專(zhuān)題08平行四邊形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（原卷版）

專(zhuān)題08平行四邊形的性質(zhì)與判定重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)【題型目錄】題型一利用平行四邊形的判定定理證明題型二利用平行四邊形的性質(zhì)求角度題型三利用平行四邊形的性質(zhì)求長(zhǎng)度題型四利用平行四邊形的性質(zhì)求面積題型五平行四邊形中的線段最值問(wèn)題題型六平行四邊形中的翻折問(wèn)題題型七平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題題型八平行四邊形的存在性問(wèn)題題型九三角形中位線有關(guān)的證明題型十平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合題型【經(jīng)典例題一利用平行四邊形的判定定理證明】【知識(shí)歸納】1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形.特別說(shuō)明：（1）這些判定方法是學(xué)習(xí)本章的基礎(chǔ)，必須牢固掌握，當(dāng)幾種方法都能判定同一個(gè)平行四邊形時(shí)，應(yīng)選擇較簡(jiǎn)單的方法.（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫(huà)平行四邊形”的依據(jù).【例1】（2022春·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形中，ADBC，，，．若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B．2 C． D．3【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·浙江杭州·八年級(jí)校考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，BD=2AD，E，F(xiàn)，G分別是OC，OD，AB的中點(diǎn)．下列結(jié)論正確的是（）①EG⊥AB；②EF=EG；③四邊形BEFG為平行四邊形；④AC垂直平分線段FG．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【變式2】（2022秋·重慶綦江·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，D是邊上的中點(diǎn)，連結(jié)，把沿翻折，得到，連接，若，則的面積為_(kāi)__________【變式3】（2022春·寧夏銀川·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在上，點(diǎn)G，H在上，且，．(1)若，，試求的度數(shù)．(2)求證：四邊形是平行四邊形．【經(jīng)典例題二利用平行四邊形的性質(zhì)求角度】【知識(shí)歸納】1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；2．角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；3．對(duì)角線性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線互相平分；4．平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心；特別說(shuō)明：（1）平行四邊形的性質(zhì)中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系.（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇.（3）利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問(wèn)題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來(lái)解決.【例2】（2021春·江蘇南京·八年級(jí)校考期中）如圖，以平行四邊形的邊為斜邊向內(nèi)作等腰直角，使，，且點(diǎn)在平行四邊形內(nèi)部，連接、，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2021春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式2】（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，平行四邊形中，于點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)且滿(mǎn)足，，連并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則的度數(shù)為_(kāi)____．【變式3】（2021春·福建福州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形ABCD中，AC⊥CD，E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段BE上，連接AM，AE，在BC下方有一點(diǎn)N，滿(mǎn)足∠CAD＝∠BCN，連接MN．(1)若∠BCN＝60°，求證：∠BAE＝30°；(2)若MA＝MN，求證：∠NMC＝∠MAE；(3)在（2）的條件下，若MC＝EA+CN，求證：AB＝AE．【經(jīng)典例題三利用平行四邊形的性質(zhì)求長(zhǎng)度】【例3】（2022春·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)E、F分別在上，將四邊形沿折疊得四邊形，恰好垂直于，若，則的值為（

）A．3 B． C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AC、AE，AE交于點(diǎn)H，的平分線交于點(diǎn)．若，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（

）．A．9 B． C．10 D．【變式2】（2020春·重慶渝中·八年級(jí)重慶市第二十九中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，平行四邊形中，＝，°，將沿邊折疊得到，交于，，則點(diǎn)到的距離為_(kāi)_____．【變式3】（2022春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平行四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)O．且分別平分．(1)求的度數(shù)；(2)猜測(cè)線段之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)設(shè)點(diǎn)P為對(duì)角線上一點(diǎn)，，若平行四邊形的周長(zhǎng)為16，平行四邊形的面積為，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【經(jīng)典例題四利用平行四邊形的性質(zhì)求面積】【例4】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，直線經(jīng)過(guò)平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，若四邊形的面積為cm2，則四邊形的面積為（

）cm2．A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022秋·福建廈門(mén)·八年級(jí)廈門(mén)市湖濱中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知，∠ABC=60°，BC=2AB=8，點(diǎn)C關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為E，連接BE交AD于點(diǎn)F，點(diǎn)G為CD的中點(diǎn)，連接EG、BG，則=（

）A． B． C． D．【變式2】（2022秋·重慶北碚·八年級(jí)西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖，平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E為DC中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，△CEF沿EF折疊，點(diǎn)C恰好落在BD邊上的點(diǎn)G處，則BGF的面積為_(kāi)_____．【變式3】（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)長(zhǎng)春市第五十二中學(xué)?？计谥校┰谥?，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，連接交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫(xiě)出、的長(zhǎng)；(2)在（1）的條件下，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的值；(3)當(dāng)點(diǎn)在的垂直平分線上時(shí)，求出此時(shí)的值；(4)點(diǎn)與點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且點(diǎn)在邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)的速度是，當(dāng)直線平分的面積時(shí)，直接寫(xiě)出的值．【經(jīng)典例題五平行四邊形中的線段最值問(wèn)題】【例5】（2022春·福建龍巖·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，．點(diǎn)M是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．將沿所在的直線翻折到，連接．則線段長(zhǎng)度的最小值為（

）A．5 B．7 C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·福建福州·八年級(jí)校考期末）如圖，在中，，，，D為AB邊上一點(diǎn)，將DC平移到AE（點(diǎn)D與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)），連接DE，則DE的最小值為（

）A． B．2 C．4 D．【變式2】（2021春·安徽安慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，E為斜邊邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以，為邊作平行四邊形．（1）的長(zhǎng)為_(kāi)_______．（2）線段長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)_____．【變式3】（2021春·福建廈門(mén)·八年級(jí)廈門(mén)雙十中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在等邊中，點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），．點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接．（1）請(qǐng)你判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（2）若，求線段長(zhǎng)度的最小值．【經(jīng)典例題六平行四邊形中的翻折問(wèn)題】【例6】（2022春·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝，E，F(xiàn)分別為CD，AB上的動(dòng)點(diǎn)，DE＝BF，分別以AE，CF所在直線為對(duì)稱(chēng)軸翻折△ADE，△BCF，點(diǎn)D，B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為G，H．若E、G、H、F恰好在同一直線上，∠GAF＝45°，且GH＝3，則AF的長(zhǎng)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，，，，點(diǎn)E在AB邊上，將沿著直線DE翻折得．連結(jié)，若點(diǎn)恰好落在的平分線上，則，C兩點(diǎn)間的距離為（

）A．3或6 B．3或 C． D．6【變式2】（2022春·浙江舟山·八年級(jí)?？计谥校┰谄叫兴倪呅蜛BCD中，BC=3，CD=4，點(diǎn)E是CD邊上的中點(diǎn)，將ΔBCE沿BE翻折得ΔBGE，連結(jié)AE，A、G、E在同一直線上，則點(diǎn)G到AB的距離為_(kāi)_______．【變式3】（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，，，，(1)平行四邊形的面積為_(kāi)_______．(2)若是邊的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿所在直線翻折得到，連接，則長(zhǎng)度的最小值是________．【經(jīng)典例題七平行四邊形中的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】【例7】（2021春·浙江·九年級(jí)期末）如圖，在中，，，將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)，點(diǎn)落在線段上，在線段BE上取點(diǎn)，使，連結(jié)，，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C． D．【變式訓(xùn)練】【變式1】（2020·湖北·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，等腰△ABC的頂角∠A=36°，若將其繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)36°，得到△，點(diǎn)B′在AB邊上，交AC于E，連接AA′．有下列結(jié)論：①△ABC≌△；②四邊形是平行四邊形；③圖中所有的三角形都是等腰三角形；其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【變式2】（2022春·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在?ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，將直線l繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F，則四邊形ABFE周長(zhǎng)的最小值是______．【變式3】（2022春·陜西渭南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)E在直線BC上，點(diǎn)F在直線AB上（點(diǎn)E、F不與三角形的頂點(diǎn)重合），，連接CF和AE，將線段CF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段CG，連接AG．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在線段BC與線段AB上時(shí)．①求證：；②求證：四邊形AECG是平行四邊形；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F分別在線段CB與線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形AECG還是平行四邊形嗎？并說(shuō)明理由．【經(jīng)典例題八平行四邊形的存在性問(wèn)題】【例8】（2022春·浙江溫州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，A，B，C，D的坐標(biāo)依次為，，，．若以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則的值不可能是（

）A．7 B．1 C．1 D．7【變式訓(xùn)練】【變式1】（2022春·江蘇南京·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD//BC，AD＝6cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從A出發(fā)以1cm/s的速度向D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從C出發(fā)以2cm/s的速度向B運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，以點(diǎn)A、B、C、D、P、Q任意四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形中同時(shí)存在兩個(gè)平行四邊形，則t的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在等邊中，，射線，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)．如果點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)________s時(shí)，以A、C、E、F為頂點(diǎn)四邊形是平行四邊形．【變式3】（2022春·河南鄭州·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，，若動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，回答下列問(wèn)題：(1)設(shè)點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了秒，求當(dāng)為多少秒時(shí)，四邊形變?yōu)槠叫兴倪呅危?2)如圖，若四邊形變?yōu)槠叫兴倪呅?，，?dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒的速度在間往返運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并運(yùn)動(dòng)了秒，求當(dāng)為多少秒時(shí)，以，，，B四點(diǎn)組成的四邊形是平行四邊形．請(qǐng)直接寫(xiě)出答案．【經(jīng)典例題九三角形中位線有關(guān)的證明】【例8】（2021春·四川涼山·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，平分，且，E為的中點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)為（

）．A．6 B．3 C．1.5 D．5【變式訓(xùn)練】【變式1】（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式2】（2022春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)B為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，連接，點(diǎn)F、E分別為、的中點(diǎn)，連接、，當(dāng)，時(shí)，則的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．【變式3】（2023秋·山西呂梁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）綜合與實(shí)踐【知識(shí)呈現(xiàn)】?jī)蓧K等腰直角三角板和如圖擺放，其中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)如圖，若點(diǎn)，分別在，的延長(zhǎng)線上，通過(guò)觀察和測(cè)量，猜想和的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_____，位置關(guān)系為_(kāi)_____；【拓展鞏固】(2)如圖，若將三角板繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至在一條直線上時(shí)，其余條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；【探究提升】(3)如圖，將圖中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖，中的猜想還成立嗎？直接寫(xiě)出結(jié)論，不用證明．【經(jīng)典例題十平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合題型】【例8】（2022春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，分別以的直角邊，斜邊為邊向外作等邊和等邊，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，，．則以下結(jié)論：①；②四邊形為平行四邊形；③，其中正確的有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式訓(xùn)練】【變式1】（2021春·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)O，平分，交于點(diǎn)，且，，連接，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中成立的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式2】（2023秋·江西撫州·八年級(jí)臨川一中?？计谀┰谥校?，D為形內(nèi)一點(diǎn)，以為腰作等腰，使，連接，若分別是的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為_(kāi)______．【變式3】（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在數(shù)學(xué)中，我們會(huì)用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法來(lái)解決幾條線段之間的和差問(wèn)題．請(qǐng)看這個(gè)例題：如圖1，在四邊形中，，，若，求四邊形的面積．解：延長(zhǎng)線段到E，使得，連接，我們可以證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，，則，得，這樣，四邊形的面積就轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形面積．(1)根據(jù)上面的思路，我們可以求得四邊形的面積為cm2．(2)如圖2，在中，，且，求線段的最小值．(3)如圖3，在平行四邊形中，對(duì)角線與相交于O，且；，則是否為定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此時(shí)平行四邊形的面積．【培優(yōu)檢測(cè)】1．（2023秋·河北保定·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，于點(diǎn)D，，若E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，在平行四邊形中，M是的中點(diǎn)，，，，則的長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．3．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)、、分別是、、的中點(diǎn)，，則的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2022秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形中，E為上一點(diǎn)，且，，，，則下列結(jié)論：①；②平行四邊形周長(zhǎng)是24；③；④；⑤E為中點(diǎn)．正確的結(jié)論有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)5．（2022春·陜西西安·八年級(jí)西安市鐵一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的邊上的點(diǎn)，是中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)，若，，則陰影部分的面積為（）A．24 B．17 C．13 D．106．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，、、、分別是、、、的中點(diǎn)，則四邊形的周長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．7．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論：①；②EF＝CF；③；④∠DFE＝4∠AEF．其中一定成立的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④8．（2022春·陜西漢中·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，分別以的斜邊、直角邊為邊向外作等邊和等邊，為的中點(diǎn)，連接、，與相交于點(diǎn)，若，下列結(jié)論：①；②四邊形為平行四邊形；③；④．其中正確結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)9．（2022秋·山東東營(yíng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，過(guò)點(diǎn)A作且點(diǎn)F在點(diǎn)A的右側(cè)．點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線方向以1cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)E出發(fā)沿射線方向以2cm/秒的速度運(yùn)動(dòng)，在線段上取點(diǎn)C，使得，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒．當(dāng)x=___________秒時(shí)，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．10．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校考期中）如圖，已知中，垂直平分，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)___________．11．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形中，，E為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值等于______．12．（2022·江蘇揚(yáng)州·校考二模）如圖，平行四邊形中，點(diǎn)E在上，以為折痕，把向上翻折，點(diǎn)A正好落在邊的點(diǎn)F處，若的周長(zhǎng)為6，的周長(zhǎng)為，那么的長(zhǎng)為_(kāi)________．13．（2021春·浙江杭州·八年級(jí)杭州英特外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)D作于F，連接，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，則的長(zhǎng)是______．14．（2023秋·廣東廣州·九年級(jí)廣州大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角三角形中，，，線段在斜邊上運(yùn)動(dòng)，且．連接，．則周長(zhǎng)的最小值是______．15．（2023·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，分別是的中點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，連接與交于點(diǎn)．，求四邊形的面積．16．（2022秋·河南周口·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)．(1)若，求的長(zhǎng)．(2)若，求證：．17．（2022秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)濟(jì)寧市第十三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在梯形中，，，，E是的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)P平均每秒運(yùn)動(dòng)1cm；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q平均每秒運(yùn)動(dòng)2