專題03 中點(diǎn)模型之三線合一模型、垂直平分線模型、平行線夾中點(diǎn)模型（原卷版）

專題03中點(diǎn)模型之三線合一模型、垂直平分線模型、平行線夾中點(diǎn)模型中點(diǎn)模型是初中數(shù)學(xué)中一類重要模型，它在不同的環(huán)境中起到的作用也不同，主要是結(jié)合三角形、四邊形、圓的運(yùn)用，在各類考試中都會(huì)出現(xiàn)中點(diǎn)問題，有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)在壓軸題當(dāng)中，我們不妨稱之為“中點(diǎn)模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等問題，因此探尋這類問題的解題規(guī)律對初中幾何的學(xué)習(xí)有著十分重要的意義。常見的中點(diǎn)模型：①垂直平分線模型；②等腰三角形“三線合一”模型；③“平行線+中點(diǎn)”構(gòu)造全等或相似模型（與倍長中線法類似）；④直角三角形斜邊中點(diǎn)模型；⑤中位線模型；⑥中點(diǎn)四邊形模型。本專題就中點(diǎn)模型的后三類模型進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1：垂直平分線定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。如圖，在三角形ABC中，DE⊥BC，且D為BC中點(diǎn)，則BE=EC。模型運(yùn)用條件：當(dāng)遇到三角形一邊垂線過這邊中點(diǎn)時(shí)，可以考慮用垂直平分線的性質(zhì)。例1．（2023上·四川遂寧·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知?中，?為?內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)?的直線?分別交?于點(diǎn)?．若M在?的中垂線上，?在?的中垂線上，則?的度數(shù)為（

）A．? B．? C．? D．?例2．（2023上·江西南昌·八年級校考階段練習(xí)）如圖，已知，以A，B兩點(diǎn)為圓心的長為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，則的周長為（）A．8 B． C． D．例3．（2023上·湖南婁底·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，連接垂直平分，若，則點(diǎn)之間的距離為（

）A．4 B．8 C．2 D．6例4．（2023上·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，，垂直平分BC，若為直線EF上的任意一點(diǎn)，則的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6例5．（2022上·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）如圖，在中，，，．的垂直平分線交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．的垂直平分線交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F．則的長為（

）A． B． C． D．例6．（2023上·江蘇鹽城·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，為鈍角，邊的垂直平分線分別交于點(diǎn)D，E．(1)若，求的大小；(2)若的平分線和邊的垂直平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作垂直于的延長線于點(diǎn)G，求證：．模型2：等腰三角形的“三線合一”定理：等腰三角形底邊中線、高線、頂角平分線“三線合一”。如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，D為BC邊上的中點(diǎn)，則∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，BD=CD。模型運(yùn)用條件：等腰三角形中有底邊上的中點(diǎn)時(shí)，常作底邊的中線。例1．（2023上·廣西崇左·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，的垂直平分線為，垂足為點(diǎn)O，點(diǎn)P在上，則下列結(jié)論中，不一定正確的是（

）A． B． C．平分 D．例2．（2023上·湖南衡陽·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在中，，且，則長為（

）A．1 B．3 C．2 D．4例3．（2023·廣東梅州·九年級校聯(lián)考期末）如圖，已知，點(diǎn)在邊上，，點(diǎn)，在邊上，，若，則．

例4．（2022下·湖北宜昌·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，D是上一點(diǎn)，，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，，則的長為

例5．（2023上·浙江溫州·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，為的角平分線，過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，若，則的周長為（

）A．12 B．16 C．18 D．24例6．（2023上·湖南長沙·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，與均為等邊三角形，點(diǎn)在邊上，，連接．(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若，求的長．模型3：“平行線+中點(diǎn)+對頂角”構(gòu)造全等或相似模型我們把這種情況叫做平行線間夾中點(diǎn).處理這種情況的一般方法是：延長過中點(diǎn)的線段和平行線相交，即“延長中線交平行”如圖，AB//CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，可延長DE交AB于點(diǎn)F。模型運(yùn)用條件：構(gòu)造8字型全等（平行線夾中點(diǎn)）。例1．（2023上·天津西青·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知等邊，過邊上一點(diǎn)P作于點(diǎn)E，點(diǎn)Q為延長線上一點(diǎn)，取，連接，交于M，已知的長為2，則等邊三角形的邊長為．例2．（2023下·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期末）在中，，于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．例3．（2023上·江蘇南京·九年級校考開學(xué)考試）如圖，的頂點(diǎn)C在等邊的邊上，點(diǎn)E在的延長線上，G為的中點(diǎn)，連接．若，，則的長為．

例4．（2023下·福建泉州·八年級?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，，平分交于點(diǎn)，作，垂足在線段上，連接，則下列結(jié)論∶①；②點(diǎn)是中點(diǎn)；③；④．一定成立的是（

）A． B． C． D．例5．（2023下·遼寧沈陽·七年級?？计谥校┰跀?shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，老師給出了下列問題．(1)探究結(jié)論：在圖1中，，點(diǎn)P是兩平行線之間的一點(diǎn)，則，，之間的關(guān)系是_______．(2)應(yīng)用結(jié)論在圖2中，，PB平分，，若為等腰三角形，求的度數(shù)_．(3)拓展延伸：在圖3中，，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，．試判斷AB，AC，BD之間有什么關(guān)系，并說明理由．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023上·安徽阜陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，連接，若，則的長為（

）AIA．2 B．3 C．4 D．52．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，E，以C為圓心，長為半徑作弧，與直線交于點(diǎn)F，與交于點(diǎn)G，若，則的長為（

）

A．1 B．2 C． D．3．（2023上·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，中，是邊上的中線，M是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作交于N，則的最小值為（）A．10 B．12 C． D．4．（2023·安徽淮北·?？寄M預(yù)測）如圖，在中，為上一點(diǎn)，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．5．（2023下·內(nèi)蒙古通遼·九年級校考期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB、點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論：①；②EF＝CF；③S△BCE＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2023上·重慶沙坪壩·八年級?？计谥校┲校?，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，則的度數(shù)為．7．（2023上·廣東惠州·八年級校考期中）如圖，在中，的垂直平分線分別交于D、E兩點(diǎn)，并且相交于點(diǎn)F，且，則的度數(shù)是．8．（2023上·江蘇常州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，的角平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)．，，垂足分別為，．則．9．（2023上·河南·八年級?？计谥校┤鐖D所示，點(diǎn)在的內(nèi)部，點(diǎn)，分別是點(diǎn)關(guān)于直線，的對稱點(diǎn)，線段分別交，于點(diǎn)，，若的周長是20，則線段的長是．10．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，在中，的垂直平分線相交于點(diǎn)O，若等于，則．11．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考三模）在中，，分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧分別交于，兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，連接，若為等腰三角形，則的度數(shù)為．12．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在的同側(cè)，，若，則的長為．

13．（2023上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，中，，，點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在射線上運(yùn)動(dòng)，且，若，，則的長為．14．（2022下·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，?ABCD的頂點(diǎn)C在等邊△BEF的邊BF上，點(diǎn)E在AB的延長線上，G為DE的中點(diǎn)，連接CG．若AD＝5，AB＝CF＝3，則CG的長為．15．（2023下·浙江杭州·八年級期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作于點(diǎn)E，連接EF，CF，有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的結(jié)論是（填序號）．16．（2023·江西·八年級?？茧A段練習(xí)）在中，，，，點(diǎn)在的延長線上，點(diǎn)在邊上，且，若，求的長．（提示：過點(diǎn)作，垂足為．）17．（2023上·江蘇蘇州·八年級統(tǒng)考期中）在中，，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接．(1)邊上的高的長度為；(2)如圖1，若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．是否存在值，使得為等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．(3)如圖2，把沿著直線翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長度．

18．（2023上·吉林白山·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，平分，D為的中點(diǎn)，且，E為BC延長線上一點(diǎn)，且．(1)求ME的長；(2)求證：是等腰三角形．18．（2023下·江蘇連云港·八年級?？茧A段練習(xí)）在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)．連接AE，DE，求∠AED的度數(shù)．19．（2024下·成都市·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，E為DC的中點(diǎn)，連接AE并延長，與BC的延長線相交于點(diǎn)F，求證：．20．（2023·河北·統(tǒng)考一模）如圖，已知，，且，，是的中點(diǎn).（1）請你用直尺（無刻度）作出一條與相等的線段，并利用三角形全等證明該線段與相等；（2）求的長.

21．（2022下·江西撫州·八年級統(tǒng)考期末）(1)閱讀理解：如圖①，在四邊形ABCD中，ABCD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，試判斷AB，AD，CD之間的等量關(guān)系．解決此問題可以用如下方法：延長AE交DC的延長線于點(diǎn)F，易證△AEB≌△FEC，得到AB＝CF，從而把AB，AD，CD轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可判斷：AB，AD，CD之間的等量關(guān)系為；(2)問題探究：如圖②，在四邊形ABCD中，ABCD，AF與DC的延長線交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAF的平分線，試探究AB，AF，CF之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(3)問題解決：如圖③，ABCF，AE與BC交于點(diǎn)E，且點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AE上，且∠EDF＝∠BAE＝30°，若AB＝6，CF＝2，求CD的值．22．（2023上·浙江紹興·八年級統(tǒng)考期中）[方法呈現(xiàn)]（1）如圖①，△ABC中，AD為中線，已知AB＝3，AC＝5，求中線AD長的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連結(jié)CE，則易證△DEC≌△DAB，得到EC＝AB＝3，則可得AC﹣CE＜AE＜AC+CE，從而可得中線AD長的取值范圍是．[探究應(yīng)用]（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，若AE是∠BAD的平分線，