第27章相似01講核心（原卷版）

考點(diǎn)1比例的概念及性質(zhì)1.比例線段在四條線段中，如果其中兩條線段的比______另兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．如四條線段，，因此a、b、c、d四條線段成比例．2.黃金分割如圖，若線段上一點(diǎn)C把線段分成兩條線段和()，且使是和的______，即，則稱線段被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C為黃金分割點(diǎn)，與的比叫黃金比，即．3.比例的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)：若______(，)．（2）合比性質(zhì)：若______(，)．（3）等比性質(zhì)：若(b·d·…·)，那么______．考點(diǎn)2平行線分線段成比例4.平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線，如果在其中一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也______．5.基本事實(shí)：兩條線段被一組______所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖：如果，那么，，．3.推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊或(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．如圖：，則，，．考點(diǎn)3相似圖形6.相似圖形：兩個(gè)圖形______相同，這兩個(gè)圖形稱為相似圖形．7.各角分別相等，各邊_________的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形；相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做____________．8.相似多邊形的性質(zhì)：（1）相似多邊形的對(duì)應(yīng)角______，對(duì)應(yīng)邊______．（2）相似多邊形的周長(zhǎng)比等于______，面積比等于______．考點(diǎn)4相似三角形9.相似三角形的概念：對(duì)應(yīng)角______，對(duì)應(yīng)邊______的三角形叫做相似三角形．10.如果和相似，且，那么這個(gè)比值k就叫做這兩個(gè)相似三角形的______．11.相似三角形的判定：（1）平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或______)相交，截得的三角形與原三角形相似．（2）兩組角對(duì)應(yīng)______，兩三角形相似．（3）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且______相等，兩三角形相似．（4）三邊對(duì)應(yīng)______，兩三角形相似．12.相似三角形的性質(zhì)：（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角______．（2）相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例，且______相似比．（3）相似三角形的周長(zhǎng)比等于______，面積比等于______．考點(diǎn)5利用相似三角形解應(yīng)用題1.利用投影、平行線、標(biāo)桿等構(gòu)造相似三角形求解；2.測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度；3.測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度；4.測(cè)量不可以到達(dá)的物體的寬度；考點(diǎn)6位似13.位似圖形的概念：如果兩個(gè)相似圖形，每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都交于______，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的______又稱為位似比．14.位似圖形的性質(zhì)（1）位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于______．（2）位似圖形______相似圖形，但相似圖形______位似圖形，位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì)．（3）位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或______．（4）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于______．比例線段的判定及應(yīng)用1.比例線段的判定方法方法名稱方法步驟示例：a=12cm，b=4cm，c=21cm，d=7cm求比法計(jì)算較小的兩條線段的比，計(jì)算較大的兩線段的比，比相同就是比例線段,,,比例線段求積法計(jì)算最小與最大兩條線段長(zhǎng)度的乘積，計(jì)算中間兩條線段的乘積，乘積相同就是比例線段。,,,是比例線段2.比例線段的應(yīng)用方法方法名稱方法步驟示例：已知，求的值參數(shù)法用參數(shù)K表示比值，再用K表示其它的字母，最后代入求值；設(shè)，則，，性質(zhì)法利用比例的性質(zhì)變形，注意等式的兩邊要進(jìn)行同樣的操作．由得，【例題】15.下列四組線段中，不成比例的是（）A.3，9，2，6 B.1，，， C.1，2，4，8 D.1，2，3，916.已知，則的值為（）A. B. C. D.17.已知點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，且，，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.0.618【練經(jīng)典】18.下列各組中的四條線段成比例的是（）A. B.C. D.19.如果則等于（）A. B. C. D.620.電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時(shí)，站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)處最自然得體，若舞臺(tái)從到的距離，那么舞臺(tái)長(zhǎng)為_(kāi)____．【練易錯(cuò)】易錯(cuò)點(diǎn)：用比例的性質(zhì)時(shí)，比例線段位置調(diào)整出錯(cuò)而導(dǎo)致錯(cuò)誤21.如果，那么的值為（）A B. C. D.22.已知，那么______．平行線分線段性質(zhì)的應(yīng)用1.求線段長(zhǎng)度方法一：利用平行線分線段的性質(zhì)列出比例式→找出其中的三條線段的長(zhǎng)度→代入求出未知線段的長(zhǎng)度；方法二：利用平行線分線段的性質(zhì)列出比例式→找出其中一條線段的長(zhǎng)度和另兩條線段的比→代入求出未知線段的長(zhǎng)度；2.證明線段之間的關(guān)系方法一：利用平行線分線段的性質(zhì)列出比例式→找出其中的兩條線段的比→代入得到未知線段的關(guān)系；方法二：利用平行線分線段的性質(zhì)列出比例式→利用比例的性質(zhì)對(duì)比例式進(jìn)行變換→得到對(duì)應(yīng)線段之間的關(guān)系；3.作圖：把一條線段按一定的比進(jìn)行分割．【例題】23.如圖，直線，直線AC和DF被所截，如果，那么長(zhǎng)是（）A.2 B. C.1 D.24.如圖，在中，點(diǎn)分別是邊上的點(diǎn)，，且，則等于（）A.58 B.38 C. D.25【練經(jīng)典】25.如圖，，直線、與這三條直線分別交于點(diǎn)、、和、、，若，，，則的長(zhǎng)為（）A.4 B.6 C.8 D.926.已知，如圖在中，，，的延長(zhǎng)線交的延長(zhǎng)線于，則為_(kāi)____．【練易錯(cuò)】易錯(cuò)點(diǎn)：因?qū)?yīng)線段找錯(cuò)導(dǎo)致錯(cuò)誤27.如圖，直線，直線AC和DF被、、所截，，，，則的長(zhǎng)為（）A.12 B.3 C. D.5相似三角形的判定1.判定三角形相似的幾條思路：（1）條件中若有平行線，可采用預(yù)備定理，即平行出相似；（2）條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角或再找?jiàn)A邊成比例，用AA或SAS進(jìn)行判定；（3）條件中若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例，可找?jiàn)A角相等，用SAS判定；（4）條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例；（5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個(gè)底角相等，也可找底和腰對(duì)應(yīng)成比例．2.常見(jiàn)相似三角形的模型【例題】28.如圖，已知點(diǎn)D是的邊上的一點(diǎn)，根據(jù)下列條件，可以得到的是（）A. B.C. D.29.如圖，一副三角板，，頂點(diǎn)A重合，將繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，以下4個(gè)位置，不存在相似三角形的是（）A B. C. D.30.如圖所示，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，，點(diǎn)E在上移動(dòng)，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)，求的長(zhǎng)為_(kāi)_________．31.如圖，四邊形中，在邊上，，，．（1）求證：；（2）已知面積為3，求四邊形的面積．【練經(jīng)典】32.已知，如圖，平行四邊形中，，且，那么_____．A.9 B.12 C.15 D.2033.如圖，AB、DE是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠ABC=20°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蚶@圓心O旋轉(zhuǎn)α°（0＜α＜180），當(dāng)α=______時(shí)，直徑DE在△ABC中截得的三角形與△ABC相似．34.如圖，四邊形為平行四邊形，E為邊上一點(diǎn)，連接，它們相交于點(diǎn)F，且．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．相似圖形的性質(zhì)1.對(duì)應(yīng)角相等2.對(duì)應(yīng)邊的比＝對(duì)應(yīng)邊上的高的比＝對(duì)應(yīng)邊上的中線的比＝對(duì)應(yīng)角平分線的比＝周長(zhǎng)的比＝相似比；面積的比＝相似比的平方．3.對(duì)應(yīng)元素的尋找方法對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊．【例題】35.若兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊之比為，則這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)之比為（）A. B. C. D.36.如圖所示，已知矩形的邊長(zhǎng)為8cm，邊長(zhǎng)為6cm，從中截去一個(gè)矩形（圖中陰影部分），如果所截矩形與原矩形相似，那么所截矩形的面積是（）A.cm2 B.cm2 C.cm2 D.cm2【練經(jīng)典】37.兩個(gè)相似多邊形的相似比為，已知一個(gè)多邊形的最短邊長(zhǎng)為15，則另一個(gè)多邊形的最短邊長(zhǎng)為（）A.15 B.9 C.25 D.25或938.圖中的兩個(gè)四邊形相似，則______．【練易錯(cuò)】易錯(cuò)點(diǎn)：忽略面積的比等于相似比的平方而致錯(cuò)39.已知，它們的面積分別為4和9，且，則的長(zhǎng)為（）A.12 B.15 C.18 D.20利用相似三角形解應(yīng)用題1.利用太陽(yáng)光平行構(gòu)造相似三角形；2.利用標(biāo)桿與被測(cè)物體平行構(gòu)造相似三角形；3.利用物體固有的平行線構(gòu)造相似三角形；4.添加平行線構(gòu)造相似三角形；【例題】40.如圖是某風(fēng)車示意圖，其相同的四個(gè)葉片均勻分布，水平地面上的點(diǎn)M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方，某一時(shí)刻，太陽(yáng)光線恰好垂直照射葉片、，此時(shí)各葉片影子在點(diǎn)M右側(cè)成線段．測(cè)得，，垂直于地面的木棒與影子的比為．則點(diǎn)O、M之間的距離等于___________m；41.小紅和小亮經(jīng)常去學(xué)校圖書館里閱讀各種書籍，兩位同學(xué)想利用剛學(xué)過(guò)的測(cè)量知識(shí)來(lái)測(cè)量該圖書館的高度．某天，他們帶著測(cè)量工具來(lái)圖書館前，但由于校園整體規(guī)劃的原因，他們無(wú)法到達(dá)圖書館底部．于是小亮在地面上的點(diǎn)處放置了一個(gè)平面鏡，小紅從處出發(fā)沿著方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，剛好在平面鏡內(nèi)看到圖書館的頂端的像，此時(shí)，測(cè)得米，小紅眼睛到地面的距離為1.6米；然后，小亮沿方向移動(dòng)到點(diǎn)，用測(cè)量器測(cè)得圖書館頂端的仰角為45°，此時(shí)，測(cè)得，測(cè)量器的高度米．已知點(diǎn)、、、在同一水平直線上，且、、均垂直于，求該圖書館的高度．【練經(jīng)典】42.甲乙兩位同學(xué)利用燈光下的影子來(lái)測(cè)量一路燈A的高度，如圖，當(dāng)甲走到點(diǎn)C處時(shí)，乙測(cè)得甲直立身高CD與其影子長(zhǎng)CE正好相等，接著甲沿BC方向繼續(xù)向前走，走到點(diǎn)E處時(shí)，甲直立身高EF與影子恰好是線段EG，并測(cè)得EG=2.5m，已知甲直立時(shí)的身高為1.5m，求路燈的高AB的長(zhǎng).43.如圖，一路燈與墻相距20米，當(dāng)身高米的小亮在離墻17米的D處時(shí)，影長(zhǎng)為1米．（1）求路燈B的高度；（2）若點(diǎn)P為路燈，請(qǐng)畫出小亮位于N處時(shí)，在路燈P下的影子NF（用粗線段表示出來(lái)）位似圖形的判定和性質(zhì)1.先判定相似，再尋找位似中心找位似中心的方法：將兩個(gè)圖形的各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接起來(lái)，若它們的直線或延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．2．畫位似圖形的步驟：(1)確定位似中心；(2)確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；(3)確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；(4)作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(5)按原圖形的連接順序連接所作的各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)．3.位似圖形的性質(zhì)（1）位似圖形具有相似圖形的性質(zhì)；（2）位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比；（3）位似中心是原點(diǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值的比＝縱坐標(biāo)的絕對(duì)值的比＝位似比；【例題】44.在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．以坐標(biāo)原點(diǎn)為位似中心，作與的位似比為的位似圖形，則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.或C. D.或45.如圖，以點(diǎn)O為位似中心，作四邊形的位似圖形，已知，四邊形的面積是2，則四邊形的面積是（）A.4 B.6 C.8 D.1846.如圖，格點(diǎn)圖形中每一個(gè)最小正方形的邊長(zhǎng)為1單位長(zhǎng)度，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．（1）在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，使得原點(diǎn)為點(diǎn)O，點(diǎn)坐標(biāo)分別為；（2）以點(diǎn)O為位似中心，畫出的位似三角形，使得與相似比為；（3）在邊上求作兩點(diǎn)，使得將△ABC面積三等分．【練經(jīng)典】47.如圖，與是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為，若，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.48.如圖，與位似，位似中心為點(diǎn)O，與周長(zhǎng)之比為，則的比為（）A. B. C. D.49.如圖，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（1）以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2：1，將圖形反向放大，在第三象限畫出符合要求的位似四邊形；（2）在（1）的前提下，如果四邊形內(nèi)部一點(diǎn)M的坐標(biāo)為，寫出M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)（，）；（3）如果一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，則四邊形的面積是____________．【新定義小練】50.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和，對(duì)于點(diǎn)定義如下：以點(diǎn)為對(duì)稱中心作點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再將對(duì)稱點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)，稱點(diǎn)為點(diǎn)的反轉(zhuǎn)點(diǎn)．已知的半徑為1．（1）如圖，點(diǎn)，，點(diǎn)在上，點(diǎn)為點(diǎn)的反轉(zhuǎn)點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，在圖中畫出點(diǎn)；②當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段長(zhǎng)的最大值；（2）已知點(diǎn)是上一點(diǎn)，點(diǎn)和是外兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)為點(diǎn)的反轉(zhuǎn)點(diǎn)．若點(diǎn)在第一象限內(nèi)，點(diǎn)在第四象限內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出線段長(zhǎng)的最大值和最小值的差．【閱讀探究材料類小練】51.古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時(shí)，提出了分線段的“中末比”問(wèn)題：點(diǎn)G將一線段分為兩線段，使得其中較長(zhǎng)的一段是全長(zhǎng)與較短的段的比例中項(xiàng)，即滿足，后人把這個(gè)數(shù)稱為“黃金分制”數(shù)．把點(diǎn)G稱為線段的“黃金分割”點(diǎn)．如圖，在中，D是邊的“黃金分割”點(diǎn)，若，且，則的長(zhǎng)度是____________．52.矩形ABCD中，＝（k＞1），點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線EF，與矩形的外角平分線CF交于點(diǎn)F．（1）【特例證明】如圖（1），當(dāng)k＝2時(shí)，求證：AE＝EF；小明不完整的證明過(guò)程如下，請(qǐng)你幫他補(bǔ)充完整．證明：如圖，在BA上截取BH＝BE，連接EH．∵k＝2，∴AB＝BC．∵∠B＝90°，BH＝BE，∴∠1＝∠2＝45°，∴∠AHE＝180°∠1＝135°．∵CF平分∠DCG，∠DCG＝90°，∴∠3＝∠DCG＝45°．∴∠ECF＝∠3+∠4＝135°．∴……（只需在答題卡對(duì)應(yīng)區(qū)域?qū)懗鍪Ｓ嘧C明過(guò)程）（2）【類比探究】如圖（2），當(dāng)k≠2時(shí)，求的值（用含k的式子表示）；（3）【拓展運(yùn)用】如圖（3），當(dāng)k＝3時(shí)，P為邊CD上一點(diǎn)，連接AP，PF，∠PAE＝45°，，求BC的長(zhǎng)．【動(dòng)態(tài)問(wèn)題小練】53.如圖，在中，已知，，，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，連結(jié)．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．求當(dāng)t取何值時(shí)，與相似？寫出所有的情況．54.已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；（2）如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形QPCP′為菱形？【規(guī)律類小練】