高中數(shù)學第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐標表示第2課時教學設(shè)計新人教A版必修4

2.3平面對量的基本定理及坐標表示（第2課時）2.3.3平面對量的坐標運算2.3.4平面對量共線的坐標表示一、教學分析1.前面學習了平面對量的坐標表示,實際是平面對量的代數(shù)表示.在引入了平面對量的坐標表示后可使向量完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來,這就可以使許多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學生熟知的數(shù)量運算.2.本小節(jié)主要是運用向量線性運算的交換律、結(jié)合律、安排律,推導兩個向量的和的坐標、差的坐標以及數(shù)乘的坐標運算.推導的關(guān)鍵是敏捷運用向量線性運算的交換律、結(jié)合律和安排律.3.引進向量的坐標表示后,向量的線性運算可以通過坐標運算來實現(xiàn),一個自然的想法是向量的某些關(guān)系,特殊是向量的平行、垂直,是否也能通過坐標來探討呢?前面已經(jīng)找出兩個向量共線的條件(假如存在實數(shù)λ,使得a=λb,那么a與b共線),本節(jié)則進一步地把向量共線的條件轉(zhuǎn)化為坐標表示.這種轉(zhuǎn)化是比較簡潔的,只要將向量用坐標表示出來,再運用向量相等的條件就可以得出平面對量共線的坐標表示.要留意的是,向量的共線與向量的平行是一樣的.二、教學目標1．學問與技能駕馭平面對量的坐標運算；會依據(jù)向量的坐標，推斷向量是否共線。2．過程與方法通過對共線向量坐標關(guān)系的探究，提高分析問題、解決問題的實力。3．情感看法與價值觀學會用坐標進行向量的相關(guān)運算，理解數(shù)學內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系。三、教學重點與難點教學重點：平面對量的坐標運算。教學難點：向量的坐標表示的理解及運算的精確.四、教學設(shè)想（一）導入新課思路1.向量具有代數(shù)特征,與平面直角坐標系緊密相聯(lián).那么我們在學習直線和圓的方程以及點、直線、平面之間的位置關(guān)系時,直線與直線的平行是一種重要的關(guān)系.關(guān)于x、y的二元一次方程Ax+By+C=0(A、B不同時為零)何時所體現(xiàn)的兩條直線平行？向量的共線用代數(shù)運算如何體現(xiàn)？思路2.對于平面內(nèi)的隨意向量a,過定點O作向量=a,則點A的位置被向量a的大小和方向所唯一確定.假如以定點O為原點建立平面直角坐標系,那么點A的位置可通過其坐標來反映,從而向量a也可以用坐標來表示,這樣我就可以通過坐標來探討向量問題了.事實上,向量的坐標表示,實際是向量的代數(shù)表示.引入向量的坐標表示可使向量運算完全代數(shù)化,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來,這就可以使許多幾何問題的解答轉(zhuǎn)化為學生熟知的數(shù)量運算.引進向量的坐標表示后,向量的線性運算可以通過坐標運算來實現(xiàn),那么向量的平行、垂直,是否也能通過坐標來探討呢？（二）推動新課、新知探究、提出問題①我們探討了平面對量的坐標表示,現(xiàn)在已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a+b,a-b,λa的坐標表示嗎?②如圖1,已知A(x1,y1),B(x2,y2),怎樣表示的坐標？你能在圖中標出坐標為(x2-x1,y2-y1)的P點嗎?標出點P后,你能總結(jié)出什么結(jié)論?活動:老師讓學生通過向量的坐標表示來進行兩個向量的加、減運算,老師可以讓學生到黑板去板書步驟.可得:圖1a+b=(x1ｉ+y1j)+(x2ｉ+y2j)=(x1+x2)ｉ+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又λa=λ(x1ｉ+y1j)=λx1ｉ+λy1j.∴λa=(λx1,λy1).老師和學生一起總結(jié),把上述結(jié)論用文字敘述分別為:兩個向量和(差)的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和(差);實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標.老師再引導學生找出點與向量的關(guān)系:將向量平移,使得點A與坐標原點O重合,則平移后的B點位置就是P點.向量的坐標與以原點為始點,點P為終點的向量坐標是相同的,這樣就建立了向量的坐標與點的坐標之間的聯(lián)系.學生通過平移也可以發(fā)覺:向量的模與向量的模是相等的.由此,我們可以得出平面內(nèi)兩點間的距離公式:||=||=.老師對總結(jié)完全的同學進行表揚,并激勵學生,只要擅長開動腦筋,勇于創(chuàng)新,綻開思維的翅膀,就確定能獲得意想不到的收獲.探討結(jié)果:①能.②=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).結(jié)論:一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始點的坐標.提出問題①如何用坐標表示兩個共線向量?②若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么是向量a、b共線的什么條件?活動:老師引導學生類比直線平行的特點來推導向量共線時的關(guān)系.此處老師要對探究困難的學生給以必要的點撥:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.我們知道,a、b共線,當且僅當存在實數(shù)λ,使a=λb.假如用坐標表示,可寫為(x1,y1)=λ(x2,y2),即消去λ后得x1y2-x2y1=0.這就是說,當且僅當x1y2-x2y1=0時向量a、b(b≠0)共線.又我們知道x1y2-x2y1=0與x1y2=x2y1是等價的,但這與是不等價的.因為當x1=x2=0時,x1y2-x2y1=0成立,但均無意義.因此是向量a、b共線的充分不必要條件.由此也看出向量的應(yīng)用更具一般性,更簡捷、好用,讓學生細致體會這點.探討結(jié)果:①x1y2-x2y1=0時,向量a、b(b≠0)共線.②充分不必要條件.提出問題a與非零向量b為共線向量的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ使得a=λb,那么這個充要條件如何用坐標來表示呢？活動:老師引導推證:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠a,由a=λb,(x1,y1)=λ(x2,y2)消去λ,得x1y2-x2y1=0.探討結(jié)果:a∥b(b≠0)的充要條件是x1y2-x2y1=0.老師應(yīng)向?qū)W生特殊提示感悟:1°消去λ時不能兩式相除,∵y1、y2有可能為0,而b≠0,∴x2、y2中至少有一個不為0.2°充要條件不能寫成(∵x1、x2有可能為0).3°從而向量共線的充要條件有兩種形式:a∥b(b≠0)（三）應(yīng)用示例思路1例1已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐標.活動:本例是向量代數(shù)運算的簡潔應(yīng)用,讓學生依據(jù)向量的線性運算進行向量的和、差及數(shù)乘的坐標運算,再依據(jù)向量的線性運算律和向量的坐標概念得出的結(jié)論.若已知表示向量的有向線段的始點和終點坐標,那么終點的坐標減去始點的坐標就是此向量的坐標,從而使得向量的坐標與點的坐標可以相互轉(zhuǎn)化.可由學生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).點評:本例是平面對量坐標運算的常規(guī)題,目的是熟識平面對量的坐標運算公式.變式訓練1.已知平面對量a=(1,1),b=(1,-1),則向量ab等于()A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)答案:D2.已知向量a=(-5,6),b=(6,5),則a與b()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向答案:A圖2例2如圖2,已知ABCD的三個頂點A、B、C的坐標分別是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),試求頂點D的坐標.活動:本例的目的仍舊是讓學生熟識平面對量的坐標運算.這里給出了兩種解法:解法一利用“兩個向量相等,則它們的坐標相等”,解題過程中應(yīng)用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四邊形法則求得向量的坐標,進而得到點D的坐標.解題過程中,關(guān)鍵是充分利用圖形中各線段的位置關(guān)系(主要是平行關(guān)系),數(shù)形結(jié)合地思索,將頂點D的坐標表示為已知點的坐標.解:方法一:如圖2,設(shè)頂點D的坐標為(x,y).∵=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y).由=,得(1,2)=(3-x,4-y).∴∴∴頂點D的坐標為(2,2).方法二:如圖2,由向量加法的平行四邊形法則,可知=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),∴頂點D的坐標為(2,2).點評:本例的目的仍舊是讓學生熟識平面對量的坐標運算.變式訓練圖3如圖3,已知平面上三點的坐標分別為A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求點D的坐標使這四點構(gòu)成平行四邊形四個頂點.解:當平行四邊形為ABCD時,仿例二得:D1=(2,2);當平行四邊形為ACDB時,仿例二得:D2=(4,6);當平行四邊形為DACB時,仿上得:D3=(-6,0).例3已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),試推斷A、B、C三點之間的位置關(guān)系.活動:老師引導學生利用向量的共線來推斷.首先要探究三個點組合成兩個向量,然后依據(jù)兩個向量共線的充要條件來推斷這兩個向量是否共線從而來推斷這三點是否共線.老師引導學生進一步理解并嫻熟地運用向量共線的坐標形式來推斷向量之間的關(guān)系.讓學生通過視察圖象領(lǐng)悟先猜后證的思維方式.解:在平面直角坐標系中作出A、B、C三點,視察圖形,我們猜想A、B、C三點共線.下面給出證明.∵=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-(-1),5-(-1))=(3,6),又2×6-3×4=0,∴∥,且直線AB、直線AC有公共點A,∴A、B、C三點共線.點評:本例的解答給出了推斷三點共線的一種常用方法,其實質(zhì)是從同一點動身的兩個向量共線,則這兩個向量的三個頂點共線.這是從平面幾何中推斷三點共線的方法移植過來的.變式訓練已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,求y.解:∵a∥b,∴4y-2×6=0.∴y=3.思路2例2設(shè)點P是線段P1P2上的一點,P1、P2的坐標分別是(x1,y1)、(x2,y2).(1)當點P是線段P1P2的中點時,求點P的坐標;(2)當點P是線段P1P2的一個三等分點時,求點P的坐標.活動:老師充分讓學生思索,并提出這一結(jié)論可以推廣嗎?即當=λ時,點P的坐標是什么?師生共同探討,一起探究,可依據(jù)求中點坐標的解題思路類比推廣,有學生可能提出如下推理方法:由=λ,知(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),即這就是線段的定比分點公式,老師要賜予充分確定,激勵學生的這種主動探究,這是學習數(shù)學的重要品質(zhì).時間允許的話,可以探究λ的取值符號對P點位置的影響,也可激勵學生課后探究.圖4解:(1)如圖4,由向量的線性運算可知=(1+2)=().所以點P的坐標是()(2)如圖5,當點P是線段P1P2的一個三等分點時,有兩種狀況,即=或=2.假如=,那么圖5=+=+=+(-)=+=().即點P的坐標是().同理,假如=2,那么點P的坐標是點評:本例事實上給出了線段的中點坐標公式和線段的三等分點坐標公式.變式訓練在△ABC中,已知點A(3,7)、B(-2,5).若線段AC、BC的中點都在坐標軸上,求點C的坐標.解:(1)若AC的中點在y軸上,則BC的中點在x軸上,設(shè)點C的坐標為(x,y),由中點坐標公式,得∴x=-3,y=-5,即C點坐標為(-3,-5).(2)若AC的中點在x軸上,則BC的中點在y軸上,則同理可得C點坐標為(2,-7).綜合(1)(2),知C點坐標為(-3,-5)或(2,-7).例2已知點A(1,2),B(4,5),O為坐標原點,=+t.若點P在其次象限,求實數(shù)t的取值范圍.活動:老師引導學生利用向量的坐標運算以及向量的相等,把已知條件轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程(組)或不等式(組)再進行求解.老師以提問的方式來了解學生組織步驟的實力,或者讓學生到黑板上去板書解題過程,并對思路清楚過程正確的同學進行表揚,同時也要對組織步驟不完全的同學給與提示和激勵.老師要讓學生明白“化歸”思想的利用.不等式求變量取值范圍的基本觀點是,將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的不等式(組),那么變量的取值范圍就是這個不等式(組)的解集.解:由已知=(4,5)-(1,2)=(3,3).∴=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).若點P在其次象限,則故t的取值范圍是(,).點評:此題通過向量的坐標運算,將點P的坐標用t表示,由點P在其次象限可得到一個關(guān)于t的不等式組,這個不等式組的解集就是t的取值范圍.變式訓練已知=(cosθ,sinθ),=(1+sinθ,1+cosθ),其中0≤θ≤π,求||的取值范圍.解:∵=-=(1+sinθ,1+cosθ)-(cosθ,sinθ)=(1+sinθ-cosθ,1+cosθ-sinθ).∴||2=(1+sinθ-cosθ)2+(1+cosθ-sinθ)2=［1+(sinθ-cosθ)］2+［1-(sinθ-cos