第07講確定圓的條件（教師版）九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義（蘇科版）

對(duì)稱圖形圓2.3確定圓的條件目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀能用尺規(guī)作圖過不在同一直線上的三點(diǎn)作圓作三角形的外接圓1.了解“不在同一條直線上三點(diǎn)確定一個(gè)圓”的定理及掌握它的作圖方法。2.理解不在同一條直線上得三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，掌握過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)作圓的方法，了解三角形的外接圓、三角形的外心等概念。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01確定圓的條件確定圓的條件：不在同一直線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。外心概念：三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，改圓稱為該三角形的外接圓，三角形稱為圓的內(nèi)接三角形。外接圓的圓心稱為三角形的外心，是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)。掌握過不在同一直線上三點(diǎn)作圓的尺規(guī)作圖方法。【微點(diǎn)撥】1.定理：不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓．2.三角形的外接圓．3.定義：經(jīng)過三角形各項(xiàng)點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，4.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形5.三角形的外心:三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心；三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)；三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．【即學(xué)即練1】下列命題正確的是（

）A．兩點(diǎn)之間，直線最短B．正六邊形的外角和大于正五邊形的外角和C．不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓D．一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)線段平行且相等【答案】C【解析】解：A．兩點(diǎn)之間，線段最短，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．多邊形的外角和是360°，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，故選項(xiàng)正確，符合題意；D．一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得到的圖形中，對(duì)應(yīng)線段平行或者在同一條直線上，并且相等，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．【即學(xué)即練2】如圖，⊙是的外接圓，則點(diǎn)是的（

）A．三條高線的交點(diǎn) B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三角形三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)【答案】B【解析】∵⊙O是三角形的外接圓，∴點(diǎn)O是△ABC的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn).故選：B.能力拓展能力拓展考法01三角形的外接圓【典例1】下列命題中，是真命題的是（）A．三角形的外心是三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B．過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行C．連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得四邊形是矩形D．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形【答案】D【解析】解：A．三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)是三角形的內(nèi)心，故為假命題，不符合題意；B．在同一平面內(nèi)，過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故為假命題，不符合題意；C．對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)連線所得四邊形不一定是矩形，例如等腰梯形，故為假命題，不符合題意；D．一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，為真命題，符合題意．故選D．考法02尺規(guī)作圖：三角形的外接圓【典例2】如圖，已知，用尺規(guī)按照下面步驟操作：①作線段的垂直平分線；②作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；③以為圓心，長為半徑作．結(jié)論Ⅰ：點(diǎn)是的內(nèi)心．結(jié)論Ⅱ：．對(duì)于結(jié)論Ⅰ和結(jié)論Ⅱ，下列判斷正確的是（

）A．Ⅰ和Ⅱ都對(duì) B．Ⅰ和Ⅱ都不對(duì) C．Ⅰ不對(duì)Ⅱ?qū)?D．Ⅰ對(duì)Ⅱ不對(duì)【答案】B【解析】由作圖可知，點(diǎn)O為三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，因此點(diǎn)O為三角形的外心，與不一定相等，所以結(jié)論Ⅰ和結(jié)論Ⅱ都不對(duì)，故B正確．故選：B．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列判斷中正確的是（

）A．平分弦的直徑垂直于弦 B．垂直于弦的直線平分弦所對(duì)的弧C．平分弧的直徑平分弧所對(duì)的的弦 D．三點(diǎn)確定一個(gè)圓【答案】C【解析】解：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、平分弧的直徑平分弧所對(duì)的的弦，故選項(xiàng)正確；D、不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．2．下列說法錯(cuò)誤的是（）A．已知圓心和半徑可以作一個(gè)圓B．經(jīng)過一個(gè)已知點(diǎn)A的圓能做無數(shù)個(gè)C．經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)A，B的圓能做兩個(gè)D．經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C只能做一個(gè)圓【答案】C【解析】解：A.已知圓心和半徑可以作一個(gè)圓，正確，不符合題意；B.經(jīng)過一個(gè)已知點(diǎn)A的圓能做無數(shù)個(gè)，正確，不符合題意；C.經(jīng)過兩個(gè)已知點(diǎn)A，B的圓能做無數(shù)個(gè)，錯(cuò)誤，符合題意；D.經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C只能做一個(gè)圓，正確，不符合題意；故選：C．3．小明家的圓形玻璃打碎了，其中三塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明應(yīng)帶到商店去的一塊碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【答案】A【解析】第①塊出現(xiàn)兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長．故選：A．4．Rt△ABC的外接圓⊙O的半徑r＝5cm，則斜邊AB的長是（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm【答案】A【解析】解：∴Rt△ABC的外接圓⊙O的半徑r＝5cm，∴斜邊AB＝2r＝10cm，故選：A．5．?ABC的三邊長分別為6,8,10，則?ABC的外接圓的半徑為_______.【答案】5【解析】解：∵62＋82=102∴?ABC是直角三角形，∴?ABC的外接圓的半徑=斜邊=5故答案為5.6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作一圓弧，則該弧所在圓的圓心坐標(biāo)為________．【答案】（2，0）【解析】解：如圖所示：D（2，0），故答案為：（2，0）．7．已知：，求作的外接圓，作法：①分別作線段BC，AC的垂直平分線EF和MN，它們交于點(diǎn)O；②以點(diǎn)O為圓心，OB的長為半徑畫弧，如圖⊙O即為所求，以上作圖用到的數(shù)學(xué)依據(jù)是___________________．【答案】線段的垂直平分線的性質(zhì)【解析】解：如圖，連接，∵點(diǎn)O為AC和BC的垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA=OC=OB，∴⊙O為的外接圓．故答案為：線段的垂直平分線的性質(zhì)．8．已知△ABC的一邊長為10，另兩邊長分別是方程x214x480的兩個(gè)根若用一圓形紙片將此三角形完全覆蓋，則該圓形紙片的最小半徑是_______________．【答案】5【解析】解：解方程x214x+48=0得：x1=6，x2=8，即△ABC的三邊長為AC=6，BC=8，AB=10，∵AC2+BC2=62+82=100，AB2=100，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°∵若用一圓形紙片將此三角形完全覆蓋，則該圓形紙片正好是△ABC的外接圓，∴△ABC的外接圓的半徑是AB=5，故答案為5．題組B能力提升練1．下列各命題中，真命題是（

）A．兩點(diǎn)之間，射線最短 B．不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓C．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 D．三角形的外心是三角形三條高的交點(diǎn)【答案】B【解析】解：A、兩點(diǎn)之間線段最短，故該項(xiàng)不是真命題；B、不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓，故該項(xiàng)是真命題；C、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故該項(xiàng)不是真命題；D、三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故該項(xiàng)不是真命題；故選：B．2．下列命題是真命題的是（

）A．內(nèi)錯(cuò)角相等 B．四邊形的外角和為180°C．等腰三角形兩腰上高相等 D．平面內(nèi)任意三點(diǎn)都可以在同一個(gè)圓上【答案】C【解析】解：A、內(nèi)錯(cuò)角不一定相等，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；B、四邊形的外角和為360°，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；C、等腰三角形兩腰上高相等，故原命題正確，是真命題，符合題意；D、平面內(nèi)不在同一條直線的三點(diǎn)可以在同一個(gè)圓上，故原命題錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意．故選C．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC為直角三角形，∠ABC＝90°，AB⊥x軸，M為Rt△ABC的外心．若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，1），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（3，﹣1） B．（3，﹣2） C．（3，﹣3） D．（3，﹣4）【答案】B【解析】解：∵M(jìn)為Rt△ABC的外心．∠ABC＝90°，∴點(diǎn)M為AC中點(diǎn)，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣1，1），設(shè)點(diǎn)C橫坐標(biāo)為（x,y）,∴，解得x=5，y=2，∴點(diǎn)C（5，2），∵AB⊥x軸，∴點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)相同都是3，∵∠ABC＝90°，∴BC∥x軸，∴點(diǎn)B、C的縱坐標(biāo)相同都是2，∴點(diǎn)B（3，2）．故選：B．4．如圖所示，在的網(wǎng)格中，A、B、D、O均在格點(diǎn)上，則點(diǎn)O是△ABD的（

）A．外心 B．重心 C．中心 D．內(nèi)心【答案】A【解析】解：∵∴O是△ABD的外心故選A5．三角形兩邊的長是3和4，第三邊的長是方程的根，則該三角形外接圓的半徑為______．【答案】【解析】解：，，解得，當(dāng)時(shí)，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)時(shí)，，這個(gè)三角形是斜邊為5的直角三角形，該三角形外接圓的半徑為，故答案為：．6．如圖，在ABC中，∠C＝90°，AB=10，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)O到點(diǎn)A，B，C的距離均等于a（a為常數(shù)）．那么常數(shù)a的值等于________．【答案】5【解析】解：根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可知道點(diǎn)到點(diǎn)A，B，C的距離相等，如下圖：，，故答案是：5．7．經(jīng)過兩點(diǎn)可以做______個(gè)圓，不在同一直線的______個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓．【答案】

無數(shù)

三【解析】解：經(jīng)過兩點(diǎn)可以做無數(shù)個(gè)圓，不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，故答案為：無數(shù)，三．8．在平面直角坐標(biāo)系中有，，三點(diǎn)，，，．現(xiàn)在要畫一個(gè)圓同時(shí)經(jīng)過這三點(diǎn)，則圓心坐標(biāo)為_______．【答案】(2，0)【解析】∵，，∴AB的垂直平分線為設(shè)圓心為∵點(diǎn)O也在BC的垂直平分線上，∴根據(jù)勾股定理得解得∴圓心坐標(biāo)為故答案為：(2，0)．9．請(qǐng)用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．已知：如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°．求作：一個(gè)⊙O，使⊙O與AB、BC所在直線都相切，且圓心O在邊AC上．【答案】見解析【解析】解：作∠ABC的平分線交AC于O點(diǎn)，以O(shè)點(diǎn)為圓心，OC為半徑作圓，則為所求作的圓．10．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)A在以BC為直徑的半圓內(nèi)，請(qǐng)僅用無刻度的直尺分別按下列要求畫圖（保留作圖痕跡）（1）在圖①中作弦EF，使EF∥BC；

（2）在圖②中過點(diǎn)A作線段BC的中垂線．【答案】（1）如圖①中，線段EF即為所求．見解析；（2）如圖②中，直線AG即為所求．見解析.【解析】解：（1）如圖①中，線段EF即為所求．（2）如圖②中，直線AG即為所求．題組C培優(yōu)拔尖練1．如圖，在矩形ABCD中，AD=5，AB=3，點(diǎn)E在AB上，=，在矩形內(nèi)找一點(diǎn)P，使得∠BPE=60°，則線段PD的最小值為（

）A．4 B．2 C．22 D．24【答案】C【解析】解：∵AB=，=，∴，，如圖，以BE為邊在矩形內(nèi)作等邊三角形BEF，再作等邊三角形BEF的外接⊙O，則點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)，連接OD，交⊙O于點(diǎn)M，則當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時(shí)，PD最短，過點(diǎn)O作OG⊥AD于點(diǎn)C，作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OB，∵△BEF為等邊三角形，⊙O為其外接圓，∴OH垂直平分BE，∴∠OBH=30°，，∴OH=，，∴DG=ADAG=ADOH=51=4，OG=ABBH=，在Rt△DOG中，，∴，故選：C．2．如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟：（1）分別以B、C為圓心，大于BC的長為半徑作弧，兩弧相交M、N；（2）作直線MN，交AB于D，連結(jié)CD，若CD＝AD，∠B＝20°，則下列結(jié)論：①∠ADC＝40°②∠ACD＝70°③點(diǎn)D為△ABC的外心④∠ACD＝90°，正確的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【解析】由題意可知，直線MN是線段BC的垂直平分線，∴BD＝CD，∠B＝∠BCD＝20°，∴∠ADC＝∠BCD+∠CBD＝40°，故A選項(xiàng)正確；又∵CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，又∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，∴∠ACD＝70°，故B選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；∵AD＝CD，BD＝CD，∴AD＝BD，即D是AB的中點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確；故選B．3．過A，B，C三點(diǎn)能確定一個(gè)圓的條件是（

）①AB=2，BC=3，AC=5；②AB=3，BC=3，AC=2；③AB=3，BC=4，AC=5．A．①② B．①②③ C．②③ D．①③【答案】C【解析】經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)可以確定圓，能構(gòu)成三角形的三點(diǎn)一定可以確定一個(gè)圓,因?yàn)橹挥蠧選項(xiàng)中的三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，故選C.4．如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1，點(diǎn)A、B、C均在小正方形的頂點(diǎn)上，點(diǎn)C同時(shí)也在上，若點(diǎn)P是的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則面積的最大值是______．【答案】【解析】解：連接AC，確定弧AB所在圓的圓心O的位置，過點(diǎn)O作OE⊥AB交AB于分，交弧AB于E，由圖可知，∴，∴，∵要使△APB的面積最大，即點(diǎn)P到AB的距離要最大，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E的位置時(shí)，三角形APB的面積最大，∴此時(shí)，故答案為：．5．如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，并且在同一個(gè)圓上，取格點(diǎn)，連接并延長交圓于點(diǎn)．（Ⅰ）四邊形外接圓的半徑為__________．（Ⅱ）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫出線段，使平分，且點(diǎn)在圓上，并簡要說明點(diǎn)的位置是如何找到的（不要求證明）__________．【答案】

取格點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．連接并延長交圓于點(diǎn)，連接即為所求．【解析】解：（Ⅰ）四邊形ABCD外接圓的圓心位于格點(diǎn)O的位置，連接OA，OB，OC，OD，由題意可得OA=OB=OC=OD=故答案為：（Ⅱ）取格點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接并延長交圓于點(diǎn)，連接，由格點(diǎn)特征結(jié)合四邊形外接圓的半徑可得△EFK≌△ODG，∴∠OGD=∠EKF=90°，即OP⊥CD∴點(diǎn)P是的中點(diǎn)∴∠CAP=∠DAP∴即為所求6．如圖，點(diǎn)是外心，，是的中點(diǎn)，（1）連接，則______；（2）若，是邊上的高，則的大小為______．【答案】

30°

23°【解析】解：（1）如圖1，連接OC，點(diǎn)是外心，OA=OB=OC，，，，，，．故答案為：30°；（2）如圖2，連接OC，OB=OC，是的中點(diǎn)，=30°，，，=90°30°=60°，，，，，，，，，是邊上的高，．故答案為：23°．7．如圖，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，，，相交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若．①當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；②當(dāng)?shù)耐庑脑谄鋬?nèi)部時(shí)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)①；②【分析】(1)證明：∵，，∴，∵，∴，∵，∴；(2)解：①∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．②．∵的外心在其內(nèi)部，∴為銳角三角形，∴，，∴．8．如圖，方格中每個(gè)小正方形的邊長都是單位1，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖．（1）將△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A