專題19最值問題

專題19最值問題一、單選題1．（2023·山東泰安·?？家荒＃┤鐖D，已知等邊△ABC的邊長為4，P、Q、R分別為邊上的動點，則的最小值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】如圖，作△ABC關(guān)于對稱的，點E與點Q關(guān)于對稱，連接，則，可得當(dāng)點E，R，P在同一直線上，且時，的長就是的最小值，在需要利用等邊三角形的性質(zhì)求出等邊三角形的高即可得到答案．【詳解】解：如圖，作△ABC關(guān)于對稱的，點E與點Q關(guān)于對稱，連接，則，∴，∴當(dāng)點E，R，P在同一直線上，且時，的長就是的最小值，∵，∴，∴由平行線間間距相等可知的長等于等邊三角形的高的長∵等邊△ABC的邊長為4，∴等邊三角形的高為，即的最小值為，故選C．2．（2023·安徽合肥·一模）如圖，△ABC為等邊三角形，平分，，點E為上動點，連接，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】過A作于F，過點P作于E，故，故，求出即可．【詳解】解：過A作于F，過點P作于E，∵△ABC為等邊三角形，平分，∴，∴，∴，即的最小值為的長，∵，∴，∴，∴的最小值為．故選：C．3．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，中，，，點D是邊上一動點，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，若，則的長的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】在上取一點K，使得，連接，，然后證明出△EAC≌△DAK(SAS)，然后根據(jù)垂線段最短得到當(dāng)時，的值最小，最后利用角直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖所示，在上取一點K，使得，連接，，∵，，∴，，∴，又∵，，∴△EAC≌△DAK(SAS)，∴，∴當(dāng)時，的值最小，∵，，，∴，∴，∴．∴的長的最小值為．故選A4．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，，，則邊的最大值為（

）A． B． C．8 D．【答案】D【分析】作△ABC的外接圓O，當(dāng)經(jīng)過點O時，邊的最大，連接，，利用圓周角定理求出，結(jié)合條件求出的值即可．【詳解】解：作的外接圓O，當(dāng)經(jīng)過點O時，邊的最大，連接，，，∵，∴，又，，∴，∴邊的最大值為．故選：D．5．（2023·山東泰安·校考一模）如圖，矩形中，，，以為圓心，為半徑畫圓，是圓上一動點，是上一動點，則最小值是（）A．2 B． C．4 D．3【答案】C【分析】過點作關(guān)于直線的對稱點，連接，交于點，交于點，此時最小，等于，勾股定理計算即可．【詳解】解：如圖，過點作關(guān)于直線的對稱點，連接，交于點，交⊙O于點，此時最小，等于，因為四邊形是矩形，，，所以，，所以，，所以，所以，所以，所以的最小值為，故選C．6．（2023·山東淄博·校考一模）如圖，矩形中，，，為的中點，為上一動點，為中點，連接，則的最小值是(

)A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】當(dāng)點與點重合時，點在處，，當(dāng)點與點重合時，點在處，，當(dāng)點在上除點、的位置處時，有，由中位線定理可知：且，則當(dāng)時，取得最小值，得出的最小值為的長，進(jìn)而勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖：當(dāng)點與點重合時，點在處，，當(dāng)點與點重合時，點在處，，且，當(dāng)點在上除點、的位置處時，有，由中位線定理可知：且，點的運動軌跡是線段，當(dāng)時，取得最小值，矩形中，，，為的中點，、、為等腰直角三角形，，，則，，，，即，的最小值為的長，在等腰直角中，，，的最小值是．故選：D．7．（2023·山東棗莊·?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，，點P在上，點Q在上，且，連接，則的最小值為（）A．22 B．24 C．25 D．26【答案】D【分析】連接，則的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，在的延長線上截取，連接，則，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，連接，在矩形中，，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，則，則的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，在的延長線上截取，連接，則，∵，∴是的垂直平分線，∴，∴，連接，則，∴，∴的最小值為26，即的最小值為26，故選：D．8．（2023·安徽淮北·校聯(lián)考一模）如圖，矩形中，，，點P是矩形內(nèi)一點，連接，，，若，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】由可得點P在以中點O為圓心為直徑的圓上，連接交圓于一點即為最短距離點，即可得到答案；【詳解】解：∵，∴點P在以中點O為圓心為直徑的圓上，如圖所示，∴連接交圓于一點即為最短距離點P，如圖所示，∵，，∴，，根據(jù)勾股定理可得，，∴，故選C．9．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考一模）已知拋物線與x軸交于A，B兩點，對稱軸與x軸交于點D，點C為拋物線的頂點，以C點為圓心的⊙C半徑為2，點G為⊙C上一動點，點P為的中點，則的最大值與最小值和為（）A． B． C． D．5【答案】D【分析】連接．利用三角形的中位線定理證明，求出的最大和最小值，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接．∵，∴，∴當(dāng)?shù)闹底畲髸r，的值最大，當(dāng)?shù)闹底钚r，的值最小，∵，∴，∴，當(dāng)點G在線段的延長線上時，的值最大，最大值，當(dāng)點G在線段上時，的值最小，最小值，∴的最大值為3.5，的最小值為1.5，∴DP的最大值與最小值和為．故選D．10．（2023·江蘇揚州·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與坐標(biāo)軸交于A，兩點，于點，是線段上的一個動點，連接，將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，則線段的最小值為（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】由點的運動確定的運動軌跡是在與軸垂直的一段線段，當(dāng)線段與垂直時，線段的值最?。驹斀狻拷猓河梢阎傻茫?，，三角形是等腰直角三角形，，，又是線段上動點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，在線段上運動，所以的運動軌跡也是線段，當(dāng)在點時和在點時分別確定的起點與終點，的運動軌跡是在與軸垂直的一段線段，當(dāng)線段與垂直時，線段的值最小，在中，，，，又是等腰直角三角形，，．故選：A．11．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，，點為邊上任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形PAQC，連接，則長度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理得到邊的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得知最短即為最短，利用垂線段最短得到點的位置，再證明利用對應(yīng)線段的比得到的長度，繼而得到的長度．【詳解】解：，，四邊形是平行四邊形，＝，＝，最短也就是最短，過作的垂線，，，，，則的最小值為，故選：C．12．（2023·廣東惠州·?？家荒＃┮阎呴L為4的等邊△ABC，D、E、F分別為邊的中點，P為線段上一動點，則的最小值為（）A． B．3 C．4 D．【答案】C【分析】連接，設(shè)與相交于點H，首先說明是線段的垂直平分線，可證，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)與相交于點H，∵是等邊三角形，D、E、F分別為邊的中點，∴，，∴,，∴是線段的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為4．故選：C．13．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，，動點M，N分別在邊，上則的最小值是（

）A． B． C．6 D．【答案】D【分析】如圖，作點C關(guān)于直線的對稱點P，過點P作于點N，交于點M，連接，此時最小，再通過解直角三角形求出的長即可【詳解】如圖，作點C關(guān)于直線的對稱點P，過點P作于點N，交于點M，連接，此時最小.在中，∵，，，∴，∴.又∵，∴，解得.由對稱得，.∵，∴.∵，∴，∴，∴，即的最小值為故選：D14．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O的坐標(biāo)為，點M的坐標(biāo)為，N為y軸上一動點，連接．將線段繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．求線段長度的最小值（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】如圖所示，將繞點M順時針旋轉(zhuǎn)60度得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，證明是等邊三角形，得到，推出；由垂線段最短可知，當(dāng)軸，最小，即最小，此時點N與點重合，由此即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，將繞點M順時針旋轉(zhuǎn)60度得到，連接，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴是等邊三角形，∴，∴，∵點M的坐標(biāo)為，∴，由垂線段最短可知，當(dāng)軸，最小，即最小，此時點N與點重合，∴，故選A．15．（2023·廣西南寧·南寧二中?？家荒＃┤鐖D，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于A、B兩點，點P在以為圓心，1為半徑的圓上，點Q是的中點，且長的最大值為1.5，則k的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先確定長的最大時點P的位置，當(dāng)所在的直線過圓心C，且圓心C在線段上時，最長，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理計算t的值，可得k的值．【詳解】解：連接，由對稱性得：，∵Q是的中點，∴，∵長的最大值為，∴長的最大值為，如圖，當(dāng)所在的直線過圓心C，且圓心C在線段上時，最長，過B作軸于D，∵，∴，∵B在直線上，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，∴，解得（舍）或，∴，∵點B在反比例函數(shù)的圖象上，∴；故選：C．16．（2023·安徽淮北·淮北一中校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，，點是斜邊上的動點，將線段繞點旋轉(zhuǎn)至，連接，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作于點，過點作于點，先確定出當(dāng)點，，三點共線時，最小，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理可得，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，然后解直角三角形可得，從而可得，利用勾股定理可得，則，最后根據(jù)三角形的面積公式可得，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，過點作于點，過點作于點，則當(dāng)點，，三點共線時，最小，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，是等邊三角形，點是的中點，，，又，點是的中點，，，，，，，，在中，，，，，，即的最小值為，故選：B．17．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，⊙O經(jīng)過△ABC的頂點C，與邊分別交于點M，N，與邊相切．若，則線段長度的最小值是（

）A．3 B．2 C．2 D．【答案】D【分析】作于點F，當(dāng)CF為的直徑時，此時最小，的長度也最小，連接，，過O作于E，根據(jù)圓周角定理和垂徑定理得到，，，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)求得直徑，然后解直角三角形求得即可．【詳解】解：如圖，作于點F，∵即為定值，且垂線段最短，∴當(dāng)CF為⊙O的直徑時，此時最小，的長度也最小，連接，，則，過O作于E，則，，∵，，，∴，則，∴，∴，即的最小值為．故選：D．18．（2023·廣西南寧·廣西大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考一模）如圖，已知，線段長為6，兩端分別在、上滑動，以為邊作正方形，對角線、相交于點，連接．則的最大值為（）A． B．8 C． D．9【答案】C【分析】取的中點，連接、，根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可求得，再根據(jù)勾股定理求得，即可根據(jù)“兩點之間線段最短”得，則的最大值為，于是得到問題的答案．【詳解】解：取的中點，連接、，，線段長為6，，四邊形是正方形，，，，，，的最大值為，故選：C．二、填空題19．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）如圖所示，等邊的邊長為4，點F在△ABC內(nèi)運動，運動過程始終保持，則線段的最小值為______；【答案】【分析】根據(jù)運動過程始終保持，可知點F在以為直徑的圓上，該圓記作圓O，連接，交圓O于點F，此時滿足最短．據(jù)此利用勾股定理即可作答．【詳解】∵運動過程始終保持，∴點F在以為直徑的圓上，該圓記作圓O，連接，交圓O于點F，此時滿足最短．如圖，∵等邊△ABC的邊長為4，∴，，∵點O為中點，∴，∴，∴最短為：，故答案為：．20．（2023·山西太原·山西實驗中學(xué)校考一模）如圖，正方形的邊長為2，E為邊上任意一點（不與B、C重合），沿折疊正方形，使得點B落在，連接，若點F為線段的中點，則的最小值為__________．【答案】【分析】根據(jù)折疊及正方形性質(zhì)得到，結(jié)合F為線段的中點，即可得到，從而得到F為以為直徑的圓上的點，連接即可得到答案；【詳解】解：連接，以為直徑，中點為圓心作圓，連接即可得到最小距離點，如圖所示，∵正方形的邊長為2，沿折疊正方形，使得點B落在，∴，∵F為線段的中點，∴，∴F為以為直徑的圓上的點，連接交圓于一點即為最小距離點，根據(jù)勾股定理可得，，∴，故答案為：．21．（2023·陜西榆林·?？家荒＃┤鐖D，在四邊形中，連接，與互余，、分別是、的中位線，連接，，若，，則線段的最小值為______．【答案】【分析】延長，交于點H，連接，，判定，結(jié)合，確定的最小值即可．【詳解】如圖，延長，交于點H，連接，，由與互余，可得，∵、分別是、的中位線，∴，，，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，，在中，，由圖可得，∴最小值為，即最小值為．故答案為：．22．（2023·安徽合肥·?？家荒＃┤鐖D，在菱形中，，．折疊該菱形，使點A落在邊上的點處，折痕分別與邊，交于點，當(dāng)點與點重合時，的長為______；當(dāng)點的位置變化時，長的最大值為______．【答案】

【分析】如圖中，求出等邊的高即可．如圖中，連接交于點，過點作于點，交于點，過點作交的延長線于點，取的中點，連接證明，求出的最小值，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖中，四邊形是菱形，，，，都是等邊三角形，當(dāng)點與重合時，是等邊的高，．如圖中，連接交于點，過點作于點，交于點，過點作交的延長線于點，取的中點，連接．∵，，，，四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，的最小值為，的最大值為．故答案為：，．23．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，長為3的線段（點D在點C右側(cè)）在x軸上移動，點、是y軸上定點，連接，則的最小值為________．【答案】【分析】平移使點D落在點B處，連接，則點C的對應(yīng)點為，即，進(jìn)而得出，再作點A關(guān)于x軸的對稱點，則，進(jìn)而得出的最小值為，即可求解答案．【詳解】解：如圖，平移使點D落在點B處，連接，則點C的對應(yīng)點為，即，∵，，∴點，作點A關(guān)于x軸的對稱點，此時點，C，在同一條線上時，最小，∵，∴，連接，則的最小值為，故答案為：．24．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，連接，將線段繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，則線段的最小值為_____．【答案】【分析】連接，過點A作，截取，連接，通過證明，得，再求出的長．最后在中，利用三邊關(guān)系即可得出答案．【詳解】如圖，連接，過點A作，截取，連接，∵將線段繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∴．又∵，∴，∴．∵，∴．∴在中，．∵，∴．∵，且當(dāng)點G，P，E三點共線時取等號，∴的最小值為．故答案為：．25．（2023·四川巴中·?？家荒＃┤鐖D，在邊長為3的等邊△ABC中，E、F分別是邊、的動點，且，連接、交于點P，連接，則的最小值為_____．【答案】【分析】由“”可證△ABE≌△CAF，可得，可求，過點，點，點作，則點在上運動，利用銳角三角函數(shù)可求，的長，即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF(SAS)，∴，∴，∴，如圖，過點A，點P，點B作⊙O，連接，，∴點P在上運動，∵，∴，，，∴，∴，∴，∵，，∴垂直平分，∴，∴，∴，∴，在中，，∴當(dāng)點P在上時，有最小值，∴的最小值，故答案為：．26．（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在中，，，為邊上的一個動點（不與、重合），連接，則的最小值是______．【答案】【分析】以A為頂點，為一邊，在下方作，過B作于D，交于P，由是等腰直角三角形的，即，故取最小值即是取最小值，此時B、P、D共線，且，的最小值即是的長，根據(jù)，，可得，即可得答案．【詳解】解：以A為頂點，為一邊，在下方作，過B作于D，交于P，如圖：由作圖可知：是等腰直角三角形，∴，∴，∴取最小值即是取最小值，此時B、P、D共線，且，的最小值即是的長，∵，，∴，∴，，∴的最小值是．故答案為：．27．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）如圖，等邊三角形邊長為2，點D在邊上，且，點E在邊上且，連接，交于點F，在線段上截取，連接，則線段的最小值是______．【答案】【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)證明，得出，進(jìn)而得到，從而得到點G在以AC為弦、所對圓周角為的一段弧上運動，然后作輔助線圖如圖，得到（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取=），得出的最小值即為，再求出即得答案．【詳解】解：∵等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，連接，如圖，∵，∴，∴，∴點G在以AC為弦、所對圓周角為的一段弧上運動，設(shè)這段弧所在的圓心為O，連接，如圖，則（當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時取=），∴的最小值即為，設(shè)交于點H，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴的最小值為；故答案為；．28．（2023·廣東云浮·校考一模）如圖，在平行四邊形中，，，，點P是平行四邊形內(nèi)部的一個動點，且，則線段的最小值為_______．【答案】【分析】先由圓周角定理得到點P在以為直徑的圓上，取中點O，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)O、P、A共線時取等號，如圖，過A作交延長線于E，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和銳角三角形函數(shù)定義求得，，進(jìn)而利用勾股定理求得即可求解．【詳解】解：∵，∴點P在以為直徑的圓上，取中點O，連接，則，當(dāng)且僅當(dāng)O、P、A共線時取等號，如圖，過A作交延長線于E，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，∴，，∴在中，，∴，又，∴線段的最小值為．故答案為：．29．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）如圖，點P是雙曲線上的一點，過點P作y軸的平行線交直線：于點Q，連接．當(dāng)點P在曲線上運動，且點P在Q的上方時，則四邊形面積的最大值是______．【答案】3【分析】設(shè)，則，得到PQ＝?x＋2，根據(jù)三角形面積公式得到，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值即可．【詳解】解：∵PQ⊥x軸，∴，則，∴PQ＝∵∴,即∴∵∴四邊形面積有最大值，最大值是3．故答案為3．30．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，中，，中，，直線與交于，當(dāng)繞點任意旋轉(zhuǎn)的過程中，到直線距離的最大值是______．【答案】【分析】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)動點的運動情況判斷點的運動軌跡，在根據(jù)角度以及勾股定理求解最大值．【詳解】解：如圖旋轉(zhuǎn)，連接以為直徑作，以為半徑作過點作的切線交于點在和中∴點共圓，點共圓，點在上運動，的半徑為∴又∵，∴當(dāng)點運動到點時，到直線距離的最大，過點作，過點作，，∴四邊形是矩形，

是圓心，設(shè)解得：（舍去）∴故答案為：．三、解答題31．（2023·廣東佛山·?？家荒＃?）如圖1，⊙A的半徑為，，點為⊙A上任意一點，則的最小值為__________；（2）如圖2，已知矩形，點為上方一點，連接，，作于點，點是的內(nèi)心，求的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，，若矩形的邊長，，，求此時的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)一點到圓上的距離可得當(dāng)、、三點共線，且點在線段上時，有最小值，即可求解；（2）根據(jù)點是的內(nèi)心，得出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）作的外接圓，連接，，，過作，設(shè)的半徑為，交的延長線于，由（）可知的最小值為：，證明，結(jié)合（2）的結(jié)論，則，根據(jù)圓周角定理得出優(yōu)弧所對的圓周角為，則，得出是等腰直角三角形，勾股定理求得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：當(dāng)、、三點共線，且點在線段上時，有最小值，的最小值為：；故答案為：．（2）∵，∴，∴，∵點是的內(nèi)心，∴，，∴，∴；（3）如圖，作的外接圓，連接，，，過作，交的延長線于，設(shè)的半徑為，由（）可知的最小值為：，點是的內(nèi)心，，，，，由（2）可得，，優(yōu)弧所對的圓周角為，，又，，是等腰直角三角形，∴，，，由作圖可知，，，，故的最小值為：．32．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）在中，，，，將繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．(1)如圖1，當(dāng)經(jīng)過點B時，①旋轉(zhuǎn)角______°；②求證：．(2)當(dāng)不經(jīng)過點B時，連接并延長交直線于點D，設(shè)的中點為E，的中點為F．①如圖2，連接，在的旋轉(zhuǎn)過程中，線段的長度有變化嗎？如果有變化，請說明理由；如果不變，求的值；②如圖3，連接，直接寫出的最大值．【答案】(1)①60；②見解析;(2)①線段DE的長度沒有變化，2；②【分析】（1）①根據(jù)，，得到，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，判定是等邊三角形，計算即可．②根據(jù)旋轉(zhuǎn)角為，結(jié)合旋轉(zhuǎn)性質(zhì)判定是等邊三角形，證明即可．（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，證明，判定是直角三角形，計算即可．②先證明點D、A、B、C都在在以E為圓心，長為半徑的上．過F點作的直徑，則線段的長即為的最大值．利用中位線定理，三角函數(shù)計算即可．【詳解】（1）①∵，，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得到，∴是等邊三角形，∴，∴旋轉(zhuǎn)角；故答案為：．②證明：∵，，∴是等邊三角形，∴．∵，∴．∴．（2）①答：線段DE的長度沒有變化．理由如下：在中，∵，，∴．在中，同理可得，∴．設(shè)與交點為P，又∵，∴，∴，∴是直角三角形，∴是斜邊上的中線，∴．在中，∵，，∴．∴．故線段DE的長度沒有變化．②的最大值為．解：由①得：，故點D、A、B、C都在在以E為圓心，長為半徑的上．如圖，過F點作⊙E的直徑，則線段的長即為的最大值．∵點E為中點，點F為中點，，，，∴，，∴，∴．即的最大值為．33．（2023·吉林長春·?？家荒＃┤鐖D，中，，，．動點從點出發(fā)，沿線段以每秒5個單位的速度向終點運動，連接，作點關(guān)于的對稱點，連結(jié)、，設(shè)點的運動時間為（秒）．(1)線段的長是______．(2)連結(jié)，則線段的最小值是______，最大值是______(3)當(dāng)點落在△ABC的內(nèi)部時，求的取值范圍．(4)當(dāng)直線與△ABC的一邊垂直時，求出的值．【答案】(1)5;(2)1，5;(3);(4)滿足條件的t的值為或或【分析】（1）利用勾股定理求解；（2）根據(jù)D點運動軌跡是以C為圓心，長為半徑的半圓判斷即可；（3）分別求出點P落在，落在上的時間，可得結(jié)論；（4）分三種情形：當(dāng)時，延長交于點R．當(dāng)時，四邊形是菱形，當(dāng)時，過點作于點H．分別求解即可．【詳解】（1）在中，，故答案為：5；（2）∵作點關(guān)于的對稱點，∴，∴D點運動軌跡是以C為圓心，長為半徑的半圓，∴當(dāng)D在線段上時，的最小，此時；當(dāng)P與B重合時，的最大，此時點關(guān)于的對稱點，；故答案為：1，5；（3）由題意得，當(dāng)點D落在上時，．∵，∴△APC∽△ACB，∴，∴，∴如圖12中，當(dāng)點D落在上時，．過點P作于點T．則，∵，∴，∴∴∴∴，解得，觀察圖象可知，滿足條件的t的值為：；（4）當(dāng)時，延長交于點R．則，，∵∴∴，∵，∴，∴．解得，如圖32中，當(dāng)時，四邊形是菱形，此時，，如圖33中，當(dāng)時，過點作于點H．∵，∴∵∴，∴∵，∴△AHC∽△ACB，∴，∴，解得．綜上所述，滿足條件的t的值為或或．3