高中數(shù)學(xué) 第1章1.3正弦定理、余弦定理的應(yīng)用(一)配套訓(xùn)練 蘇教版必修5

§1.3正弦定理、余弦定理的應(yīng)用(一)一、基礎(chǔ)過關(guān)1．如圖，A、N兩點之間的距離為________．2．已知兩燈塔A和B與海洋觀測站C的距離都等于akm，燈塔A在觀測站C的北偏東20°方向上，燈塔B在觀測站C的南偏東40°方向上，則燈塔A與燈塔B的距離為_______km3．海上有A、B兩個小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是________nmile.4．如圖，為測一樹的高度，在地面上選取A、B兩點，從A、B兩點分別測得望樹尖的仰角為30°，45°，且A、B兩點之間的距離為60m，則樹的高度為______m.5．如圖，一貨輪航行到M處，測得燈塔S在貨輪的北偏東15°的方向上，與燈塔S相距20海里，隨后貨輪按北偏西30°的方向航行30分鐘后到達(dá)N處，又測得燈塔在貨輪的東北方向，則貨輪的速度為________海里/小時．6．如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，現(xiàn)測得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點C測得塔頂A的仰角為θ，則塔高AB為________．7．要測量對岸兩點A、B之間的距離，選取相距eq\r(3)km的C、D兩點，并測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之間的距離．8．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連成30°角，求兩條船之間的距離．二、能力提升9．臺風(fēng)中心從A地以每小時20千米的速度向東北方向移動，離臺風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危險區(qū)內(nèi)的持續(xù)時間為________小時．10．太湖中有一小島，沿太湖有一條正南方向的公路，一輛汽車測得小島在公路的南偏西15°的方向上，汽車行駛1km后，又測得小島在南偏西75°的方向上，則小島到公路的距離是________km.11.如圖所示，在斜度一定的山坡上一點A測得山頂上一建筑物頂端C對于山坡的斜度為α，向山頂前進(jìn)am到達(dá)B點，從B點測得斜度為β，設(shè)建筑物的高為hm，山坡對于地平面的傾斜角為θ，求證：cosθ＝eq\f(asinαsinβ,hsinβ－α).三、探究與拓展12．在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°的方向，距離A(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船，在A處北偏西75°的方向，距離A2nmile的C處的緝私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船．此時，走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°的方向逃竄，問緝私船沿什么方向能最快追上走私船？答案1．40eq\r(3)2.eq\r(3)a3.5eq\r(6)4.30＋30eq\r(3)5．20(eq\r(6)－eq\r(2))6.eq\f(s·tanθsinβ,sinα＋β)7．解如圖所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(km)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，∴AB＝eq\r(5)(km)．∴A、B之間的距離為eq\r(5)km.8．解如圖所示：∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.∵AB＝30(m)，∴BC＝30(m)，BD＝eq\f(30,tan30°)＝30eq\r(3)(m)．在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos30°＝900，∴CD＝30(m)，即兩船相距30m.9．1解析設(shè)t小時后，B市處于危險區(qū)內(nèi)，則由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40cos45°≤302.化簡得4t2－8eq\r(2)t＋7≤0，∴t1＋t2＝2eq\r(2)，t1·t2＝eq\f(7,4).從而|t1－t2|＝eq\r(t1＋t22－4t1t2)＝1.10.eq\f(\r(3),6)11．證明在△ABC中，由正弦定理，可知eq\f(AC,sin∠CBA)＝eq\f(a,sin∠ACB)，即eq\f(AC,sinπ－β)＝eq\f(a,sinβ－α).∴AC＝eq\f(asinβ,sinβ－α).在△ADC中，由正弦定理，知eq\f(h,sinα)＝eq\f(AC,sin∠CDA).又∠CDA＝90°＋θ，∴eq\f(h,sinα)＝eq\f(\f(asinβ,sinβ－α),cosθ).整理，得cosθ＝eq\f(asinαsinβ,hsinβ－α).12．解如圖所示，設(shè)緝私船用th在D處追上走私船，則有CD＝10eq\r(3)t，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝eq\r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(eq\r(3)－1)2＋22－2×(eq\r(3)－1)×2×cos120°＝6，∴BC＝eq\r(6)(nmile)，且sin∠ABC＝eq\f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq\f(2,\r(6))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(2),2).∴∠ABC＝45°，∴BC與正北方向垂直．∵∠C