專題3.3.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)-

專題3.3.1拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)【基本知識梳理】知識點1：拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．【特別注意】(1)“一動三定”：一動點M；一定點F(即焦點)，一定直線l(即準(zhǔn)線)，一定值1(即動點M到定點F的距離與到定直線l的距離之比為1)．(2)若點F在直線l上，則點的軌跡是過點F且垂直于直線l的直線．知識點2：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程y2＝2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))x＝－eq\f(p,2)y2＝－2px(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))x＝eq\f(p,2)x2＝2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))y＝－eq\f(p,2)x2＝－2py(p>0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))y＝eq\f(p,2)【特別注意】(1)p的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離．(2)標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征：頂點在坐標(biāo)原點、焦點在坐標(biāo)軸上．(3)拋物線的開口方向：拋物線的開口方向取決于標(biāo)準(zhǔn)方程中一次項系數(shù)的正負．知識點3：用待定系數(shù)法求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟注意：當(dāng)拋物線的類型沒有確定時，可設(shè)方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，這樣可以減少討論情況的個數(shù)．知識點4：拋物線定義的應(yīng)用根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，因此，由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距與點線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題．知識點5：拋物線的幾何性質(zhì):標(biāo)準(zhǔn)

方程y2=2px(p>0)y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=2py(p>0)圖形頂點(0,0)(0,0)軸對稱軸y=0對稱軸x=0焦點準(zhǔn)線離心率e=1e=1開口開口向右開口向左開口向上開口向下焦半徑范圍x≥0x≤0y≥0y≤0【題型1動點的軌跡問題】【例1】（2324高二上·黑龍江哈爾濱·期中）若點P到點2,0的距離比它到直線x+3=0的距離小1，則點P的軌跡方程是（

）A．y2=8x B．y2=?8x C．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的定義即可求解.【詳解】由于點P到點2,0的距離比它到直線x+3=0的距離小1，故點P到點2,0的距離比它到直線x+2=0的距離相等，故點P是在以2,0為焦點，以x=?2為準(zhǔn)線的拋物線上，故軌跡為y2故選：A【變式11】（2324高二上·黑龍江哈爾濱·期中）已知動點P(x，y)滿足5(x?2)2+(y?1)2A．直線 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【分析】等價變形給定等式，再利用式子表示的幾何意義，由拋物線的定義可得.【詳解】因為5(x?2)得(x?2)2即動點P(x,y)到定點(2,1)的距離與到定直線3x+4y?7=0的距離相等，且點(2,1)不在直線3x+4y?7=0上，則由拋物線定義知，動點P(x,y)的軌跡為拋物線.故選：D.【變式12】（2023高三·全國·專題練習(xí)）過點F0,4且與直線y+4=0相切的動圓圓心的軌跡方程為【答案】x【分析】根據(jù)題意，由拋物線的定義，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，動圓的圓心到直線y=?4的距離與到點F0,4的距離相等，所以動圓的圓心是以點F0,4為焦點，直線y=?4為準(zhǔn)線的拋物線，則其方程為故答案為：x【變式13】（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知點F(0，2)，過點P(0,?2)且與y軸垂直的直線為l1，l2⊥x軸，交l1于點N，直線l垂直平分FN，交l2于點M【答案】x【分析】作圖后，結(jié)合圖象和拋物線的定義即可得解.【詳解】如圖，由題意得|FM|=|MN|，即動點M到點F(0,2)的距離和到直線y=?2的距離相等，所以點M的軌跡是以F(0,2)為焦點，直線y=?2為準(zhǔn)線的拋物線，根據(jù)拋物線定義可知點M的軌跡方程為x2故答案為:x2

【題型2拋物線的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程】【例2】（2324高二上·山東濟寧·期末）拋物線y=14xA．116,0 B．18,0【答案】C【分析】變形為標(biāo)準(zhǔn)形式，得到焦點坐標(biāo).【詳解】x2=4y，焦點在y軸上，故焦點坐標(biāo)為故選：C【變式21】（2324高二上·山東淄博·期末）拋物線y=2x2的準(zhǔn)線方程為（A．y=?14 C．x=?14 【答案】B【分析】把拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再求出其準(zhǔn)線方程即得.【詳解】拋物線y=2x2方程化為x2=1故選：B【變式22】（2324高二上·四川涼山州·期末）過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F作圓G:(x+2)2+y2=4的兩條切線，切點分別為P，【答案】4【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合圓、拋物線的對稱性，借助圖形求出FG的長即可得解.【詳解】圓G:(x+2)2+y2由FP,FQ切圓G于點P,Q，得FQ⊥GQ，且FG平分∠PFQ，而△FPQ為等邊三角形，即∠PFQ=60于是∠GFQ=30°，|FG|=2|GQ|=4，則點又拋物線y2=2px(p>0)的焦點所以p2=2，即故答案為：4【變式23】（2223高二上·湖南長沙·階段練習(xí)）（多選）已知拋物線C:x2=4y的焦點為F,O為坐標(biāo)原點，點Mx0,yA．F的坐標(biāo)為1,0 B．yC．OM=42 D．以MF為直徑的圓與【答案】BCD【難度】0.85【分析】由拋物線的方程求出焦點F的坐標(biāo)，可判斷A選項；利用拋物線的定義可求得y0的值，可判斷B選項；先根據(jù)拋物線的方程求x0的值，再利用平面內(nèi)兩點間的距離公式可判斷C選項；求出MF的中點坐標(biāo)，進而可得該點到【詳解】對于拋物線C:x2=4y，可得p=2,p2由拋物線的定義可得MF=y0由y0=4可知，x0∵MF的中點坐標(biāo)為±2,52，則點±2,52到∴以MF為直徑的圓與x軸相切，D正確.故選：BCD.【題型3利用拋物線的定義求值】【例3】（2024·山東濰坊·一模）已知拋物線C:x2=y上點M的縱坐標(biāo)為1，則M到C的焦點的距離為（A．1 B．54 C．32【答案】B【分析】首先求出拋物線的準(zhǔn)線方程，再根據(jù)拋物線的定義計算可得.【詳解】拋物線C:x2=y的準(zhǔn)線方程為又點M在拋物線上且縱坐標(biāo)為1，所以點M到C的焦點的距離為1??故選：B【變式31】（2324高二上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知A為拋物線C：y2=2px(p>0)上一點.點A到C的焦點的距離為8，到y(tǒng)軸的距離為6，則p=（A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得8=6+p2，所以故選：C【變式32】（2024·山東濟南·二模）已知拋物線C:y2=6x的焦點為F，準(zhǔn)線為l,P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若FP=3FQA．72 B．3 C．52【答案】D【分析】由題意解出Q點橫坐標(biāo)，由拋物線的定義求解.【詳解】由題意可知：拋物線C:y2=6x的焦點為F設(shè)P?32,t，因為FP=3FQ，則?3=3x由拋物線定義得QF=故選：D.【變式33】（2223高二上·廣東珠?！て谀┮阎獟佄锞€C:y2=4x的焦點為F，過F的直線交拋物線于A、B兩點，若|AF|=4|BF|，則ABA．178 B．218 C．258【答案】C【詳解】由拋物線的性質(zhì)，結(jié)合拋物線的定義求解即可．【解答】解：已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，過F的直線交拋物線于A設(shè)拋物線的準(zhǔn)線交x軸于點N，AB的中點為P，過A,B,P作準(zhǔn)線的垂線使得AC⊥CD，BD⊥CD，PQ⊥CD，BE⊥AC,BE⊥x軸于M，設(shè)|BF|=t，又|AF|=4|BF|，則|BD|=t，|AF|=|AC|=4t，則|AE|=3t，又|BF||AB|=|MF|又|MN|=t，則FN=8t5則|PQ|=|BD|+|AC|故選：C．

【變式34】（2223高二下·山東青島·期中）（多選）在xOy平面上，設(shè)拋物線C:x2=2pyp>0的焦點為F0,2，準(zhǔn)線為l，過點F作直線與C交于Px1,y1，Qx2,y2A．x1x2=?4 B．PQ=32【答案】BD【分析】設(shè)直線PQ方程為y?2=kx，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)關(guān)系判斷A，再由OF=14【詳解】因為F0,2，所以p=4拋物線方程為x2=8y，準(zhǔn)線l方程為：設(shè)直線PQ方程為y?2=kx（由題意直線斜率存在），聯(lián)立x2=8yy?2=kx∴x又OF=14即x1不妨設(shè)x1<0，則解得x1則y1=x所以PQ=由PQ中點為M知，MN=由拋物線定義，PF=所以PFQF故選：BD【題型4利用拋物線的定義求最值】【例4】（2324高二上·山東棗莊·階段練習(xí)）設(shè)P是拋物線x2=16y上的一個動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，已知點A的坐標(biāo)為2,6，則PA+A．8 B．10 C．12 D．14【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的定義及數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】過P,A作PM⊥l,AN⊥l，交拋物線準(zhǔn)線l于M,N，且AN交拋物線于點P′由拋物線x2=16y可得準(zhǔn)線l方程為由拋物線定義知，PA+因為PA+所以當(dāng)P點運動到P′時，即A,P′,N三點共線時，PA+故選：B【變式41】（2223高二上·山東淄博·期末）已知F為拋物線C：x2=8y的焦點，P為拋物線C上一點，點M的坐標(biāo)為(?4,3)，則△PMF周長的最小值是（

）A．5+15 B．5+17 C．9 【答案】B【分析】△PMF的周長最小，即求PM+PF最小，過P做拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D,轉(zhuǎn)化為求【詳解】如圖：由已知F0，2，準(zhǔn)線方程y=?2作PD⊥準(zhǔn)線于D，MD′⊥所以MF=由拋物線定義知PM+PF=故△PMF周長的最小值是5+17故選：B【變式42】（2223高二上·山東臨沂·期末）已知拋物線x2=6y的弦AB的中點的縱坐標(biāo)為4，則AB的最大值為【答案】11【分析】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，由A【詳解】拋物線方程為x2=6y，焦點F(0,3設(shè)Ax1,∵AB中點的縱坐標(biāo)為4，∴y作AA1⊥l，BB1⊥l，垂足為A1則AF=AA而AB≤AF+BF，當(dāng)弦即AB≤故當(dāng)弦AB過焦點時，AB取最大值11．故答案為：11．【變式43】（2324高二上·山東青島·期末）設(shè)拋物線y2=?4x上一點P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線3x+4y?12=0的距離為d2，則A．3 B．2 C．163 【答案】B【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，利用拋物線定義及點到直線的距離公式求解即得.【詳解】拋物線y2=?4x的焦點F(?1,0)，準(zhǔn)線過點P作PB⊥l于B，PA垂直于直線3x+4y?12=0于點A，顯然|PB|=|FP|，點F到直線3x+4y?12=0的距離d=|?1×3?12|則d1當(dāng)且僅當(dāng)點P是點F到直線3x+4y?12=0的垂線段與拋物線的交點時取等號，所以d1故選：B

【變式44】（2324高三·河南新鄉(xiāng)·模擬）（多選）已知拋物線x2=2pyp>0的焦點為F，A，B是拋物線上兩動點，且AF的最小值為1，M是線段ABA．pB．若AF+BF=8，則MC．若AF=2FBD．AP+【答案】ABD【分析】根據(jù)給定的條件，求出拋物線的方程，結(jié)合拋物線定義，逐項分析計算即可判斷作答.【詳解】拋物線x2=2pyp>0上的點A到拋物線焦點F拋物線的方程為x2=4y，焦點F(0,1)，準(zhǔn)線對于B，點M(x1有y1+y2=6，所以M對于C，AF=(?x1,1?y1),又|AF|=2|FB|，即y1于是得|AB對于D，拋物線x2=4y中，當(dāng)x=2時，y=1<3過點P作PP′⊥l于P′，交拋物線于點Q，連QF，過A作AA′⊥l顯然|AP|+|AF|=|AP所以(AP故選：ABD【題型5求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程】【例5】（2324高二上·浙江金華·階段練習(xí)）準(zhǔn)線方程為y=2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A．x2=4y C．x2=8y 【答案】D【分析】利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程直接求解即可.【詳解】由題知，設(shè)拋物線方程為x2由其準(zhǔn)線方程為y=2，則?p2=2所以拋物線的方程為x2故選：D【變式51】（2223高二下·山東青島·階段練習(xí)）頂點在原點，焦點在y軸上，且過點P(?6,?3)的拋物線的方程是.【答案】x【分析】依題意設(shè)出所求拋物線的方程x2=2py，再將點【詳解】根據(jù)題意，設(shè)所求拋物線的方程為x2將點P(?6,?3)代入方程得36=?6p,p=?6，所以拋物線的方程為x2故答案為：x2【變式52】（2324高二·全國·課時練習(xí)）（多選）設(shè)拋物線C：y2=2px(p≥0)的焦點為F，點M在C上，MF=5，若以MF為直徑的圓過點0,2，則拋物線CA．y2=4x B．y2=8x C．【答案】AC【分析】結(jié)合拋物線的定義求得M點的坐標(biāo)，將M點坐標(biāo)代入拋物線方程，求得p，由此求得拋物線C的方程.【詳解】因為拋物線C的方程為y2=2pxp>0設(shè)Mx,y，由拋物線的性質(zhì)知MF=x+p因為圓心是MF的中點，所以根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得圓心的橫坐標(biāo)為52由已知得圓的半徑也為52，故該圓與y軸相切于點0,2故圓心的縱坐標(biāo)為2，則點M的縱坐標(biāo)為4，即M5?代入拋物線方程，得p2?10p+16=0，解得p=2或所以拋物線C的方程為y2=4x或故選：AC【變式53】（2324高二上·山東煙臺·月考）汽車前照燈的反射鏡為一個拋物面．它由拋物線沿它的對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成．通常前照燈主要是由燈泡、反射鏡和透鏡三部分組成，其中燈泡位于拋物面的焦點上．由燈泡發(fā)出的光經(jīng)拋物面反射鏡反射后形成平行光束，再經(jīng)過進鏡的折射等作用達到照亮路面的效果．如圖，從燈泡發(fā)出的光線FP經(jīng)拋物線y2=2px反射后，沿PN平行射出，∠FPN的角平分線PM所在的直線方程為2x+y?12=0，則拋物線方程為【答案】y【分析】設(shè)出P點坐標(biāo)y022p,y0，然后根據(jù)P在直線【詳解】設(shè)Py022p,y0又因為PN//FM，所以∠PMF=∠NPM，又因為PM平分∠FPN，所以∠FPM=∠NPM，所以∠PMF=∠FPM，所以PF=MF，又因為2x+y?12=0與x軸的交點為M，所以M6,0因為Fp2,0又由拋物線的焦半徑公式可知：PF=y02所以y022p+p=6y02故答案為：y2【題型6拋物線的實際應(yīng)用】【例6】（2223高二下·山東濟南·期末）一種衛(wèi)星接收天線（如圖1），其曲面與軸截面的交線可視為拋物線的一部分（如圖2），已知該衛(wèi)星接收天線的口徑AB=8米，深度MO=3米，信號處理中心F位于焦點處，以頂點O為坐標(biāo)原點，建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系xOy，則該拋物線的方程為（

）A．y2=43x B．y2【答案】B【分析】設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，代入A點坐標(biāo)求出系數(shù)既可.【詳解】由題意，拋物線開口向右，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2點A3,4代入拋物線方程求得，得16=6p，則2p=拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2故選：B．【變式61】（2324高二上·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖是一座拋物線形拱橋，當(dāng)橋洞內(nèi)水面寬16m時，拱頂距離水面4m，當(dāng)水面上升1m后，橋洞內(nèi)水面寬為m．

【答案】8【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知求出拋物線方程，進一步利用縱坐標(biāo)代入拋物線方程得橫坐標(biāo)，即可得解.【詳解】以拋物線頂點為原點，對稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系：

設(shè)拋物線方程為x2由題意當(dāng)橋洞內(nèi)水面寬16m時，拱頂距離水面4m，即點A8,?4所以82=8p，解得p=8，所以拋物線方程為設(shè)當(dāng)水面上升1m后，不妨設(shè)Dd,?3則d2=?16所以CD=d?c=83，即此時橋洞內(nèi)水面寬為故答案為：83【變式62】（2023·遼寧錦州·模擬預(yù)測）南宋晩期的龍泉窯粉青釉刻花斗笠盞如圖一所示，這只杯盞的軸截面如圖二所示，其中光滑的曲線是拋物線的一部分，已知杯盞盛滿茶水時茶水的深度為3cm，則該杯盞的高度為（

A．236cm B．134cm C．【答案】C【分析】以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可得A點坐標(biāo)及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，設(shè)B32,t【詳解】以拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

依題意可得A92,3則814=6p，解得p=27可設(shè)B32,t，代入拋物線方程9所以該杯盞的高度為3?1故選：C.【變式63】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如圖所示.衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處.已知接收天線的口徑（直徑）為4.8m，深度為0.5m.

(1)試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點坐標(biāo)；(2)為了增強衛(wèi)星波束的接收，擬將接收天線的口徑增大為5.2m，求此時衛(wèi)星波束反射聚集點的坐標(biāo).【答案】(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=11.52x，焦點的坐標(biāo)為(2)3.38,0【分析】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法進行求解即可；（2）利用待定系數(shù)法、代入法進行求解即可.【詳解】（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為：y2=2pxp>02.42所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=11.52x，焦點的坐標(biāo)為

（2）設(shè)拋物線的方程為y2把0.5,2.6代入方程中，得2.62所以焦點的坐標(biāo)為：3.38,0.【題型7拋物線的對稱性的應(yīng)用】【例7】（2324高二上·浙江溫州·期中）已知等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線y2=4x上，則這個等邊三角形的邊長為（A．83 B．42 C．43【答案】A【分析】設(shè)另外兩個頂點的坐標(biāo)分別為m24,m,m【詳解】由題意，依據(jù)拋物線的對稱性，及等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線y2可設(shè)另外兩個頂點的坐標(biāo)分別為m2∴tan30°=3故這個等邊三角形的邊長為2m=83故選：A.【變式71】（2023高二上·全國·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系x