高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示第2課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)新人教A版必修4

2.3平面對(duì)量的基本定理及坐標(biāo)表示（第2課時(shí)）2.3.3平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算2.3.4平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示一、教學(xué)分析1.前面學(xué)習(xí)了平面對(duì)量的坐標(biāo)表示,實(shí)際是平面對(duì)量的代數(shù)表示.在引入了平面對(duì)量的坐標(biāo)表示后可使向量完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái),這就可以使許多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算.2.本小節(jié)主要是運(yùn)用向量線性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、安排律,推導(dǎo)兩個(gè)向量的和的坐標(biāo)、差的坐標(biāo)以及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算.推導(dǎo)的關(guān)鍵是敏捷運(yùn)用向量線性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和安排律.3.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后,向量的線性運(yùn)算可以通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn),一個(gè)自然的想法是向量的某些關(guān)系,特殊是向量的平行、垂直,是否也能通過(guò)坐標(biāo)來(lái)探討呢?前面已經(jīng)找出兩個(gè)向量共線的條件(假如存在實(shí)數(shù)λ,使得a=λb,那么a與b共線),本節(jié)則進(jìn)一步地把向量共線的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示.這種轉(zhuǎn)化是比較簡(jiǎn)潔的,只要將向量用坐標(biāo)表示出來(lái),再運(yùn)用向量相等的條件就可以得出平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示.要留意的是,向量的共線與向量的平行是一樣的.二、教學(xué)目標(biāo)1．學(xué)問(wèn)與技能駕馭平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算；會(huì)依據(jù)向量的坐標(biāo)，推斷向量是否共線。2．過(guò)程與方法通過(guò)對(duì)共線向量坐標(biāo)關(guān)系的探究，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的實(shí)力。3．情感看法與價(jià)值觀學(xué)會(huì)用坐標(biāo)進(jìn)行向量的相關(guān)運(yùn)算，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。三、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算。教學(xué)難點(diǎn)：向量的坐標(biāo)表示的理解及運(yùn)算的精確.四、教學(xué)設(shè)想（一）導(dǎo)入新課思路1.向量具有代數(shù)特征,與平面直角坐標(biāo)系緊密相聯(lián).那么我們?cè)趯W(xué)習(xí)直線和圓的方程以及點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系時(shí),直線與直線的平行是一種重要的關(guān)系.關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同時(shí)為零)何時(shí)所體現(xiàn)的兩條直線平行？向量的共線用代數(shù)運(yùn)算如何體現(xiàn)？思路2.對(duì)于平面內(nèi)的隨意向量a,過(guò)定點(diǎn)O作向量=a,則點(diǎn)A的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.假如以定點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,那么點(diǎn)A的位置可通過(guò)其坐標(biāo)來(lái)反映,從而向量a也可以用坐標(biāo)來(lái)表示,這樣我就可以通過(guò)坐標(biāo)來(lái)探討向量問(wèn)題了.事實(shí)上,向量的坐標(biāo)表示,實(shí)際是向量的代數(shù)表示.引入向量的坐標(biāo)表示可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái),這就可以使許多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算.引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后,向量的線性運(yùn)算可以通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn),那么向量的平行、垂直,是否也能通過(guò)坐標(biāo)來(lái)探討呢？（二）推動(dòng)新課、新知探究、提出問(wèn)題①我們探討了平面對(duì)量的坐標(biāo)表示,現(xiàn)在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐標(biāo)表示嗎?②如圖1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎樣表示的坐標(biāo)？你能在圖中標(biāo)出坐標(biāo)為(x2-x1,y2-y1)的P點(diǎn)嗎?標(biāo)出點(diǎn)P后,你能總結(jié)出什么結(jié)論?活動(dòng):老師讓學(xué)生通過(guò)向量的坐標(biāo)表示來(lái)進(jìn)行兩個(gè)向量的加、減運(yùn)算,老師可以讓學(xué)生到黑板去板書步驟.可得:圖1a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).老師和學(xué)生一起總結(jié),把上述結(jié)論用文字?jǐn)⑹龇謩e為:兩個(gè)向量和(差)的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和(差);實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).老師再引導(dǎo)學(xué)生找出點(diǎn)與向量的關(guān)系:將向量平移,使得點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,則平移后的B點(diǎn)位置就是P點(diǎn).向量的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為始點(diǎn),點(diǎn)P為終點(diǎn)的向量坐標(biāo)是相同的,這樣就建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系.學(xué)生通過(guò)平移也可以發(fā)覺(jué):向量的模與向量的模是相等的.由此,我們可以得出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式:||=||=.老師對(duì)總結(jié)完全的同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng),并激勵(lì)學(xué)生,只要擅長(zhǎng)開(kāi)動(dòng)腦筋,勇于創(chuàng)新,綻開(kāi)思維的翅膀,就確定能獲得意想不到的收獲.探討結(jié)果:①能.②=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).結(jié)論:一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).提出問(wèn)題①如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量?②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么是向量a、b共線的什么條件?活動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生類比直線平行的特點(diǎn)來(lái)推導(dǎo)向量共線時(shí)的關(guān)系.此處老師要對(duì)探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我們知道,a、b共線,當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.假如用坐標(biāo)表示,可寫為(x1,y1)=λ(x2,y2),即消去λ后得x1y2-x2y1=0.這就是說(shuō),當(dāng)且僅當(dāng)x1y2-x2y1=0時(shí)向量a、b(b≠0)共線.又我們知道x1y2-x2y1=0與x1y2=x2y1是等價(jià)的,但這與是不等價(jià)的.因?yàn)楫?dāng)x1=x2=0時(shí),x1y2-x2y1=0成立,但均無(wú)意義.因此是向量a、b共線的充分不必要條件.由此也看出向量的應(yīng)用更具一般性,更簡(jiǎn)捷、好用,讓學(xué)生細(xì)致體會(huì)這點(diǎn).探討結(jié)果:①x1y2-x2y1=0時(shí),向量a、b(b≠0)共線.②充分不必要條件.提出問(wèn)題a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ使得a=λb,那么這個(gè)充要條件如何用坐標(biāo)來(lái)表示呢？活動(dòng):老師引導(dǎo)推證:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a,由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ,得x1y2-x2y1=0.探討結(jié)果:a∥b(b≠0)的充要條件是x1y2-x2y1=0.老師應(yīng)向?qū)W生特殊提示感悟:1°消去λ時(shí)不能兩式相除,∵y1、y2有可能為0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一個(gè)不為0.2°充要條件不能寫成(∵x1、x2有可能為0).3°從而向量共線的充要條件有兩種形式:a∥b(b≠0)（三）應(yīng)用示例思路1例1已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐標(biāo).活動(dòng):本例是向量代數(shù)運(yùn)算的簡(jiǎn)潔應(yīng)用,讓學(xué)生依據(jù)向量的線性運(yùn)算進(jìn)行向量的和、差及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算,再依據(jù)向量的線性運(yùn)算律和向量的坐標(biāo)概念得出的結(jié)論.若已知表示向量的有向線段的始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo),那么終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)就是此向量的坐標(biāo),從而使得向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)可以相互轉(zhuǎn)化.可由學(xué)生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).點(diǎn)評(píng):本例是平面對(duì)量坐標(biāo)運(yùn)算的常規(guī)題,目的是熟識(shí)平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算公式.變式訓(xùn)練1.已知平面對(duì)量a=(1,1),b=(1,-1),則向量ab等于()A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.已知向量a=(-5,6),b=(6,5),則a與b()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:A圖2例2如圖2,已知ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo).活動(dòng):本例的目的仍舊是讓學(xué)生熟識(shí)平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算.這里給出了兩種解法:解法一利用“兩個(gè)向量相等,則它們的坐標(biāo)相等”,解題過(guò)程中應(yīng)用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量的坐標(biāo),進(jìn)而得到點(diǎn)D的坐標(biāo).解題過(guò)程中,關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系),數(shù)形結(jié)合地思索,將頂點(diǎn)D的坐標(biāo)表示為已知點(diǎn)的坐標(biāo).解:方法一:如圖2,設(shè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y).∵=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y).由=,得(1,2)=(3-x,4-y).∴∴∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).方法二:如圖2,由向量加法的平行四邊形法則,可知=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,2).點(diǎn)評(píng):本例的目的仍舊是讓學(xué)生熟識(shí)平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算.變式訓(xùn)練圖3如圖3,已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點(diǎn)D的坐標(biāo)使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形四個(gè)頂點(diǎn).解:當(dāng)平行四邊形為ABCD時(shí),仿例二得:D1=(2,2);當(dāng)平行四邊形為ACDB時(shí),仿例二得:D2=(4,6);當(dāng)平行四邊形為DACB時(shí),仿上得:D3=(-6,0).例3已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試推斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.活動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的共線來(lái)推斷.首先要探究三個(gè)點(diǎn)組合成兩個(gè)向量,然后依據(jù)兩個(gè)向量共線的充要條件來(lái)推斷這兩個(gè)向量是否共線從而來(lái)推斷這三點(diǎn)是否共線.老師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解并嫻熟地運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)形式來(lái)推斷向量之間的關(guān)系.讓學(xué)生通過(guò)視察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式.解:在平面直角坐標(biāo)系中作出A、B、C三點(diǎn),視察圖形,我們猜想A、B、C三點(diǎn)共線.下面給出證明.∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-3×4=0,∴∥,且直線AB、直線AC有公共點(diǎn)A,∴A、B、C三點(diǎn)共線.點(diǎn)評(píng):本例的解答給出了推斷三點(diǎn)共線的一種常用方法,其實(shí)質(zhì)是從同一點(diǎn)動(dòng)身的兩個(gè)向量共線,則這兩個(gè)向量的三個(gè)頂點(diǎn)共線.這是從平面幾何中推斷三點(diǎn)共線的方法移植過(guò)來(lái)的.變式訓(xùn)練已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y.解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2例2設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn),P1、P2的坐標(biāo)分別是(x1,y1)、(x2,y2).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).活動(dòng):老師充分讓學(xué)生思索,并提出這一結(jié)論可以推廣嗎?即當(dāng)=λ時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么?師生共同探討,一起探究,可依據(jù)求中點(diǎn)坐標(biāo)的解題思路類比推廣,有學(xué)生可能提出如下推理方法:由=λ,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),即這就是線段的定比分點(diǎn)公式,老師要賜予充分確定,激勵(lì)學(xué)生的這種主動(dòng)探究,這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要品質(zhì).時(shí)間允許的話,可以探究λ的取值符號(hào)對(duì)P點(diǎn)位置的影響,也可激勵(lì)學(xué)生課后探究.圖4解:(1)如圖4,由向量的線性運(yùn)算可知=(1+2)=().所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是()(2)如圖5,當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí),有兩種狀況,即=或=2.假如=,那么圖5=+=+=+(-)=+=().即點(diǎn)P的坐標(biāo)是().同理,假如=2,那么點(diǎn)P的坐標(biāo)是點(diǎn)評(píng):本例事實(shí)上給出了線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和線段的三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式.變式訓(xùn)練在△ABC中,已知點(diǎn)A(3,7)、B(-2,5).若線段AC、BC的中點(diǎn)都在坐標(biāo)軸上,求點(diǎn)C的坐標(biāo).解:(1)若AC的中點(diǎn)在y軸上,則BC的中點(diǎn)在x軸上,設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式,得∴x=-3,y=-5,即C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5).(2)若AC的中點(diǎn)在x軸上,則BC的中點(diǎn)在y軸上,則同理可得C點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-7).綜合(1)(2),知C點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,-5)或(2,-7).例2已知點(diǎn)A(1,2),B(4,5),O為坐標(biāo)原點(diǎn),=+t.若點(diǎn)P在其次象限,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.活動(dòng):老師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的相等,把已知條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程(組)或不等式(組)再進(jìn)行求解.老師以提問(wèn)的方式來(lái)了解學(xué)生組織步驟的實(shí)力,或者讓學(xué)生到黑板上去板書解題過(guò)程,并對(duì)思路清楚過(guò)程正確的同學(xué)進(jìn)行表?yè)P(yáng),同時(shí)也要對(duì)組織步驟不完全的同學(xué)給與提示和激勵(lì).老師要讓學(xué)生明白“化歸”思想的利用.不等式求變量取值范圍的基本觀點(diǎn)是,將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的不等式(組),那么變量的取值范圍就是這個(gè)不等式(組)的解集.解:由已知=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).若點(diǎn)P在其次象限,則故t的取值范圍是(,).點(diǎn)評(píng):此題通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算,將點(diǎn)P的坐標(biāo)用t表示,由點(diǎn)P在其次象限可得到一個(gè)關(guān)于t的不等式組,這個(gè)不等式組的解集就是t的取值范圍.變式訓(xùn)練已知=(cosθ,sinθ),=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求||的取值范圍.解:∵=-=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).∴||2=(1+sinθ-cosθ)2+(1+cosθ-sinθ)2=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cos