專題04 特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬模型（原卷版）

專題04特殊的平行四邊形中的最值模型之將軍飲馬模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》里的一句詩(shī)，由此卻引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問題，通常稱為“將軍飲馬”。將軍飲馬問題從本質(zhì)上來看是由軸對(duì)稱衍生而來，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就特殊的平行四邊形背景下的將軍飲馬問題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決將軍飲馬問題主要依據(jù)是：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短；涉及的基本方法還有：利用軸對(duì)稱變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等。模型1.求兩條線段和的最小值（將軍飲馬模型）【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA+PB最小；（1）點(diǎn)A、B在直線m兩側(cè)：（2）點(diǎn)A、B在直線同側(cè)：【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。上圖中A’是A關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)。例1．（2022·山東德州·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)在上，，點(diǎn)是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．例2．（2023上·山東青島·八年級(jí)校考自主招生）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊，上兩點(diǎn)，，平分，連接，分別交，于點(diǎn)G，M，點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作，垂足為N，連接，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）①；②；③的最小值為；④三角形的面積是．

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例3．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是的邊的中點(diǎn)，是對(duì)角線上一點(diǎn)．若，則的最小值是（

）

A．1 B．2 C． D．4例4．（2023下·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知菱形的面積為20，邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接、，、和點(diǎn)不重合，則的最小值為（

）

A． B． C．10 D．例5．（2023下·湖北武漢·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，若在上各取一個(gè)點(diǎn)M，N，連接，則的最小值為（

）

A．6 B．8 C．12 D．16例6．（2023·遼寧盤錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），連接．點(diǎn)M，N分別是的中點(diǎn)，連接，，，點(diǎn)E在邊上，，則的最小值是（

）

A． B．3 C． D．例7．（2023上·福建龍巖·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)E是邊上且．F是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連接、，則的最小值．模型2.求多條線段和（周長(zhǎng)）最小值【模型解讀】在直線m、n上分別找兩點(diǎn)P、Q，使PA+PQ+QB最小。（1）兩個(gè)點(diǎn)都在直線外側(cè)：（2）一個(gè)點(diǎn)在內(nèi)側(cè)，一個(gè)點(diǎn)在外側(cè)：（3）兩個(gè)點(diǎn)都在內(nèi)側(cè)：（4）臺(tái)球兩次碰壁模型1）已知點(diǎn)A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點(diǎn)D、E點(diǎn)，使得圍成的四邊形ADEB周長(zhǎng)最短.2）已知點(diǎn)A位于直線m,n的內(nèi)側(cè),在直線m、n分別上求點(diǎn)P、Q點(diǎn)PA+PQ+QA周長(zhǎng)最短.【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023·四川廣元·一模）如圖，已知正方形邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E在邊上且，點(diǎn)P，Q分別是邊，的動(dòng)點(diǎn)（均不與頂點(diǎn)重合），當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，四邊形的面積是（

）A． B． C． D．例2．（2023.無錫市初三數(shù)學(xué)期中試卷）方法感悟：如圖①，在矩形中，，是否在邊上分別存在點(diǎn)G、H，使得四邊形的周長(zhǎng)最??？若存在，求出它周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．問題解決：例3．（2023春·湖北黃石·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，，、分別是和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則的最小值是________；例4．（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，在的同側(cè)，，，，為的中點(diǎn)．若，則長(zhǎng)的最大值是（

）

A．8 B．10 C．12 D．14模型3.求兩條線段差最大值【模型解讀】在一條直線m上，求一點(diǎn)P，使PA與PB的差最大；（1）點(diǎn)A、B在直線m同側(cè)：延長(zhǎng)AB交直線m于點(diǎn)P，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P’A-P’B＜AB，而PA-PB=AB此時(shí)最大，因此點(diǎn)P為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)A、B在直線m異側(cè)：過B作關(guān)于直線m的對(duì)稱點(diǎn)B’,連接AB’交點(diǎn)直線m于P,此時(shí)PB=PB’，PA-PB最大值為AB’【最值原理】三角形兩邊之差小于第三邊。例1．（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)N在AC上且AN＝2，點(diǎn)M在BC上且BM＝BC，P為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，則PM﹣PN的最大值為．例2．（2023春·湖南永州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊上，且，點(diǎn)Q在邊上，連接與，則的最大值為____________，的最小值為__________．例3．（2023·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，點(diǎn)為直線左側(cè)平面上一點(diǎn)，的面積為，則的最大值為．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·湖北鄂州·二模）如圖，矩形中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)，將沿直線翻折得到，連接，則的最小值為（

）

A．5 B． C． D．2．（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，菱形，，邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E在上，且，F(xiàn)為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）

A． B． C． D．43．（2023下·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，矩形中，，，點(diǎn)E、F分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值是（）

A． B．12 C． D．164．（2023下·江蘇連云港·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖正方形的面積為，是等邊三角形，點(diǎn)在正方形內(nèi)，在對(duì)角線上有一動(dòng)點(diǎn)，要使最小，則這個(gè)最小值為(

)A． B． C． D．5．（2023下·廣西欽州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)、，點(diǎn)在軸上，則最大值為（

）A． B． C． D．6．（2023·廣東深圳·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)是正方形內(nèi)部一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，，則的最小值為（

）

A． B． C． D．7．（2023·重慶北碚·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，矩形中，，點(diǎn)是矩形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是（

）A．B．C．D．8．（2023上·安徽滁州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為4，且于點(diǎn)為上一點(diǎn)，且的周長(zhǎng)最小，則的周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．9．（2023下·四川資陽·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形是菱形，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則的最小值為．

10．（2023·湖南·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在上且，為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為．11．（2023下·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┰谥?，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，將沿著翻折得到，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接、，若，，，則的最小值為．

12．（2023下·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形是矩形紙片，，對(duì)折矩形紙片，使與重合，折痕為，展平后再過點(diǎn)折疊矩形紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為；再次展平，連接，．則，若為線段上一動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則的最小值是．

13．（2023·廣西·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)，以相同的速度同時(shí)出發(fā)，沿，向終點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)，連接，，則的最小值是．

14．（2023上·江蘇宿遷·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，在的同側(cè)，點(diǎn)A在線段上，，，則的最大值是．

15．（2023上·福建三明·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在正方形中，點(diǎn)F為中點(diǎn)，點(diǎn)E在對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，若，則長(zhǎng)的最大值為．

16．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）如圖，已知，正中，，將沿翻折，得到，連接，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，是的中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．17．（2023·山東日照·?？级＃┤鐖D，在邊長(zhǎng)為1的正方形中，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，B不重合），以為直角邊在直線上方作等腰直角三角形，，連接，則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，周長(zhǎng)的最小值是______．

18．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，己知長(zhǎng)方體，是棱上任意一點(diǎn)，是側(cè)面對(duì)角線上一點(diǎn)，則的最小值是________．

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