）閱讀理解：若x滿足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：設30﹣x＝a，x﹣10＝b，則（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80解決問題：（1）若x滿足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2，則（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝；（2）若x滿足（x﹣2022）2+（x﹣2018）2＝202，求（x﹣2022）（x﹣2018）的值；（3）如圖，在長方形ABCD中，AB＝16，BC＝12，點E．F是BC、CD上的點，且BE＝DF＝x，分別以FC、CE為邊在長方形ABCD外側作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為100平方單位，則圖中陰影部分的面積和為平方單位．23．（2022春?新泰市期中）圖1是一個長為2a、寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．（1）求圖2中的陰影部分的正方形的周長；（2）觀察圖2，請寫出下列三個代數式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的等量關系；（3）如圖3，點C是線段AB上的一點，以AC、BC為邊向兩邊作正方形，設AB＝8，兩正方形的面積和S1+S2＝24，運用你由（2）所得到的等量關系，求圖中陰影部分面積．24．（2022秋?晉安區(qū)校級月考）閱讀理解：若x滿足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：設30﹣x＝a，x﹣10＝b，則（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2x160＝80．解決問題：（1）若x滿足（50﹣x）（x﹣40）＝2，求（50﹣x）2+（x﹣40）2＝；（2）若x滿足（x﹣2021）2+（x﹣2018）2＝2000，求（x﹣2021）（x﹣2018）的值．（3）如圖，在長方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，點E、F是BC、CD上的點，且BE＝DF＝x，分別以FC，CE為邊在長方形ABCD外側作正方形CFGH和CEMN，若長方形CEPF的面積為80平方單位，則圖中陰影部分的面積和為平方單位．25．（2022秋?芙蓉區(qū)校級月考）利用圖1中邊長分別為a，b的正方形，以及長為a，寬為b的長方形卡片若干張拼成圖2（卡片間不重疊、無縫隙），可以用來解釋完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．請你解答下面的問題：（1）填空：（2a+3）2＝4a2+ka+9，則k＝；（5x+m）2＝25x2+10x+n，則m＝，n＝；（2）利用圖1中的三種卡片若干張拼成圖3，可以解釋等式：；（3）利用上述拼圖的方法計算：（2a+b）（a+3b）＝．26．（2021秋?南寧期末）【閱讀理解】若x滿足（45﹣x）（x﹣15）＝200，求（45﹣x）2+（x﹣15）2的值．解：設45﹣x＝a，x﹣15＝b，則（45﹣x）（x﹣15）＝ab＝200，a+b＝（45﹣x）+（x﹣15）＝30，（45﹣x）2+（x﹣15）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝302﹣2×200＝500，我們把這種方法叫做換元法．利用換元法達到簡化方程的目的，體現了轉化的數學思想．【解決問題】（1）若x滿足（20﹣x）（x﹣5）＝50，則（20﹣x）2+（x﹣5）2＝；（2）若x滿足（2022﹣x）2+（x﹣2000）2＝244，求（2022﹣x）（x﹣2000）的值；（3）如圖，在長方形ABCD中，AB＝12cm，點E，F是BC，CD上的點，EC＝8cm，且BE＝DF＝x，分別以FC，CB為邊在長方形ABCD外側作正方形CFGH和CBMN，若長方形CBQF的面積為60cm2，求圖中陰影部分的面積和．27．（2022春?金水區(qū)校級期中）閱讀理解：若x滿足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值．解：設30﹣x＝a，x﹣10＝b，則（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，且a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，所以（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2x160＝80．解決問題：（1）若x滿足（50﹣x）（x﹣40）＝2，求（50﹣x）2+（x﹣40）2＝；（2）若x滿足（x﹣2022）2+（x﹣2020）2＝2000，求（x﹣2022）（x﹣2020）的值．（3）如圖，在