2024-2025學年廣東省深圳市某中學高三第二次模擬考試數(shù)學試題（詳細答案版）

2024-2025學年廣東省深圳市翻身實驗學校高三第二次模擬考試數(shù)學試題(詳細答案

版)

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.不等式-二’的解集記為D,有下面四個命題：B：V(x,y)eD,2y-x,5；p,:3(x,y)eD,2y-x..2.

x+y?3

p3：\/(x,y)^D,2y-x?2；以：Rx,y)e￡>,2y-x..4.其中的真命題是()

A.PVP2B.0，。3c.PVP3D.P”P4

2.已知函數(shù)〃x)=lnx+l,g(￡)=2e%，若"m)=g(")成立，貝!的最小值是()

1r-1

A.-+ln2B?e—2C.In2—D.ve---

222

3.將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官，每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案種數(shù)是()

A.18種B.36種C.54種D.72種

4.在：卜2x+iy展開式中的常數(shù)項為()

A.1B.2C.3D.7

5.已知集合A={三WO］，則集合A真子集的個數(shù)為()

〔x+3J

A.3B.4C.7D.8

6.已知函數(shù)/(x)=M(xeR),若關(guān)于x的方程f(x)-m+l=0恰好有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)機的取值范

ex

圍為()

A.(§」)B.（0,華）C.（l,j+l）D.（1，字+1）

7.已知函數(shù)/(x)=2sin(ox+0)(0>O,O<°<二),/I^UV2,/仁卜0且在(0,?)上是單調(diào)函數(shù)，則下列

說法正確的是()

4林卜*1

D.函數(shù)/（九）的圖像關(guān)于點［聾,o］對稱

c.函數(shù)/（X）在一萬,一萬上單調(diào)遞減

8.如圖所示，正方體48cz>-Ai3CiZ>i的棱長為1,線段上有兩個動點E、尸且Eb=,則下列結(jié)論中錯誤的

是（）

A.AC±BEB.EF〃平面A5CD

C.三棱錐A毋E歹的體積為定值D.異面直線AE1尸所成的角為定值

9.已知等比數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，設(shè)其前n項和S,,若4。用=4"（〃eN*），則S5()

A.30B.3172C.15.72D.62

10.（x+y）（2x—y）5的展開式中/J?的系數(shù)為（）

A.-30B.-40C.40D.50

11.當輸入的實數(shù)xe［2,30］時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x不小于103的概率是（）

12.在ABC中，角A,瓦C所對的邊分別為“,仇c,已知C=q-,c=l.當a,。變化時，若z=b+/kz存在最大值,

則正數(shù)X的取值范圍為

A.(0,1)B.(0,2)C.(1,2)D.(L3)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標記有1,2,3,4,5的卡片中隨機摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金；

隨后放回該卡片，再隨機摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對值的1.4倍作為其獎金.若隨機變量吊和聶分別

表示賭客在一局賭博中的賭金和獎金，則O(6)=，E(6)-E(6)=.

14.已知同=忖=2,(?+2b)一(“一人)=一2,則a與匕的夾角為.

15.動點尸到直線x=-l的距離和他到點尸(1,。)距離相等，直線A3過(4,0)且交點p的軌跡于A,3兩點，則以

為直徑的圓必過.

16.如圖，為測量出高選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從A點測得"點的仰角NMAN=60°，C

點的仰角NC4B=45°以及NM4C=75°;從C點測得NMCA=60°.已知山高BC=100〃7,則山高

MN=m

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在平面直角坐標系中，已知拋物線￡：/=2px(〃>0)的焦點為產(chǎn)，準線為/,p是拋物線上E上

一點，且點P的橫坐標為2,|a1=3.

(1)求拋物線E的方程；

(2)過點尸的直線M與拋物線E交于4、B兩點,過點產(chǎn)且與直線，"垂直的直線九與準線/交于點設(shè)的

中點為N,若。、MN、尸四點共圓，求直線，"的方程.

18.(12分)已知數(shù)列｛%｝滿足---=一且q=—

an+\an2

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列+2n］的前“項和S”.

19.(12分)如圖，在四面體。ABC中，AB±BC,DA=DC=DB.

(1)求證:平面ABC，平面AC。；

(2)若NC4D=3O°,二面角C—AB—。為60，求異面直線與所成角的余弦值.

20.(12分)已知二階矩陣矩陣-屬于特征值-,的一個特征向量為1..，屬于特征值--的

二=［二-］~一二七)一；

一個特征向量為.求矩陣

二:-

21.(12分)隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的不斷發(fā)展，很多互聯(lián)網(wǎng)公司推出余額增值服務產(chǎn)品和活期資金管理服務產(chǎn)品，如螞蟻

金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財富通”，京東旗下“京東小金庫”.為了調(diào)查廣大市民理財產(chǎn)品的選擇情況，隨機抽

取1200名使用理財產(chǎn)品的市民，按照使用理財產(chǎn)品的情況統(tǒng)計得到如下頻數(shù)分布表:

分組頻數(shù)（單位：名）

使用“余額寶”X

使用“財富通”y

使用“京東小金庫”30

使用其他理財產(chǎn)品50

合計1200

已知這1200名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財富通”的人多160名.

（1）求頻數(shù)分布表中％,V的值；

（2）已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為2.8%,“財富通”的平均年化收益率為4.2%.若在1200名使用理財產(chǎn)

品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人，然后從這7人中隨機選取

2人，假設(shè)這2人中每個人理財?shù)馁Y金有10000元，這2名市民2018年理財?shù)睦⒖偤蜑閄,求X的分布列及數(shù)學

期望.注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利息，理財產(chǎn)品“平均年化收益率為3%”即將100元錢存入某理財產(chǎn)

品，一年可以獲得3元利息.

22.（10分）棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標，某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實驗地分別

種植某品種的棉花，為了評價該品種的棉花質(zhì)量，在棉花成熟后，分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機抽取21根棉花纖

維進行統(tǒng)計，結(jié)果如下表：（記纖維長度不低于311〃的為“長纖維”，其余為“短纖維”）

纖維長度(0,100)[100,200)[200,300)[300,400)[400,500]

甲地（根數(shù)）34454

乙地（根數(shù)）112116

（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)，填寫下面2x2列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤概率不超過L125的前提下認為“纖維長度與土壤

環(huán)境有關(guān)系”.

甲地乙地總計

長纖維

短纖維

總計

附：⑴心=——"be?——

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

(2)臨界值表;

2

P(K>k0)1.111.151.1251.1111.1151.111

k。2.7163.8415.1246.6357.87911.828

(2)現(xiàn)從上述41根纖維中，按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢測，在這

8根纖維中，記乙地“短纖維”的根數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

作出不等式組表示的可行域，然后對四個選項一一分析可得結(jié)果.

【詳解】

作出可行域如圖所示，當X=l,y=2時，(2y—X)max=3,即為-尤的取值范圍為(—8,3],所以

V(x,y)&D,2y-x?5,巧為真命題；

Rx,y)e2y-x..2,為真命題；P3，A為假命題.

故選：A

此題考查命題的真假判斷與應用，著重考查作圖能力，熟練作圖，正確分析是關(guān)鍵，屬于中檔題.

2.A

【解析】

分析：設(shè)/(〃2)=g(")=乙則/〉0,把機，〃用f表示，然后令〃?)=m—“，由導數(shù)求得丸(。的最小值.

詳解：設(shè)=g(")=。，則，>0,m=etl>w=In—l—=Inf—In2H—,

222

?*.m—n—c'1—In?+In2—,令h(t)=cr—In?+In2—,

22

則/2'?)=e'T—/i"?)=eT+，>0,.?."?)是(0,+s)上的增函數(shù)，

又力⑴=0,.?.當re(0,l)時，〃'⑺<0,當fe(l,+oo)時，"⑺>0,

即丸⑺在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增，入⑴是極小值也是最小值,

h(l)=—+In2,/.m-n的最小值是』+ln2.

22

故選A.

點睛：本題易錯選B,利用導數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時學生可能不會將其中求6-。的最小值問題，通過構(gòu)造新函數(shù),

轉(zhuǎn)化為求函數(shù)力(。的最小值問題，另外通過二次求導，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯.

3.B

【解析】

把4名大學生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.

【詳解】

把4名大學生按人數(shù)分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)，

則不同的分配方案有=36種.

故選：B.

本題考查排列組合，屬于基礎(chǔ)題.

4.D

【解析】

求出(2%+1)3展開項中的常數(shù)項及含％的項，問題得解。

【詳解】

(2%+1)3展開項中的常數(shù)項及含％的項分別為：

C；(I)3(2x)°=1,C；(2x)ixl2=6%,

所以|+￡|(2X+1)3展開式中的常數(shù)項為：Ixl+：x6x=7.

故選：D

本題主要考查了二項式定理中展開式的通項公式及轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。

5.C

【解析】

解出集合A,再由含有九個元素的集合，其真子集的個數(shù)為2'-1個可得答案.

【詳解】

解：由A=忘<0卜得4={兀62|_3<》40}={_2,-1,0}

所以集合A的真子集個數(shù)為23-1=7個.

故選：c

此題考查利用集合子集個數(shù)判斷集合元素個數(shù)的應用，含有九個元素的集合，其真子集的個數(shù)為2"-1個，屬于基礎(chǔ)題.

6.D

【解析】

討論x>0,x=0,x<0三種情況，求導得到單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】

當x>0時，/(X)=正，故/(x)=!*，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在g,+8上單調(diào)遞減，且了lie

ex2、xe<2；~2e

當x=0時，/(0)=0；

當x<0時，于(x)=士三,f\x)=--^-<0,函數(shù)單調(diào)遞減；

exlyjxe

如圖所示畫出函數(shù)圖像，則0(根—1</[工]=叵，故me(L叵+1).

本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的零點問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.

7.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(%)，在(0,萬)上是單調(diào)函數(shù)，確定0<0<1,然后一一驗證，

A.若0=；,則/(x)=2sin[gx+o],由得9=耳，但/=+等.B.由

/^=0,確定〃x)=2sin]gx+再求解驗證C利用整體法根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)

性判斷.D.計算/彳是否為0.

【詳解】

因為函數(shù)/（%）,在（0,"）上是單調(diào)函數(shù),

rrtO

所以一2兀，即—227r,所以0vgK1,

2CO

若o=1則/(x)=2sin[gx+Q),又因為了17137r

0,即/sin—X——\-(D=o,解得(p=——，而

2224

工交，故A錯誤.

2

八丁4人①兀/曰兀①

=0,不妨令----卜（p=兀,得°="-----

2中2

管得冗兀兀3兀

ox——\~(p=2左〃+—或&x——\-(p=2k7i+——

8484

,7T.TC.2k7i

當GX--(0—2左〃1+—時,a)-----+2,不合題意.

843

當cox—+(p=2左1十四時,2k7T922?

CD--+---,此時/(x)=2sin—XH-------

84333

述+后

故B正確.

2

2TC/\rTC

因為xe-n,--,-x+—e0,—,函數(shù)/(x),在|0,可?[上是單調(diào)遞增，故C錯誤.

故選：B

本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應用，還考查了運算求解的能力，屬于較難的題.

8.D

【解析】

A.通過線面的垂直關(guān)系可證真假；B.根據(jù)線面平行可證真假；C.根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D.根據(jù)

列舉特殊情況可證真假.

【詳解】

A.因為BD=D,所以AC，平面,

又因為5Eu平面耳，所以ACL8E,故正確；

B.因為RBJ/DB,所以EF//DB,且跖仁平面ABC。，QBu平面ABCD，

所以EFV/平面ABCD,故正確；

C.因為S成尸ngxEFxBB]=字為定值，A到平面3DD]用的距離為/Z=；AC=￥，

所以匕皿為定值，故正確;

D.當ACBR=E,ACoBD=G,取P為耳，如下圖所示:

因為BF/IEG,所以異面直線歹所成角為NAEG,

0

且tanNAEG=^=2V2,

GE12

當4CJBQ】=F,ACcBD=G,取E為?！溉缦聢D所示:

因為D[F/IGB,D[F=GB,所以四邊形2G3R是平行四邊形，所以BF//RG,

AG

所以異面直線AE,3尸所成角為NAEG,且tan/"EG=而

由此可知：異面直線AE,3歹所成角不是定值，故錯誤.

故選：D.

本題考查立體幾何中的綜合應用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度

較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).

9.B

【解析】

根據(jù)=4",分別令，=1,2,結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，得到關(guān)于首項和公比的方程組，解方程組求出首項和公

式，最后利用等比數(shù)列前”項和公式進行求解即可.

【詳解】

設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,由題意可知中：%〉0應〉0.由%4+1=4",分別令”=1,2,可得％%=4、2生=16,

%-q=4fa=J2

由等比數(shù)列的通項公式可得：2入0，

ax-q-ax-q'=\b[q=2

因止匕S5=可丁=31萬

故選：B

本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前〃項和公式的應用，考查了數(shù)學運算能力.

10.C

【解析】

先寫出(2x-y)5的通項公式，再根據(jù)Yy3的產(chǎn)生過程，即可求得.

【詳解】

對二項式(2x—y)5,

其通項公式為I；.=C；(2龍廣’(―?=C；25-r(-1/產(chǎn)y

(x+_y)(2x-_y)5的展開式中x3y3的系數(shù)

是(2x-y)5展開式中dy3的系數(shù)與W的系數(shù)之和.

令r=3,可得Yy3的系數(shù)為C：2?(—1)3=TO;

令r=2,可得的系數(shù)為亡23(—1)2=80；

故(x+y)(2x-y)5的展開式中x3/的系數(shù)為80-40=40.

故選：c.

本題考查二項展開式中某一項系數(shù)的求解，關(guān)鍵是對通項公式的熟練使用，屬基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運行，直至不滿足條件退出循環(huán)體，求出x的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結(jié)論.

【詳解】

程序框圖共運行3次，輸出的x的范圍是[23,247],

247-1031449

所以輸出的x不小于103的概率為---------=-.

247-2322414

故選:A.

本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率,模擬程序運行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

因為C=N,c=1,所以根據(jù)正弦定理可得三=芻='=1，所以。=*sinA,b=^sinB,所以

3sinAsinBsinCJ3,313

八2.2/1.2八.兀2/I

z=+=—^sinB+—^sinA=—^[sinB+2sin(----B)]=—^[(1-----)sinB+

66m3百2

呼cos切=卡，（1-。2+（警；$皿2+。）,其中tan0=g，0<B<1,

因為z=6+/ia存在最大值，所以由8+。=巴+2左兀水eZ,可得2左兀+巴<。<2/兀+巴次eZ,

262

所以tan。〉寺,所以巴>等，解得g<2<2,所以正數(shù)彳的取值范圍為（g,2）,故選C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.20.2

【解析】

分別求出隨機變量酊和a的分布列，根據(jù)期望和方差公式計算得解.

【詳解】

設(shè)a,Z>e{l,2,1,4,5},則p（2=。）=（，其之分布列為：

612145

11111

rp

55555

E(.fi)=-x(1+2+1+4+5)=1.

5

D(<fi)=|x[(1-1)2+(2-1)2+(1-1)2+(4-1)2+(5-1)2]=2.

4=1.41。-6]的可能取值分別為：1.4,2.3,4,2,5.6,

42332211

P(^2=1.4)=1=二，尸(。=2.3)=鼠=而，尸(。=4.2)=《=而，尸(&=5.6)=《=而，可得分布列?

61.42.34.25.6

2321

P

5101010

…2321

E(。2)=1.4x—I-2.3x---1-4.2x---1-5.6x—=2.3.

5101010

：.E（＜fi）-E（&）=0.2.

故答案為：2,0.2.

此題考查隨機變量及其分布，關(guān)鍵在于準確求出隨機變量取值的概率，根據(jù)公式準確計算期望和方差.

14.60°

【解析】

根據(jù)已知條件（a+26）＜a—6）=—2,去括號得：同一+。力-2忖=4+2x2xcos61-2x4=-2,

=4＞cos0=-,0=60°

2

15.（0,0）

【解析】

利用動點P到直線x=-1的距離和他到點尸（1,0）距離相等，，可知動點P的軌跡是以尸（1,0）為焦點的拋物線，從而可求

曲線的方程，將y=4）,代入/=4%,利用韋達定理，可得+=0，從而可知以A5為直徑的圓經(jīng)過原

點O.

【詳解】

222

設(shè)點P（x,y）,由題意可得尤+1=—+y2,（x+i）2=（》_］）2+y2,x+2x+l=x-2x+l+y,可得

：/=4x,設(shè)直線A5的方程為y=4）,代入拋物線可得

22

k-x-4（2k-+l）x+16k=0,A（再,％）,5（%2,%）XxX2=16,%+工2=———2——-，

.??%%=左2(%—4)(9—4),

石光2+K%=(k?+1)石龍2—4左2(X]+9)+16左2

=16(左2+1)—4左28：：4+]612=o,

:.OAOB=0'以AB為直徑的圓經(jīng)過原點。.

故答案為：(0,0)

本題考查了拋物線的定義，考查了直線和拋物線的交匯問題，同時考查了方程的思想和韋達定理，考查了運算能力，

屬于中檔題.

16.1

【解析】

試題分析：在,ABC中，?.NR4c=45。,/筋。=90。,8。=100,，4。=二^-=100直，在CC中，

sin45°

ZMAC=75°,ZMCA=60°,/.ZAMC=45°,由正弦定理可得———=———,即AM=竺還解

sinZACMsinZAMCsin60°sin45°'

得AM=10()6,在加一AW中，MN^AM-sinZMAN=100V3xsin60°

=150(m).

故答案為1.

考點：正弦定理的應用.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)y2=4%(2)y=±V2(x-l)

【解析】

(1)由拋物線的定義可得歸司=2+個即可求出0,從而得到拋物線方程；

(2)設(shè)直線機的方程為x=<y+L代入V=4x,得_/一4什一4=0.

設(shè)4(%,%),B(x2,y2),列出韋達定理，表示出中點N的坐標，若。、M、N、R四點共圓，再結(jié)合FNLRV/,

得OM_LQV,則。M.ON=0即可求出參數(shù)，，從而得解；

【詳解】

解：⑴由拋物線定義，得盧耳=2+^=3,解得。=2,

所以拋物線E的方程為/=4x.

(2)設(shè)直線機的方程為x=9+l，代入＞2=4x,得_/一43一4=0.

設(shè)A(W%),B(x2,y2),則%+%=*,%%=-4.

由y；=4x1,￡=4%,得

L義=(%+%)2-2%%_(47)2—2x(—4)

x+x==4r+2，

1244-4—4

所以N(2r+l,2。.

因為直線機的斜率為:，所以直線〃的斜率為-f,則直線九的方程為y=-《x-1).

解得”(—1,2。.

若。、M、N、歹四點共圓，再結(jié)合得0M上ON,

則QM-QN=—1X(2,2+1)+2J2，=2F—1=0,解得/=±等,

所以直線機的方程為y=±J5(x-l).

本題考查拋物線的定義及性質(zhì)的應用，直線與拋物線綜合問題，屬于中檔題.

n+12

18.(1)?n=Qj；(2)Sn=2+n+n-2

【解析】

(1)根據(jù)已知可得數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，即可求解;

(2)由(1)可得為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的前〃項和公式，即可求解.

【詳解】

1―,所以也=1寸1

(1)因為5,又生=不

%an乙L

n

所以數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且首項為:，公比為;.故為=1%)

(2)由(1)知工=2”,所以工+2〃=2"+2〃

a“a.

02(1-2n)(2+2〃)〃cn+i2c

所以S_--------+---------—=2,,+1+n-+n-2

1-22

本題考查等比數(shù)列的定義及通項公式、等差數(shù)列和等比數(shù)列的前幾項和，屬于基礎(chǔ)題.

19.（1）證明見解析

⑵好

6

【解析】

（1）取AC中點p，連接得DFLAC,可得E4=￡B=FC,

可證DFA^ADFB,可得DPLEB,進而。尸，平面ABC,即可證明結(jié)論；

（2）設(shè)E,G,〃分別為邊ABCRB。的中點，連DE,EF,GF,FH,HG,可得GF/M￡>,GH//BC,EF//BC,

可得NFGH（或補角）是異面直線AO與所成的角，5CLA5,可得ERLAB,NDEF為二面角C—AB—。

的平面角，即NDEF=60，設(shè)AD=a，求解AFGH,即可得出結(jié)論.

【詳解】

（1）證明:取AC中點p，連接ED,EB,

由DA=DC,則DELAC,

AB1BC,汕FA=FB=FC,

71

故，DFgDFB,ZDFB=ZDFA=—,

2

DF±AC,DF±FB,ACcFB=F

.二?！?，平面ABC,又D尸u平面AC。，

故平面ABC,平面ACD

（2）解法一:設(shè)G,H分別為邊CD,即的中點，

班FGIIAD,GHIIBC,

ZFGH（或補角）是異面直線AZ）與BC所成的角.

設(shè)E為邊A3的中點，則石尸/ABC,

由ABL3C,知所，AB.

又由（1）有小，平面ABC,，。A8,

EF=平面

所以NDEF為二面角C—AB—O的平面角，.?.NOER=60，

設(shè)ZM=QC=r>3=a，則Db=ADNCAD=-

2

在RfADEF中,EF—a

236

仄而GH=LBC=EF=^a

26

在H/VBD/中，F(xiàn)H=-BD=-,

22

又FG=LAD=q,

22

從而在二歹GH中，因FG=FH,

LGH

cosZFGH=------

FG6

因此，異面直線AO與BC所成角的余弦值為也

6

解法二:過點尸作械，AC交于點”，

由(1)易知兩兩垂直，

以廠為原點，射線bC,尸。分別為x軸，

y軸，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系b-孫z.

不妨設(shè)AD=2,由CD=AD,NC4T>=30°,

易知點A,C,。的坐標分別為A(0,-V3,0),C(0,8,0),D(0,0,1)

則A￡>=(O,A1)

顯然向量左=(0,0,1)是平面ABC的法向量

已知二面角C—AB—D為60。,

設(shè)_8(根,〃,0),則冽之+〃2=3,AB=(m,n+6,0)

設(shè)平面ABD的法向量為n=(x,y,z),

fAD-n=01島+z=0

則L八二〈/r\

AB?幾=0mx+(〃+J3)y=0

令y=l,則"=-----,1,-73

m

由上式整理得91+2a—21=0,

解之得〃=-6(舍)或〃=人5

9

八)遙2百八)

:.BJ±4---"-,----,UCB=±----,-----,u

9999

2

ADCB

\cos<AD.CB>|=_3

AD\CBo2百6

2x---

3

因此，異面直線AO與BC所成角的余弦值為也

6

本題考查空間點、線、面位置關(guān)系，證明平面與平面垂直，考查空間角，涉及到二面角、異面直線所成的角，做出空

間角對應的平面角是解題的關(guān)鍵，或用空間向量法求角，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學計算能力，屬于中檔題.

20.

【解析】

運用矩陣定義列出方程組求解矩陣L

【詳解】

由特征值、特征向量定義可知，-

「，得

同理可得解得—一.，門一口一7H一/.因此矩陣

口=埼

本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運用定義得出方程組即可求出結(jié)果，較為簡單

%=640

21.（1）《；（2）680元.

[y=480

【解析】

（1）根據(jù)題意，列方程《

（2）根據(jù)題意，計算出10000元使用“余額寶”的利息為10000x2.8%=280（元）和

10000元使用“財富通”的利息為10000x4.2%=420（元），

得到X所有可能的取值為560（元），700（元），84