專題20全等三角形作平行線法與作垂線法-初中數(shù)學模型與解題方法專題訓(xùn)練（原卷版）

20全等三角形作平行線法與作垂線法一、單選題1．如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點P在AB上，過點P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC到點Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點D，則DE的長為（

）A．0.5 B．0.9 C．1 D．1.252．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點P在AB上，過點P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC至點Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點D，則DE的長為（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.53．如圖，AB＝AD，AC＝AE，，AH⊥BC于H，HA的延長線交DE于G，下列結(jié)論：①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④，其中正確的結(jié)論為（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空題4．如圖，中，，則點B的坐標為．5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點E在AC上，且AE＝1，連接BE，∠BEF＝90°，且BE＝FE，連接CF，則CF的長為6．如圖，四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，點P是△OCD角平分線的交點，點M是AB的中點，給出下列結(jié)論：①∠CPD＝135°；②BA＝BP；③△PAC≌△PDB；④S△ABP＝S△DCP；⑤PM＝CD．其中正確的是．（填序號）三、解答題7．P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．8．已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC與點M．請?zhí)骄浚?1)如圖（1），當點E在線段AC上，點D在AB延長線上時，若BD=CE，請判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖（2），當點E在CA的延長線上，點D在AB的延長線上時，若BD=CE，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由；(3)如圖（3），當點E在CA的延長線上，點D在線段AB上（點D不與A，B重合），DE所在直線與直線BC交于點M，若CE＝2BD，請直接寫出線段MD與線段ME的數(shù)量關(guān)系．9．讀下面的題目及分析過程,并按要求進行證明．已知:如圖,E是BC的中點,點A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求證:AB=CD分析:證明兩條線段相等,常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個三角形中,且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此,要證明AB=CD,必須添加適當?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法,請任意選擇其中兩種對原題進行證明．圖(1):延長DE到F使得EF=DE圖(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延長線于F圖(3):過C點作CF∥AB交DE的延長線于F.10．如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點，且，連接交于點．求讓：11．如圖，閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求證：AB=CD．分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證AB=CD，必須添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形請用二種不同的方法證明．12．如圖，已知AD為△ABC的中線，點E為AC上一點，連接BE交AD于點F，且AE＝FE.求證：BF＝AC．13．如圖，OC平分∠MON，A、B分別為OM、ON上的點，且BO＞AO，AC＝BC，求證：∠OAC+∠OBC＝180°．14．如圖，是延長線上一點，且，是上一點，，求證：.15．如圖，在中，，，，，延長交于.求證：.16．閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明．17．如圖，在四邊形ABCD中，BC＝CD，∠BCD=α°，∠ABC+∠ADC＝180°，AC、BD交于點E．將△CBA繞點C順時針旋轉(zhuǎn)α°得到△CDF．（1）求證：∠CAB＝∠CAD；（2）若∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面積為S1，△CDE的面積為S2，求S1：S2的值．18．如圖1，已知四邊形ABCD，連接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延長CA到點E，使得AE＝AD，點F為AB上一點，連接FE、FD，F(xiàn)D交AC于點G．（1）求證：△EAF≌△DAF；（2）如圖2，連接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度數(shù)．19．已知∠ACD＝90°，MN是過點A的直線，AC＝DC，且DB⊥MN于點B，如圖易證BD＋ABCB，過程如下：解：過點C作CE⊥CB于點C，與MN交于點E∵∠ACB＋∠BCD＝90°，∠ACB＋∠ACE＝90°，∴∠BCD＝∠ACE．∵DB⊥MN，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，CE⊥CB，∴∠ABC＋∠CEA＝90°，∴∠CBD＝∠CEA．又∵AC＝DC，∴△ACE≌△DCB（AAS），∴AE＝DB，CE＝CB，∴△ECB為等腰直角三角形，∴BECB．又∵BE＝AE＋AB，∴BE＝BD＋AB，∴BD＋ABCB．（1）當MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（2）位置時，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請寫出你的猜想，并給予證明．（2）當MN繞A旋轉(zhuǎn)到如圖（3）位置時，BD、AB、CB滿足什么樣關(guān)系式，請直接寫出你的結(jié)論．20．如圖，正方形中，點在邊上，延長至，連結(jié)，使，平分，交于點，連接、、．

(1)依題意補全圖形；(2)判斷的形狀，并證明；(3)用等式表示線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．21．如圖，點P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，AP=CQ，PQ交AC于D，(1)求證：DP=DQ；(2)過P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的長．22．如圖，△ABC中，點D，E在邊AB上，點F在邊BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，連接DF．（1）在圖1中找出與∠ACE相等的角，并證明；（2）求證：∠BDF＝∠EFC；（3）如圖2，延長FD，CA交于點G，連接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．23．已知:△ABC中，CA=CB,∠ACB=90o，D為△ABC外一點，且滿足∠ADB=90o(1)如圖所示，求證：DA+DB=DC(2)如圖所示，猜想DA．DB．DC之間有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論.(3)如圖所示，過C作CH⊥BD于H,BD=6,AD=3,則CH=.24．如圖，已知∠AOB＝60°，在∠AOB的平分線OM上有一點C，將一個120°角的頂點與點C重合，它的兩條邊分別與直線OA、OB相交于點D、E．（1）當∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時（如圖1），請猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時，到達圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說明理由；（3）當∠DCE繞點C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長線相交時，上述結(jié)論是否成立？請在圖3中畫出圖形，若成立，請給于證明；若不成立，線段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.25．定義：三角形一個內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．

(1)如圖1所示，是中的遙望角，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系__________；(2)如圖1所示，連接，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖2，四邊形中，，點E在的延長線上，連，若己知，求證：是中的遙望角．26．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在邊AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，連接BE，取BE的中點F，連接DF．(1)請直接寫出∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系；(2)將圖1中的△CD