（圓夢(mèng)高考數(shù)學(xué)）專(zhuān)題8.7 立體幾何（2021-2023年）真題訓(xùn)練（含答案及解析）

專(zhuān)題8.7立體幾何一、單選題1．（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成的角為（

）A． B． C． D．3．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（

）A． B． C． D．4．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀(guān)測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%5．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．6．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為7．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．8．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．39．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．10．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．11．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．12．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面13．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．14．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線(xiàn)CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．15．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A． B． C． D．二、多選題16．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿(mǎn)足的是（

）A． B．C． D．17．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知正方體，則（

）A．直線(xiàn)與所成的角為 B．直線(xiàn)與所成的角為C．直線(xiàn)與平面所成的角為 D．直線(xiàn)與平面ABCD所成的角為18．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為19．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．20．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體21．（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面三、填空題22．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______.23．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則________．24．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____．25．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為_(kāi)___________．26．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)_______．27．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是________．四、解答題28．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．29．（2023年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．30．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．31．（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.32．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?33．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.34．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．35．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．36．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．37．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．38．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．39．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．40．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．41．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．42．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在三棱柱中，，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)求證：；(2)若直線(xiàn)與距離為2，求與平面所成角的正弦值．43．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．44．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．45．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.

專(zhuān)題8.7立體幾何一、單選題1．（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，根據(jù)圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)可求得的值，即為所求.【詳解】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，由于圓錐底面圓的周長(zhǎng)等于扇形的弧長(zhǎng)，則，解得.故選：B.2．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）在正方體中，P為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線(xiàn)至，將直線(xiàn)與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因?yàn)椤?，所以或其補(bǔ)角為直線(xiàn)與所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以平面，所以，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，，所以.故選：D3．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四棱臺(tái)的幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：D.4．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀(guān)測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（

）A．26% B．34% C．42% D．50%【答案】C【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：.故選：C.5．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問(wèn)題，其中一部分水蓄入某水庫(kù).已知該水庫(kù)水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出．【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積．棱臺(tái)上底面積，下底面積，∴．故選：C．6．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（

）A． B．AB與平面所成的角為C． D．與平面所成的角為【答案】D【分析】根據(jù)線(xiàn)面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出．【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對(duì)于A，，，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過(guò)作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)椋?，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選：D．7．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積．【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．8．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個(gè)小三棱錐，其高之和為AB得解.【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，

是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，，又平面，，平面，又，，故，即，所以，故選：A9．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在四棱錐中，底面為正方形，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】法一：利用全等三角形的證明方法依次證得，，從而得到，再在中利用余弦定理求得，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解；法二：先在中利用余弦定理求得，，從而求得，再利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算與余弦定理得到關(guān)于的方程組，從而求得，由此在中利用余弦定理與三角形面積公式即可得解.【詳解】法一：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，，所以，則，又，，所以，則，又，，所以，則，在中，，則由余弦定理可得，故，則，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.法二：連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點(diǎn)，如圖，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，，所以，在中，，則由余弦定理可得，故，所以，則，不妨記，因?yàn)?，所以，即，則，整理得①，又在中，，即，則②，兩式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面積為.故選：C.10．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進(jìn)而求得體積.【詳解】，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設(shè)到平面的距離為，則，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球內(nèi)幾何體問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解.11．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線(xiàn)上，此時(shí)，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是12．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項(xiàng)BCD解法一：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，故選：A.選項(xiàng)BCD解法二：解：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線(xiàn)，在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點(diǎn)，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.13．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.【詳解】解：設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.14．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知為等腰直角三角形，AB為斜邊，為等邊三角形，若二面角為，則直線(xiàn)CD與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，推導(dǎo)確定線(xiàn)面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，且為斜邊，則有，又是等邊三角形，則，從而為二面角的平面角，即，顯然平面，于是平面，又平面，因此平面平面，顯然平面平面，直線(xiàn)平面，則直線(xiàn)在平面內(nèi)的射影為直線(xiàn)，從而為直線(xiàn)與平面所成的角，令，則，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得，即，顯然是銳角，，所以直線(xiàn)與平面所成的角的正切為.故選：C15．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.【詳解】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線(xiàn)夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為又設(shè)四棱錐的高為，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立)所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高.故選：C．[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)求最值由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設(shè)，則，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)．故選：C.【點(diǎn)評(píng)】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問(wèn)題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通性通法．二、多選題16．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿(mǎn)足的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線(xiàn)構(gòu)造所考慮的線(xiàn)線(xiàn)角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線(xiàn)所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.17．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知正方體，則（

）A．直線(xiàn)與所成的角為 B．直線(xiàn)與所成的角為C．直線(xiàn)與平面所成的角為 D．直線(xiàn)與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線(xiàn)與所成的角即為直線(xiàn)與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，故直線(xiàn)與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，，所以平面，所以為直線(xiàn)與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，，，所以，直線(xiàn)與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線(xiàn)與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD18．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，，，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角為45°，則（

）．A．該圓錐的體積為 B．該圓錐的側(cè)面積為C． D．的面積為【答案】AC【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.【詳解】依題意，，，所以，A選項(xiàng)，圓錐的體積為，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，圓錐的側(cè)面積為，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)是的中點(diǎn)，連接，則，所以是二面角的平面角，則，所以，故，則，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，所以，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.

19．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槠矫?，，則，，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過(guò)作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.故選：CD.20．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（

）A．直徑為的球體B．所有棱長(zhǎng)均為的四面體C．底面直徑為，高為的圓柱體D．底面直徑為，高為的圓柱體【答案】ABD【分析】根據(jù)題意結(jié)合正方體的性質(zhì)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋辞蝮w的直徑小于正方體的棱長(zhǎng)，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，且，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)檎襟w的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，且，所以不能夠被整體放入正方體內(nèi)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋芍酌嬲叫尾荒馨瑘A柱的底面圓，如圖，過(guò)的中點(diǎn)作，設(shè)，可知，則，即，解得，且，即，故以為軸可能對(duì)稱(chēng)放置底面直徑為圓柱，若底面直徑為的圓柱與正方體的上下底面均相切，設(shè)圓柱的底面圓心，與正方體的下底面的切點(diǎn)為，可知：，則，即，解得，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知圓柱的高為，所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故D正確；故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于C、D：以正方體的體對(duì)角線(xiàn)為圓柱的軸，結(jié)合正方體以及圓柱的性質(zhì)分析判斷.21．（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）在正三棱柱中，，點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)為定值B．當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得D．當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)，使得平面【答案】BD【分析】對(duì)于A，由于等價(jià)向量關(guān)系，聯(lián)系到一個(gè)三角形內(nèi)，進(jìn)而確定點(diǎn)的坐標(biāo)；對(duì)于B，將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡考慮到一個(gè)三角形內(nèi)，確定路線(xiàn)，進(jìn)而考慮體積是否為定值；對(duì)于C，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)于D，考慮借助向量的平移將點(diǎn)軌跡確定，進(jìn)而考慮建立合適的直角坐標(biāo)系來(lái)求解點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】易知，點(diǎn)在矩形內(nèi)部（含邊界）．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)線(xiàn)段，周長(zhǎng)不是定值，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)分別為，，則，所以點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿(mǎn)足，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，取，中點(diǎn)為．，所以點(diǎn)軌跡為線(xiàn)段．設(shè)，因?yàn)?，所以，，所以，此時(shí)與重合，故D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的等價(jià)替換，關(guān)鍵之處在于所求點(diǎn)的坐標(biāo)放在三角形內(nèi)．三、填空題22．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_______.【答案】【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進(jìn)一步求出母線(xiàn)長(zhǎng)，最終利用側(cè)面積公式求出答案.【詳解】∵∴∴∴.故答案為：.23．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，平面，則________．【答案】2【分析】先用正弦定理求底面外接圓半徑，再結(jié)合直棱柱的外接球以及求的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為直三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因?yàn)椋?，解?故答案為：2.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：多面體與球切、接問(wèn)題的求解方法（1）涉及球與棱柱、棱錐的切、接問(wèn)題時(shí)，一般過(guò)球心及多面體的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線(xiàn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解；（2）若球面上四點(diǎn)P、A、B、C構(gòu)成的三條線(xiàn)段PA、PB、PC兩兩垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，根據(jù)4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)；（4）球和正方體的棱相切時(shí)，球的直徑為正方體的面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)；（5）利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫(huà)內(nèi)切、外接的幾何體的直觀(guān)圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解．24．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為_(kāi)_____．【答案】【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺(tái)體的體積公式直接運(yùn)算求解.【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺(tái)的體積為.方法二：棱臺(tái)的體積為.故答案為：.

25．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在正方體中，E，F(xiàn)分別為CD，的中點(diǎn)，則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為_(kāi)___________．【答案】12【分析】根據(jù)正方體的對(duì)稱(chēng)性，可知球心到各棱距離相等，故可得解.【詳解】不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，中點(diǎn)為，取，中點(diǎn)，側(cè)面的中心為，連接，如圖，

由題意可知，為球心，在正方體中，，即，則球心到的距離為，所以球與棱相切，球面與棱只有1個(gè)交點(diǎn)，同理，根據(jù)正方體的對(duì)稱(chēng)性知，其余各棱和球面也只有1個(gè)交點(diǎn)，所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點(diǎn)總數(shù)為12.故答案為：1226．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）在正四棱臺(tái)中，，則該棱臺(tái)的體積為_(kāi)_______．【答案】/【分析】結(jié)合圖像，依次求得，從而利用棱臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】如圖，過(guò)作，垂足為，易知為四棱臺(tái)的高，

因?yàn)?，則，故，則，所以所求體積為.故答案為：.27．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）在正方體中，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是________．【答案】【分析】當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)半徑最大，當(dāng)邊長(zhǎng)為的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時(shí)半徑達(dá)到最小.【詳解】設(shè)球的半徑為.當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過(guò)正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒(méi)有交點(diǎn)，正方體的外接球直徑為體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，即，故；

分別取側(cè)棱的中點(diǎn)，顯然四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，且為正方形的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，連接，則，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即的最小值為.綜上，.故答案為：四、解答題28．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）由底面可得，又，由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知識(shí)可知，，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出．【詳解】（1）因?yàn)榈酌妫矫?，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．?）[方法一]：相似三角形法由（1）可知．于是，故．因?yàn)?，所以，即．故四棱錐的體積．[方法二]：平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法

由（2）知,所以．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)．因?yàn)?，所以，，，．從而．所以，即．下同方法?[方法三]【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，，，，．所以，，．所以．所以，即．下同方法一.[方法四]：空間向量法

由，得．所以．即．又底面，在平面內(nèi)，因此，所以．所以，由于四邊形是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得，即．所以，即．下同方法一.【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線(xiàn)垂直的條件得到矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng),為最常用的通性通法，為最優(yōu)解；方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長(zhǎng).29．（2023年新高考天津數(shù)學(xué)高考真題）三棱臺(tái)中，若面，分別是中點(diǎn).

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線(xiàn)面平行的判定解決；（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進(jìn)行求解；（3）方法一是利用線(xiàn)面垂直的關(guān)系，找到垂線(xiàn)段的長(zhǎng)，方法二無(wú)需找垂線(xiàn)段長(zhǎng)，直接利用等體積法求解【詳解】（1）

連接.由分別是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線(xiàn)性質(zhì)，//，且，由棱臺(tái)性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.（2）過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為,連接.由面，面，故，又，，平面，則平面.由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面與平面所成角即.又，，則，故，在中，，則，于是

（3）[方法一：幾何法]

過(guò)作，垂足為，作，垂足為，連接，過(guò)作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點(diǎn)到平面的距離是.[方法二：等體積法]

輔助線(xiàn)同方法一.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.，.由，即.30．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線(xiàn)面平行的判定推理作答.（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）過(guò)作垂直的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，在中，，所以，因?yàn)椋?，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因?yàn)?，所以，所以，又，所?31．（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】(1)由題意首先證得線(xiàn)面垂直，然后利用線(xiàn)面垂直的定義證明線(xiàn)線(xiàn)垂直即可；(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計(jì)算三棱錐的體積即可.【詳解】（1）因?yàn)椋琌是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面平面，且平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所?（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為y軸，垂直且過(guò)O的直線(xiàn)為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè),所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個(gè)法向量為．又平面的一個(gè)法向量為，所以，解得．又點(diǎn)C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點(diǎn)G．作，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)，則．因?yàn)槠矫妫云矫?，為二面角的平面角．因?yàn)?，所以．由已知得，故．又，所以．因?yàn)?，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對(duì)使用三面角的余弦公式，可得，化簡(jiǎn)可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡(jiǎn)可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)G為的三等分點(diǎn)，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類(lèi)題的通性通法，其好處在于將幾何問(wèn)題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時(shí)可以對(duì)幾何體的幾何特征有更加深刻的認(rèn)識(shí)，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個(gè)優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問(wèn)題更加簡(jiǎn)單、直觀(guān)、迅速.32．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）方法二：通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直線(xiàn)，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案；【詳解】（1）[方法一]：幾何法因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，，所以平面．又因?yàn)?，?gòu)造正方體，如圖所示，過(guò)E作的平行線(xiàn)分別與交于其中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，易證，則．又因?yàn)椋裕忠驗(yàn)?，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以．[方法二]【最優(yōu)解】：向量法因?yàn)槿庵侵比庵酌?，，，，又，平面．所以?xún)蓛纱怪保詾樽鴺?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．，．由題設(shè)（）．因?yàn)?，所以，所以．[方法三]：因?yàn)?，，所以，故，，所以，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設(shè)平面的法向量為，因?yàn)椋?，即．令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為．所以，此時(shí)．[方法二]：幾何法如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)T，則平面平面．作，垂足為H，因?yàn)槠矫妫?lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．設(shè)，過(guò)作交于點(diǎn)G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當(dāng)時(shí)，．[方法三]：投影法如圖，聯(lián)結(jié)，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．設(shè)，在中，．在中，，過(guò)D作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，當(dāng)，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．【整體點(diǎn)評(píng)】第一問(wèn)，方法一為常規(guī)方法，不過(guò)這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡(jiǎn)單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運(yùn)算進(jìn)行證明不常用，不過(guò)這道題用這種方法過(guò)程也很簡(jiǎn)單，可以開(kāi)拓學(xué)生的思維.第二問(wèn)：方法一建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方法；方法二：利用空間線(xiàn)面關(guān)系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面積與面積之比即為面與面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進(jìn)而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，開(kāi)闊學(xué)生的思維．33．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）先證明為等腰直角三角形，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；（2）將所給的幾何體進(jìn)行補(bǔ)形，從而把線(xiàn)線(xiàn)垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直，然后再由線(xiàn)面垂直可得題中的結(jié)論.【詳解】（1）由于，，所以，又AB⊥BB1，，故平面，則，為等腰直角三角形，，.（2）由（1）的結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，如圖所示，取棱的中點(diǎn)，連結(jié)，正方形中，為中點(diǎn)，則，又，故平面，而平面，從而.【點(diǎn)睛】求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來(lái)求體積．對(duì)于空間中垂直關(guān)系（線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面）的證明經(jīng)常進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.34．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長(zhǎng)；（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法如圖，連結(jié)．因?yàn)榈酌?，且底面，所以．又因?yàn)椋?，所以平面．又平面，所以．從而．因?yàn)椋裕?，于是．所以．所以．[方法三]：幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，則，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法設(shè)平面的法向量為，則，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.[方法二]：構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，聯(lián)結(jié)，交點(diǎn)記為H，由于，，所以平面．過(guò)H作的垂線(xiàn)，垂足記為G．聯(lián)結(jié)，由三垂線(xiàn)定理可知，故為二面角的平面角．易證四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，聯(lián)結(jié)，．，由等積法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值為．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線(xiàn)面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問(wèn)題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長(zhǎng)方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.35．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，則，建如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，，則，而，故.在正方形中，因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，故，故為直角三角形且，因?yàn)?，故平面，因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫?（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則，故.設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.36．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.【詳解】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)椋?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以?xún)蓛纱怪?，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.37．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)與平面所成的角的正弦值為【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線(xiàn)合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線(xiàn)面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)椋?，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.38．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【詳解】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)椋运倪呅螢榈妊菪?，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?；?）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.39．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．【分析】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，由平面知識(shí)可知，，依題從而可證平面，平面，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可知，即可知四邊形為平行四邊形，于是，最后根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理即可證出；（2）再分別取中點(diǎn)，由（1）知，該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐體積的倍，即可解出．【詳解】（1）如圖所示：分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槿鹊恼切?，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根?jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）[方法一]：分割法一如圖所示：分別取中點(diǎn)，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識(shí)可知，，，，所以該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐體積的倍．因?yàn)?，，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，，所以該幾何體的體積．[方法二]：分割法二如圖所示：連接AC,BD,交于O，連接OE,OF,OG,OH.則該幾何體的體積等于四棱錐O-EFGH的體積加上三棱錐A-OEH的倍,再加上三棱錐E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點(diǎn)P，連接AP,OP.則EH垂直平面APO.由圖可知，三角形APO,四棱錐O-EFGH與三棱錐E-OAB的高均為EM的長(zhǎng).所以該幾何體的體積40．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析(2)【分析】（1）通過(guò)證明平面來(lái)