2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.5正態(tài)分布課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE課時(shí)作業(yè)(十三)正態(tài)分布[練基礎(chǔ)]1．(多選題)把一個(gè)正態(tài)曲線M沿著橫軸方向向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到一個(gè)新曲線N，則下列說(shuō)法正確的是()A．曲線N仍是正態(tài)曲線B．曲線M和曲線N的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等C．以曲線N為概率密度曲線的總體的期望，比以曲線M為概率密度曲線的總體期望大2D．以曲線N為概率密度曲線的總體的方差，比以曲線M為概率密度曲線的總體方差大22．某廠生產(chǎn)的零件外徑ξ～N(10，0.04)，今從該廠上午、下午生產(chǎn)的零件中各取一件，測(cè)得其外徑分別為9.9cm，9.3cm，則可認(rèn)為()A．上午生產(chǎn)狀況正常，下午生產(chǎn)狀況異樣B．上午生產(chǎn)狀況異樣，下午生產(chǎn)狀況正常C．上午、下午生產(chǎn)狀況均正常D．上午、下午生產(chǎn)狀況均異樣3．設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則有()A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ24．若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(2π))·e－eq\f(x2,2)，X在區(qū)間(－2，－1)和(1，2)內(nèi)取值的概率分別為p1，p2，則p1，p2的關(guān)系為()A．p1>p2B．p1<p2C．p1＝p2D．不確定5．已知隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝0.15，則P(2≤ξ<4)等于()A．0.3B．0.35C．0.5D．0.76．某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)的某種包裝的大米質(zhì)量ξ(單位：kg)聽從正態(tài)分布N(10，σ2)，依據(jù)檢測(cè)結(jié)果可知P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司為每位職工購(gòu)買一袋這種包裝的大米作為福利，若該公司有1000名職工，則分發(fā)到的大米質(zhì)量在9.9kg以下的職工數(shù)大約為()A．10B．20C．30D．407．已知隨機(jī)變量落在區(qū)間(0.2，＋∞)內(nèi)的概率為0.5，那么相應(yīng)的正態(tài)曲線f(x)在x＝________時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)．8．若隨機(jī)變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9545，設(shè)ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≥3)＝0.15865，則σ＝________．9．在某次大型考試中，某班同學(xué)的成果聽從正態(tài)分布N(80，52)，現(xiàn)在已知該班同學(xué)中成果在(80，85]的有17人，試估計(jì)該班成果在90分以上的同學(xué)有多少人．10．生產(chǎn)工藝過(guò)程中產(chǎn)品的尺寸偏差X(mm)～N(0，22)，假如產(chǎn)品的尺寸與現(xiàn)實(shí)的尺寸偏差的肯定值不超過(guò)4mm的為合格品，求生產(chǎn)5件產(chǎn)品的合格率不小于80%的概率．(精確到0.001)[提實(shí)力]11．已知檢測(cè)某元件的測(cè)量結(jié)果ξ聽從正態(tài)分布N(1，σ2)(σ>0)，且ξ在(0，1)內(nèi)取值的概率為0.4.任取這樣的元件100個(gè)，測(cè)量結(jié)果在(0，2)內(nèi)的元件個(gè)數(shù)的期望值為()A．40B．50C．80D．9012．設(shè)隨機(jī)變量η聽從正態(tài)分布N(1，σ2)，若P(η≤－1)＝0.2，則函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2＋η2x沒有極值點(diǎn)的概率是()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.813．某一部件由三個(gè)電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的運(yùn)用壽命(單位：時(shí))均聽從正態(tài)分布N(1000，502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的運(yùn)用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為________．eq\x(元件1)eq\x(元件3)eq\x(元件2)14．隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布X～N(10，σ2)，P(X>12)＝m，P(8≤X≤10)＝n，則eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為________．15．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z聽從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up6(－))，σ2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布，求P(187.8<Z<212.2).附：eq\r(150)≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9545.[戰(zhàn)疑難]16．某校高三年級(jí)學(xué)生一次數(shù)學(xué)診斷考試的成果(單位：分)X聽從正態(tài)分布N(110，102)，記X∈(90，110]為事務(wù)A，X∈(80，100]為事務(wù)B，則P(B|A)＝________．(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)附：P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.68；P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.95；P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.99.課時(shí)作業(yè)(十三)1．解析：由正態(tài)曲線的性質(zhì)，以及題設(shè)條件可知，兩個(gè)曲線都是正態(tài)曲線，形態(tài)一樣，說(shuō)明方差相等，所以D錯(cuò)誤，A正確，而位置是水平向右的平移，所以B正確，C正確．故選ABC.答案：ABC2．解析：因測(cè)量值ξ為隨機(jī)變量，又ξ～N(10，0.04)，所以μ＝10，σ＝0.2，記I＝(μ－3σ，μ＋3σ)＝(9.4，10.6)，9.9∈I，9.3?I.∴上午生產(chǎn)狀況正常，下午生產(chǎn)狀況異樣．故選A.答案：A3．解析：μ反映的是正態(tài)分布的平均水平，x＝μ是正態(tài)密度曲線的對(duì)稱軸，由圖可知μ1<μ2；σ反映的正態(tài)分布的離散程度，σ越大，越分散，曲線越“矮胖”，σ越小，越集中，曲線越“瘦高”，由圖可知σ1<σ2.故選A.答案：A4．解析：由正態(tài)曲線的對(duì)稱性及題意知：μ＝0，σ＝1，所以曲線關(guān)于直線x＝0對(duì)稱，所以p1＝p2.故選C.答案：C5．解析：依據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性及P(ξ<2)＝P(ξ>6)，得μ＝eq\f(2＋6,2)＝4，則P(2≤ξ<4)＝eq\f(1,2)P(2≤ξ<6)＝eq\f(1,2)×(1－0.15×2)＝0.35.故選B.答案：B6．解析：∵大米質(zhì)量ξ聽從正態(tài)分布N(10，σ2)，∴正態(tài)曲線關(guān)于直線ξ＝10對(duì)稱，∵P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，∴P(ξ<9.9)＝eq\f(1－0.96,2)＝0.02，∴分發(fā)到的大米質(zhì)量在9.9kg以下的職工數(shù)大約為0.02×1000＝20.故選B.答案：B7．解析：由正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱和隨機(jī)變量落在區(qū)間(0.2，＋∞)內(nèi)的概率為0.5，得μ＝0.2.∴正態(tài)曲線f(x)在x＝0.2時(shí)，達(dá)到最高點(diǎn)．答案：0.28．解析：∵P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6827，∴P(ξ≥μ＋σ)＝eq\f(1,2)×(1－0.6827)＝0.15865，∵ξ～N(1，σ2)，∴P(ξ≥1＋σ)＝0.15865，∴1＋σ＝3，即σ＝2.答案：29．解析：∵成果聽從正態(tài)分布N(80，52)，∴μ＝80，σ＝5，則μ－σ＝75，μ＋σ＝85.∴成果在(75，85]內(nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的68.27%.則成果在(80，85]內(nèi)的同學(xué)占全班同學(xué)的34.135%.設(shè)該班有x名同學(xué)，則x×34.135%＝17，解得x≈50.∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，∴成果在(70，90]內(nèi)的同學(xué)約占全班同學(xué)的95.45%.則成果在90分以上的同學(xué)占全班同學(xué)的2.275%.即有50×2.275%≈1(人)，即估計(jì)該班成果在90分以上的同學(xué)有1人．10．解析：由題意X～N(0，22)，求得P(|X|≤4)＝P(－4≤X≤4)＝0.9545.設(shè)Y表示5件產(chǎn)品中合格品個(gè)數(shù)，則Y～B(5，0.9545)，所以P(Y≥5×0.8)＝P(Y≥4)＝Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(5))·(0.9545)4×0.0455＋Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(5))·(0.9545)5≈0.1888＋0.7923≈0.981.故生產(chǎn)的5件產(chǎn)品的合格率不小于80%的概率約為0.981.11．解析：∵ξ聽從正態(tài)分布N(1，σ2)，且ξ在(0，1)內(nèi)取值的概率為0.4，由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可知ξ在(1，2)內(nèi)取值的概率也為0.4，∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)＝0.4＋0.4＝0.8，任取這樣的元件100個(gè)，測(cè)量結(jié)果在(0，2)內(nèi)的期望值為100×0.8＝80.故選C.答案：C12．解析：∵函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋x2＋η2x沒有極值點(diǎn)，∴f′(x)＝x2＋2x＋η2＝0無(wú)解或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝4－4η2≤0，解得η≤－1或η≥1.∵隨機(jī)變量η聽從正態(tài)分布N(1，σ2)，P(η≤－1)＝0.2，∴P(η≤－1或η≥1)＝0.2＋0.5＝0.7，故選C.答案：C13．解析：由三個(gè)電子元件的運(yùn)用壽命均聽從正態(tài)分布N(1000，502)得，三個(gè)電子元件的運(yùn)用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為p＝eq\f(1,2).運(yùn)用壽命超過(guò)1000小時(shí)的元件1或元件2正常工作的概率為p1＝1－(1－p)2＝eq\f(3,4).那么該部件的運(yùn)用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為p2＝p1×p＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).答案：eq\f(3,8)14．解析：依題意，知μ＝10，依據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性及X在區(qū)間(－∞，＋∞)上的概率為1，知2P(X>12)＋2P(8≤X≤10)＝2m＋2n＝1，又m>0，n>0，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(2m＋2n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3＋\f(n,m)＋\f(2m,n)))≥6＋4eq\r(\f(n,m)·\f(2m,n))＝6＋4eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(n,m)＝eq\f(2m,n)，即n＝eq\r(2)m時(shí)，等號(hào)成立．答案：6＋4eq\r(2)15．解析：(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)eq\o(x,\s\up9(－))和樣本方差s2分別為eq\o(x,\s\up9(－))＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.0