數(shù)學(xué)學(xué)案：第二講二綜合法與分析法

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精二綜合法與分析法1．理解綜合法和分析法的概念．2．掌握綜合法和分析法的證明過程．1．綜合法一般地，從已知條件出發(fā),利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做________,又叫__________或____________．【做一做1】若a＜b＜0，則下列不等式中成立的是（）A.eq\f（1,a)＜eq\f（1，b） B．a(chǎn)＋eq\f（1，b)＞b＋eq\f（1，a) C．b＋eq\f(1,a）＞a＋eq\f（1，b) D.eq\f（b,a）＜eq\f（b＋1,a＋1)2．分析法證明命題時(shí)，我們還常常從要證的______出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為__________或______________(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等）,從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做__________，這是一種__________的思考和證明方法．【做一做2－1】分析法是從要證的結(jié)論出發(fā)，尋求使它成立的（)A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【做一做2－2】當(dāng)x＞1時(shí)，不等式x＋eq\f(1，x－1）≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．（－∞，2] B．［2，＋∞) C．[3,＋∞) D．(－∞，3］答案：1．綜合法順推證法由因?qū)Чā咀鲆蛔?】C∵a＜b＜0，∴eq\f（1,a）＞eq\f(1，b），故選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤，而選項(xiàng)C正確．選項(xiàng)D中,取b＝－1，則eq\f（b＋1,a＋1)＝0,而eq\f(b，a)＞0，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．2．結(jié)論已知條件一個(gè)明顯成立的事實(shí)分析法執(zhí)果索因【做一做2－1】A【做一做2－2】D要使x＋eq\f（1,x－1）≥a恒成立，則令f（x)＝x＋eq\f（1，x－1)的最小值大于等于a即可，而x＋eq\f(1，x－1)＝x－1＋eq\f（1,x－1）＋1≥2eq\r（x－1·\f(1，x－1))＋1＝3.∴f（x）的最小值為3,∴a≤3。1．如何理解綜合法證明不等式剖析:（1)證明的特點(diǎn)．綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чǎ怯梢阎獥l件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證,最后推出所要證明的結(jié)論成立．(2)證明的框圖表示．用P表示已知條件或已有的不等式，用Q表示所要證明的結(jié)論,則綜合法可用框圖表示為eq\x(P?Q1)→eq\x（Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→……→eq\x(Qn?Q）(3)證明的主要依據(jù)．①a－b＞0a＞b，a－b＝0a＝b，a－b＜0a＜b；②不等式的性質(zhì);③幾個(gè)重要不等式：a2≥0（a∈R),a2＋b2≥2ab(a,b∈R),eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab）（a＞0，b＞0)．使用綜合法時(shí)要防止因果關(guān)系不清晰，邏輯表達(dá)混亂等現(xiàn)象．2．如何理解分析法證明不等式剖析:(1）證明的特點(diǎn)．分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是須從證明的不等式出發(fā),逐步尋找使它成立的充分條件．直到最后把要證明的不等式轉(zhuǎn)化為判定一個(gè)明顯成立的不等式為止．（2)證明過程的框圖表示．用Q表示要證明的不等式，則分析法可用框圖表示為eq\x（得到一個(gè)明顯成立的不等式)←…←eq\x(P3?P2)←eq\x(P2?P1)←eq\x（P1?Q）3．綜合法和分析法的優(yōu)點(diǎn)剖析：綜合法的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)整齊,而分析法更容易找到證明不等式的突破口,所以通常是分析法找思路，綜合法寫步驟．分析法證明不等式是“逆求”,而絕不是逆推，即尋找的是充分條件,而不是必要條件．題型一綜合法證明不等式【例1】已知a，b∈R＋，且a＋b＝1,求證:（a＋eq\f(1,a））2＋（b＋eq\f（1，b））2≥eq\f（25，2）。分析：本題中條件a＋b＝1是解題的重點(diǎn)，由基本不等式的知識(shí)聯(lián)想知應(yīng)由重要不等式來變形出要證明的結(jié)論，本題a＋b＝1，也可以視為是“1”的代換問題．反思：(1）綜合法證明不等式,揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵．（2)綜合法證明不等式中所依賴的已知不等式主要是重要不等式,其中常用的有如下幾個(gè)：①a2≥0(a∈R)．②(a－b）2≥0（a,b∈R),其變形有：a2＋b2≥2ab,(eq\f（a＋b，2)）2≥ab，a2＋b2≥eq\f(1,2）（a＋b）2。③若a，b為正實(shí)數(shù)，eq\f(a＋b，2)≥eq\r（ab)。特別eq\f(b,a）＋eq\f(a，b)≥2.④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。題型二分析法證明不等式【例2】已知a＞b＞0，求證：eq\f(a－b2,8a）＜eq\f(a＋b，2)－eq\r（ab）＜eq\f(a－b2，8b)。分析:本題要證明的不等式顯得較為復(fù)雜，不易觀察出怎樣由a＞b＞0得到要證明的不等式，因而可以用分析法先變形要證明的不等式，從中找到證題的線索．反思：分析法的格式是固定化的,但是每一步都是上一步的充分條件,即每一步數(shù)學(xué)式的變化都是在這個(gè)要求之下一步一步去尋找成立的條件或結(jié)論、定理．題型三易錯(cuò)辨析【例3】已知a，b,c∈R＋，求證eq\f(a2b2＋b2c2＋c2a2，a＋b＋c）≥abc.錯(cuò)解:因?yàn)閍2b2＋b2c2＋c2≥3eq\r(3,a2b2·b2c2·c2a2)＝3abceq\r(3，abc）,①又a＋b＋c≥3eq\r（3，abc)，②故eq\f(a2b2＋b2c2＋c2a2,a＋b＋c）≥eq\f(3abc\r(3,abc），3\r（3，abc))≥abc。③錯(cuò)因分析：我們知道不等式具有性質(zhì):若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac＞bd,但eq\f（a,c)＞eq\f(b，d）卻不一定成立．答案：【例1】證法一：不等式左邊＝(a＋eq\f(1，a））2＋（b＋eq\f(1,b））2＝a2＋b2＋4＋（eq\f(1,a2）＋eq\f（1,b2))＝4＋a2＋b2＋eq\f(a＋b2,a2)＋eq\f（a＋b2,b2）＝4＋a2＋b2＋1＋eq\f（2b,a)＋eq\f(b2,a2）＋eq\f(a2,b2）＋eq\f（2a，b）＋1＝4＋(a2＋b2)＋2＋2(eq\f（b,a）＋eq\f（a,b））＋（eq\f（b2,a2)＋eq\f(a2,b2)）≥4＋eq\f(a＋b2,2）＋2＋2×2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2·eq\f(b，a）·eq\f（a，b)＝4＋eq\f（1,2)＋2＋4＋2＝eq\f（25,2)，即原不等式成立．證法二：∵a，b∈R＋，且a＋b＝1，∴ab≤（eq\f(a＋b，2))2＝eq\f(1，4）.∴（a＋eq\f(1，a)）2＋（b＋eq\f（1，b))2＝4＋(a2＋b2）＋（eq\f（1,a2)＋eq\f（1，b2))＝4＋［(a＋b）2－2ab]＋eq\f(a＋b2－2ab,a2b2）＝4＋（1－2ab)＋eq\f（1－2ab,a2b2)≥4＋(1－2×eq\f(1，4))＋eq\f（1－2×\f(1，4),\f（1，4）2)＝eq\f（25，2)。∴(a＋eq\f（1，a）)2＋(b＋eq\f(1，b)）2≥eq\f(25,2）?！纠?】證明：要證原不等式成立，只需證eq\f（a－b2，4a）＜a＋b－2eq\r(ab）＜eq\f(a－b2,4b)，即證(eq\f(a－b，2\r(a））)2＜（eq\r(a)－eq\r（b）)2＜(eq\f(a－b，2\r(b)))2。只需證eq\f(a－b，2\r（a))＜eq\r（a）－eq\r(b）＜eq\f（a－b，2\r（b)),即eq\f（\r(a）＋\r（b），2\r（a））＜1＜eq\f(\r（a）＋\r(b），2\r（b）），即eq\r(\f（b，a）)＜1＜eq\r(\f（a,b))。只需證eq\f(b,a）＜1＜eq\f（a，b)?！遖＞b＞0,∴eq\f（b，a)＜1＜eq\f(a,b）成立．∴原不等式成立．【例3】正解:因?yàn)閍2b2＋b2c2≥2ab2c,b2c2＋c2a2c2a2＋a2b2≥2a2以上三式相加，化簡得：a2b2＋b2c2＋a2c2≥abc(a＋b＋c兩邊同除以正數(shù)a＋b＋c得：eq\f（a2b2＋b2c2＋a2c2，a＋b＋c）≥abc.1．下列三個(gè)不等式:①a＜0＜b;②b＜a＜0；③b＜0＜a，其中能使＜成立的充分條件有（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．下面對(duì)命題“函數(shù)f（x)＝是奇函數(shù)”的證明不是綜合法的是（)A．?x∈R且x≠0有f(－x）＝＝＝－f（x)，則f（x)是奇函數(shù)B．?x∈R且x≠0有f（x)＋f(－x)＝x＋＋（－x）＋＝0，∴f(x)＝－f(－x），則f(x）是奇函數(shù)C．?x∈R且x≠0，∵f（x)≠0，∴＝＝－1，∴f(－x）＝－f（x)，則f（x）是奇函數(shù)D．取x＝－1，f（－1）＝＝－2，又f(1）＝1＋＝2。f（－1）＝－f（1），則f（x）是奇函數(shù)3．若a＞0,b＞0，則下列兩式的大小關(guān)系為________［lg(1＋a)＋lg(1＋b）]．4．已知a，b,c都是正數(shù)，求證：≤．答案：1．A①a＜0＜b＜；②b＜a＜0＜;③b＜0＜a＞.故選A。2．DD項(xiàng)中，選取特殊值進(jìn)行證明，不是綜合法．3．≥［lg（1＋a)＋lg(1＋b)]＝lg[（1＋a)（1＋b)]＝又∵lg（1＋）＝，且a＞0