專題08多邊形及平行四邊形的性質(zhì)（專題測試）

專題08多邊形及平行四邊形的性質(zhì)專題測試學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題1．（2020?寧波模擬）下列圖標中，不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【點撥】根據(jù)中心對稱圖形的概念求解．【解析】解：A、是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B、不是中心對稱圖形，故此選項符合題意；C、是中心對稱圖形，故此選項不合題意；D、是中心對稱圖形，故此選項不合題意；故選：B．【點睛】本題考查了中心對稱圖形，解題時掌握好中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．2．（2019秋?蕭山區(qū)期中）已知一個正多邊形的內(nèi)角為a度，則下列不可能是a的值的是（）A．90 B．100 C．120 D．176.4【點撥】根據(jù)正多邊形外角和為360°，再利用內(nèi)外角互補，只要360°不能整除內(nèi)角，即不是正多邊形．【解析】解：A、根據(jù)正多邊形外角和為360°，當正多邊形的內(nèi)角為90°，即外角為90°，360°÷90°＝4，故可以是正多邊形，正確；B、當正多邊形的內(nèi)角為100°，即外角為80°，360°÷80°＝4.5，故不可以是正多邊形，故本選項錯誤；C、當正多邊形的內(nèi)角為120°，即外角為60°，360°÷60°＝6，故可以是正多邊形，正確；D、當正多邊形的內(nèi)角為176.4°，即外角為3.6°，360°÷3.6°＝100，故可以是正多邊形，正確．故選：B．【點睛】此題主要考查了正多邊形內(nèi)角與外角之間的關系，以及多邊形外角和定理，注意計算的正確性．3．（2020春?鹿城區(qū)校級期中）已知平行四邊形ABCD中，∠A+∠C＝70°，則∠B的度數(shù)為（）A．125° B．135° C．145° D．155°【點撥】由在平行四邊形ABCD中，∠A+∠C＝70°，即可求得∠A與∠C的度數(shù)，繼而求得答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∵∠A+∠C＝70°，∴∠A＝∠C＝35°，∴∠B＝180°﹣∠A＝145°．故選：C．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．注意平行四邊形的對角相等，鄰角互補是解題的關鍵．4．（2020春?鹿城區(qū)校級期中）如圖，平行四邊形ABCD中，AC和BD交于點O，若AC＝8，BD＝6，則邊AD長的取值范圍是（）A．1＜AD＜7 B．5＜AD＜11 C．6＜AD＜8 D．3＜AD＜4【點撥】根據(jù)平行四邊形對角線互相平分可得AO＝4，DO＝3，再根據(jù)三角形的三邊關系可得4﹣3＜AD＜4+3，再解即可．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝AC，DO＝BD，∵AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，∴4﹣3＜AD＜4+3，解得：1＜AD＜7，故選：A．【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關系以及平行四邊形的性質(zhì)，關鍵是掌握平行四邊形的對角線互相平分．5．（2020?上城區(qū)一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝4，BE平分∠ABC，交CD于點E，則DE的長度是（）A． B．2 C． D．3【點撥】根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形可得AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得出∠CBE＝∠CEB，可得CE＝BC＝4，即可求得DE的長度【解析】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，CD＝AB＝6，∴∠ABE＝∠CEB，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠CBE＝∠CEB，∴CE＝BC＝4，∴DE＝CD﹣CE＝6﹣4＝2．故選：B．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及角平分線定義等知識，解答本題的關鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得出∠CBE＝∠CEB．6．（2020春?奉化區(qū)期中）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，AE平分BAD交BC于點E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，連接OE．下列結(jié)論：①AE＝CE；②S△ABC＝AB?AC；③S△ABE＝2S△ACE；④OE＝BC，成立的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4【點撥】利用平行四邊形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，利用角平分線的性質(zhì)證明△ABE是等邊三角形，然后推出AE＝BE＝BC，再結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角、三線合一進行推理即可．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°，∵AB＝BC，∴AE＝BE＝BC，∴AE＝CE，故①正確；∴∠EAC＝∠ACE＝30°∴∠BAC＝90°，∴S△ABC＝AB?AC，故②錯誤；∵BE＝EC，∴E為BC中點，∴S△ABE＝S△ACE，故③錯誤；∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC＝CO，∵AE＝CE，∴EO⊥AC，∵∠ACE＝30°，∴EO＝EC，∵EC＝AB，∴OE＝BC，故④正確；故正確的個數(shù)為2個，故選：B．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△ABE是等邊三角形是關鍵．7．（2019春?海曙區(qū)期末）把平行四邊形ABCD放入平面直角坐標系中，已知對角線的交點為原點，點A的坐標為（2，﹣3），點C的坐標為（）A．（﹣3，2） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（2，3）【點撥】因為平行四邊形是中心對稱圖形，若對角線的交點為原點時，則A點與C點關于原點對稱，從而根據(jù)A點坐標可求C點坐標．【解析】解：∵平行四邊形是中心對稱圖形，所以當其對角線的交點為原點時，則A點與C點關于原點對稱，∵A（2，﹣3），∴C（﹣2，3）．故選：C．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及坐標與圖形的性質(zhì)，熟知關于原點對稱的點的坐標特征是解題的關鍵．8．（2019春?富陽區(qū)期末）在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論一定成立的是（）A．AC⊥BD B．AB＝AD C．∠A≠∠C D．∠A+∠B＝180°【點撥】由四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得對角相等，鄰角互補，繼而求得答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，AD∥BC，∠A＝∠C，∴∠A+∠B＝180°．故一定正確的是D．故選：D．【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)．注意熟記定理是解此題的關鍵．9．（2019?寧波模擬）如圖，平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，BC＝3，AC＝4，則B，D兩點間的距離是（）A． B．6 C．10 D．5【點撥】過D作DE⊥BC，利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【解析】解：過D作DE⊥BC，∵平行四邊形ABCD中，AC⊥BC，∴AD∥CE，∵DE⊥BC，∴AC∥DE，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴CE＝AD＝BC＝3，連接BD，在Rt△BDE中，BD＝，故選：A．【點睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，關鍵是根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理解答．10．（2019春?防城港期中）如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD，分別交BC、BD于點E、P，連接OE，∠ADC＝60°，，則下列結(jié)論：①∠CAD＝30°②③S平行四邊形ABCD＝AB?AC④，正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【點撥】①先根據(jù)角平分線和平行得：∠BAE＝∠BEA，則AB＝BE＝1，由有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形得：△ABE是等邊三角形，由外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得：∠ACE＝30°，最后由平行線的性質(zhì)可作判斷；②先根據(jù)三角形中位線定理得：OE＝AB＝，OE∥AB，根據(jù)勾股定理計算OC＝和OD的長，可得BD的長；③因為∠BAC＝90°，根據(jù)平行四邊形的面積公式可作判斷；④根據(jù)三角形中位線定理可作判斷．【解析】解：①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，∴∠DAE＝∠BEA，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE＝1，∴△ABE是等邊三角形，∴AE＝BE＝1，∵BC＝2，∴EC＝1，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE，∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°，∴∠ACE＝30°，∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACE＝30°，故①正確；②∵BE＝EC，OA＝OC，∴OE＝AB＝，OE∥AB，∴∠EOC＝∠BAC＝60°+30°＝90°，Rt△EOC中，OC＝，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠BAD＝120°，∴∠ACB＝30°，∴∠ACD＝90°，Rt△OCD中，OD＝，∴BD＝2OD＝，故②正確；③由②知：∠BAC＝90°，∴S平行四邊形ABCD＝AB?AC，故③正確；④由②知：OE是△ABC的中位線，∴OE＝AB，∵AB＝BC，∴OE＝BC＝AD，故④正確；故選：D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)、三角形面積和平行四邊形面積的計算；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明△ABE是等邊三角形是解決問題的關鍵系．二、填空題11．（2020春?衢州期中）如圖，在七邊形ABCDEFG中，AB，ED的延長線交于點O，其中∠1+∠2+∠3+∠4＝α，若∠BOD＝38°，則α的值是218°．【點撥】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°可得∠DEF+∠EFG+∠FGA+∠GAB＝540°﹣38°＝502°，再根據(jù)平角的定義即可得出α的值．【解析】解：∵五邊形OAGFE內(nèi)角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∠BOD＝38°，∴∠DEF+∠EFG+∠FGA+∠GAB＝540°﹣38°＝502°，∵（∠DEF+∠EFG+∠FGA+∠GAB）+（∠1+∠2+∠3+∠4）＝4×180°＝720°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝720°﹣502°＝218°．故答案為：218°．【點睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和公式是解答本題的關鍵．12．（2019秋?鹽田區(qū)期末）某多邊形從一個頂點出發(fā)有5條對角線，則該多邊形共有20條對角線．【點撥】根據(jù)n邊形從一個頂點引出的對角線與邊的關系：n﹣3，列方程求解．【解析】解：設多邊形有n條邊，則有條對角線，則n﹣3＝5，解得n＝8．＝＝20，故該多邊形共有20條對角線．故答案為：20．【點睛】本題考查了多邊形的對角線，經(jīng)過n邊形的一個頂點所有的對角線有（n﹣3）條，經(jīng)過n邊形的一個頂點的所有對角線把n邊形分成（n﹣2）個三角形．13．（2019春?越城區(qū)校級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE，CF分別是∠ABC與∠BCD的平分線，交AD于點E、F，則線段EF的長為1cm．【點撥】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知∠AEB＝∠EBC，依據(jù)BE平分∠ABC，即可得到∠ABE＝∠EBC，則∠ABE＝∠AEB，則AB＝AE＝3，同理可證FD＝3，繼而可求得EF＝AE+DE﹣AD．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3cm，同理可得：DF＝DC＝3cm，∴EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1（cm）．故答案為：1cm．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，在平行四邊形中，當出現(xiàn)角平分線時，一般可構造等腰三角形，進而利用等腰三角形的性質(zhì)解題．14．（2019春?樂清市期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠BAD的平分線AE交CD于點E，連結(jié)BE，若∠BAD＝∠BEC，則平行四邊形ABCD的面積為10．【點撥】過點B作BF⊥CD于F，由平分線得出∠DAE＝∠BAE，由平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，∠BAD＝∠BCE，AB∥CD，證出∠DAE＝∠DEA，則AD＝DE＝3，CE＝2，證出∠BCE＝∠BEC，則CF＝EF＝CE＝1，由勾股定理得出BF＝＝2，則平行四邊形ABCD的面積＝BF?CD即可得出結(jié)果．【解析】解：過點B作BF⊥CD于F，如圖所示：∵AE是∠BAD的平分線，∴∠DAE＝∠BAE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝5，AD＝BC＝3，∠BAD＝∠BCE，AB∥CD，∴∠BAE＝∠DEA，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE＝3，∴CE＝CD﹣DE＝2，∵∠BAD＝∠BEC，∴∠BCE＝∠BEC，∴CF＝EF＝CE＝1，BF＝＝＝2，∴平行四邊形ABCD的面積＝BF?CD＝2×5＝10，故答案為：10．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形面積的計算等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．15．（2019春?大渡口區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，點D在線段BC上一動點，以AC為對角線的平行四邊形ADCE中，則DE的最小值是6．【點撥】平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，當OD⊥BC時，OD最小，即DE最小，根據(jù)三角形中位線定理即可求解．【解析】解：平行四邊形ADCE的對角線的交點是AC的中點O，當OD⊥BC時，OD最小，即DE最?。逴D⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB，又∵OC＝OA，∴OD是△ABC的中位線，∴OD＝AB＝3，∴DE＝2OD＝6．故答案為：6．【點睛】此題考查的是三角形中位線的性質(zhì)，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半，正確理解DE最小的條件是關鍵．16．（2018春?富陽區(qū)期末）已知平行四邊形周長為20，相鄰兩條邊的長度比是3：2，這個平行四邊形的最大面積是24．【點撥】設相鄰兩條邊的長度分別為2x、3x，則2（2x+3x）＝20，解得：x＝2，得出2x＝4，3x＝6，即相鄰兩條邊的長度分別為4和6，當平行四邊形為矩形時，面積最大＝4×6＝24．【解析】解：∵平行四邊形周長為20，相鄰兩條邊的長度比是3：2，∴設相鄰兩條邊的長度分別為2x、3x，則2（2x+3x）＝20，解得：x＝2，∴2x＝4，3x＝6，即相鄰兩條邊的長度分別為4和6，當平行四邊形為矩形時，面積最大＝4×6＝24；故答案為：24．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的面積；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，由題意求出相鄰兩條邊的長度是解題的關鍵．三、解答題17．（2019秋?瑞安市期末）如圖所示平行四邊形ABCD中，EF分別是邊AD，BC上的點，且AE＝CF．（1）求證：BE＝DF；（2）連結(jié)AF，若AD＝DF，∠ADF＝40°，求∠AFB的度數(shù)．【點撥】（1）證明四邊形BEDF是平行四邊形即可解決問題．（2）利用等腰三角形的性質(zhì)求出△DAF即可解決問題．【解析】（1）證明：在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AE＝CF，∴DE∥BF，DE＝BF∴四邊形BEDF是平行四邊形∴BE＝DF．（2）∵AD＝DF，∠ADF＝40°∴∠DAF＝∠AFD＝70°∵AD∥BC∴∠AFB＝∠FAD＝70°．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．18．（2019春?蕭山區(qū)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點E，AC⊥BC．若AC＝4，AB＝5，求BD的長．【點撥】由平行四邊形的性質(zhì)得出CE＝AC，BE＝BD，根據(jù)勾股定理求出BC的長度，得出CE的長度，再根據(jù)勾股定理求出BE，即可得出BD的長度．【解析】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CE＝AC，BE＝BD，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝3，∴CE＝AC＝2，∴BE＝＝＝，∴BD＝2BE＝2．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理的運用；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關鍵．19．（2018春?嘉興期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，在BD的延長線上取一點E，在DB的延長線上取一點F，使BF＝DE，連接AF、CE．求證：AF∥CE．【點撥】欲證明AF∥EC，只要證明∠F＝∠E，只要證明ADF≌△CBE即可．【解析】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADF＝∠CBE，∵BF＝DE，∴BF+BD＝DE+BD，即DF＝BE，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴∠AFD＝∠CEB，∴AF∥CE．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．20．（2020春?衢州期中）已知：平行四邊形ABCD中，∠ABC＝45°，對角線AC⊥CD．（1）如圖1，若AD＝6，求平行四邊形ABCD的面積．（2）如圖2，連接BD交AC于O點，過點A作AE⊥BD于E，連接EC．求證：ED＝AE+EC．【點撥】（1）由已知條件得到△ACD是等腰直角三角形，求得AC＝CD＝AD＝3，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）過C作FC⊥BD于F，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得到AE＝CF，OE＝OF，設AC＝AB＝2x，由勾股定理得到AD＝BC＝2x，BO＝DO＝＝x，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解析】解：（1）∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，∴△ACD是等腰直角三角形，∵AD＝6，∴AC＝CD＝AD＝3，∴平行四邊形ABCD的面積＝33＝18；（2）過C作FC⊥BD于F，∵AE⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，∵∠AOE＝∠COF，∵平行四邊形ABCD中，AO＝CO，∴△AOE≌△COF（AAS），∴AE＝CF，OE＝OF，∵∠ABC＝45°，AC⊥CD，∴△ACD是等腰直角三角形，設AC＝AB＝2x，∴AD＝BC＝2x，∴AO＝x，∴BO＝DO＝＝x，∵S△AOB＝AB?AO＝BO?AE，∴AE＝＝＝，∴OE＝OF＝＝x，∴EF＝CF＝x，∴CE＝EF＝x，∵DE＝＝x，AE+EC＝x+x＝x，∴ED＝AE+EC．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關鍵．21．（2018秋?天臺縣期末）（1）如圖1，在△ABC中，已知OB，OC分別平分∠ABC，∠ACB，BP，CP分別平分∠ABC，∠ACB的外角∠DBC，∠ECB．①若∠A＝50°，則∠O＝115°，∠P＝65°；②若∠A＝α，則∠O＝90°+α，∠P＝90°﹣α．（用含α的式子表示）（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BP，CP分別平分外角∠EBC，∠FCB，請?zhí)骄俊螾與∠A，∠D的數(shù)量關系，并說明理由；（3）如圖3，在六邊形ABCDEF中，CP，DP分別平分外角∠GCD，∠HDC，請直接寫出∠P與∠A，∠B，∠E，∠F的數(shù)量關系∠P＝360°﹣（∠A+∠B+∠E+∠F）．【點撥】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和以及外角定理解答即可．【解析】解：（1）①解：∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣50°）＝115°；∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠DBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣50°）]＝65°；故答案為：115°；65°．②解：∠O＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝180°﹣（180°﹣α）＝90°+α；∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣∠DBC﹣∠ECB＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝180°﹣[360°﹣（∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣∠A）]＝180°﹣[360°﹣（180°﹣α）]＝90°﹣α；故答案為：9