專(zhuān)題01 圓中的重要模型之圓中的全等三角形模型（原卷版）

專(zhuān)題01圓中的重要模型之圓中的全等三角形模型知識(shí)儲(chǔ)備：垂徑定理及推理、圓周角、圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系等。圓中常見(jiàn)全等模型：切線長(zhǎng)模型、燕尾模型、蝴蝶模型、手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型、對(duì)角互補(bǔ)模型、半角模型。模型1、切線長(zhǎng)模型1）切線長(zhǎng)模型（標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)）條件：P為外一點(diǎn)，PA，PB是的切線，切點(diǎn)分別為A，B。結(jié)論：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；2）切線長(zhǎng)模型（拓展類(lèi)）條件：AD，CD，BC是的切線，切點(diǎn)分別為A，E，B。結(jié)論：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；例1．（2022春·成都市九年級(jí)期中）如圖，，分別切于點(diǎn)A，B，切于點(diǎn)E，交，于點(diǎn)C，D．若的周長(zhǎng)為半徑的3倍，則的值為(

)

A． B． C． D．例2．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考二模）如圖，AB為半圓O的直徑，AD、BC分別切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，連接OD、OC，下列結(jié)論：①∠DOC＝90°，②AD+BC＝CD，③S△AOD：S△BOC＝AD2：AO2，④OD：OC＝DE：EC，⑤OD2＝DE?CD，正確的有（）A． B． C． D．例3．（2022·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知：如圖，BE是⊙O的直徑，BC切⊙O于H，弦ED∥OC，連接CD，并延長(zhǎng)交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)A.，(1)證明：CD是⊙O的切線；(2)求證：DE·OC＝BE2．模型2.燕尾模型條件：OA，OB是的半徑，OC=OD。結(jié)論：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；例1．（2023·重慶九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，以O(shè)為圓心的兩個(gè)圓中，大圓的半徑分別交小圓于點(diǎn)C，D，連結(jié)，下列選項(xiàng)中不一定正確的是（

）A． B． C． D．例2．（2022·河南焦作·統(tǒng)考一模）歐幾里得，古希臘數(shù)學(xué)家，被稱(chēng)為“幾何之父”，他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書(shū)．他在第Ⅲ卷中提出這樣一個(gè)命題：“由已知點(diǎn)作直線切于已知圓”．如圖，設(shè)A是已知點(diǎn)，小圓O為已知圓．具體作法是：以O(shè)為圓心，為半徑作大圓O，連接交小圓O于點(diǎn)B，過(guò)B作，交大圓O于點(diǎn)C，連接，交小圓O于點(diǎn)D，連接，則是小圓O的切線．為了說(shuō)明這一方法的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出“證明”的過(guò)程．已知：如圖，點(diǎn)A，C和點(diǎn)B，D分別在以O(shè)為圓心的同心圓上，_________．求證：___________．證明：例3．（2022秋·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E，連接CO并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，且CF⊥AD，連結(jié)AC．(1)△ACD為等邊三角形；(2)請(qǐng)證明：E是OB的中點(diǎn)；(3)若AB＝8，求CD的長(zhǎng)．例4．（2023春·四川南充·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中、三條劣弧、、的長(zhǎng)都相等，弦與相交于點(diǎn)，弦與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，且，則的度數(shù)為．

模型3.蝴蝶模型條件：OA，OE是的半徑，AD⊥OE，EB⊥OA。結(jié)論：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；例1．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)校聯(lián)考期末）在以為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點(diǎn)．(1)如圖①，若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)如圖②，大圓的另一條弦交小圓于，兩點(diǎn)，若，求證．例2．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考一模）概念引入在一個(gè)圓中，圓心到該圓的任意一條弦的距離，叫做這條弦的弦心距．概念理解(1)如圖1，在中，半徑是5，弦，則這條弦的弦心距長(zhǎng)為．(2)通過(guò)大量的做題探究；小明發(fā)現(xiàn)：在同一個(gè)圓中，如果兩條弦相等，那么這兩條弦的弦心距也相等．但是小明想證明時(shí)卻遇到了麻煩．請(qǐng)結(jié)合圖2幫助小明完成證明過(guò)程如圖2，在中，，，，求證：．概念應(yīng)用如圖3，在中，的直徑為20，且弦垂直于弦于，請(qǐng)應(yīng)用上面得出的結(jié)論求的長(zhǎng)．例3．（2022·河南平頂山·統(tǒng)考二模）閱讀下面的材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：在1815年某雜志上刊登了這樣一個(gè)命題：如圖，圓O中的弦AB的中點(diǎn)為G，過(guò)點(diǎn)G任作兩弦CD，EF，弦FC，ED分別交AB于P，Q，則PG=QG．由于其幾何圖形形象奇特、貌似蝴蝶，故稱(chēng)“蝴蝶定理”、是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一．任務(wù)：(1)如圖1，AB為⊙O的任一弦．①若G為弦AB的中點(diǎn)，連接OG，則OG與AB的位置關(guān)系為_(kāi)_____；②若OG⊥AB，判斷AG與BG之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)下面是“蝴蝶定理”的證明過(guò)程（部分），請(qǐng)補(bǔ)充完整．證明：過(guò)O作OM⊥FC于點(diǎn)M，ON⊥DE于點(diǎn)N，連接OP，OQ，MG，NG，OG，由任務(wù)（1）可知：CF=2MC，ED=2NE，OG⊥AB且∠OMC=∠OGP=90°，∠ONQ=∠OGQ=90°，∵∠F=∠D，∠C=∠E，∴△FGC∽△DGE，即，又，取PO的中點(diǎn)O′，在四邊形MOGP中，∵∠OMC=∠OGP=90°，∴MO′=OO′=PO′，GO′=OO′=PO′，即：MO′=OO′=GO′=PO′，∴M，O，G，P四點(diǎn)在以O(shè)′為圓心的一個(gè)圓上，∴∠1=∠2（同弧所對(duì)的圓周角相等），同理：∠3=∠4，_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________模型4.手拉手（旋轉(zhuǎn)）模型注意：圓中的手拉手模型一般是需要輔助線構(gòu)造出來(lái)的（常用旋轉(zhuǎn)或截長(zhǎng)補(bǔ)短法）。條件：是△ABD的外接圓，且AD=BD，∠ADB=，C為圓O上一點(diǎn)。結(jié)論：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；特別地，當(dāng)=60°時(shí)，CD=CA+CB；當(dāng)=90°時(shí)，CD=CA+CB；例1．（2023·貴州遵義·統(tǒng)考三模）問(wèn)題背景：如圖1，是的直徑，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上（在直徑的異側(cè)），且為弧的中點(diǎn)，連接，，，，．探究思路：如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，證明，，三點(diǎn)共線，從而得到為等腰直角三角形，，從而得出．(1)請(qǐng)你根據(jù)探究思路，寫(xiě)出完整的推理過(guò)程；問(wèn)題解決：(2)若點(diǎn)，點(diǎn)在直徑的同側(cè)，如圖3所示，且點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，連接，，，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)為_(kāi)_________（用含有，的式子表示）；拓展探究：(3)將沿翻折得到，如圖4所示，試探究：，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．例2．（2023秋·河南許昌·九年級(jí)?？计谀┮阎?，點(diǎn)、、、是圓上的四個(gè)點(diǎn)，(1)如圖1，如果，判斷的形狀，并證明．(2)如果是等邊三角形，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，連接、、，請(qǐng)直接寫(xiě)出這三條線段的數(shù)量關(guān)系．(3)如圖2，如果是等邊三角形，圓半徑為2，當(dāng)點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形周長(zhǎng)最大值為_(kāi)_____．例3．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）如圖1，在⊙O中，弦AD平分圓周角∠BAC，我們將圓中以A為公共點(diǎn)的三條弦BA，CA，DA構(gòu)成的圖形稱(chēng)為圓中“爪形A”，弦BA，CA，DA稱(chēng)為“爪形A”的爪．（1）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，AB＝BC，①證明：圓中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求證：AD＋CD＝BD（2）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，其中BA＝BC，連接BD．若AD⊥DC，此時(shí)“爪形D”的爪之間滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·四川南充·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，以為直徑作．與相切于點(diǎn)E，若，則的半徑長(zhǎng)為（

）A． B． C．8 D．22．（2023·浙江·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，的直徑AB，垂直平分OA，AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E，DE交圓O于F，且．弦DH交OC于G，滿(mǎn)足，，AC長(zhǎng)為（

）A． B． C．2 D．3．（2023秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，它的周長(zhǎng)為22，若與三邊分別切于E，F(xiàn)，D三點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A．6 B．8 C．4 D．34．（2022秋·貴州黔西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，⊙O的半徑為2，PA，PB，CD分別切⊙O于點(diǎn)A，B，E，CD分別交PA，PB于點(diǎn)C，D，且P，E，O三點(diǎn)共線．若∠P＝60°，則CD的長(zhǎng)為（）A．4 B．2 C．3 D．65．（2023春·山東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，切于點(diǎn)切于點(diǎn)交于點(diǎn)，下列結(jié)論中不一定成立的是（

）A．B．平分C．D．6．（2022秋·安徽淮南·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)和C、D分別在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓上，若，，則（）A． B． C． D．7．（2022春·廣西·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，AB為圓O直徑，F(xiàn)點(diǎn)在圓上，E點(diǎn)為AF中點(diǎn)，連接EO，作CO⊥EO交圓O于點(diǎn)C，作CD⊥AB于點(diǎn)D，已知直徑為10，OE＝4，求OD的長(zhǎng)度．8．（2022春·江蘇九年級(jí)期中）如圖，已知，，分別切于點(diǎn)A，B，D，若，則的周長(zhǎng)是．若，則．

9．（2022·北京·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，PA，PB分別切半徑為1的⊙O于A，B兩點(diǎn)，BC為直徑，若，則PB的長(zhǎng)為．10．（2023·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，AB切⊙O與點(diǎn)A，BE切⊙O于點(diǎn)E，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)C，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，連接EC，若AD＝8，tan∠DEC＝，則CD＝．11．（2022·北京·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，切于A，B兩點(diǎn)．連接，連接交于點(diǎn)C，若，，則半徑為，的長(zhǎng)為．12．（2023春·廣東梅州·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，圓中兩條弦、相交于點(diǎn)E，且，求證：．

13．（2022·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)是等邊三角形中邊上的動(dòng)點(diǎn)（），作的外接圓交于點(diǎn)．點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，且，連結(jié)交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的度數(shù)是否變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，求的度數(shù)．14．（2022·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知圓的直徑與弦交于點(diǎn)，連接，且．（1）求證：（2）點(diǎn)為弧上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，求證：

15．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知、、、順次在圓上，，于點(diǎn)，求證：．16．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）乒乓球臺(tái)（如圖①）的支架可近似看成圓弧，其示意圖如圖②，與所在的直線過(guò)弧所在圓的圓心，直線與弧所在的圓相切于點(diǎn)G，連接，，且，．(1)求證：；(2)若弓形的高為，，且，求的長(zhǎng)．17．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)是第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于兩點(diǎn)．(1)與滿(mǎn)足什么條件時(shí)，，寫(xiě)出滿(mǎn)足的條件，并證明；(2)在（1）的條件下，若，，求長(zhǎng)．18．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，直角坐標(biāo)系中，OT為第一象限的角平分線，，，點(diǎn)P為OA上一動(dòng)點(diǎn)，Q為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，，以PQ為直徑的圓與OT相交于點(diǎn)C．(1)若，求點(diǎn)P坐標(biāo)；(2)求證：；(3)判斷OP、OQ、OC之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(4)如圖2，將題設(shè)條件“”更換為“”，以PQ為直徑的圓與AB相交于M、N兩點(diǎn)，則MN的最大值為．19．（2022秋·江蘇南通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，四邊形是內(nèi)正方形，P是圓上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C，D不重合），連接．(