原子核的殼模型

§8.2、原子核的殼模型（Shellmodel）1、原子中電子的殼層結(jié)構(gòu)在原子中，處于中心的原子核對于周圍的電子來講可以看作是點電荷，它的庫侖場是有心力場?？梢越频恼J(rèn)為每個電子是在核和其它電子所組成的平均場中各自獨立的運動，這個平均場是一種有心場。根據(jù)量子力學(xué)，電子的運動狀態(tài)由四個量子數(shù)n,l,,來描述。

n---主量子數(shù)

l---軌道角動量量子數(shù)

,---軌道磁量子數(shù)和自旋磁量子數(shù)

n取正整數(shù)：n=1,2,3,……

對一定的n,l取值,l=0,1,2,…n-1，共n。對一定的l,取值：

=l,l-1,l-2,…,-l

共2l+1

對一個,=±1/2

對于庫侖場，在不考慮電子自旋與軌道運動相互作用的情況下，電子的能量狀態(tài)由n和l決定。

對某一個確定的n,l相同的狀態(tài)，能量都一樣，因而某一給定l的2l+1個狀態(tài)，能量都相同。由泡利不相容原理，對于自旋s=1/2的電子，它服從泡利原理。這樣，在能量相同的同一個l能級上總共可以容納2(2l+1)個電子。對于l=0,1,2,3,4,5,6,7,分別用s,p,d,f,g,h,I,j,…表示

∴對于s能級，最多容納的電子數(shù)N=2

對于p能級，N=6

對于d能級，N=10

對于f能級，N=14

對于g能級，N=18

對于h能級，N=22

對于i能級，N=26

對于j能級，N=30

由于內(nèi)層電子對外層電子的屏蔽作用，實際的有心場與庫侖場有所不同，所得的能級次序見下表。

由于處于最低能級最穩(wěn)定，但由于泡利原理的限制，每一能級最多只能填充N=2（2l+1）個電子。這樣就可把電子按從低能級往高能級的次序逐個填充，從而形成所謂殼層結(jié)構(gòu)。滿殼層時的電子數(shù)為2，10，18，36，54，86，它們正是惰性氣體氦、氖、氬、氪、氙、氡的原子序數(shù)。2、核內(nèi)存在殼層結(jié)構(gòu)的條件如果原子核中也存在類似于原子的殼層結(jié)構(gòu)，則須滿足下列條件：

1）、在每一個能級上，容納核子的數(shù)目應(yīng)當(dāng)有一定的限制。

2）、核內(nèi)存在一個平均場，對于接近球形的原子核，這個平均場是一種有心場。3）、每個核子在核內(nèi)的運動應(yīng)當(dāng)是各自獨立的。第一個條件是滿足的，由于中子和質(zhì)子都是自旋為1/2的粒子，所以都服從泡利原理，從而每個中子和質(zhì)子的能級容納核子的數(shù)目受到一定的限制。中子和質(zhì)子有可能各自組成自己的能級殼層。后兩個條件看來很難滿足，這是由于原子核的情況與原子的情況有很大的不同。第一，原子中的庫侖力是一種長程力，而原子核中核子之間的作用力主要是短程力，因而原子核中不象原子中那樣存在一個明顯的有心力。第二，核中的核子的密度與原子中的電子密度相比，大得不可比擬，以致核子在核中的平均自由程可以比核半徑小得多，于是可以想象核子間似應(yīng)不斷發(fā)生碰撞，因而很難理解在核子中的運動可以是各自獨立的。正由于上述二方面的原因，核內(nèi)存在殼層結(jié)構(gòu)受到懷疑，以致在很長時期殼層模型沒有得到發(fā)展。3、核的殼模型的基本思想

1）、原子核中雖然不存在與原子中相類似的不變的中心場，但我們可以把原子核中的每個核子看作是在一個平均場中運動，這個平均場是所有其他核子對一個核子作用場的總和。對于接近球形的原子核，可以認(rèn)為這個平均場是個有心場。2）、泡利原理不但限制了每一能級所容納核子的數(shù)目，作為泡利原理應(yīng)用的引伸，原子核中核子與核子的碰撞也受到極大限制。因為處于基態(tài)的原子核，它的低能態(tài)填滿了核子。如果兩個核子發(fā)生碰撞使核子狀態(tài)改變，則根據(jù)泡利原理，這兩個核子只有去占據(jù)未被核子所占有的態(tài)，這種碰撞的幾率是很小的。這就使得單個核子還能保持原來的運動狀態(tài)，即單個核子能在核中獨立運動。所以，殼模型也叫獨立粒子模型。4、球形核中單粒子勢及單粒子能級1）、體系的哈密頓量及平均勢多核子系統(tǒng)的Schr?dinger方程為：

其中：H為原子核的哈密頓算符，一般形式為：式中：T（i）——第i個粒子的動能算符

V（ij）——兩個粒子之間的相互作用勢能對于原子核體系，Schr?dinger方程的嚴(yán)格求解是難以辦到的根據(jù)殼模型的基本思想，引進一個平均勢場V(i),代替第i個核子所受到的來自其他(A-1)個粒子的平均勢，則體系的哈密頓量為：其中：為粒子運動哈密頓量

為剩余相互作用求解Schr?dinger方程的一種近似途徑是選擇一個較好的平均勢V(i),使剩余相互作用和相比很小，可當(dāng)作微擾來處理。在獨立粒子近似下，忽略剩余相互作用，則Schr?dinger方程變?yōu)椋合到y(tǒng)得總能量為：系統(tǒng)的波函數(shù)就是單粒子波函數(shù)的乘積

由此可見，在殼模型的假定下，就把一個多體問題化成單粒子在平均勢場下運動的單體問題。對于球形核或幻數(shù)附近核，平均單粒子勢可取中心勢，這種勢只跟核子與勢場中心的距離有關(guān)，而與方向無關(guān)?？紤]到原子核具有一個比較明顯的表面，且核力又是短程的，那么當(dāng)核內(nèi)的核子離開表面的距離大于核力作用范圍時，此核子受到周圍核子作用的凈力為零，即平均勢應(yīng)為常數(shù)。最簡單的中心場勢為方阱勢，諧振子勢及Woods-Saxon勢，下面分別討論：（1）、球方阱勢R---勢阱半徑

V0---勢阱深度（2）、球形諧振子勢（V0=Constant）m--核子質(zhì)量（3）、Woods-Saxon勢一般?。浩渲校篤0<0,為常數(shù)；c，a>0說明：①、球方勢阱的物理意義表示核子在原子核內(nèi)部和外部都不受力，只在核的邊界上才受到很強的向里的力。②、諧振子勢阱則表示核子在原子核的中心附近不受力，當(dāng)核子從核中心附近向外移動時，受到一個逐漸變強的向里的力。③、諧振子勢沒有把核力的作用范圍限于核內(nèi)，直角勢阱則認(rèn)為核子從核的邊界往外移動時所受的向里的力會發(fā)生從極大到零的突變，這些都與實際情況不相符合。④、直角勢阱把核子從核的邊界往里移動時所受向里的力的變化描寫的太快，這只是一種極端的近似，而諧振子勢阱則把這種變化描寫的又太慢了。⑤、Woods-Saxon勢阱是一種比較合理的勢阱，但用這種勢阱進行處理在數(shù)學(xué)上十分麻煩。⑥、理論計算表明，不同勢阱的選擇對推得能級的次序影響極小。2）、球形諧振子勢阱下單粒子運動能級為了符合實驗，一般取利用量子力學(xué)，求得單粒子運動的能量其中：l=0,1,2,3,…的能級分別用s,p,d,f,…表示，在球形諧振子勢阱下，單粒子運動的能級由決定，又決定于v和l①當(dāng)=0，則，v=1,l=0

即=0的能級只有1s一個狀態(tài)②當(dāng)=1，則，v=1,l=1=1的能級只有1p一個狀態(tài)

=2,有兩組v和l

④=3，有兩種狀態(tài)

=4，有三種狀態(tài)

…

…

根據(jù)泡利原理，同一l的狀態(tài)最多能容納2(2l+1)個同類核子，從而可以得出諧振子勢阱中同類核子填滿相應(yīng)能級時的總數(shù)。由下表看出諧振子勢阱只給出前面三個幻數(shù)：2，8，20，其它幻數(shù)沒有出現(xiàn)。3）、直角方阱勢下單粒子的運動能級在直角方阱勢下：單核子運動的能量利用量子力學(xué)求得為：式中：是貝塞爾函數(shù)的根。

k——核子的波數(shù)的數(shù)值見上表所示，它決定了能級次序。

在直角勢阱中能級的退化得到部分消除，不同狀態(tài)（v,l）具有不同的能量，而且能級的的次序也與諧振子情形不同，它也只能給出三個幻數(shù)：2，8，20，其他幻數(shù)同樣不能出現(xiàn)。

下頁圖給出兩種勢阱得出的能級次序，兩邊標(biāo)有各種量子態(tài)以及各能級能容納的核子數(shù)，方括號中的數(shù)字表示從最低能級直到該能級可容納的核子總數(shù)。由于核子在真正核場中的能級應(yīng)介于兩者之間，這種能級可以對以上兩種能級用內(nèi)插法粗糙地求得。由圖可見，內(nèi)插法獲得的能級同樣不能得出所有幻數(shù)，也只能出現(xiàn)前三個：2，8，20.5、自旋—軌道耦合在諧振子勢阱和方勢阱的討論中，我們都沒有考慮核子的自旋和軌道耦合問題。實驗表明，核子的自旋—軌道耦合不但存在，而且這種耦合作用是很強的。

1949年，在大量實驗事實的啟示下，M.G.MayerandJ.H.D.Jensen獨立提出了強自旋—軌道耦合模型，使問題的解決有了關(guān)鍵性的突破。他們把方勢阱和諧振子勢看成兩種極端的情況，取平均后加上一項強自旋—軌道耦合項。從而使單粒子能級發(fā)生了大的分裂得到全部幻數(shù)。由于核子的自旋—軌道角動量的耦合，核子的能量不僅取決于軌道角動量l的大小，而且取決于軌道角動量相對于自旋的取向。與平行時(總角動量j=l+1/2)和反平行時（j=l-1/2）的能量是不同的。因此，考慮自旋軌道耦合后，同一條l的能級將劈成兩條。在原子物理中，自旋—軌道耦合引起的能級劈裂解釋了電子能級的精細(xì)結(jié)構(gòu)。在原子中，由于電子的自旋—軌道耦合較弱，j=l±1/2的兩個能級的間隔與相鄰能級的距離相比是較小的，一般不會改變原來能級的次序。對于原子核，由于核子的自旋-軌道耦合是很強的，所劈裂的兩個能級j=l±1/2的間隔很大，而且與（2l+1）成正比，隨l的增加而增大，以致改變原來的能級次序。自旋—軌道相互作用的一般形式為：∴由于的作用而附加的能級為：其中：<f(r)>表示為對徑向波函數(shù)求平均值。則相同l，不同j的能級分裂為：由此可見：①、由于力的引入而部分解除了原來的簡并。②、l一定的能級分裂為的兩個能級，分裂距離正比于(2l+1)，即l越大，分裂越厲害。③、由實驗值知道能級在能級的下面，所以要求f(r)<0。④、適當(dāng)選擇自旋—軌道耦合強度f(r)后，就可以解釋全部的幻數(shù)。對于原子情況：這里V(r)可取庫侖勢：對于原子核的情況f(r)近似取同樣的形式。這里∴∵∴但由此f(r)得到的單粒子能級不符合實驗結(jié)果，數(shù)值太小，為了符合單粒子能級的實驗值，取下面半經(jīng)驗公式：

考慮自旋—軌道耦合后，同一的能級分成了兩條，對于新的能級，應(yīng)以（v,l,j）三個量子數(shù)來表征。由于在空間可有2j+1個不同的取向，所以這些新的能級是2j+1度退化的。根據(jù)泡利原理，它們各自可容納2j+1個同類核子?？紤]自旋—軌道耦合后的能級圖如下頁所示，圖中左邊橫線表示由諧振子和直角勢阱的能級內(nèi)插得到的能級。說明：①、新的能級用（v,l,j）三個量子數(shù)來表示。例如：能級：表示:v=1,l=1,j=②、由于能級的劈裂，組成了新的原子核殼層，它們給出了全部幻數(shù)。③、兩個幻數(shù)間的能級，形成一個主殼層，主殼層內(nèi)的每一個能級叫做支殼層。④、主殼層之間的能量間隔較大，支殼層之間的能量間隔較小。⑤、新的主殼層的形成，是由于有些能級劈裂特別大，如：50，82，126三個幻數(shù)分別落在1g,1h,1i的分裂處。⑥、同一主殼層內(nèi)可以有宇稱不同的能級，當(dāng)l為偶數(shù)時宇稱為正，當(dāng)l為奇數(shù)時，宇稱為負(fù)；而且相鄰能級的j值可以相差很大。⑦、質(zhì)子和中子各有一套能級，如下頁圖。圖中顯示的能級次序，不表示能級間距的定量關(guān)系。實際上，由于質(zhì)子間具有庫侖斥力，質(zhì)子的能級比相應(yīng)中子的能級更高一些，能級間距要大一些，特別是當(dāng)核子數(shù)較多時更是這樣。⑧、殼結(jié)構(gòu)理論預(yù)言，82以后的質(zhì)子幻數(shù)可能是114；126以后的中子幻數(shù)是184。因此，根據(jù)理論預(yù)言，質(zhì)子數(shù)為114和中子數(shù)為184的原子核是雙幻核。該核及其附近的一些核，可能具有相當(dāng)大的穩(wěn)定性，它們比普通核還重，所以稱為超重核，這種超重核至今還沒有發(fā)現(xiàn)。6、對關(guān)聯(lián)上面討論，主要是基于包括自旋—軌道耦合在內(nèi)的平均場，以及核子可以獨立地在這平均場中運動的假設(shè)。核子之間的相互作用除了平均場部分外，還有剩余相互作用：

在剩余相互作用?res中最重要的成分是同類核子間的短程吸引力，這種兩個配對核子之間的短程吸引作用稱為對關(guān)聯(lián)。所謂配對是指兩個核子所處的狀態(tài)，僅是磁量子數(shù)m的符號相反，其他量子數(shù)均相同。若用k表示狀態(tài)的四個量子數(shù)；-k表示另一狀態(tài)的四個量子數(shù)，而其中三個量子數(shù)均與k相同，只是磁量子數(shù)m有相反的符號。則對關(guān)聯(lián)主要發(fā)生在狀態(tài)k和-k的粒子間。通常稱狀態(tài)的粒子數(shù)為占有數(shù)。根據(jù)泡