專題08 向量的運(yùn)算（上海中考特色題型）30題（解析版）

專題08向量的運(yùn)算（上海中考特色題型）30題（解析版）題目精選自：2023、2024年上海名校及一二模真題，包含實(shí)數(shù)與向量相乘、向量的線性運(yùn)算30題。一、單選題1．（2024上·上海青浦·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列說法中，正確的是（

）A． B．如果是單位向量，那么C．如果，那么 D．如果非零向量，且，那么【答案】D【分析】本題考查向量的相關(guān)概念，根據(jù)向量的概念和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、，所以A錯(cuò)誤，不符合題意．B、如果是單位向量，那么，所以B錯(cuò)誤，不符合題意．C、如果，那么，這兩個(gè)向量方向不一定相同，所以C錯(cuò)誤，不符合題意．D、如果非零向量，且，那么，D正確，符合題意．故選：D．2．（2023上·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知是非零向量，如果與同方向的單位向量記作，那么下列式子中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)與向量相乘，對各選項(xiàng)進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：由題意知，，A錯(cuò)誤，故不符合要求；，B錯(cuò)誤，故不符合要求；，C正確，故符合要求；，D錯(cuò)誤，故不符合要求；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與向量相乘．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握實(shí)數(shù)與向量相乘結(jié)果是向量．二、填空題3．（2024上·上海靜安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形被5條橫線與5條縱線劃分成16個(gè)全等的小正方形，、是其中兩個(gè)小正方形的頂點(diǎn)，設(shè)，，那么向量.（用向量、的式子表示）【答案】【分析】本題考查了平面向量的知識(shí)，根據(jù)題意得：，，，，從而得出，，再根據(jù)即可得出答案，熟練掌握三角形法則與數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，，根據(jù)題意得：，，，，，，，故答案為：．4．（2024上·上海松江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，梯形中，，且，若，．請用，來表示．【答案】【分析】此題考查了平面向量，根據(jù)平行四邊形法則得到，即可用、表示．【詳解】∵，，，∴，∴，故答案為：．5．（2023上·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，經(jīng)過的重心，設(shè)，，那么可以用向量，表示為：．

【答案】【分析】先求出，再根據(jù)重心是三角形三條中線的交點(diǎn)得到，由此可由求出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵經(jīng)過的重心，∴是的中線，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，重心的定義，正確表示出是解題的關(guān)鍵．6．（2023·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，已知，，，，那么用表示．【答案】【分析】本題考查了向量的運(yùn)算、相似三角形的判定與性質(zhì)，連接，交于點(diǎn)G，先根據(jù)求得，，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，即可得出，由此即可得．【詳解】解：連接，交于點(diǎn)G，∵，，∴，，，，，∴，，，∴∴，故答案為：．7．（2023上·上海浦東新·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，梯形中，，、分別是、上的點(diǎn)，且，，若，，則向量可用、表示為．【答案】【分析】過點(diǎn)A作交EF于點(diǎn)G，交BC于H，可得AD=GF=CH，然后用BH表示出CH，再求出，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得，再用BH表示出EG、EF，根據(jù)向量的三角形法則求出BH，即可得解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作交EF于點(diǎn)G，交BC于H四邊形ADFG、GFCH、ADCH均為平行四邊形，若，則故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量、梯形、平行四邊形與相似三角形相結(jié)合，關(guān)鍵在于作平行線表示出BH，熟記向量的平行四邊形法則和三角形法則是解題的關(guān)鍵．8．（2023·上海·一模）如圖，、分別是的兩條中線，設(shè)，那么向量用向量，表示為．

【答案】/【分析】根據(jù)、分別是的兩條中線得出，，再根據(jù)平面向量的減法運(yùn)算法則即可求解．【詳解】解：如圖，連接∵、分別是的兩條中線，∴，是的中位線∴，∴∴∴∴，∵，，∴，，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，平面向量的的減法運(yùn)算法則，熟練掌握三角形重心的性質(zhì)，平面向量的的減法運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2024上·上海徐匯·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在梯形中，，平分，，．(1)求的長；(2)設(shè)，，求向量（用向量、表示）．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了平面向量，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，證明，得到，由此得到答案．（2）過點(diǎn)作，求出，再根據(jù)平行四邊形法則求出．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，，平分，，，，，，，，，，，．（2）如圖，過點(diǎn)作，則四邊形是平行四邊形，，，，，．10．（2024上·上海黃浦·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，對角線交于點(diǎn)．(1)設(shè)，試用的線性組合表示向量．(2)如果，求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題考查平面向量、相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題．（1）根據(jù)題意可得，然后利用平行四邊形法則得到即可；（2）過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)F，則有，得到，求出長，然后利用勾股定理得到長計(jì)算面積即可【詳解】（1）解：∵，∴，∴；（2）過點(diǎn)D作交的延長線于點(diǎn)F，∵，∴為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，即，解得：或（舍去）∴，∴．11．（2024上·上海青浦·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在梯形中，，對角線、相交于點(diǎn)O，，．(1)求的長；(2)如果，，試用表示向量．【答案】(1)3(2)【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平面向量，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，得出，則，進(jìn)而得出，最后根據(jù)即可求解；（2）先得出，則，進(jìn)而得出，由（1）可得，則，進(jìn)而得出，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴；（2）解：∵，，，∴，∴，∵，∴，由（1）可得，∴，∴．12．（2023上·上海楊浦·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知在平行四邊形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，和交于點(diǎn)，設(shè)，．

(1)用向量、表示向量，即___________；(2)在圖中分別作出向量在、方向上的分向量（不要求寫做法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的法則得到，，進(jìn)而求得，再根據(jù)三角形法則求得，證明，利用相似三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而可求解；（2）過F作，，分別交、于N、M，則、分別為在、方向上的分向量．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，，，∴，，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴，則，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：如圖，過F作，，分別交、于N、M，則、分別為向量在、方向上的分向量．

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的知識(shí)以及平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．13．（2024上·上海金山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，是的中線，點(diǎn)是重心，點(diǎn)、分別在邊和上，四邊形是平行四邊形．(1)求證：；(2)設(shè)，，用向量，表示．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】（）由三角形重心的性質(zhì)得到，由平行四邊形的性質(zhì)得到，，推出，得到，而，得到，由，推出得到，因此，而，推出，得到，即可證明，（）由平面向量的運(yùn)算法則，即可求解；本題考查三角形的重心，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平面向量，關(guān)鍵是證明，掌握平面向量的運(yùn)算法則．【詳解】（1）∵是的重心，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴∴，∴，∵是的中線，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵G是的重心，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴∴，（2）∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．14．（2023上·上海普陀·九年級(jí)校考期中）已知：如圖，在梯形中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，．

(1)填空：________，________．（結(jié)果用表示）．(2)先化簡，并在圖中求作向量的結(jié)果．（不要求寫作法，但要指出圖中表示結(jié)論的向量）【答案】(1)；(2)；作圖見解析【分析】（1）由在梯形中，，，可求得，然后由點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，求得，再利用三角形法則求解即可求得；（2）先化簡，然后利用平行四邊形法則作圖求解即可．【詳解】（1）解：在梯形中，，，，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，；即；故答案為：；；（2），，，如圖所示，取的中點(diǎn)E，過點(diǎn)E作的平行線交于F點(diǎn)，連接，即，，

，四邊形是平行四邊形，由平行四邊形法則可得，，故圖中即為所求．【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí)以及平行四邊形的性質(zhì)．注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．15．（2023上·上海閔行·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，平行四邊形中，點(diǎn)M、N分別在邊、上，對角線分別交、于點(diǎn)E、F，且．

(1)求證：；(2)設(shè)，，請直接寫出和關(guān)于、的分解式：；．【答案】(1)見解析(2)，【分析】（1）證明，推出，同法得到，進(jìn)而得到，即可得到；（2）利用三角形法則表示出，再根據(jù)與的數(shù)量關(guān)系，表示出，即可．【詳解】（1）證明：在平行四邊形中，，．∵，∴．∵，∴，∴．又∵，∴．同理可得，∴．∴．（2）由圖可知：，∵，∴，∴，由（1）知：，∴，∴，∴；故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例，以及向量的線性計(jì)算，證明三角形相似，掌握三角形法則分解向量，是解題的關(guān)鍵．16．（2023上·上海普陀·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知兩個(gè)不平行的向量．先化簡，再求作：．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的向量．）

【答案】見解析【分析】根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算法則解答；由平面向量的幾何意義作圖．【詳解】解：．作圖：

∴如圖，為所求向量．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量，注意：三角形法則在解題過程中的應(yīng)用．17．（2023上·上海靜安·九年級(jí)上海市市北初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，是的邊上的中線，相交于點(diǎn)G，連接，設(shè)，．(1)用請用，表示向量和；(2)在圖中，畫出向量在和方向上的分向量．（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并寫明結(jié)論）【答案】(1)，(2)見解析圖，．【分析】（）根據(jù)平面向量運(yùn)算法則即可求出答案；（）根據(jù)平面向量的基本定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）∵，分別是邊，上的中線，∴是的重心，是的中位線，∴，，∴，∴∵，∴，∴，．（2）作圖如下：，即為所求；∴．【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平面向量的運(yùn)算法則．18．（2023上·上海長寧·九年級(jí)上海市婁山中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知在中，，，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，．

(1)試用和表示，即______；(2)在圖中分別作出向量在、方向上的分向量，并分別用、表示（寫出結(jié)論，不要求寫作法）．【答案】(1)(2)作圖見詳解，，【分析】本題考查了平面向量的三角形法則和平行四邊形法則等知識(shí)，（1）根據(jù)三角形法則求解即可；（2）利用平行四邊形法則求解，再利用平行線分線段成比例求出向量，向量．解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用平面向量的相關(guān)知識(shí)解決問題．【詳解】（1），∵，∴，故答案為；（2）

如圖，，即為所求．∵，∴，∴，∴，同理可得，．19．（2023上·上海崇明·九年級(jí)校聯(lián)考期中）已知、．

(1)化簡：．(2)求作，使．【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查了實(shí)數(shù)與向量相乘，向量的線性運(yùn)算．熟練掌握向量的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算實(shí)數(shù)與向量相乘，然后進(jìn)行線性運(yùn)算即可；（2）根據(jù)，作圖即可．【詳解】（1）解：；（2）解：∵，∴，如圖，即為所求；

20．（2024上·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，平分交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．(1)求的長；(2)連結(jié)交于點(diǎn)F，設(shè)，，用、的線性組合表示向量_____，____．【答案】(1)；(2)，．【分析】本題考查等腰三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，平面向量．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得到，設(shè)，根據(jù)得到，分別代入即可解答；（2）根據(jù)平面向量三角形減法法則得出，根據(jù)可求得與的關(guān)系，即可求解．【詳解】（1）∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，解得，∴．（2）∵，，∴．∵，∴，∴，∴，∴，即，∴．故答案為：，21．（2023上·上海長寧·九年級(jí)上海市第三女子初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，，、相交于點(diǎn)．(1)求的值；(2)如果，，用、表示向量．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平面向量等知識(shí)，（1）利用相似三角形的判定與性質(zhì)即可解決問題；（2）利用三角形法則即可解決問題．【詳解】（1）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴．22．（2023上·上海寶山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知D、E分別是的邊、上的點(diǎn)，，．

(1)求的值；(2)聯(lián)結(jié)，設(shè)，，試用向量、表示向量．【答案】(1)(2)【分析】本題考查相似三角形的判定及性質(zhì)，平面向量，熟練掌握相似三角形的判定方法及性質(zhì)、平面向量三角形法則是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，∴，∵，則，∴；（2）∵，∴，則，∴∵，，∴，∴，∴．23．（2023上·上海松江·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知在平行四邊形中，對角線、交于點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且，與交于點(diǎn)．(1)求的值；(2)設(shè)，，試用，表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理即可解決問題；（2）利用三角形法則計(jì)算即可．【詳解】（1）解：取中點(diǎn)，連接，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．（2）解：∵，，∴，∵四邊形是平行四邊形∴，∴∴【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，中位線的性質(zhì)，平面向量等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)．24．（2023上·上海普陀·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知平行四邊形中，與相交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，設(shè)，．(1)______；______；（用向量、表示）(2)求作：分別在、方向上的分向量．（不要求寫作法，但要寫明結(jié)論）【答案】(1)；(2)見解析【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平面向量知識(shí)，相似三角形的性質(zhì)與判定；（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)直接可得,再證明，進(jìn)而利用三角形法則解決問題即可；（2）利用平行四邊形法則，過點(diǎn)作交AB于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，即為向量分別在、方向上的分向量．【詳解】（1）解：∵四邊形中，與相交于點(diǎn)，∴，∵，．∴∴∵，∴∴∵是邊的中點(diǎn)，∴∴∴，∴（2）如圖，過點(diǎn)作交AB于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，即為向量分別在、方向上的分向量．25．（2023上·上海青浦·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在平行四邊形中，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，和相交于點(diǎn)E，如果，，(1)_________，___________；(2)在圖中求作向量分別在、方向上的分向量．（不寫作法，但要寫出畫圖結(jié)論）【答案】(1)，(2)見解析【分析】本題考查作圖復(fù)雜作圖，平行四邊形的性質(zhì)，平面向量等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則，平行四邊形法則．（1）利用三角形法則，平行線分線段成比例定理求解即可；（2）過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，則，即為所求．【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，；故答案為：，；（2）解：如圖過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，則，即為所求．26．（2023上·上海浦東新·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知，與相交于點(diǎn)O，且．(1)求的值；(2)如果，，請用，表示．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及平面向量的知識(shí)．（1）由，可得，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得的值；（2）由題意可知，則，由相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而由即可求解．掌握相似三角形的判定及平面向量的加減運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，，∴，，∴，∴，則，∴．（2）∵，，則，∴，∵，∴，則，即：，∴．27．（2023上·上海閔行·九年級(jí)上海市文來中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知在平行四邊形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊、的中點(diǎn)，、與對角線分別交于點(diǎn)G，H，設(shè)，．

(1)向量______，向量______．（用、表示）(2)畫出向量在向量和方向上的分向量．（畫圖不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）．【答案】(1)，(2)見解析【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、平面向量等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．（1）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)得四邊形為平行四邊形，再由平行線分線段成比例確定，，利用向量的三角形法則得出，即可確定，；（2）利用平行四邊形法則分解向量即可．【詳解】（1）解：∵平行四邊形，∴，，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊、的中點(diǎn)，∴，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵，，∴，同理得：，∴，∵，，∴，，∴，∴；∵，，，∴，故答案為：，；（2）如圖所示：即為所求．

28．（2024·上海普陀·統(tǒng)考一模）如圖，已知梯形中，，、分別是、的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，．(1)求的值；(2)設(shè)，，如果，那么________，________．(用向量、表示)【答案】(1)(2)