高考數(shù)學專項練習第03講 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值含答案及解析

第03講利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點考查求函數(shù)的極值（極值點） 1題型二：重點考查根據(jù)極值（極值點）求參數(shù) 5題型三：重點考查導函數(shù)圖象與極值（極值點）的關系 8題型四：重點考查由導數(shù)求函數(shù)的最值（不含參） 13題型五：重點考查由導數(shù)求函數(shù)的最值（含參） 17題型六：重點考查由函數(shù)的最值求參數(shù) 23題型七：重點考查函數(shù)單調(diào)性，極值，最值綜合應用 28題型一：重點考查求函數(shù)的極值（極值點）典型例題例題1．（2024上·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的極小值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023上·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)，則的極小值為（

）A． B． C． D．例題3．（2023下·山東·高二濟南市章丘區(qū)第四中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)在處取得極大值1，則的極小值為（

）A．0 B． C． D．例題4．（2022上·全國·高三校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)有兩個極值點且這兩個極值點互為相反數(shù)，則的極小值為（

）A． B． C． D．精練核心考點1．（2023上·山西臨汾·高三山西省臨汾市第三中學校校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的極小值為（

）A．2 B．1 C．0 D．-12．（2023下·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習）若的一個極值點是，則的極大值為（

）．A． B． C． D．3．（2023下·廣東茂名·高二廣東高州中學?？计谥校┰O函數(shù)，若是函數(shù)的極大值點，則函數(shù)的極小值為（

）A． B． C． D．4．（2022上·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）若是函數(shù)的極值點．則的極小值為（

）A．-3 B． C． D．0題型二：重點考查根據(jù)極值（極值點）求參數(shù)典型例題例題1．（2024上·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)在上有極值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2023下·甘肅蘭州·高二蘭州一中校考階段練習）已知函數(shù)在處有極值0，則實數(shù)的值為（

）A．4 B．4或11 C．9 D．11例題3．（2023上·寧夏石嘴山·高三平羅中學?？茧A段練習）已知是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題4．（2023上·山西運城·高三統(tǒng)考期中）若函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．精練核心考點1．（2023上·江蘇蘇州·高三蘇州中學?？奸_學考試）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）A． B． C． D．2．（2023下·廣西欽州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在處取得極值5，則（

）A． B． C．3 D．73．（2024·全國·模擬預測）已知三次函數(shù)的極小值點為，極大值點為，則等于（

）A． B．C． D．4．（2023上·黑龍江·高三統(tǒng)考期中）若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．題型三：重點考查導函數(shù)圖象與極值（極值點）的關系典型例題例題1．（2023下·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，其導函數(shù)的部分圖象如圖，則對于函數(shù)的描述錯誤的是（

）

A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增C．為極值點D．為極值點例題2．（2022下·浙江·高二校聯(lián)考期末）如圖，可導函數(shù)在點處的切線方程為，設，為的導函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．，是的極大值點B．，是的極小值點C．，不是的極大值點D．，是的極值點例題3．（2022下·福建莆田·高二統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．有極大值和極小值B．有極大值和極小值C．有極大值和極小值D．有極大值和極小值精練核心考點1．（2022下·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學校考階段練習）

設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．有兩個極值點 B．為函數(shù)的極大值C．有兩個極小值 D．為的極小值2．（2021下·河南南陽·高二統(tǒng)考期中）設函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．函數(shù)有極大值和極小值B．函數(shù)有極大值和極小值C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值3．（2022下·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）如圖，已知直線與曲線相切于兩點，則有（

）A．個極大值點，個極小值點 B．個極大值點，個極小值點C．個極大值點，無極小值點 D．個極小值點，無極大值點題型四：重點考查由導數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）典型例題例題1．（2024上·重慶·高二重慶一中校考期末）若是函數(shù)的極值點.(1)求實數(shù)的值及的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.例題2．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)當時，求的極值；(2)當時，求在上的最小值；例題3．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)當時，求在上最大值及最小值；精練核心考點1．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值；2．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；3．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最值.題型五：重點考查由導數(shù)求函數(shù)的最值（含參）典型例題例題1．（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知函數(shù)(1)當時，求極值：(2)當時，求函數(shù)在上的最大值．例題2．（2024·陜西寶雞·校考一模）已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當，時，求整數(shù)的值，使得函數(shù)在區(qū)間上存在零點；(2)若，且，求的最小值和最大值.例題3．（2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若的最小值不大于0，求的取值范圍.精練核心考點1．（2023下·高二課時練習）已知函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．2．（2023上·海南省直轄縣級單位·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求在上的最小值．3．（2023下·安徽亳州·高二渦陽縣第二中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．(1)若，，求函數(shù)斜率為的切線方程；(2)若，討論在的最大值．題型六：重點考查由函數(shù)的最值求參數(shù)典型例題例題1．（2023上·北京海淀·高三北大附中?？茧A段練習）已知函數(shù)（）.(1)若，求在處的切線方程；(2)若為的極大值點，求的取值范圍；(3)若存在最小值，直接寫出的取值范圍.例題2．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知是函數(shù)的極值點．(1)求的值；(2)若函數(shù)在上存在最小值，求的取值范圍．例題3．（2023下·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)若，求在定義域內(nèi)的極值；(2)當時，若在上的最小值為，求實數(shù)的值．精練核心考點1．（2023上·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)當時，函數(shù)在上的最小值為3，求實數(shù)的值.2．（2023下·四川宜賓·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)，．(1)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)記函數(shù)，若的最小值是，求的值．3．（2023下·上海長寧·高二上海市延安中學?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域為，其中.(1)若是函數(shù)的一個駐點，求a的值；(2)函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，求a的取值范圍；(3)當時，若函數(shù)，在處取得最大值，求a的取值范圍.題型七：重點考查函數(shù)單調(diào)性，極值，最值綜合應用典型例題例題1．（2023上·浙江溫州·高二溫州中學校考階段練習）已知函數(shù)有兩個極值點為，.(1)當時，求的值；(2)若（為自然對數(shù)的底數(shù)），求的最大值.例題2．（2023上·重慶渝中·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)．(1)若，求在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上恰有一個極小值點，求實數(shù)的取值范圍；(3)若對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．例題3．（2023上·陜西漢中·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)在處有極值-1.(1)求的值；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍.精練核心考點1．（2023上·山西·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).(1)證明：曲線在點處的切線經(jīng)過定點.(2)證明：當時，在上無極值.2．（2023·全國·高三專題練習）已知向量（為常數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線在點處的切線與y軸垂直，．(1)求的值及的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)（a為正實數(shù)），若對于，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．3．（2023·四川南充·模擬預測）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調(diào)性；(2)設，當時，若存在，對任意，使成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)當時，恒有成立，求實數(shù)的取值范圍．

第03講利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點考查求函數(shù)的極值（極值點） 1題型二：重點考查根據(jù)極值（極值點）求參數(shù) 5題型三：重點考查導函數(shù)圖象與極值（極值點）的關系 8題型四：重點考查由導數(shù)求函數(shù)的最值（不含參） 13題型五：重點考查由導數(shù)求函數(shù)的最值（含參） 17題型六：重點考查由函數(shù)的最值求參數(shù) 23題型七：重點考查函數(shù)單調(diào)性，極值，最值綜合應用 28題型一：重點考查求函數(shù)的極值（極值點）典型例題例題1．（2024上·陜西榆林·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的極小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，令得，令得，令得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極小值為.故選：D例題2．（2023上·陜西漢中·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)，則的極小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】函數(shù)的定義域為，求導得，，，則由，得或，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則當時，取得極小值，所以函數(shù)的極小值為.故選：A例題3．（2023下·山東·高二濟南市章丘區(qū)第四中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)在處取得極大值1，則的極小值為（

）A．0 B． C． D．【答案】C【詳解】的定義域為，由，得，因為函數(shù)在x＝－1處取得極大值1，所以，解得，所以，．令．解得或，令，解得，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取得極大值，在處取得極小值，所以的極小值為．故選：C例題4．（2022上·全國·高三校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)有兩個極值點且這兩個極值點互為相反數(shù)，則的極小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意，，令，即，若函數(shù)有兩個極值點且這兩個極值點互為相反數(shù)，即的兩個根互為相反數(shù)，不妨設兩個根為，則，解得：，故，令或；令，即函數(shù)在單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減.故函數(shù)在取得極小值.故選：B精練核心考點1．（2023上·山西臨汾·高三山西省臨汾市第三中學校校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的極小值為（

）A．2 B．1 C．0 D．-1【答案】A【詳解】函數(shù)，由在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)在處取極小值，所以有，由，得，解得，則有，由，得只有一個根，且當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；故當時，滿足題意，所以有極小值，且極小值.故選：A.2．（2023下·重慶·高三重慶一中?？茧A段練習）若的一個極值點是，則的極大值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】，因為是的極值點，所以則，令，解得或，則當或時，，單減，當時，，單增，故的極大值為.故選：C．3．（2023下·廣東茂名·高二廣東高州中學校考期中）設函數(shù)，若是函數(shù)的極大值點，則函數(shù)的極小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由，得，又是函數(shù)的極大值點，，，則，，令，得或，令，解得或；令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則當時，的極小值為.故選：D.4．（2022上·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）若是函數(shù)的極值點．則的極小值為（

）A．-3 B． C． D．0【答案】A【詳解】函數(shù)，求導得：，因是函數(shù)的極值點，即，解得，，當或時，，當時，，即是函數(shù)的極值點，函數(shù)在處取得極小值.故選：A題型二：重點考查根據(jù)極值（極值點）求參數(shù)典型例題例題1．（2024上·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)在上有極值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】的定義域為，，要函數(shù)在上有極值，則在上有零點，即在上有實數(shù)根.令，則，當且僅當時等號成立，所以.當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，則函數(shù)在上沒有極值，故.故選:D.例題2．（2023下·甘肅蘭州·高二蘭州一中?？茧A段練習）已知函數(shù)在處有極值0，則實數(shù)的值為（

）A．4 B．4或11 C．9 D．11【答案】D【詳解】，則，即，解得或.當時，，不符合題意，舍去；當時，，令，得或；令，得．所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，符合題意，則．故選：D例題3．（2023上·寧夏石嘴山·高三平羅中學?？茧A段練習）已知是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，則，，當時，令得或，令得，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合是函數(shù)的極大值點；當時，恒成立，函數(shù)不存在極值點，不符合題意；當時，令得或，令得，此時在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合是函數(shù)的極小值點，不符合題意；綜上，要使函數(shù)在處取到極大值，則實數(shù)的取值范圍是.故選：C.例題4．（2023上·山西運城·高三統(tǒng)考期中）若函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，則函數(shù)的定義域為，則，令，解得：或，當時，即，令，解得：，令，解得：，此時函數(shù)在處取得極大值，不符合題意，舍去；當時，即，則恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值，不符合題意，舍去；當時，即，令，解得：，令，解得：，此時函數(shù)在處取得極小值，符合題意.故選：C.精練核心考點1．（2023上·江蘇蘇州·高三蘇州中學?？奸_學考試）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以函數(shù)定義域為，，由題意，方程，即有兩個不相等的正根，設為，則，解得，即的取值范圍為，故選：A.2．（2023下·廣西欽州·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在處取得極值5，則（

）A． B． C．3 D．7【答案】A【詳解】函數(shù)，則，因為在處取極值5，所以，解得：，經(jīng)檢驗滿足題意.故.故選：A3．（2024·全國·模擬預測）已知三次函數(shù)的極小值點為，極大值點為，則等于（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意，得，關于x的一元二次方程的兩根為b，2b，又極小值點為，極大值點為，所以，即，由韋達定理得到，所以，，得到．故選：A．4．（2023上·黑龍江·高三統(tǒng)考期中）若函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為定義域為，則因為函數(shù)有兩個極值點，所以方程有兩個不同的正根，，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C題型三：重點考查導函數(shù)圖象與極值（極值點）的關系典型例題例題1．（2023下·北京豐臺·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，其導函數(shù)的部分圖象如圖，則對于函數(shù)的描述錯誤的是（

）

A．在上單調(diào)遞減B．在上單調(diào)遞增C．為極值點D．為極值點【答案】D【詳解】A，因時，，則在上單調(diào)遞減，故A正確；B，因時，，則在上單調(diào)遞增，故B正確；C，由圖可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故為極小值點，故C正確；D，由圖可得在上單調(diào)遞增，則不為極值點，故D錯誤.故選：D例題2．（2022下·浙江·高二校聯(lián)考期末）如圖，可導函數(shù)在點處的切線方程為，設，為的導函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．，是的極大值點B．，是的極小值點C．，不是的極大值點D．，是的極值點【答案】B【詳解】由題得，的幾何意義為當x取同值時，到的距離．根據(jù)題意，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，又，則有是的極小值點，故選:B．例題3．（2022下·福建莆田·高二統(tǒng)考期末）定義在上的函數(shù)，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）A．有極大值和極小值B．有極大值和極小值C．有極大值和極小值D．有極大值和極小值【答案】B【詳解】解：由函數(shù)圖像可知，當時，，則，當時，，則，當時，，則，當時，，則，所以有極大值和極小值，故選：B精練核心考點1．（2022下·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學?？茧A段練習）

設函數(shù)在R上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．有兩個極值點 B．為函數(shù)的極大值C．有兩個極小值 D．為的極小值【答案】C【詳解】解：，并結(jié)合其圖像，可得到如下情況，當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增；當時，，在單調(diào)遞減；當時，，在單調(diào)遞增∴在和處取得極小值，故B，D錯，C正確；在處取得極大值.所以有3個極值點，故A錯.故選:C.2．（2021下·河南南陽·高二統(tǒng)考期中）設函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（

）A．函數(shù)有極大值和極小值B．函數(shù)有極大值和極小值C．函數(shù)有極大值和極小值D．函數(shù)有極大值和極小值【答案】B【詳解】由圖知：當時，有、，∴，，又時，而則，即遞增；時，而則，即遞減；時，而則，即遞增；時，而則，即遞增；綜上，、上遞增；上遞減.∴函數(shù)有極大值和極小值.故選：B3．（2022下·浙江杭州·高二校聯(lián)考期中）如圖，已知直線與曲線相切于兩點，則有（

）A．個極大值點，個極小值點 B．個極大值點，個極小值點C．個極大值點，無極小值點 D．個極小值點，無極大值點【答案】A【詳解】，由下圖可知，有3個零點，由圖可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故為極小值點，為極大值點，故有個極小值點，1個極大值點.故選：A.題型四：重點考查由導數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）典型例題例題1．（2024上·重慶·高二重慶一中?？计谀┤羰呛瘮?shù)的極值點.(1)求實數(shù)的值及的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】(1)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為：(2).【詳解】（1）因為函數(shù)的定義域為：，所以，又是函數(shù)的極值點，所以，此時因為，所以當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有是函數(shù)的一個極小值點，此時，且函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為：（2）由（1）知，若，由（1）知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)，又，，因為，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為：例題2．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)當時，求的極值；(2)當時，求在上的最小值；【答案】(1)極大值為，沒有極小值.(2)0【詳解】（1）當時，，定義域：，，令，則，變化時，，的變化情況如下表：0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減則的極大值為：，沒有極小值；（2）當時，，定義域：，，令，定義域：，，則在上是增函數(shù)，則，所以，即在上是增函數(shù)，則.例題3．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)．(1)當時，求在上最大值及最小值；【答案】(1)最小值是0，最大值是【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當時，，；時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；是函數(shù)的極小值，即的最小值；又，；的最大值是；函數(shù)在上的最小值是0，最大值是；精練核心考點1．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值；【答案】(1)；(2)；【詳解】（1）因為，所以，則，又，所以曲線在點處的切線方程為.（2）令，則，當時，，在上單調(diào)遞增.因為，，所以，使得.所以當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)可能在或處求得最大值，又，，所以.2．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；【答案】(1)【詳解】（1）的定義域為，故，令，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，且，，所以由零點存在定理可知，在區(qū)間存在唯一的，使又當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.3．（2024·全國·高三專題練習）已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為.(1)求的值；(2)求在區(qū)間上的最值.【答案】(1)(2)最大值為8，最小值為【詳解】（1）解：，又函數(shù)的圖象在處的切線方程為，所以，解得.（2）由（1）可知，令，解得，或.當或時，；當時，.故的增區(qū)間為和的減區(qū)間為因為，所以在上的最大值為8，最小值為.題型五：重點考查由導數(shù)求函數(shù)的最值（含參）典型例題例題1．（2024·全國·高二假期作業(yè)）已知函數(shù)(1)當時，求極值：(2)當時，求函數(shù)在上的最大值．【答案】(1)的極大值為，極小值為(2)【詳解】（1）當時，，，當或時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故在處取得極大值，在處取得極小值，綜上，的極大值為，極小值為；（2），，故，，令得或，因為，當，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，，所以，所以；當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，，所以；綜上：例題2．（2024·陜西寶雞·校考一模）已知函數(shù)，是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當，時，求整數(shù)的值，使得函數(shù)在區(qū)間上存在零點；(2)若，且，求的最小值和最大值.【答案】(1)(2)，.【詳解】（1）解：當，時，，∴，∴當時，，∴，故是上的增函數(shù)，同理是上的減函數(shù)，，，，故當時，，當時，，故當時，函數(shù)的零點在內(nèi)，∴滿足條件.同理，當時，函數(shù)的零點在內(nèi)，∴滿足條件，綜上.（2）由已知①當時，由，可知，∴；②當時，由，可知，∴；③當時，，∴在上遞減，上遞增，∴當時，，而，設，∵（僅當時取等號），∴在上單調(diào)遞增，而，∴當時，，即時，，∴即.例題3．（2023上·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若的最小值不大于0，求的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）由函數(shù)，則其定義域為，求導可得，令，解得，當時，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增.當時，，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知，當時，無最小值；則當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，由題意可得：，由，則，解得.精練核心考點1．（2023下·高二課時練習）已知函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】答案見解析【詳解】，令，得，.①當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.②當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.③當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以.綜上所述，當時，；當時，；當時，.2．（2023上·海南省直轄縣級單位·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)求在上的最小值．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，則．當時，在上恒成立，故此時在上單調(diào)遞減；當時，由，得,由，得，故此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上，當時，在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）由（1）知，當時，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以；當時，(i)若，即時，在上單調(diào)遞增，此時，；(ii)若，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，；(iii)若，即時，在上單調(diào)遞減，此時，．綜上所述，．3．（2023下·安徽亳州·高二渦陽縣第二中學校聯(lián)考期末）已知函數(shù)．(1)若，，求函數(shù)斜率為的切線方程；(2)若，討論在的最大值．【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）已知，函數(shù)定義域為，當，時，函數(shù)，可得，不妨設切點為，此時，因為切線斜率為1，所以，解得，所以，此時切點坐標為，則曲線在點處的切線方程為，即；（2）若，即，此時，函數(shù)定義域為，可得，令，解得，當，即時，，此時函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，則；當，即時，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以，又，，當，即時，可得，所以當時，；當，即時，可得，所以當時，；當，即時，，此時函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，則，綜上，當時，函數(shù)的最大值為0；當時，函數(shù)的最大值為．題型六：重點考查由函數(shù)的最值求參數(shù)典型例題例題1．（2023上·北京海淀·高三北大附中?？茧A段練習）已知函數(shù)（）.(1)若，求在處的切線方程；(2)若為的極大值點，求的取值范圍；(3)若存在最小值，直接寫出的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）因為則，若，可得，即切點坐標為，切線斜率，所以在處的切線方程為.（2）由（1）可知：，因為，令，解得或，若，則，令，解得或；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以為的極大值點，符合題意；若，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；若，則，令，解得或；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以為的極小值點，不合題意；綜上所述：的取值范圍.（3）因為，可知：當x趨近于時，趨近于0，當x趨近于時，趨近于，結(jié)合（2）中單調(diào)性可知：存在，使得且，即且，則，解得，所以的取值范圍為.例題2．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知是函數(shù)的極值點．(1)求的值；(2)若函數(shù)在上存在最小值，求的取值范圍．【答案】(1)12(2)【詳解】（1）因為，所以，因為是函數(shù)函數(shù)的極值點，所以，，此時，所以在上，在上，在上，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時為函數(shù)極值點，故所求的值為12.（2）當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，因為，所以，所以，所以的取值范圍.例題3．（2023下·浙江嘉興·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)若，求在定義域內(nèi)的極值；(2)當時，若在上的最小值為，求實數(shù)的值．【答案】(1)極小值，無極大值(2)【詳解】（1）解：當時，，的定義域是，且，

當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，

所以在有極小值，無極大值.（2）解：因為，則，因為，

①當時，即當，則在上恒成立，此時在上單調(diào)遞減，所以，所以（舍去）；

②當時，即當時，由可得，由可得，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.

綜上，.精練核心考點1．（2023上·河南許昌·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)若，求在處的切線方程；(2)當時，函數(shù)在上的最小值為3，求實數(shù)的值.【答案】(1)；(2).【詳解】（1）當時，，求導得，則，而，所以函數(shù)在點處切線方程為，即.（2）函數(shù)，求導得，，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，解得，矛盾，當時，由，得，函數(shù)遞減，由，得，函數(shù)遞增，因此，解得，從而，當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，解得，矛盾，所以.2．（2023下·四川宜賓·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)，．(1)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；(2)記函數(shù)，若的最小值是，求的值．【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：因為，則，由題意知在區(qū)間內(nèi)恒成立，所以，在區(qū)間內(nèi)恒成立．令，，因為恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為．（2）解：，其中．因為，①當時，對任意的恒成立，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，此時，無最小值，不合題意；②當時，令，則或（舍去），當時，；當時，.所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則是函數(shù)的極小值點，也是最小值點，所以，解得，合乎題意.綜上所述，.3．（2023下·上海長寧·高二上海市延安中學?？计谀┮阎瘮?shù)的定義域為，其中.(1)若是函數(shù)的一個駐點，求a的值；(2)函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，求a的取值范圍；(3)當時，若函數(shù)，在處取得最大值，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），.是的一個駐點，，解得.時，，當或時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，是的一個駐點.綜上，.（2）①當時，在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意；②當時，，令得：，當時，對任意，(符合題意)，當時，當時，，(符合題意)，綜上所述，.（3），，令，即，顯然有，設方程的兩個根為，由式得，不妨設，當時，為極小值，所以在上的最大值只能為或，當時，由于在上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以最大值為，所以在上的最大值只能為或，又已知在處取得最大值，所以，即，解得，又因為，所以.題型七：重點考查函數(shù)單調(diào)性，極值，最值綜合應用典型例題例題1．（2023上·浙江溫州·高二溫州中學?？茧A段練習）已知函數(shù)有兩個極值點為，.(1)當時，求的值；(2)若（為自然對數(shù)的底數(shù)），求的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域為，則，當時可得，，因此可知當或時，；當時，；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；可得和是函數(shù)的兩個極值點，又，所以；所以可得，即當時，；（2）易知，又，所以是方程的兩個實數(shù)根，由韋達定理可得，所以，設，由可得，令，則，所以在上單調(diào)遞減，可得，故可知的最大值為.例題2．（2023上·重慶渝中·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)