數(shù)學(xué)學(xué)案：第二章離散型隨機(jī)變量及其分布列

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§1離散型隨機(jī)變量及其分布列學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)1.在對具體問題的分析中，能說出隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量的意義．2．能寫出隨機(jī)變量所取的值及表示的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果．3．能解決取有限值的離散型隨機(jī)變量的分布列的問題.重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的分布列．難點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量表示的實(shí)驗(yàn)結(jié)果及每個隨機(jī)變量的概率的求法.1．隨機(jī)變量(1）我們將隨機(jī)現(xiàn)象中試驗(yàn)（或觀測）的每一個可能的結(jié)果都對應(yīng)于一個數(shù)，這種對應(yīng)稱為一個隨機(jī)變量，通常用大寫的英文字母如X，Y來表示．實(shí)際上，隨機(jī)變量是從隨機(jī)試驗(yàn)每一個可能的結(jié)果所組成的集合到實(shí)數(shù)集的映射．(2）隨機(jī)變量的取值能夠一一列舉出來，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．預(yù)習(xí)交流1隨機(jī)變量與函數(shù)的關(guān)系是怎樣的？提示：隨機(jī)變量與函數(shù)都是一種映射，隨機(jī)變量是隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果到實(shí)數(shù)的映射，函數(shù)是實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射；隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域．2．離散型隨機(jī)變量的分布列設(shè)離散型隨機(jī)變量X的取值為a1，a2,…隨機(jī)變量X取ai的概率為pi(i＝1,2，…)，記作P（X＝ai)＝pi(i＝1,2,…)，①或列成表X＝aia1a2…P(X＝ai）p1p2…表或①式稱為離散型隨機(jī)變量X的分布列．顯然pi＞0，p1＋p2＋…＝1。預(yù)習(xí)交流2盒中裝有6支白粉筆和8支紅粉筆．從中任意取出3支，其中所含白粉筆的支數(shù)為ξ，那么ξ可能的取值是什么？當(dāng)ξ＝2時表示怎樣的試驗(yàn)結(jié)果？提示：ξ的取值為0,1,2,3，“ξ＝2”表示取出2支白粉筆和1支紅粉筆．1．隨機(jī)變量指出下列變量中，哪些是隨機(jī)變量,哪些不是隨機(jī)變量，并說明理由．(1)某人射擊一次命中的環(huán)數(shù);(2）任意擲一枚均勻的硬幣5次,出現(xiàn)正面向上的次數(shù)；（3)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)(最上面的數(shù)字）；（4)某個人的屬相隨年齡的變化．思路分析：利用隨機(jī)變量的定義去分析相應(yīng)的實(shí)例．解：(1）某人射擊一次，可能命中的環(huán)數(shù)是0環(huán)，1環(huán)，…，10環(huán)結(jié)果中的一個而且出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量．(2)任意擲一枚硬幣1次，可能出現(xiàn)正面向上也可能出現(xiàn)反面向上，因此投擲5次硬幣，出現(xiàn)正面向上的次數(shù)可能是0，1，2,3，4,5,而且出現(xiàn)哪種結(jié)果是隨機(jī)的，所以是隨機(jī)變量．（3）擲一顆骰子可能出現(xiàn)的結(jié)果是1點(diǎn)，2點(diǎn),3點(diǎn),4點(diǎn)，5點(diǎn),6點(diǎn)中的一個，且出現(xiàn)哪個結(jié)果是隨機(jī)的，因此是隨機(jī)變量．(4）屬相是出生時便確定的,不隨年齡的變化而變化，因此不是隨機(jī)變量．下列變量中屬于離散型隨機(jī)變量的有__________．①在2008張已編號的卡片(從1號到2008號）中任取一張,被取出的編號數(shù)為X；②連續(xù)不斷射擊，首次命中目標(biāo)需要的射擊次數(shù)X；③從2008張已編號的卡片(從1號到2008號)中任取3張，被取出的卡片的號數(shù)和X；④某工廠加工的某種鋼管,外徑與規(guī)定的外徑之差X;⑤投擲一顆骰子，六面都刻有數(shù)字6，所得的點(diǎn)數(shù)X。答案：①②③解析：①②③中變量X的所有可能取值是可以一一列舉出來的，是離散型隨機(jī)變量，④中的X的取值為某一范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)，無法列出,不是離散型隨機(jī)變量．⑤中的X的取值是確定的,是6，不是隨機(jī)變量．判斷一個變量是否為隨機(jī)變量，主要是看變量的值的出現(xiàn)是否是隨機(jī)的，結(jié)果是隨機(jī)的變量為隨機(jī)變量，如果隨機(jī)變量能按一定的順序列舉出來，則這種隨機(jī)變量則是離散型隨機(jī)變量．2。離散型隨機(jī)變量的分布列從裝有6個白球，4個黑球和2個黃球的箱中隨機(jī)地取出兩個球，規(guī)定每取出一個黑球贏2元,而每取出一個白球輸1元，取出黃球無輸贏，以X表示贏得的錢數(shù)，隨機(jī)變量X可以取哪些值呢?求X的分布列．思路分析:要求贏得的錢數(shù)X的概率分布列，需先寫出X的可能取值,然后求出X中每一個可能值的概率，從而列出分布列．解：從箱中取兩個球的情形有以下六種：｛2白｝，｛1白1黃｝，{1白1黑｝，｛2黃｝，｛1黑1黃}，｛2黑}．當(dāng)取到2白時，結(jié)果輸2元，隨機(jī)變量x＝－2，此時P(X＝－2)＝eq\f(Ceq\o\al（2,6），Ceq\o\al（2，12))＝eq\f（5,22）；當(dāng)取到1白1黃時，結(jié)果輸1元，隨機(jī)變量x＝－1，此時P（X＝－1）＝eq\f（Ceq\o\al（1,6）Ceq\o\al（1,2),Ceq\o\al（2,12）)＝eq\f(2，11）;當(dāng)取到1白1黑時,結(jié)果贏1元，隨機(jī)變量x＝1，此時P（X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1，6）Ceq\o\al（1,4),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(4,11）;當(dāng)取到2黃時，結(jié)果無輸贏，隨機(jī)變量x＝0，此時P(X＝0）＝eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,12））＝eq\f（1，66）；當(dāng)取到1黑1黃時，結(jié)果贏2元，隨機(jī)變量x＝2，此時P(X＝2）＝eq\f（Ceq\o\al（1，4）Ceq\o\al(1，2）,Ceq\o\al（2,12))＝eq\f（4，33）；當(dāng)取到2黑時，結(jié)果贏4元，隨機(jī)變量x＝4，此時P（X＝4）＝eq\f（Ceq\o\al（2,4）,Ceq\o\al（2，12)）＝eq\f（1，11），可見，隨機(jī)變量X可以?。?，－1，0，1，2，4，其分布列為：X＝xi－2－10124P(X＝xi)eq\f(5，22）eq\f(2，11）eq\f（1,66)eq\f（4,11)eq\f(4,33）eq\f（1,11）設(shè)隨機(jī)變量X的分布列Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(X＝\f（k，5)）)＝ak(k＝1,2,3,4,5)，(1)求常數(shù)a的值；（2)求Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5）））的值．解:由題意得x的分布列為：Xeq\f（1，5）eq\f(2,5)eq\f(3,5)eq\f（4，5)1Pa2345(1）由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝eq\f(1,15)(2)Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(X≥\f（3,5）))＝Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5)）)＋Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(X＝\f(4,5））)＋P(X＝1）＝eq\f（3，15)＋eq\f(4，15)＋eq\f（5，15）＝eq\f（12，15）＝eq\f(4，5).解答此類問題的關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是依據(jù)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果寫出隨機(jī)變量的可能取值；二是依據(jù)隨機(jī)變量取值所對應(yīng)的結(jié)果求出隨機(jī)變量取每一個值的概率．1．10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機(jī)變量的是（）．A．取到產(chǎn)品的件數(shù)B．取到正品的概率 C．取到次品的件數(shù)D．取到次品的概率答案：C解析：對于A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個常量不是變量，B，D也是一個定值，而C中取到次品的件數(shù)可能是0,1,2，是隨機(jī)變量．2．袋中裝有大小相同的5個球,分別標(biāo)有1，2，3,4,5五個號碼，現(xiàn)在在有放回取出的條件下依次取出兩個球,設(shè)兩個球號碼之和為隨機(jī)變量ξ，則ξ所有可能取值的個數(shù)是（）．A．5 B．9 C．10 D．答案：B解析:兩個球的號碼之和可能為2,3,4,5，6，7,8，9,10，共9個．3．某人進(jìn)行射擊，共有5發(fā)子彈，擊中目標(biāo)或子彈打完就停止射擊,射擊次數(shù)為ξ，則“ξ＝5”表示試驗(yàn)結(jié)果是(）．A．第5次擊中目標(biāo) B．第5次未擊中目標(biāo)C．前4次均未擊中目標(biāo) D．第4次擊中目標(biāo)答案：C解析:ξ＝5表示射擊5次，即前4次均未擊中，否則不可能射擊第5次，但第5次是否擊中，就不一定，因?yàn)樗挥?發(fā)子彈．4．?dāng)S一枚骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)X是一隨機(jī)變量，則P（X＞4)的值為__________．答案:eq\f（1,3）解析：P（x＞4)＝P（x＝5)＋P(x＝6)＝eq\f(1，6）＋eq\f（1,6)＝eq\f（1，3).5．某車間三天內(nèi)每天生產(chǎn)10件某產(chǎn)品，其中第一天,第二天分別生產(chǎn)了1件，2件次品,而質(zhì)檢部門每天要在生產(chǎn)的10件產(chǎn)品中隨