高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：導(dǎo)數(shù)中的新定義問題 專項(xiàng)練習(xí)（學(xué)生版+解析）

第11講導(dǎo)數(shù)中的新定義問題（核心考點(diǎn)精講精練）

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題結(jié)合新定義載體而定，難度一般或較大，分值為5分

【備考策略】1熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義及基本運(yùn)算

2能結(jié)合實(shí)際題目理解導(dǎo)數(shù)新定義的概念及運(yùn)算

3能結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行綜合求解

【命題預(yù)測(cè)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考?jí)狠S題之一，而導(dǎo)數(shù)新定義更加考查學(xué)生的

數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，需綜合復(fù)習(xí)

知識(shí)講解

新定義問題的解決策略

第一步，讀懂定義，如果有幾何意義可以考慮圖象，如果考慮不了就按照定義轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，并進(jìn)行化簡(jiǎn);

第二步，數(shù)形結(jié)合借助圖象解決問題，如果不能借助圖像就用代數(shù)的方法求解，可以考慮轉(zhuǎn)化思想，將新

定義問題和自己所學(xué)的知識(shí)結(jié)合起來(lái)轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識(shí)進(jìn)而求解

考點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)中的新定義問題

典例引領(lǐng)

1.（2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義方程〃x）=/'（x）的實(shí)數(shù)根x叫做函數(shù)的“奮斗點(diǎn)”.若函數(shù)

g（x）=lnx,〃（了）=丁-2的“奮斗點(diǎn)”分別為加，〃，則機(jī)，〃的大小關(guān)系為（）

A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n

2.（2023?遼寧遼陽(yáng)?統(tǒng)考二模）現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲

率，曲線的曲率定義如下：若尸（x）是的導(dǎo)函數(shù)，/⑺是/'（X）的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=在點(diǎn)

處的曲率*=函數(shù)〃x）=31nx的圖象在（I"⑴）處的曲率為（）

A3R3c而n3歷

1000100100100

3.（2022.湖北武漢.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)〃x）,g（x）的定義域都是直線尤=玄（』?。）與丁="力，

y=g（x）的圖象分別交于A,8兩點(diǎn)，若線段A3的長(zhǎng)度是不為。的常數(shù)，則稱曲線y=〃x）,y=g（x）為“平

行曲線”設(shè)/（'=/_4山彳+°3>0,0*0）,且9=/（尤）,y=g（x）為區(qū)間（0,+8）的“平行曲線”其中g(shù)（l）=e,

g（同在區(qū)間（2,3）上的零點(diǎn)唯一，則。的取值范圍是（）

即時(shí)檢測(cè)

1.（2022?遼寧?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）（多選）我們把形如/■（x,y,y'）=0的方程稱為微分方程，符合

方程的函數(shù)y=稱為微分方程的解，下列函數(shù)為微分方程對(duì)+y-孫'=0的解的是（）

A.y=e'B.y=xex

C.y=XQX+1D.y=C-X-QX（CeR）

2.（2023?浙江溫州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）若函數(shù)>=/0）的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)尸，。，使得〃尤）在

這兩點(diǎn)處的切線重合，則稱函數(shù)>=/（%）為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中是“切線重合函數(shù)”的是（）

A.y=sin%+cosxB.y=sin（cosx）

C.y=x+sinxD.y=x2+sinx

3.（2023?重慶沙坪壩?重慶一中?？寄M預(yù)測(cè)）定義一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)/（無(wú)）在定義域內(nèi)一點(diǎn)處％的彈性為

請(qǐng)寫出一個(gè)定義在正實(shí)數(shù)集上且任意一點(diǎn)處的彈性均為&的可導(dǎo)函數(shù)

〃尤o)

4.（2022?遼寧沈陽(yáng)?東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)/■（%）可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函

數(shù)尸（X）的導(dǎo)數(shù)叫做“X）的二階導(dǎo)數(shù)，記作尸（X）.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作尸（力,

三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，n-l階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做w階導(dǎo)數(shù)，記作

/（"）3=，1）（%）］,〃24亳若77右1<,定義加=一2）x…x3x2xl.③若函數(shù)在包含%的

某個(gè)開區(qū)間（。⑼上具有n階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一xe.力）有

g（x）=〃x°）+甲（XT°）+與12%）2+?12"+...+￡1耍（>%）",我們將8（力稱為函

數(shù)/（X）在點(diǎn)X=X。處的”階泰勒展開式.例如，y=e，在點(diǎn)尤=0處的〃階泰勒展開式為l+x+1x2+...+1/.

2n\

根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：

⑴求出工（x）=sinx在點(diǎn)X=0處的3階泰勒展開式&（X）,并直接寫出力（X）=cosx在點(diǎn)x=0處的3階泰勒展

開式g2（x）；

（2）比較⑴中工（尤）與&（力的大小.

（3）證明：ex+sinx+cosx>2+2%.

k

8.(2022.河北石家莊.統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(力=2X-1-伏+l)lnx,k>0.

(1)當(dāng)上=1時(shí)，過坐標(biāo)原點(diǎn)。作曲線y=f(x)的切線，求切線方程；

⑵設(shè)定義在/上的函數(shù)》=力口)在點(diǎn)尸(%,%)處的切線方程為y=/(x),對(duì)任意XNX。，若

小(尤)-/(尤))(%-5)>。在/上恒成立，則稱點(diǎn)尸為函數(shù)y=/z(x)的“好點(diǎn)”，求函數(shù)y=/(x)在(0,+8)上所

有“好點(diǎn)”的橫坐標(biāo)(結(jié)果用人表示).

【基礎(chǔ)過關(guān)】

一、單選題

1.(2023春?遼寧大連?高三瓦房店市高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試)在數(shù)學(xué)中，泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信

息描述其附近取值的公式.如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公

式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù)在一點(diǎn)的鄰域中的值，常見的公式有：

ex=l+—x+—x2+—x3+—x4H--\--xnH—；sinx=—+—^--x1H---l-(-l)"1TZH—.

1!2!3!4!nl3!5!7!(2M-1)!

則利用泰勒公式估計(jì)cosl的近似值為()(精確到0.001)

A.0.536B.0.540C.0.544D.0.549

2.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它

可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石.簡(jiǎn)單來(lái)說就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)/(尤),

存在一個(gè)點(diǎn)%,使得/(毛)=/，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，下列為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是()

A./(x)=lnxB./(x)=x2-3sin2x+l

c./(%)=eAD./(x)=x+-

二、多選題

3.(2022秋?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí))給出定義：若函數(shù)在。上可導(dǎo)，即廣(x)存在，且導(dǎo)函數(shù)尸(x)

在。上也可導(dǎo)，則稱〃x)在。上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記〃(x)=(r(x))',若F"(x)<0在。上恒成立，則稱〃力

在。上為凸函數(shù)，以下四個(gè)函數(shù)在(0,?上是凸函數(shù)的是()

A./(x)=sinx-cosxB./(x)=lnx-3x

C./(X)=-X3+3X-1D./(x)=xe-x

4.(2022秋.廣東深圳.高三深圳中學(xué)校考階段練習(xí))已知定義在區(qū)間［。回上的函數(shù)產(chǎn)“力，-⑺是〃％)

的導(dǎo)函數(shù),若存在欠(。⑼,使得/伍)-/(〃)=/解)0-0).則稱J為函數(shù)“力在句上的“中值點(diǎn)”.下

列函數(shù)，其中在區(qū)間［-2,2］上至少有兩個(gè)“中值點(diǎn)”的函數(shù)為()

A./(x)=sinxB./(x)=ex

C./(x)=ln(x+3)D./(x)=x3-x+1

5.(2022秋?福建廈門?高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)A?的導(dǎo)函數(shù)為/(元)，若存在/使得了'(%)=/(九0),

則稱與是〃尤)的一個(gè)“新駐點(diǎn)”，下列函數(shù)中，具有“新駐點(diǎn)”的是()

A./(x)=sinxB./(x)=x3

C./(x)=lnxD.f(x)=xex

6.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))記尸(x)、g'(x)分別為函數(shù)/(X)、g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若存在x°eR,滿足

=且尸(%)=g，(x0),則稱％為函數(shù)與g(x)的一個(gè)“S點(diǎn)”，則下列說法正確的為()

A.函數(shù)_f(x)=e，與g(x)=x+l存在唯一“S點(diǎn)”

B.函數(shù)〃x)=lnx與g(x)=_r-2存在兩個(gè)“S點(diǎn)”

C.函數(shù)〃力=》與8(力=爐+2%-2不存在"5點(diǎn)”

D.若函數(shù)〃力=62-1與g(x)=lnx存在“S點(diǎn)"，貝(I"］

7.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))定義廣⑺是y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的導(dǎo)函數(shù)，若方程尸")=0有實(shí)數(shù)

解％,則稱點(diǎn)&,/(尤0))為函數(shù)y=/(x)的“拐點(diǎn)”.可以證明，任意三次函數(shù)〃力=加+涼+cx+d(aw0)都

有“拐點(diǎn)”和對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是其對(duì)稱中心,請(qǐng)你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題，其中正確命題是(

A.存在有兩個(gè)及兩個(gè)以上對(duì)稱中心的三次函數(shù)

jr

B.函數(shù)/(x)=x3-3x2-3x+5的對(duì)稱中心也是函數(shù)y=tan—x的一個(gè)對(duì)稱中心

C.存在三次函數(shù)/7(力，方程〃(x)=0有實(shí)數(shù)解與,且點(diǎn)(毛,〃伍))為函數(shù)y=/z(x)的對(duì)稱中心

D.若函數(shù)g(x)崇-#/則｛擊4(嘉卜g(亮＞一+g［黑卜-1。1。

三、填空題

8.(2023.全國(guó).高三專題練習(xí))給出定義：設(shè)尸(X)是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù),一(尤)是函數(shù)y=/'(x)的導(dǎo)

函數(shù)，若方程/(》)=0有實(shí)數(shù)解%,則稱［,〃七))為函數(shù)y=F(x)的“拐點(diǎn)”，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函

數(shù)〃尤)=加+芯+cx+d(a^0)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)y=f(x)的圖像的對(duì)稱中心，若函數(shù)

，⑺-+#,則/盛卜島卜島卜小麟〉〔黑卜一

9.(2023?廣東惠州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲

線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若尸(x)是“X)的導(dǎo)函數(shù)，

尸(X)是尸⑺的導(dǎo)函數(shù),則曲線y=/8在點(diǎn)G,/(x))處的曲率I,貝域線〃x）=6

{i+[r（x）]2}

在(1,1)處的曲率為；正弦曲線g(x)=sinx(x￡R)曲率的平方K2的最大值為.

四、雙空題

10.(2022秋.云南曲靖.高三校聯(lián)考階段練習(xí))對(duì)于三次函數(shù)/(同=加+加+cx+d(awO),給出定義：設(shè)

「(無(wú))是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，/⑺是尸(無(wú))的導(dǎo)數(shù)，若方程—(力=。有實(shí)數(shù)解與,則稱點(diǎn)(如〃1))為函數(shù)

y=/(x)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐

點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.設(shè)函數(shù)=#+3x-5,則〃x)的拐點(diǎn)為

［七/—卜——.

【能力提升】

一、單選題

1.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)y=/〃(x)是y=「(x)的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)

〃尤)=加+涼+ex+d(aN0)的圖象都有對(duì)稱中心(M，/(%)),其中為滿足伍)=0,已知函數(shù)

f(x)=2x3-3x2+9x--,貝詞，］+/(二-1+/(2-卜一+/(理當(dāng)=()

‘''2U022；y2,022)1^2022)y2022)

2.(2022秋?山東青島.高三?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間。上的導(dǎo)函數(shù)為7'(x),/'(X)在區(qū)間D上

的導(dǎo)函數(shù)為g(x).若在區(qū)間。上，g。)＜。恒成立，則稱函數(shù)/(無(wú))在區(qū)間。上為“凸函數(shù)已知實(shí)數(shù)機(jī)是常數(shù)，

/(X)=二一%L一”.若對(duì)滿足MV2的任何一個(gè)實(shí)數(shù)"Z,函數(shù)f(x)在區(qū)間"上都為“凸函數(shù)”，則6-。的

1262

最大為()

A.3B.2C.1D.-1

二、多選題

3.(2022.全國(guó)?高三專題練習(xí))拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心內(nèi)容，定理如下：如果函數(shù)“X)在閉

區(qū)間［a,可上連續(xù)，在開區(qū)間(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，則在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少存在一個(gè)點(diǎn)％e(a,6),使得

f(b)-f(a)=f'^)(b-a),x=%稱為函數(shù)y=〃x)在閉區(qū)間［a,可上的中值點(diǎn)，若關(guān)于函數(shù)

〃x)=sinx+百cosx在區(qū)間［0,句上“中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為m,函數(shù)g(x)=e*在區(qū)間［0,1］上“中值點(diǎn)”個(gè)數(shù)為〃,

則有()

(參考數(shù)據(jù)：72?1.41,右々1.73,萬(wàn)b3.14,取2.72.)

A.m=lB.m=2C.n=lD.〃=2

4.(2023秋?湖南長(zhǎng)沙?高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí))定義：如果函數(shù)/(尤)在可上存在毛，巧

(。<見<%<6),滿足:(占)=廣(%)=:⑷一’⑶,則稱天，巧為目上的“對(duì)望數(shù)”.已知函數(shù)f(x)為

目上的“對(duì)望函數(shù)”.下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)〃x)=/+m-在任意區(qū)間［a,國(guó)上都不可能是“對(duì)望函數(shù)”

B.函數(shù)/(x)=g/一/+2是［0,可上的“對(duì)望函數(shù)”

jr11TT

C.函數(shù)/(x)=x+sin尤是—上的“對(duì)望函數(shù)”

D.若函數(shù)〃力為可上的“對(duì)望函數(shù)"，則"%)在［?；厣蠁握{(diào)

5.(2022秋?湖南長(zhǎng)沙?高三統(tǒng)考階段練習(xí))若lim"%+始?)一"％，%)存在,則稱

小+AX,R-7(%,%)為二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)。,%)處對(duì)X的偏導(dǎo)數(shù),記為力(%,%)；若

lim"/，%+?)一"/，為)存在，則稱f(xo,yo+Ay)-f(Xo,yo)為二元函數(shù)z=f?,y)在點(diǎn)(％%)處

Ay->+0AyAy-?+0v7\u，u/

對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，記為4(七,%).

若二元函數(shù)Z=〃尤,耳二%2-2孫+/(尤>0,y>0),則下列結(jié)論正確的是()

A.工。,2)=-2

B.力(1,2)=10

C.￡(加,〃)+人(正”)的最小值為-1

D./(%y)的最小值為-捺

6.(2023?安徽淮北?高三?？奸_學(xué)考試)經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：任意一個(gè)三次多項(xiàng)式函數(shù)/(尤)=ax3+bx2+cx+d(a*0)

的圖象都只有一個(gè)對(duì)稱中心點(diǎn)(1,/(%)),其中/是/'(》)=0的根，/(x)是/(x)的導(dǎo)數(shù)，/"(X)是/(X)的

導(dǎo)數(shù).若函數(shù)f(x)-x3+ax2+x+b圖象的對(duì)稱點(diǎn)為(T2),且不等式e*-m"lnx+1)-3x2+ejxe

對(duì)任意xe(l,+oo)恒成立，則()

A.a=3B.b=lC."?的值可能是-eD.加的值可能是

e

7.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))定義：在區(qū)間/上，若函數(shù)y=/(x)是減函數(shù)，且y=獷(x)是增函數(shù)，則稱

y=/(x)在區(qū)間/上是“弱減函數(shù)”.根據(jù)定義可得()

A.〃耳=：在(0,+8)上是“弱減函數(shù)”

B./(x)=F在(1,2)上是“弱減函數(shù)”

C.若〃x)=(在(辦")上是“弱減函數(shù)"，貝打">e

D.若/(x)=cosx+近2在(0國(guó)上是“弱減函數(shù)"，則=<上<1

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三、填空題

8.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別是在函數(shù)的

凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.定義：函數(shù)/(x)在(a,。)上的導(dǎo)函數(shù)為了'(X),/'(X)在(。方)上

的導(dǎo)函數(shù)為尸(X),若在(。，6)上廣(x)<0恒成立，則稱函數(shù)Ax)是上的“嚴(yán)格凸函數(shù)”，稱區(qū)間(a,。)

為函數(shù)AM的“嚴(yán)格凸區(qū)間則下列正確命題的序號(hào)為.

①函數(shù)/⑴=3+3/+2在(1,+8)上為“嚴(yán)格凸函數(shù)”；

②函數(shù)/(0=叱的“嚴(yán)格凸區(qū)間”為0，e］；

X

③函數(shù)/(x)=e，-xlnx-*在(1,4)為“嚴(yán)格凸函數(shù)”，則機(jī)的取值范圍為［e-1,+8).

四、解答題

9.(2022.湖南.模擬預(yù)測(cè))設(shè)g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若g'(無(wú))是定義域?yàn)镈的增函數(shù)，則稱g(x)為D上的

“凹函數(shù)”，已知函數(shù)/(》)=屁、+加+。為R上的凹函數(shù).

(1)求a的取值范圍；

(2)設(shè)函數(shù)/z(x)=e*-gx2-尤-1,證明：當(dāng)天>0時(shí)，力(x)>0,當(dāng)x<0時(shí)，/z(x)<0.

⑶證明：f(x^>—x+—x'+x+—.

24444

10.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)廣(x)的導(dǎo)數(shù)

叫做“X)的二階導(dǎo)數(shù)，記作尸(X).類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作〃(X),三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)

數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做”階導(dǎo)數(shù)，記作/⑺(無(wú))=.②若"eN*,

定義”!=ax(〃-1)x(〃-2)x…x3x2xl.③若函數(shù)〃x)在包含%的某個(gè)開區(qū)間(a,6)上具有”階的導(dǎo)數(shù)，那

么對(duì)于任一xe(a,。)有

g(X)="X°)+q^(X70)+勺)"7)+*1"7"+-+勺2(》7。)〃，我們將g(x)稱為函

數(shù)〃x)在點(diǎn)X=x。處的〃階泰勒展開式.例如，y=e，在點(diǎn)x=0處的”階泰勒展開式為1+X+1

2n\

根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：

(1)求出力(x)=sinx在點(diǎn)x=0處的3階泰勒展開式&(力，并直接寫出力(x)=cosx在點(diǎn)元=0處的3階泰

勒展開式g2(x)；

(2)比較⑴中工(%)與占(%)的大小.

(3)已知y=/不小于其在點(diǎn)x=0處的3階泰勒展開式，證明：e*+sinx+cosx22+2x.

第11講導(dǎo)數(shù)中的新定義問題(核心考點(diǎn)精講精練)

命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的選考內(nèi)容，設(shè)題結(jié)合新定義載體而定，難度一般或較大，分值為5分

【備考策略】1熟練掌握導(dǎo)數(shù)的定義及基本運(yùn)算

2能結(jié)合實(shí)際題目理解導(dǎo)數(shù)新定義的概念及運(yùn)算

3能結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行綜合求解

【命題預(yù)測(cè)】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考?jí)狠S題之一，而導(dǎo)數(shù)新定義更加考查學(xué)生的

數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，需綜合復(fù)習(xí)

知識(shí)講解

新定義問題的解決策略

第一步，讀懂定義，如果有幾何意義可以考慮圖象，如果考慮不了就按照定義轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，并進(jìn)行化簡(jiǎn);

第二步，數(shù)形結(jié)合借助圖象解決問題，如果不能借助圖像就用代數(shù)的方法求解，可以考慮轉(zhuǎn)化思想，將新

定義問題和自己所學(xué)的知識(shí)結(jié)合起來(lái)轉(zhuǎn)化為自己熟悉的知識(shí)進(jìn)而求解

考點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)中的新定義問題

☆典例引領(lǐng)

1.(2023.云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))定義方程〃力=(⑺的實(shí)數(shù)根x叫做函數(shù)〃尤)的“奮斗點(diǎn)”.若函數(shù)

g(x)=lnx,，2(X)=_?_2的“奮斗點(diǎn)”分別為機(jī)，n,則加，"的大小關(guān)系為()

A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n

【答案】D

【分析】求導(dǎo)，根據(jù)“奮斗點(diǎn)”的定義可得L=ln〃z,〃3_2=3〃2,構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)及零點(diǎn)存在定理求出

m

2

小的范圍，由"=3+=求出〃的范圍，從而可比較大小.

n

【詳解】函數(shù)g(x)=lnx,得，(x)=J

由題意可得，=即

m

設(shè)“(%)=--Inx,H，(x)=---,

因?yàn)閤>0,所以

易得“（X）在（0,+巧上單調(diào)遞減且H⑴=1>0,H（2）=|-ln2=ln^<0,

故1＜機(jī)＜2.

由/z(x)=d_2,//(%)=3九2,

2

由題意得：n3—2=3n2,易知〃w0,所以〃=3+=＞3,

n

因?yàn)?<機(jī)<2,所以機(jī)<〃.

故選:D.

2.（2023?遼寧遼陽(yáng)?統(tǒng)考二模）現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲

率，曲線的曲率定義如下：若尸（%）是/（力的導(dǎo)函數(shù)，率（九）是「（%）的導(dǎo)函數(shù),則曲線y=/（力在點(diǎn)

K『'⑸

處的曲率—點(diǎn).函數(shù)〃x）=31nx的圖象在處的曲率為（）

（1+（?。?/p>

A,上B?高c730

V-.-----

1000100

【答案】D

【分析】求出「（力、代值計(jì)算可得出函數(shù)〃x）=31nx的圖象在（1,〃功處的曲率.

33

【詳解】因?yàn)椤?)=31nx,所以尸(%)=—,rW=--,

XX

所以「（i）=3,r（i）=-3,

故選：D.

3.（2022.湖北武漢.統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)“力，g（x）的定義域都是。，直線尤與y=〃x）,

y=g（x）的圖象分別交于A,8兩點(diǎn)，若線段A3的長(zhǎng)度是不為o的常數(shù)，則稱曲線y=/（x）,y=g（x）為“平

行曲線”設(shè)/（%）=6工-alnx+c（a>0,cw0）,且y=,y=g（x）為區(qū)間（0,+功的“平行曲線”其中g(shù)（l）=e,

g（x）在區(qū)間（2,3）上的零點(diǎn)唯一，則。的取值范圍是（）

fe2e4^fe2e3^fe32e1<2e3e4

A，［而而JB-［記而JC-［而而J［而，而J

【答案】B

【分析】首先根據(jù)題意可知函數(shù)函數(shù)g（x）是由函數(shù)八X）的圖象經(jīng)過上下平移得到，設(shè)

=f(x)+h=ex-a\wc+c+h,結(jié)合g(D=e,求出c+/z=O,即可得到。=——,構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判

Inx

斷函數(shù)的單調(diào)性，可得，的取值范圍.

【詳解】解：??,」=/(Wy=g⑺為區(qū)間的“平行曲線”,

???函數(shù)g(x)是由函數(shù)/(%)的圖象經(jīng)過上下平移得到，

BPg(x)=/(%)+h=ex—alnx+c+h,

,/g(l)=e—alnl+c+/z=e+c+0=e,

.c+fi=0,

即g(%)=e"—alnx,

由g(x)=0,

???gQ)在區(qū)間(2,3)上的零點(diǎn)唯一，

.?>=久刈與函數(shù),=，在區(qū)間(2,3)內(nèi)有唯一的交點(diǎn),

ex(lnx--)

vhXx)=------

(liu)2

當(dāng)%>2時(shí),〃(X)>0,

.??函數(shù)依%)在(2,3)上單調(diào)遞增，

h(2)<a<h(3),

即更<a<且，

ln2ln3

23

故。的取值范圍是(J,J),

ln2ln3

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)新定義，考查學(xué)生的創(chuàng)新能力，轉(zhuǎn)化與化歸能力.解題關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖

象與直線有唯一交點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的性質(zhì).

即時(shí)檢測(cè)

...........

1.(2022?遼寧?遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))(多選)我們把形如/(無(wú)。。')=。的方程稱為微分方程，符合

方程的函數(shù)y=/(x)稱為微分方程的解，下列函數(shù)為微分方程孫+丫-孫'=。的解的是()

A.y=eB.y=xe

C.y=xex+1D.y=c-x-ex(cGR)

【答案】CD

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求得導(dǎo)函數(shù)y',代入微分方程檢驗(yàn)即可.

【詳解】選項(xiàng)A,y=ex,則了=^,xy+y-xy'=xex+ex-xex=e%^0,不是解；

選項(xiàng)B,y=xex,y'=ex+xex,xy+y-xyr=x2ex+xex-xex-x2ex=0,是方程的解；

選項(xiàng)C,y=xex+1,y'=e"+xe",xy+y-xy'=x2ex+x+xex+1-xex-x2ex=x+10,不是方程的解；

選項(xiàng)D,y=c-X'Qx(cGR),y'=cex+cxex,xy+y-xy'=cx2ex+cxex-cxcx-cx2ex=0,是方程的解.

故選：CD.

2.(2023?浙江溫州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))(多選)若函數(shù)>=/(%)的圖象上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)尸，。，使得〃無(wú))在

這兩點(diǎn)處的切線重合，則稱函數(shù)>=/(%)為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中是“切線重合函數(shù)”的是()

A.y=sinx+cosxy=sin(cosx)

C.y=x+sinxy=x-2+s?inx

【答案】ABC

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定切線斜率，選項(xiàng)AB,過圖象最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))處的切線是同一條直線，可判

斷，選項(xiàng)C,由導(dǎo)函數(shù)斜率相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)組，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，確定斜率為1的切線，可判斷結(jié)論，選項(xiàng)

D,導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，因此不存在斜率相等的兩點(diǎn)，這樣易判斷結(jié)論.

【詳解】對(duì)A,〃x)=sinx+cosx==A/2sin[X+(

尸(尤)=&cos［無(wú)+：J,x=2E+：,%eZ時(shí)，f\x)=0,『3取得最大值垃,

直線>=四是函數(shù)圖象的切線，且過點(diǎn)「也+%④)左eZ,所以函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；

對(duì)B,f(x)=sin(cosx),f\x)=-sinxcos(sinx),%=2丘,左wZ時(shí),ff(x)=0,cosx=l,-sinl</(x)<sinl,

此時(shí)〃x)=sinl是函數(shù)的最大值，直線y=sinl是函數(shù)圖象的切線，且過點(diǎn)(2E,sinl),左eZ,函數(shù)是“切線重

合函數(shù)”；

對(duì)C,f(x)=x+sinx,f\x)=1+cosx,

x=2fal+—,keZH'J*,f(x)=1,f12E+—=2fal+—,

過點(diǎn)^2fai+—,2far+—+eZ的切線方程是y—12E+萬(wàn)+1J=x—+耳)，即y=x+l,

因此該切線過/(x)圖象上的兩個(gè)以上的點(diǎn)，函數(shù)是“切線重合函數(shù)”；

對(duì)D,/(x)=x2+sinx,/,(x)=2x+cosx,令g(x)=/'(x)=2尤+cos尤，

則，(x)=2-sinx>0,所以g(x)即/'(x)是R上增函數(shù)，因此函數(shù)圖象上不存在兩點(diǎn)，它們的切線斜率相

也就不存在切線過圖象上的兩點(diǎn)，因此函數(shù)不是“切線重合函數(shù)”.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題關(guān)鍵是理解新定義，實(shí)質(zhì)仍然是求函數(shù)圖象上的切線方程，只是

要考慮哪些切線重合，因此本題中含有三角函數(shù)，對(duì)三角函數(shù)來(lái)講，其最高點(diǎn)或最低點(diǎn)是首選，對(duì)其它與

三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)，涉及到其中三角函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn)也是我們首選考慮的.

3.（2023?重慶沙坪壩?重慶一中校考模擬預(yù)測(cè)）定義一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)/（X）在定義域內(nèi)一點(diǎn)處％的彈性為

,請(qǐng)寫出一個(gè)定義在正實(shí)數(shù)集上且任意一點(diǎn)處的彈性均為0的可導(dǎo)函數(shù).

【答案】=（答案不唯一）

【分析】由號(hào)寸=0整理得婚（x）-扃（x）=0,可構(gòu)造函數(shù)g（x）="，可得/（￡）=0,可得

JX

g（x）=$=C，可得〃x）.

【詳解】由題意，當(dāng)天＞0,磔W=應(yīng)，

〃尤)

整理得礦(x)-&〃x)=0

X?f(x)-航x?T于(x)_:

貝！Jg，⑺=

故g（x）=C,C為常數(shù),

由8（司=翌=。

得=應(yīng)

故答案為：/?（無(wú)）=x拒（答案不唯一）

4.（2022?遼寧沈陽(yáng)?東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)/■（%）可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函

數(shù)廣⑺的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作尸（%）.類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作尸（力，

三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做"階導(dǎo)數(shù)，記作

泮（同=[/（1）（耳],〃24②若〃右底，定義加=2）x…x3x2xl.③若函數(shù)在包含%的

某個(gè)開區(qū)間（〃,6）上具有”階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任一有

g（x）=/（x0）+華+為1—/+號(hào)1—*3+...+￡1善（尤』）"，我們將8（力稱為函

數(shù)/（X）在點(diǎn)苫=無(wú)。處的〃階泰勒展開式.例如，y=e'在點(diǎn)x=o處的〃階泰勒展開式為1+%+1/+...+々尤”.

2n\

根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：

⑴求出工(x)=sinX在點(diǎn)X=0處的3階泰勒展開式&(%),并直接寫出右(X)=COSx在點(diǎn)X=0處的3階泰勒展

開式g?(x);

(2)比較(1)中工(x)與&(x)的大小.

(3)證明：e^+sin尤+cos尤22+2尤.

【答案】(1)80=彳一工了3,82(司=1-彳彳2；

Oz

(2)答案見解析；

(3)證明過程見解析.

【分析】(1)根據(jù)/(尤)在點(diǎn)x=x0處的"階泰勒展開式的定義可直接求得結(jié)果；

(2)令&(冷=/(同一)(知,利用導(dǎo)數(shù)可求得/?(x)在R上單調(diào)遞增，結(jié)合刈0)=0可得力⑴的正負(fù)，由此

可得力(X)與&(X)的大小關(guān)系；

(3)令9(x)=加(x)—g2(x),利用導(dǎo)數(shù)可求得。(x)⑼=0,即cosxNl-g尤2；①當(dāng)xzO時(shí)，由

ex>l+x+-x2+-x3,sinx>x--x3,可直接證得不等式成立；②當(dāng)x<0時(shí)，分類討論，由此可證得不等

266

式成立.

【詳解】(1)???/'(%)=cos],右”(九)=—sin%,—cos無(wú)，

.?/(0)=1,力〃(0)=。，^(0)=-1,

109—1a1

^(%)=8^0+-(%-0)+—(x-0)+—(X-0),即&(%)=%—

2

同理可得：g2(x)=l-1x；

(2)由(1)知:<(x)=sinx,&(尤)二九一與，

6

^/z(x)=^(x)-^(x)=sinx-x+—x3,貝|/zr(x)=cosx-1+—x2,

162

.../z"(x)=-sinx+x,/iw(x)=1-cosx>0,

???〃(%)在R上單調(diào)遞增,又〃(0)=0,

.??當(dāng)尤?-o),0)時(shí)，^(%)<0,〃(%)單調(diào)遞減；當(dāng)x?0,y)時(shí)，^(%)>0,〃(%)單調(diào)遞增；

二["(Minin=%。)=1T+0=0,二>0,

??/(力在R上單調(diào)遞增，又"0)=0,

二.當(dāng)犬￡(-00,0)時(shí)，/l(x)<o；當(dāng)二￡(。,+8)時(shí),/i(x)>0；

綜上所述：當(dāng)％vO時(shí)，工(x)v&(x);當(dāng)％=0時(shí)，/(尤)=&(%);當(dāng)%>0時(shí)，<(%)>&(%)；

令夕(

(3)(x)=/(x)-g2%)=cosx—l+gf,貝ij^r(x)=-sinx+x,

/.^(x)=l-cosx>0,0(%)在R上單調(diào)遞增，

又砥0)=0,.?.夕(％)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增,

/.^?(x)>^(0)=0,即cosxNl-；/；

y=e"在點(diǎn)％=0處的4階泰勒展開式為：1+冗+7//，

2624

/.ex=l+x+-x2+-x3+—x4>l+x+-x2+-x3,當(dāng)且僅當(dāng)％=0時(shí)取等號(hào),

①當(dāng)尤20時(shí)，由(2)可知，sinx>x-^x3,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，所以

e"+sinx+cos1+xH—H—j+1x—JC)|+11—]=2+2x?

I26JI6JI2J

②當(dāng)％vO時(shí)，設(shè)尸(x)=e"+sinx+cosx—2—2x,F(0)=0,

F(x)=ex+cosx—sinx-2=ex+41cosx+—-2,F*(x)=ex—sinx—cosx,

當(dāng)工￡(-1,0),由⑵可知sinx<%-，%3,所以,

6

F"(x)=ex-sinx-cosx>l+x+—x2+—x3+—x3-x-cosx

V7266

=l-cosx+—x2(3+2x)>0,即有Fr(x)<b'(0)=0；

6

當(dāng)兄w(-oo,_l]時(shí)，F(xiàn)(x)=ex+V2coslx+-^j-2<-+^-2<^+V2-2<0,

所以，％v0時(shí)，尸(%)單調(diào)遞減,從而尸(%)>b(0)=0,即e"+sin%+cosx>2+2x.

綜上所述：ev+sin+cosx>2+2x-

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)中的新定義問題，關(guān)鍵是審題時(shí)明確〃階泰勒展開式的具體定義；本題

在證明不等式成立時(shí)的關(guān)鍵是能夠根據(jù)原函數(shù)與其在x=0處的3階泰勒展開式的大小關(guān)系，利用放縮的方

法將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

k

8.(2022.河北石家莊.統(tǒng)考一模)已知函數(shù)〃尤)=2尤-1-(4+1)1叱，k>0.

(1)當(dāng)人=1時(shí)，過坐標(biāo)原點(diǎn)。作曲線y=〃x)的切線，求切線方程；

⑵設(shè)定義在/上的函數(shù)y=/?(x)在點(diǎn)尸(%,%)處的切線方程為y=/(無(wú))，對(duì)任意X/%,若

(/z(x)-/(x》(x-%)>0在/上恒成立,則稱點(diǎn)尸為函數(shù)y=/z(x)的“好點(diǎn)”,求函數(shù)y=/(x)在(0,+8)上所

有“好點(diǎn)”的橫坐標(biāo)(結(jié)果用女表示).

【答案】⑴y=x

⑵橫坐標(biāo)％=三

化+1

【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及斜率公式建立方程可求解;

(2)根據(jù)題中的新定義，表達(dá)出了(力-/(力，再通過研究其單調(diào)性得到最值，從而判斷“好點(diǎn)”的橫坐標(biāo).

(1)

112

當(dāng)上=1時(shí)，f(x)=2x------21n%,/'(%)=2d-------,

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(X°J(X。))，則切線方程為：

心12、/、c1?

y=\2+------(%一%o)+2%o---------21nx0

I玉)/

因?yàn)榍芯€過原點(diǎn)，代入原點(diǎn)坐標(biāo)可得：-工-lnx°+l=。

%

令g(尤)=-g-lnx+l,貝!]=,

當(dāng)xe(O,l)時(shí),g'(x)>0,即g(x)在無(wú)e(0,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xe(,+oo)時(shí),g,(x)<0,即g(x)在xw(l,+oo)上單調(diào)遞減,

所以g(x)4g⑴=0,且當(dāng)x=l時(shí)，g(l)=0,所以-’-lnx0+l=0的解唯一，即％=1,

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),切線斜率為左=/")=i,切線方程為：y=x.

⑵

設(shè)點(diǎn)尸(%,%)是函數(shù)y=〃力上一點(diǎn)，且在點(diǎn)P(x。,%)處的切線為y=/(x),

貝2+-^■一—+1(%—x0)+2x0---(^+l)lnx0

I%0%0J玉)

令/(x)=〃x)-/(x),所以F5)=/(%)-/(%)=0

①當(dāng)(左+1)天)一左40,即時(shí)，｛(Ji+Y)x0-k^x-kx0<0,

則xe(%,+oo)時(shí),Ff(x)<0,所以尸(x)在xe(%,+oo)單調(diào)遞減,故"%)<尸(%)=0,即：f(x)<l[x),

不滿足（〃力-/（砌（X—飛）＞0,所以尤04二時(shí)，尸（無(wú)。,%）不是函數(shù),="彳）在（0，+8）上的好點(diǎn).

k（JQ—--------------------------

②當(dāng)（左+i）x°-左＞0,即毛＞晨3時(shí)，/（尤）="+1卜。-力一°〔9+1反一與

kx「2k

D若y即不＜而,此時(shí)：

當(dāng)xe],7華~時(shí)，F(xiàn)（x）＜0,所以尸（x）在xe_J單調(diào)遞減，尸（同＜/（%）=0

I（k+l）x0-k）[（k+l）x0-k）

不滿足（〃尤）-/（力）（尤一尤。）＞0,所以當(dāng)占〈尤。〈片時(shí)，戶（如兒）不是函數(shù)丫=〃力在（。，+8）上的好

/C?1fCI1

點(diǎn)

Xo＞

訂）（k+l）xo-k（即天＞蓄’止匕時(shí):

、

,尤0時(shí)，F(xiàn),（x）＜0,所以尸（x）在xe--作_-

當(dāng)xe7——”——，尤0單調(diào)遞減，尸（x）＞尸?）=0

（左+）。_

1Xk,7

不滿足（〃力-/（尤））（無(wú)-%）＞。，所以當(dāng)X0＞g時(shí)，尸（知兒）不是函數(shù)y=〃X）在（0，+8）上的好點(diǎn).

ft?1

iii）當(dāng)％=所知,即V擊，此時(shí):

xe（O,+?）時(shí)，尸'（尤）20恒成立，所以尸（無(wú)）在尤w（0,+co）單調(diào)遞增，

故當(dāng)xe（O,x（,）時(shí)，F(xiàn)（x）＜F（^）=0,即/（x）＜/（x）,所以％?0,不）時(shí)：（/（x）-/（x））（j;-x0）＞0

當(dāng)x?Xo,4＜o(jì)）時(shí)，F(xiàn)（X）＞F（A：O）=O,即所以xe（%,+co）時(shí)，（/（x）-/（x））（x-x0）＞0

即對(duì)任意x￥%o，（/（x）-/（%））（x-x0）＞0,所以當(dāng)■時(shí)，尸（%,%）是函數(shù),=/（同在（0，+8）上的好

點(diǎn).

綜上所述，^=〃力在（0，+8）上存在好點(diǎn)4/。，%）,橫坐標(biāo)無(wú)。=片.

【點(diǎn)睛】解決導(dǎo)數(shù)的幾何意義的關(guān)鍵一是要看清是求在某點(diǎn)處的切線還是過某點(diǎn)求切線；解決恒成立的問

題的實(shí)質(zhì)是解決單調(diào)性和最值，這一般要分類討論.

【基礎(chǔ)過關(guān)】

一、單選題

1.（2023春?遼寧大連?高三瓦房店市高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）在數(shù)學(xué)中，泰勒公式是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信

息描述其附近取值的公式.如果函數(shù)足夠光滑的話，在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況之下，泰勒公

式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似函數(shù)在一點(diǎn)的鄰域中的值，常見的公式有:

ex=l+—x+—x2+—x3+—x4+???+—ZH-----sinx=X--X3+—x5-—x7+---+（-l）n-1-~~-x2n-1+…

1!2!3!4!nl，3!5!7!（2n-l）!

則利用泰勒公式估計(jì)C0S1的近似值為(）（精確到0.001）

A.0.536B.0.540C.0.544D.0.549

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，可得cosx=l-呆…+(一球志—+…，分別計(jì)算當(dāng)尤=1時(shí)，前幾項(xiàng)的計(jì)

算結(jié)果，可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，求導(dǎo)可得cosx=l-+(_葉冊(cè)

因?yàn)?一2_=0.5,1--+—?0.5417,+-0.5403,1--+——?0.5403,

224!24!6!24!6!8!

所以cosl=l—Lxl+」xl--xl+...?0.540,

2!4!