專題01 絕對值中的四類最值模型（解析版）

專題01絕對值中的四類最值模型最值問題一直都是初中數(shù)學中的最難點，但也是高分的必須突破點，而絕對值中的最值模型是初中學生第一次接觸最值類問題，該類最值模型解題的主要依據(jù)是絕對值的幾何意義或代數(shù)意義。本專題就絕對值中的四種最值模型進行梳理及對應試題分析，方便大家掌握。絕對值的性質(zhì)：①正數(shù)的絕對值是它本身，即；②0的絕對值是0，即；③負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，即；④絕對值具有非負性，即。模型1.的最小值模型【模型解讀】式子在時，取得最小值為?！咀钪翟怼磕康氖窃跀?shù)軸上找一點x，使x到a和b的距離和的最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當時無法確定當時的值為定值，即為當無法確定另解：也可用絕對值的代數(shù)意義（即分類討論思想）完成絕對值的最值問題。例1．（2022·江蘇·七年級期中）我國著名數(shù)學家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，數(shù)形結合是解決數(shù)學問題的重要思想方法．例如，代數(shù)式的幾何意義是數(shù)軸上x所對應的點與2所對應的點之間的距離：因為，所以的幾何意義就是數(shù)軸上x所對應的點與－1所對應的點之間的距離．（?。┌l(fā)現(xiàn)問題：代數(shù)式的最小值是多少？（ⅱ）探究問題：如圖，點A、B、P分別表示數(shù)－1、2、x，AB＝3∵的幾何意義是線段PA與PB的長度之和，∴當點P在線段AB上時，PA＋PB＝3，當點P在點A的左側或點B的右側時，PA＋PB＞3∴的最小值是3請你根據(jù)上述自學材料，探究解決下列問題：(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；(3)當a為何值時，代數(shù)式的最小值是2【答案】(1)5(2)或(3)-2或-6【分析】（1）把原式轉化看作是數(shù)軸上表示x的點與表示3與-2的點之間的距離最小值，進而問題可求解；（2）根據(jù)題意畫出相應的圖形，然后根據(jù)數(shù)軸可直接進行求解；（3）根據(jù)原式的最小值為2，得到表示4的點的左邊和右邊，且到4距離為2的點即可．【詳解】（1）解：，表示到與到的距離之和，當點在線段上，，當點在點的左側或點的右側時，，的最小值是5；（2）解：如圖所示，滿足，表示到和1距離之和大于4的范圍，當點在和1之間時，距離之和為4，不滿足題意；當點在的左邊或1的右邊時，距離之和大于4，則范圍為或；（3）解：當為或時，代數(shù)式為或，數(shù)軸上表示數(shù)2的點到表示數(shù)4的點的距離為，數(shù)軸上表示數(shù)6的點到表示數(shù)4的點的距離也為，因此當為或時，原式的最小值是．【點睛】本題主要考查數(shù)軸上的動點問題及數(shù)軸上兩點之間的距離，熟練掌握數(shù)軸上兩點之間的距離問題是解題的關鍵．例2．（2023·廣東七年級課時練習）閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為，當兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖（1）當A、B兩點都不在原點時，①點A、B都在原點的右邊，如圖（2）；②點A、B都在原點的左邊，如圖（3）；③點A、B在原點的兩邊，如圖（4）；總上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離．回答下列問題（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是____，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是____．（2）數(shù)軸上表示x和的兩點A和B之間的距離是_______，如果，那么x為_______．（3）當代數(shù)式取最小值時，相應的x的取值范圍是_______．【答案】（1）3；4；（2）；1或；（3）．【分析】（1）直接根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點之間的距離|AB|=|a﹣b|．代入數(shù)值運用絕對值即可求任意兩點間的距離；（2）直接根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點之間的距離|AB|=|a﹣b|．代入數(shù)值運用絕對值即可求任意兩點間的距離；（3）代數(shù)式|x+1|+|x-1|表示數(shù)軸上一點到1、﹣1兩點的距離的和，根據(jù)兩點之間線段最短，進而得出答案．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示2和4的兩點之間的距離是|2﹣5|=3；數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點之間的距離是|1﹣（﹣3）|=4故答案為：3，4（2）數(shù)軸上x與-1的兩點間的距離為|x-（-1）|=|x+1|，如果|AB|=2，則x+1=±2，解得x=1或-3；故答案為：|x+1|，1或-3；（3）∵代數(shù)式|x+1|+|x-1|表示數(shù)軸上一點到1、﹣1兩點的距離的和，∴根據(jù)兩點之間線段最短可以得到當-1≤x≤1時，代數(shù)式|x+1|+|x-1|的值最小，故答案為：-1≤x≤1．【點睛】本題主要考查了絕對值的幾何意義，解題的關鍵在于能夠準確讀懂題意進行求解．變式1．（2022·浙江·七年級專題練習）的最小值為_________；此時取值范圍是_________．【答案】6【分析】根據(jù)x的不同取值去絕對值計算即可；【詳解】當時，，∵，∴；當時，；當時，，∵，∴；綜上所述：的最小值為6，此時取值范圍為．故答案是：6；．【點睛】本題主要考查了絕對值的應用，準確計算是解題的關鍵．變式2.（2022?思明區(qū)校級期末）同學們都知道|5﹣（﹣2）|表示5與（﹣2）之差的絕對值，也可理解為5與﹣2兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離，試探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝．（2）找出所有符合條件的整數(shù)x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整數(shù)是．（3）由以上探索猜想，對于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，寫出最小值；如果沒有，說明理由．【分析】（1）直接去括號，再按照去絕對值的方法去絕對值就可以了．（2）要x的整數(shù)值可以進行分段計算，令x+5＝0或x﹣2＝0時，分為3段進行計算，最后確定x的值．（3）根據(jù)（2）方法去絕對值，分為3種情況去絕對值符號，計算三種不同情況的值，最后討論得出最小值．【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案為：7；（2）令x+5＝0或x﹣2＝0時，則x＝﹣5或x＝2當x＜﹣5時，∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范圍內(nèi)不成立）當﹣5＜x＜2時，∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1當x＞2時，∴（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范圍內(nèi)不成立）∴綜上所述，符合條件的整數(shù)x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；故答案為：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（3）由（2）的探索猜想，對于任何有理數(shù)x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值為3．【點評】本題主要考查了去絕對值和數(shù)軸相聯(lián)系的綜合試題以及去絕對值的方法和去絕對值在數(shù)軸上的運用，難度較大，去絕對值的關鍵是確定絕對值里面的數(shù)的正負性．模型2.的最小值和最大值模型【模型解讀】式子在時，取得最小值為；在時，取得最大值?！咀钪翟怼磕康氖窃跀?shù)軸上找一點x，使x到a和b的距離差的最大值和最小值：分類情況（的取值范圍）圖示取值情況當時的值為定值，即為—當時當?shù)闹禐槎ㄖ?，即為?.（2022·浙江·溫州七年級月考）代數(shù)式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)＝3，b＝0B．a(chǎn)＝0，b＝﹣3C．a(chǎn)＝3，b＝﹣3D．a(chǎn)＝3，b不存在【答案】C【分析】分三種情況：當x≥1時；當-2＜x＜1時；當x≤-2時；進行討論可求代數(shù)式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a與b的值．【詳解】解：當x≥1時，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；當﹣2＜x＜1時，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；當x≤﹣2時，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．∵代數(shù)式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值為a，最小值為b，∴a＝3，b＝﹣3．故選：C．【點睛】考查了絕對值，如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：①當a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；②當a是負有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)-a；③當a是零時，a的絕對值是零．注意分類思想的運用．例2．（2022秋·浙江·七年級專題練習）如圖1，點A，B，C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點，分別對應的數(shù)為﹣5，b，4．某同學將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點A，發(fā)現(xiàn)點B對齊刻度1.8cm，點C對齊刻度5.4cm．（1）求數(shù)軸上點B所對應的數(shù)b；（2）點P是圖1數(shù)軸上一點，P到A的距離是到B的距離的兩倍，求點P所表示的數(shù)；（3）若點Q在數(shù)軸上表示的數(shù)為x，則|x+5|+|x﹣4|的最小值為，|x+5|﹣|x﹣4|的最大值為．【答案】（1）；（2）或；（3），【分析】（1）根據(jù)的距離求得單位為多少cm，再根據(jù)長度求得的距離即可求解；（2）設點表示的數(shù)為，求得P到A的距離和P到B的距離，列方程求解即可；（3）對點Q在數(shù)軸上表示的數(shù)x，分情況討論求解即可．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得的距離為，的長度為，的長度為由此可知一個單位長度為則的距離為在的右邊，∴數(shù)軸上點B所對應的數(shù)為；（2）設點表示的數(shù)為，則P到A的距離為，P到B的距離為由題意可得：，即或解得或故答案為或（3）當時，，∴當時，，∴當時，，∴綜上所述的最小值為，的最大值為故答案為，【點睛】此題考查了數(shù)軸上的動點問題，涉及了數(shù)軸的定義，數(shù)軸上兩點之間的距離，解題的關鍵是熟練掌握數(shù)軸的基本性質(zhì)．變式1．（2022·上海七年級期中）代數(shù)式，當時，可化簡為______；若代數(shù)式的最大值為與最小值為，則的值______．【答案】

3

-9【分析】當時，可得x-1＜0，x+2＜0，利用絕對值的性質(zhì)即可化簡，分別化簡當時以及當x＞1時，根據(jù)當時，，求出a，b即可．【詳解】解：當時，x-1＜0，x+2＜0，∴，當時，，當x＞1時，∵當時，，∴代數(shù)式的最大值為3，最小值為-3，∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案為：3，-9．【點睛】本題主要考查了絕對值的化簡，解題的關鍵是對x進行分類討論，再化簡代數(shù)式．變式2．（2022秋·貴州遵義·七年級?？茧A段練習）已知在數(shù)軸上點，分別表示有理數(shù)，．(1)仔細閱讀表格并對照數(shù)軸填空：8540，兩點間的距離484(2)寫出數(shù)軸到表示6和的點的距離之和為12的所有點所表示的整數(shù)（除6和外）；(3)若點表示的數(shù)為（除6和外），則在什么范圍內(nèi)時，的值總是一個固定值，并求出這個固定值；(4)若點表示的數(shù)為，直接寫出的最大值；當點在什么位置時，的值最小？最小值多少？【答案】(1)填表見解析；(2)；(3)當，的值總是一個固定值，為；(4)的最大值為，當時，的值最小，最小值為3．【分析】（1）用較大的數(shù)減較小的數(shù)或作差加絕對值即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離為兩點所表示的數(shù)的差的絕對值即可得到答案；（3）讀懂表示到和的距離之和，該問需要進行分類討論；（4）根據(jù)可表示為到表示和1的點的距離之差最大，根據(jù)表示到和的距離之和最小，即可求解．【詳解】（1）解：填表如下：8540，兩點間的距離484153.5（2）解：到表示6和的點的距離之和為12的點所表示的整數(shù)在和之間的整數(shù)有；；（3）解：根據(jù)的幾何意義是，到的距離之和，如果值總是一個固定值，則，這個固定值為：；（4）解：當時，，當時，，當時，，故的最大值為；根據(jù)可表示為到表示1和的點的距離之和，根據(jù)兩點之間，線段最短，即當時得到的值最小為3．【點睛】本題考查了數(shù)軸：數(shù)軸和絕對值的綜合應用，數(shù)軸上兩點之間的距離為兩點所表示的數(shù)的差的絕對值．變式3．（2022·湖北武漢·七年級期中）我們知道，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離，一般地，點A，B在數(shù)軸上分別表示數(shù)a，b，那么A，B之間的距離可表示為|a-b|，請根據(jù)絕對值的幾何意義并結合數(shù)軸解答下列問題：（1）數(shù)軸上的數(shù)x與1所對應的點的距離為__，數(shù)x與-1所對應的點的距離為__；（2）求的最大值；（3）直接寫出的最大值為______．【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20【分析】（1）根據(jù)題意即可列式解答；（2）由x的取值范圍分三種情況：①當x≤-1時，②當-1≤x≤1時，③當x≥1時，分別化簡絕對值，再計算整式的值即可得到答案；（3）根據(jù)（2）得到規(guī)律，依次進行計算即可．【詳解】（1）由題意得到：數(shù)軸上的數(shù)x與1所對應的點的距離為，數(shù)x與-1所對應的點的距離為，故答案為：，；（2）表示x到1之間的距離，表示x到-1之間的距離，①當x≤-1時，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2；②當-1≤x≤1時，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；③當x≥1時，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，∴的最大值為2（3）由（2）知：的最大值為2，由此可得：的最大值為4，的最大值是6，的最大值是8，∴的最大值是2+4+6+8=20【點睛】此題考查有理數(shù)的計算，絕對值的性質(zhì)，數(shù)軸上兩點間的距離公式．模型3.的最小值模型【模型解讀及原理】①當兩個絕對值相加：若已知，的最小值為，且數(shù)的點在數(shù)，的點的中間；②當三個絕對值相加：若已知，的最小值為，且此時=；③當有（奇數(shù)）個絕對值相加：且，則取中間數(shù)，即時，取得最小值；④當有（偶數(shù)）個絕對值相加：，且，則取中間段，即當時，取得最小值為：。例1.（2022·天津初一月考）若是有理數(shù)，則的最小值是________．【答案】509040【分析】首先判斷出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求數(shù)軸上某點到2、4、6、…、2018的距離和的最小值；然后根據(jù)某點在a、b兩點之間時，該點到a、b的距離和最小，當點x在2與2018之間時，到2和2018距離和最??；當點在4與2016之間時，到4和2016距離和最??；…，所以當x=1010之間時，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，據(jù)此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|最小值是多少即可．【解析】根據(jù)絕對值得幾何意義分析，知當x=1010時，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．【點睛】此題主要考查了絕對值的幾何意義：|x|表示數(shù)軸上表示x的點到原點之間的距離，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：|x-a|表示數(shù)軸上表示x的點到表示a的點之間的距離．例2．（2022秋·廣西·七年級階段練習）同學們都知道，表示2與的差的絕對值，實際上位可理解為在數(shù)軸上正數(shù)2對應的點與負數(shù)對應的點之間的距離，試探索：(1)；如果，則．(2)求的最小值，并求此時的取值范圍；(3)由以上探索已知，則求的最大值與最小值；(4)由以上探索及猜想，計算的最小值．【答案】(1)3，3或(2)(3)最大值是，最小值是(4)1018081【分析】（1）根據(jù)絕對值的意義直接計算即可；（2）把理解為：在數(shù)軸上表示到和2的距離之和，根據(jù)兩點間的距離公式，點在線段上，可得最小值，從而得結論；（3）先確定、的取值范圍，再分類討論．（4）觀察已知條件可以發(fā)現(xiàn)，表示到的距離．要使題中式子取得最小值，則應該找出與最小數(shù)和最大數(shù)距離相等的的值，此時式子得出的值則為最小值．【詳解】（1）解：，，或或故答案為：3，3或；（2）解：理解為：在數(shù)軸上表示到4與2的距離之和，當在2與4之間的線段上（即時，的值有最小值，最小值為，此時的取值范圍為：．（3）解：因為，時，或，，時，或6．當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當，時，取最小值，此時當，時，取最大值，此時所以的最大值是，最小值是．（4）解：由已知條件可知，表示到的距離，只有當?shù)?的距離等于到2018的距離時，式子取得最小值．當時，式子取得最小值，此時，．【點睛】本題考查了絕對值，讀懂題目信息，理解絕對值的幾何意義是解題的關鍵．變式1．（2022·江蘇·七年級專題練習）結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示3和1的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示﹣3和2兩點之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離可以表示為|m﹣n|．那么，數(shù)軸上表示數(shù)x與5兩點之間的距離可以表示為，表示數(shù)y與﹣1兩點之間的距離可以表示為．（2）如果表示數(shù)a和﹣2的兩點之間的距離是3，那么a＝；（3）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣4與2之間，求|a+4|+|a﹣2|的值；（4）當a＝時，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【答案】（1）2，5，|x?5|，|y＋1|；（2）1或?5；（3）6（4）1，9【分析】（1）觀察數(shù)軸可得答案；（2）如果表示數(shù)a和?2的兩點之間的距離是3，那么那么|a?（?2）|＝3，化簡絕對值即可得答案；（3）|a＋4|＋|a?2|表示數(shù)a與?4的距離與a和2的距離之和，若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于?4與2之間，則|a＋4|＋|a?2|的值等于2和?4之間的距離；（4）|a＋5|＋|a?1|＋|a?4|表示一點到?5，1，4三點的距離的和，據(jù)此找到中間點可解．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示3和1的兩點之間的距離是3?1＝2；數(shù)軸上表示?3和2兩點之間的距離是2?（?3）＝5；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離可以表示為|m?n|．那么，數(shù)軸上表示數(shù)x與5兩點之間的距離可以表示為|x?5|，表示數(shù)y與?1兩點之間的距離可以表示為|y＋1|．故答案為：2，5，|x?5|，|y＋1|；（2）如果表示數(shù)a和?2的兩點之間的距離是3，那么|a?（?2）|＝3∴|a＋2|＝3∴a＋2＝3或a＋2＝?3解得a＝1或a＝?5；故答案為：1或?5；（3）∵|a＋4|＋|a?2|表示數(shù)a與?4的距離與a和2的距離之和，若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于?4與2之間，則|a＋4|＋|a?2|的值等于2和?4之間的距離，等于6．（4）|a＋5|＋|a?1|＋|a?4|表示一點到?5，1，4三點的距離的和，∴當a＝1時，該式的值最小，最小值為6＋0＋3＝9．∴當a＝1時，|a＋5|＋|a?1|＋|a?4|的值最小，最小值是9．故答案為：1，9．【點睛】本題考查了數(shù)軸在兩點間的距離及絕對值化簡中的應用，明確數(shù)軸上兩點間的距離及絕對值之間的關系，是解題的關鍵．變式2．（2022秋·浙江金華·七年級校聯(lián)考期中）【定義新知】我們知道：式子的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)3的點之間的距離，因此，若點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，則A、B兩點之間的距離．若點P表示的數(shù)為x，請根據(jù)數(shù)軸解決以下問題：(1)式子在數(shù)軸上的幾何意義是________________________，若，則x的值為_________；(2)當|取最小值時，x可以取整數(shù)_________；(3)當x=_________時，的值最小，最小值為_________；【解決問題】(4)如圖，一條筆直的公路邊有三個居民區(qū)A、B、C和市民廣場O，居民區(qū)A、B、C分別位于市民廣場左側5km，右側1km，右側3km．A小區(qū)有居民人，B居民區(qū)有居民人，C居民區(qū)有居民人．現(xiàn)因防疫需要，需要在該公路上建一個核酸檢測實驗室P，用于接收這3個小區(qū)的全員核酸樣本．若核酸樣本的運輸和包裝成本為每千米1元/千份，那么實驗室P建在何處才能使總運輸和包裝成本最低，最低成本是多少？【答案】(1)數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)的點之間的距離；或；(2)，，，0,1；(3)，7；(4)實驗室P建在點B處才能使總運輸和包裝成本最低，最低成本是元．【分析】（1）結合題意直接可以得出在數(shù)軸上的幾何意義，表示數(shù)軸上與有理數(shù)的點之間的距離等于6的點，結合數(shù)軸找到點即可；（2）表示數(shù)軸上x到與x到1的距離之和最小，x應該在與1之間的線段上，找到滿足條件的點即可；（3）表示數(shù)軸上x到、x到與x到1的距離之和最小，x應該在與1之間的線段上，當是，x到、x到與x到1的距離之和最小，（4）A、B、C在數(shù)軸上分別表示，1,3，P表示x，使總運輸和包裝成本最低即最小，分析在點B處才能使總運輸和包裝成本最低．【詳解】（1）解：由題意可知，式子在數(shù)軸上的幾何意義是：數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)的點之間的距離；表示數(shù)軸上與有理數(shù)的點之間的距離等于6的點，由數(shù)軸可知為：或，故答案為：數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)的點之間的距離；或，（2）表示數(shù)軸上x到與x到1的距離之和最小，所以x應該在與1之間的線段上，所以x可以取整數(shù)，，，0,1故答案為：，，，0,1（3）表示數(shù)軸上x到、x到與x到1的距離之和最小，所以x應該在與1之間的線段上，且當是，x到、x到與x到1的距離之和最小，最小值為到1的距離為7；故答案為：，7；（4）A、B、C在數(shù)軸上分別表示，1,3，P表示x，使總運輸和包裝成本最低即最小，x在1時，最?。粁在1與3之間的線段上最小所以x在1時最小，最小值為所以實驗室P建在點B處才能使總運輸和包裝成本最低，最低成本是元．【點睛】本題考查了絕對值的幾何意義、距離之和的最小值以及實際應用；熟練掌握絕對值的幾何意義、數(shù)形結合是解題的關鍵．變式3．（2022秋·浙江·七年級校聯(lián)考階段練習）我們知道，|a|可以理解為|a﹣0|，它表示：數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離，這是絕對值的幾何意義．進一步地，數(shù)軸上的兩個點A，B，分別用數(shù)a，b表示，那么A，B兩點之間的距離為AB＝|a﹣b|，反過來，式子|a﹣b|的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a的點和表示數(shù)b的點之間的距離．利用此結論，回答以下問題：（一）數(shù)軸上表示數(shù)的點和表示數(shù)3的點之間的距離是．（二）數(shù)軸上點A用數(shù)a表示，（1）若|a﹣3|＝5，那么a的值是．（2）當|a+2|+|a﹣3|＝5時，這樣的整數(shù)a有個．（3）|a﹣3|+|a+2022|最小值是．（4）3|a﹣3|+|a+2022|+|a+3|最小值是．（5）|3a+3|+|a+4|+|4a-8|最小值是．【答案】（一）11；（二）（1）8或；（2）6；（3）2025；（4）2031；（5）15．【分析】（一）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離公式求解可得；（二）（1）利用絕對值的意義知，然后分別求解可得；（2）的幾何意義是表示數(shù)軸上到表示和表示3的點的距離之和是5的點的坐標，據(jù)此可得；（3）表示數(shù)軸上到表示3與表示的點距離之和，求其最小值即可；（4）表示數(shù)軸上到表示，，3，3，3的點的距離的和，根據(jù)兩點間線段最短和絕對值的幾何意義可知，當a取最中間（或兩個）數(shù)時即當時值最小，然后去掉絕對值符號計算求解；（5）表示數(shù)軸上到表示，，，，2，2，2，2的點的距離的和，當或時值最小，然后去絕對值求解即可．【詳解】（一）解：數(shù)軸上表示數(shù)-8的點和表示數(shù)3的點之間的距離是=11；故答案為：11．（二）（1）解：，，或，故答案為8或．（2）解：的意義是表示數(shù)軸上到表示和表示3的點的距離之和是5的點的坐標，，是整數(shù)，共6個；故答案為：6．（3）解：表示數(shù)軸上到表示3與表示的點距離之和，當時，有最小值，最小值為：=2025；故答案為：2025．（4）解：表示數(shù)軸上到表示，，3，3，3的點的距離的和，當時，取最小值，即最小值==2025+6=2031，故答案為：2031．（5）解：表示數(shù)軸上到表示，，，，2，2，2，2的點的距離的和，當時有最小值，即最小值==15，故答案為：15．【點睛】此題考查絕對值的性質(zhì)，熟練掌握絕對值的意義和性質(zhì)，逐步探索變化規(guī)律是解題的關鍵．模型4.絕對值的最值的其他應用例1．（2023·重慶沙坪壩·?？家荒＃┰诙囗検街?，除首尾項a、外，其余各項都可閃退，閃退項的前面部分和其后面部分都加上絕對值，并用減號連接，則稱此為“閃減操作”．每種“閃減操作”可以閃退的項數(shù)分別為一項，兩項，三項．“閃減操作”只針對多項式進行．例如：“閃減操作”為，與同時“閃減操作”為，…，下列說法：①存在對兩種不同的“閃減操作”后的式子作差，結果不含與e相關的項；②若每種操作只閃退一項，則對三種不同“閃減操作”的結果進行去絕對值，共有8種不同的結果；③若可以閃退的三項，，滿足：，則的最小值為．其中正確的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①根據(jù)“閃減操作”的定義，舉出符合條件的式子進行驗證即可；②先根據(jù)“閃減操作”的定義進行運算，再分類討論去絕對值，即可判斷；③根據(jù)“閃減操作”的定義和絕對值的幾何意義，求出，，的最小值，即可得出結論．【詳解】①“閃減操作”后的式子為，“閃減操作”后的式子為，對這兩個式子作差，得：，結果不含與e相關的項，故①正確；②若每種操作只閃退一項，共有三種不同“閃減操作”：“閃減操作”結果為，當時，，當時，，當時，，當時，，“閃減操作”結果為，當時，，當時，，當時，，當時，，“閃減操作”結果為，當時，，當時，，當時，，當時，，共有12種不同的結果，故②錯誤；③∵，在數(shù)軸上表示點與和的距離之和，∴當距離取最小值時，的最小值為，同理：，在數(shù)軸上表示點與和的距離之和，∴當距離取最小值時，的最小值為，，在數(shù)軸上表示點與和的距離之和，∴當距離取最小值時，的最小值為，∴當，，都取最小值時，，此時，的最小值為，故③正確；故選C．【點睛】本題主要考查了新定義運算，絕對值的幾何意義，熟練掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關鍵．變式1．（2022秋·湖南郴州·七年級校聯(lián)考期末）對于有理數(shù)，，，，若，則稱和關于的“美好關聯(lián)數(shù)”為，例如，則，則2和3關于1的“美好關聯(lián)數(shù)”為3．(1)和5關于2的“美好關聯(lián)數(shù)”為______；(2)若和2關于3的“美好關聯(lián)數(shù)”為4，求的值；(3)若和關于1的“美好關聯(lián)數(shù)”為1，和關于2的“美好關聯(lián)數(shù)”為1，和關于3的“美好關聯(lián)數(shù)”為1，…，和的“美好關聯(lián)數(shù)”為1，…．①的最小值為______；②的值為______．【答案】(1)8(2)或；(3)①1；②840【分析】（1）認真讀懂題意，利用新定義計算即可；（2）利用新定義計算求未知數(shù)x；（3）①讀懂題意尋找規(guī)律，利用規(guī)律計算；②由①得到的規(guī)律寫出含有絕對值的等式，一一分析到2、4、6、8、．．．40的距離和為1的時候兩點表示的數(shù)的和的最小值，最后得出最小值．【詳解】（1）解：，故答案為：8；（2）解：∵x和2關于3的“美好關聯(lián)數(shù)”為4，∴，∴，解得或；（3）解：①∵和關于1的“美好關聯(lián)數(shù)”為1，∴，∴在數(shù)軸上可以看作數(shù)到1的距離與數(shù)到1的距離和為1，∴只有當時，有最小值1，故答案為：1；②由題意可知：，的最小值；，的最小值；，的最小值；，的最小值；，的最小值；∴的最小值：．故答案為：840．【點睛】本題考查了絕對值的應用，解題的關鍵是掌握絕對值的意義，數(shù)軸上點與點的距離．變式2．（2022·重慶渝北·七年級?？计谥校╅喿x下列材料：一般地，我們把按一定順序排列的三個數(shù)x1，x2，x3，叫做數(shù)列x1，x2，x3，計算：|x1|，，，我們把計算結果的最小值稱為數(shù)列x1，x2，x3的價值．例如，對于數(shù)列2，﹣1，3，因為|2|＝2，＝，＝．所以數(shù)列2，﹣1，3的價值為，改變這三個數(shù)的順序按照上述方法可計算出其它數(shù)列的價值．比如，數(shù)列﹣1，2，3的價值為；數(shù)列3，﹣1，2的價值為1，通過計算，發(fā)現(xiàn)：對于“2，﹣1，3”這三個數(shù)，按照不同的排列順序可得到不同的數(shù)列，這些數(shù)列的價值的最小值為．根據(jù)以上材料，解答下列問題：(1)求數(shù)列﹣2，7，1的價值；(2)由“﹣2，7，1”這三個數(shù)按照不同的順序排列共有多少種不同的數(shù)列，寫出這些數(shù)列，并求出它們的價值的最小值和最大值；(3)將2，﹣7，a（a＞1）這三個數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個數(shù)列．若這些數(shù)列的價值的最小值為1，請直接寫出a的值．【答案】(1)2(2)最小值是，最大值是2(3)2或9【分析】（1）根據(jù)新定義，即可求解；（2）根據(jù)題意可得由“﹣2，7，1”這三個數(shù)按照不同的順序排列的數(shù)列有6種，然后分別求出每個數(shù)列的價值，即可求解；（3）根據(jù)題意可得或或，且a＞1，可得a＝5或9或2或8，然后根據(jù)這些數(shù)列的價值的最小值為1，即可求解．【詳解】（1）解：∵|﹣2|＝2，，＝2，∴數(shù)列﹣2，7，1的價值為2；（2）解：由“﹣2，7，1”這三個數(shù)按照不同的順序排列的數(shù)列有6種，具體如下：數(shù)列﹣2，7，1；數(shù)列﹣2，1，7；數(shù)列7，﹣2，1；數(shù)列7，1，﹣2；數(shù)列1，7，﹣2；數(shù)列1，﹣2，7；由（1）知數(shù)列﹣2，7，1的價值是2；∵|﹣2|＝2，，，∴數(shù)列﹣2，1，7的價值是；同理可求：數(shù)列7，﹣2，1的價值是2；數(shù)列7，1，﹣2的價值是2；數(shù)列1，7，﹣2的價值是1；數(shù)列1，﹣2，7的價值是；綜上可知，這些數(shù)列的價值的最小值是，最大值是2；（3）解：若這些數(shù)列的價值的最小值為1，則或或，且a＞1，解得：a＝5或9或2或8，當a＝5時，，∴a＝5不符合，舍去；當a＝8時，則，∴a＝8，不符合，舍去；綜上，a的值為2或9．【點睛】本題主要考查了絕對值的應用，理解新定義，利用分類討論思想解答是解題的關鍵．變式3．（2022秋·成都市七年級專題練習）數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離叫做數(shù)的絕對值，記作．數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)的點距離記作，如表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)5的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)的點與表示數(shù)3的點的距離．根據(jù)以上材料回答一列問題：(1)若，則______．若，則_____．(2)若，則能取到的最小值是______，最大值是______．(3)當，求的最大值和最小值．【答案】(1)0；或0；(2)；；(3)最大值是15；最小值是；【分析】（1）根據(jù)絕對值表示的意義和中點計算方法得出答案；（2）根據(jù)數(shù)軸的定義和絕對值的意義進行計算，即可得到答案；（3）由絕對值意義和數(shù)軸的定義，先求出，，，然后分解求出最大值和最小值即可【詳解】（1）解：∵表示數(shù)軸上表示x的點到表示1和1的距離相等，∴到1和1距離相等的點表示的數(shù)為：；∵，表示數(shù)軸上表示x的點到表示和1的距離的和等于5，∴或；故答案為：0；或0；（2）解：∵，表示數(shù)軸上表示x的點到表示和1的距離的和等于4，又∵，∴能取到的數(shù)在和1之間，即，∴能取到的最小值是，最大值是；故答案為：；；（3）解：根據(jù)題意，∵，，，∴，∵，∴，，，∴，，，∴當，，時，有最大值，∴最大值為：；∴當，，時，有最小值，∴最小值為：；【點睛】本題考查了絕對值意義、最值、數(shù)軸、兩點間的距離及相反數(shù)的知識，綜合的知識點較多，難度一般，注意理解絕對值的幾何意義是關鍵．課后專項訓練1．（2022·江蘇揚州·七年級校聯(lián)考期中）設，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】表示在數(shù)軸上，數(shù)到，，的距離之和，則可知當時，取得最小值為，則問題隨之得解.【詳解】∵表示在數(shù)軸上，數(shù)到，，的距離之和，且設該值為a，結合數(shù)軸可知：當數(shù)x在1的左側，此時a的值必然大于2；當數(shù)x在3的右側，此時a的值也必然大于2；當數(shù)x在1和3之間時，此時數(shù)x到1和3距離之和為定值2，此時若數(shù)x與數(shù)2重合，即數(shù)x到數(shù)2距離為0，則a的值取最小，為2；即當時，取得最小值，為，∴，∴，∴，即，∴的最大值為．故選：．【點睛】本題主要考查了絕對值的意義，理解表示在數(shù)軸上數(shù)到，，的距離之和，是解答本題的關鍵．2．（2022秋·浙江杭州·七年級校考階段練習）學習了數(shù)軸與絕對值知識后，我們知道：數(shù)軸上表示數(shù)m與數(shù)n的兩點之間的距離為，則：①表示的實際意義是_____．②的最小值是_____．③的最小值是_____．【答案】表示數(shù)x與數(shù)1的兩點之間的距離24【分析】①根據(jù)數(shù)軸上兩點的距離公式求解即可；②根據(jù)絕對值的幾何意義對原式進行化簡，可得當時有最小值；③根據(jù)絕對值的幾何意義對原式進行化簡，可得當時有最小值．【詳解】解：①表示的實際意義是表示數(shù)x與數(shù)1的兩點之間的距離；故答案為：表示數(shù)x與數(shù)1的兩點之間的距離；②分類討論：1）當時，，∴當時，有最小值3；2）當時，，∴當x=2時，有最小值2；3）當時，，此時最小值大于2；4）當時，，此時最小值大于3；綜上可知，當時，且最小值為2；故答案為：2；③根據(jù)的幾何意義，可表示x到數(shù)軸上1，2，3和4的距離之和．于是可分以下五個情況討論：1）當時，；2）當時；3）當時，；4）當時，；5）當時，；綜上所述，當時，有最小值4，故答案為：4．【點睛】本題考查在數(shù)軸上表示數(shù)，數(shù)軸上兩點之間的距離，絕對值的化簡．掌握數(shù)軸上兩點之間的距離的求法和絕對值的幾何意義是解題的關鍵．3．（2022秋·重慶沙坪壩·七年級重慶南開中學?？计谥校┮阎獮槿我庥欣頂?shù)，則的最小值為______．【答案】【分析】表示到距離加上倍到的距離再加上倍到的距離，由此可得在，，，的范圍內(nèi)分別求代數(shù)式的值，比較即可求解．【詳解】解：當時，；當時，；當時，；當時，；故答案為：【點睛】本題考查了數(shù)軸和絕對值的性質(zhì)，理解數(shù)軸上兩點間的距離是解題的關鍵．4．（2023春·安徽合肥·七年級統(tǒng)考期末）若不等式對一切數(shù)x都成立，則a的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)絕對值的幾何意義，表示數(shù)軸上兩點間的距離，即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，表示點x到，，，四點間距離的和，∴當x在和之間是距離和最小，最小值為，∴,故答案為．【點睛】本題考查絕對值的幾何意義：表示數(shù)軸上兩點間的距離，利用數(shù)形結合的思想是解題關鍵．5．（2023·江蘇·七年級專題練習）設﹣1≤x≤3，則|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值與最小值之和為__．【答案】8.5．【分析】先根據(jù)-1≤x≤3，確定x-3與x+2的符號，再對x的符號進行討論即可．【詳解】∵﹣1≤x≤3，當﹣1≤x≤0時，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值為5，最小值為4.5；當0≤x≤3時，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值為5，最小值為3.5，∴最大值與最小值之和為8.5；故答案為：8.5．【點睛】本題考查絕對值的化簡，掌握求絕對值的法則以及分類討論的思想方法，是解題的關鍵．6．（2022秋·江蘇蘇州·七年級校考階段練習）閱讀下列內(nèi)容：數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作．數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點的距離記作，如表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)5的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點與表示數(shù)的點的距離，表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)3的點的距離．根據(jù)以上材料回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示5與兩點之間的距離是_______．(2)數(shù)軸上表示x與的兩點之間的距離可以表示為_______．(3)同理表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應的點到和1所對應的點的距離之和，請你找出所有符合條件的整數(shù)x，使得，這樣的整數(shù)是_______．(4)由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x，的最小值是_______．(5)當a＝_______時，的值最小，最小值是_______．【答案】(1)7(2)(3)，，，，0，1(4)4(5)3，10【分析】（1）根據(jù)兩點間距離的求法直接求解即可；（2）根據(jù)兩點間距離的求法直接寫出即可；（3）由題意可知，再由x是整數(shù)，求出符合條件的a的值即可；（4）根據(jù)絕對值的幾何意義可知當時，的最小值是4；（5）根據(jù)絕對值的幾何意義可知當a=3時，的值最小是10．【詳解】（1）解：表示5與兩點之間的距離是，故答案為：7；（2）解：表示x與的兩點之間的距離是，故答案為：；（3）解：∵，當時，，當時，，當時，，∴，∵x是整數(shù)，∴x的值是，，，，0，1，故答案為：，，，，0，1；（4）解：表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應的點到2和6所對應的點的距離之和，當時，，當時，，當時，，∴當時，的最小值是4，故答案為：4；（5）表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應的點到、3、4所對應的點的距離之和，當時，；當時，，∴；當時，，當時，，∴；當時，；∴當a=3時，的值最小是10，故答案為：3，10．【點睛】本題考查數(shù)軸與實數(shù)，熟練掌握數(shù)軸上點的特征，兩點間距離的求法，絕對值的意義是解題關鍵．7．（2022秋·遼寧大連·七年級統(tǒng)考階段練習）綜合與實踐：問題情境：數(shù)學活動課上，王老師出示了一個問題：點在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)兩點之間的距離表示為，在數(shù)軸上兩點之間的距離．利用數(shù)形結合思想回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示1和7兩點之間的距離是__________；數(shù)軸上表示3和的兩點之間的距離是__________；獨立思考：（2）數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離表示為__________；（3）試用數(shù)軸探究：當時m的值為__________．實踐探究：利用絕對值的幾何意義，結合數(shù)軸，探究：（4）利用數(shù)軸求出的最小值，并寫出此時x可取哪些整數(shù)值？（5）當?shù)闹底钚r，m的值為__________（直接寫出答案即可）．【答案】（1）；（2）；（3）5或；（4）；（5）9【分析】（1）用大數(shù)減小數(shù)便可求得兩點的距離；（2）根據(jù)定義用代數(shù)式表示；（3）分兩種情況：點在2的左邊；點在2的右邊；分別列式計算便可；（4）確定與1的距離加上與4的距離之和最小時，的取舍范圍，再在該范圍內(nèi)求整數(shù)；（5）表示數(shù)軸上某點到表示、9、16三點的距離之和，依此即可求解．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示1和7兩點之間的距離是：；數(shù)軸上表示3和的兩點之間的距離是，故答案為：6；5；（2）數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離表示為，故答案為：；（3）表示數(shù)的點與表示數(shù)2的點距離為3，當表示數(shù)的點在2的左邊時，，當表示數(shù)的點在2的右邊時，，所以或5，故答案為：或5；（4）表示數(shù)軸上和1兩點之間的距離，表示數(shù)軸上和4兩點之間的距離，當且僅當時，兩距離之和最小，可取的整數(shù)有：1，2，3，4．（5）表示數(shù)軸上和兩點之間的距離，表示數(shù)軸上和9兩點之間的距離，表示數(shù)軸上和16兩點之間的距離，當且僅當時，距離之和最小，當?shù)闹底钚r，的值為9．故答案為：9．【點睛】本題考查了數(shù)軸，絕對值的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點間的距離的表示是解題的關鍵．8．（2022秋·陜西西安·七年級?？茧A段練習）閱讀絕對值拓展材料：表示數(shù)a在數(shù)軸上的對應點與原點的距離，如：表示5和0在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離，類似的有：表示5和在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離．一般地，有理數(shù)a、b在數(shù)軸上對應的點為A、B，那么A、B之間的距離可表示為．回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是．數(shù)軸上表示x和的兩點A和B之間的距離可表示為．(2)可以理解為數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離，可以理解為數(shù)軸上表示x的點到表示和這兩點的距離之和．(3)借助數(shù)軸，的最小值是，達到最小值時，x可取哪些整數(shù)，請直接寫出所有答案．(4)的最小值是，達到最小值時，x可取哪些整數(shù)，請直接寫出所有答案．【答案】(1)4；(2)2；2，8(3)6；2，3，4，5，6，7，8(4)6；5【分析】（1）根據(jù)題意，可以解答本題；（2）根據(jù)題意，可以解答本題；（3）確定x與2的距離加上x與8的距離之和最小時，x的取舍范圍，再在該范圍內(nèi)求整數(shù)；（4）表示數(shù)軸上某點到表示2、5、8三點的距離之和，依此即可求解．【詳解】（1）解：數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示x和的兩點A和B之間的距離可表示為．故答案為：4；；（2）解：可以理解為數(shù)軸上表示x和2的兩點之間的距離；可以理解為數(shù)軸上表示x的點到表示2和8這兩點的距離之和．故答案為：2；2，8；（3）解：∵表示數(shù)軸上x和2兩點之間的距離，表示數(shù)軸上x和8兩點之間的距離，當且僅當時，兩距離之和最小，最小值是：，∴x可取的整數(shù)有：2，3，4，5，6，7，8．故答案為：6；2，3，4，5，6，7，8；（4）解：∵表示數(shù)軸上x和2兩點之間的距離，表示數(shù)軸上x和8兩點之間的距離，表示數(shù)軸上x和5兩點之間的距離，∴當且僅當時，距離之和最小，最小值為∴當?shù)闹底钚r，x的值為5．故答案為：6；5．【點睛】本題考查了數(shù)軸，絕對值的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點間距離的表示是解題的關鍵．9．（2022秋·全國·七年級期末）如圖，在數(shù)軸上A點表示數(shù)a，B點表示數(shù)b，C點表示數(shù)c，且a，c滿足以下關系式：，．(1)a=______；c=______；(2)若將數(shù)軸折疊，使得A點與B點重合，則點C與數(shù)______表示的點重合；(3)若點P為數(shù)軸上一動點，其對應的數(shù)為x，當代數(shù)式取得最小值時，此時x=______，最小值為______．【答案】(1)，9(2)(3)1，12【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）先求出AB的中點表示的數(shù)，由此即可得到答案；（3）分圖3-1，圖3-2，圖3-3，圖3-4四種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，故答案為：-3；9；（2）解：∵點A表示的數(shù)為-3，點B表示的數(shù)為1，∴AB中點表示的數(shù)為-1，∴點C到AB中點的距離為10，∴點C與數(shù)-1-10=-11表示的點重合，故答案為：-11；（3）解：由題意得，∴代數(shù)式的值即為點P到A、B、C三點的距離和，如圖3-1所示，當點P在A點左側時如圖3-2所示，當點P在線段AB上時，如圖3-3所示，當點P在線段BC上時，如圖3-4所示，當點P在C點右側時，∴綜上所述，當P與B點重合時，．【點睛】本題考查了非負性的性質(zhì)，絕對值的幾何意義，數(shù)軸上兩點的距離，用數(shù)軸表示有理數(shù)等等，熟知相關知識是解題的關鍵．10．（2022秋·全國·七年級專題練習）（1）閱讀下面材料：點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a，b，A、B兩點之間的距離表示為|AB|，當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖甲，|AB|﹣|OB|＝|b|＝|a﹣b|；當A、B兩點都不在原點時，①如圖乙，點A、B都在原點的右邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如圖丙，點A、B都在原點的左邊，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如圖丁，點A、B在原點的兩邊，|AB|＝|OA|+|OB|＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離|AB|＝|a﹣b|．（2）回答下列問題：①數(shù)軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點分別是點A和B，則A，B之間的距離是，如果|AB|＝2，那么x＝．②當|x+1|+|x﹣2|取最小值時，令T＝|x2﹣3|﹣2，則T的最大值＝；當|x+1|﹣|x﹣2|取最大值時，x的取值范圍為；當|x+1|+|x﹣2|＝5時，x的值為．③求代數(shù)式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|的最小值．【答案】①7，|x+1|，﹣3或1；②1，x2，﹣2或3；③90【分析】①根據(jù)兩點間的距離公式可求數(shù)軸上表示2和-5的兩點之間的距離，同理也求數(shù)軸上表示x和-1的兩點之間的距離，再根據(jù)兩點間的距離公式列出方程可求x；②求|x+1|+|x﹣2|的取最小值時，意思是x到-1的距離與到2的距離之和最小，那么x應在-1和2之間的線段上，x取0，因此T最大為1，當|x+1|+|x﹣2|取最大值以及|x+1|+|x﹣2|＝5時，可分x<-1，-1≤x≤2，x>2三類情況列式進行討論；③根據(jù)材料當x到1的距離等于x到19的距離時，代數(shù)式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，代入計算即可得出結果．【詳解】解：①數(shù)軸上表示2和﹣5的兩點之間的距離是|2﹣（﹣5）|＝7，數(shù)軸上表示x和﹣1的兩點分別是點A和B，則A，B之間的距離是|x+1|，如果|AB|＝2，那么x+1＝±2，x＝﹣3或1．②當|x+1|+|x﹣2|取最小值時，x的取值范圍是﹣1≤x≤2，T＝|x2﹣3|﹣2，當T要取最大值時，|x2﹣3|取最大值，，，|x2﹣3|最大值為3，因此T的最大值是1．當|x+1|﹣|x﹣2|取最大值時，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三類情況進行討論，當x＜﹣1時，原式＝﹣x﹣1+x﹣2＝﹣3．當﹣1≤x≤2時，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．當x＞2時，原式＝x+1﹣x+2＝3．∴當|x+1|﹣|x﹣2|取最大值時，x的取值范圍為x2．當|x+1|+|x﹣2|＝5時，可分x＜﹣1，﹣1≤x≤2，x＞2三類情況進行討論，當x＜﹣1時，方程可化為﹣x﹣1﹣x+2＝5，解得x＝﹣2．當﹣1≤x≤2時，方程可化為x+1+2﹣x＝3．當x＞2時，方程可化為x+1+x﹣2＝5，解得x＝3．綜上x的值為﹣2或3．③根據(jù)材料當x到1的距離等于x到19的距離時，可知x＝10時，代數(shù)式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣19|取最小值，最小值為9+8+7+．．．+1+0+1+2+3+．．．+9，＝（1+2+3+．．．+9）×2，＝×2，＝90．故答案為：①7，|x+1|，﹣3或1；②1，x2，﹣2或3；③90．【點睛】本題考查了數(shù)軸、絕對值等，比較綜合，涉及的核心知識點為：數(shù)軸上兩點間的距離＝兩個數(shù)之差的絕對值．11．（2022秋·浙江·七年級期末）閱讀絕對值拓展材料：表示數(shù)a在數(shù)軸上的對應點與原點的距離如：表示5在數(shù)軸上的對應點到原點的距離而，即表示5、0在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離，類似的，有：表示5、在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離．一般地，點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么A、B之間的距離可表示為．回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點之間的距離是；（2）數(shù)軸上表示x和的兩點A和B之間的距離是，如果A、B兩點之間的距離為2，那么．（3）可以理解為數(shù)軸上表示x和的兩點之間的距離．（4）可以理解為數(shù)軸上表示x的點到表示和這兩點的距離之和．可以理解為數(shù)軸上表示x的點到表示和這兩點的距離之和．（5）最小值是，的最小值是．【答案】（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3【分析】（1）根據(jù)兩點之間的距離公式計算即可；（2）根據(jù)兩點之間的距離公式計算即可；（3）根據(jù)絕對值的意義可得；（4）根據(jù)絕對值的意義可得；（5）分別得出和的意義，再根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)可得．【詳解】解：（1）數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是3，數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是4；（2）數(shù)軸上表示x和-1的兩點A和B之間的距離是|x+1|，如果|AB|=2，即|x+1|=2，∴x=1或-3；（3）|x+2|可以理解為數(shù)軸上表示x和-2的兩點之間的距離；（4）|x-2|+|x-3|可以理解為數(shù)軸上表示x的點到表示2和3這兩點的距離之和，|x+2|+|x-1|可以理解為數(shù)軸上表示x的點到表示-2和1這兩點的距離之和；（5）由（4）可知：當x在2和3之間時，|x-2|+|x-3|最小值是1，當x在-2和1之間時，|x+2|+|x-1|的最小值是3．【點睛】本題考查的是絕對值的問題，涉及到數(shù)軸應用問題，只要理解絕對值含義和數(shù)軸上表示數(shù)值的關系（如：|x+2|表示x與-2的距離），即可求解．12．（2023·江蘇·七年級假期作業(yè)）【定義新知】我們知道：式子的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)3的點之間的距離，因此，若點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，則A、B兩點之間的距離．請根據(jù)數(shù)軸解決以下問題：(1)式子在數(shù)軸上的意義是；(2)當取最小值時，x可以取整數(shù)；(3)最大值為；(4)的最小值為；【解決問題】(5)如圖，一條筆直的公路邊有四個居民區(qū)A、B、C、D和市民廣場O，居民區(qū)A、B、C、D分別位于市民廣場左側，左側，右側，右側．現(xiàn)需要在該公路邊上建一個便民服務點P，那么這個便民服務點P建在何處，能使服務點P到四個居民區(qū)A、B、C、D總路程最短？最短路程是多少？試說明理由．【答案】(1)數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)－2的點之間的距離(2)-1，0，1，2，3(3)4(4)7(5)便民服務點P建在點B或點C處，能使服務點P到四個居民區(qū)A、B、C、D總路程最短，最短距離是【分析】（1）根據(jù)題意即可得出結論；（2）的最小值表示有理數(shù)x的點到的點的距離與表示x的點到3的點的距離之和，x應該在和3之間的線段上，即可求出結果；（3）根據(jù)的幾何意義是表示x的點到的距離減去x到3的距離，可得時取得最大值，即可求出結果；（4）的幾何意義是表示x的點到的點和到的點和到1的點的距離之和，由題意即可求出結果；（5）設便民服務點P在數(shù)軸上表示x的點處，由題意可得點P到各點的距離之和即，求出最小值即可．【詳解】（1）解：由題意可知，式子在數(shù)軸上的意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)的點之間的距離；故答案為：數(shù)軸上表示有理數(shù)x的點與表示有理數(shù)的點之間的距離．（2）解：根據(jù)題意可得，的幾何意義是數(shù)軸上表示有理數(shù)x到的距離與x到3的距離之和，∴當時，取最小值，即當x可以取整數(shù)，0，1，2，3；故答案為：，0，1，2，3．（3）解：的幾何意義是表示x的點到的點的距離減去