專(zhuān)題09 三角形中的特殊模型-燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型（解析版）

專(zhuān)題09三角形中的特殊模型-燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專(zhuān)題就燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“飛鏢”模型（“燕尾”模型）圖1圖2條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。條件：如圖2，線段BO平分∠ABC，線段OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。飛鏢模型結(jié)論的常用證明方法：例1．（2023·福建南平·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”．如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱(chēng)它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢?下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說(shuō)，就是一個(gè)角“凹”逃去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：方法一：如圖2，連結(jié)AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連結(jié)CD并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，．．．．．．．．．．大家在探究的過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論．任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是_________；(2)探索及應(yīng)用：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫(xiě)出該證明過(guò)程的剩余部分．【答案】(1)三角形的內(nèi)角和定理(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)解題過(guò)程作答即可；（2）連結(jié)CD并延長(zhǎng)至F，由三角形外角的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）由解題過(guò)程可得，“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是三角形的內(nèi)角和定理，故答案為：三角形的內(nèi)角和定理；（2）連結(jié)CD并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·吉林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）圖1是用一種彭羅斯瓷磚平鋪成的圖案，它的基礎(chǔ)部分是“風(fēng)箏”和“飛鏢”兩郎分，圖2中的“風(fēng)箏”和“飛鏢”是由圖3所示的特殊菱形制作而成．在菱形中，，在對(duì)角線上截取，連按，，可將菱形分割為“風(fēng)箏”（凸四邊）和“飛鏢”（凹四邊形）兩部分，則圖2中的°．【答案】144【分析】根據(jù)菱形的每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角的性質(zhì)、等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)以及三角形的全等證明，可以先求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形全等求出,進(jìn)而得出的度數(shù)．【詳解】在菱形中，，，在與中故答案為：144【點(diǎn)睛】題目主要考查菱形對(duì)角線的性質(zhì)、等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)以及三角形的全等證明方法，難度適中．例3．（2023·廣東河源·八年級(jí)校考期末）（1）模型探究：如圖1所示的“鏢形”圖中，請(qǐng)?zhí)骄颗c、、的數(shù)量關(guān)系并給出證明；（2）模型應(yīng)用：如圖2，平分，平分，，，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．【答案】（1）=++，理由見(jiàn)詳解；（2）21°【分析】（1）連接CD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，利用三角形的外角的性質(zhì)求解即可；（2）由（1）可知：∠ADB-∠C=∠A+∠B=90°，從而得∠EDO-∠BCO=×90°=45°，結(jié)合∠EDO+∠E=∠BCO+∠B，即可求解．【詳解】解：（1）=++，理由如下：連接CD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，∵∠ADE＝∠ACD＋∠A，∠BDE＝∠BCD＋∠B，∴∠ADE＋∠BDE＝∠ACD＋∠A＋∠BCD＋∠B，∴=++．（2）由第（1）題可得：=++，∴∠ADB-∠ACB=∠A+∠B=66°+24°=90°，∵平分，平分，∴∠EDO-∠BCO=（∠ADB-∠C）=×90°=45°，∵∠DOE=∠BOC，∴∠EDO+∠E=∠BCO+∠B，∴∠B-∠E=∠EDO-∠BCO=45°，∴∠E=∠B-45°=66°-45°=21°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，掌握三角形外角的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．例4.（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖所示，在中，，在上，，是上的任意一點(diǎn)，求證．【詳解】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則點(diǎn)落在線段CD上．連接交于點(diǎn)，連接．由軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)可得，．在中，，在中，．因此，所以．例5．（2023·浙江杭州·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（2018十三中開(kāi)學(xué)考）已知，在中，∠A=60°，（1）如圖①，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，則∠BOC=；（2）如圖②，∠ABC和∠ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)O1，O2，則；（3）如圖③，∠ABC和∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)O1，O2，…，（內(nèi)部有個(gè)點(diǎn)），則；（4）如圖③，∠ABC和∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)O1，O2，…，，若，求n的值．【答案】（1）120°；（2）100°；（3）；（4）n=4【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根據(jù)角平分線的定義即可求出∠OBC＋∠OCB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根據(jù)三等分線的定義即可求出∠O2BC＋∠O2CB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根據(jù)n等分線的定義即可求出∠On－1BC＋∠On－1CB，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)論；（4）根據(jù)（3）的結(jié)論列出方程即可求出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵在中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB∴∠OBC＋∠OCB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=60°∴∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB）=120°故答案為：120°．（2）∵在中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的三等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)O1，O2，∴∠O2BC=∠ABC，∠O2CB=∠ACB∴∠O2BC＋∠O2CB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=80°∴180°－（∠O2BC＋∠O2CB）=100°故答案為：100°．（3）∵在中，∠A=60°，∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°∵∠ABC和∠ACB的n等分線分別對(duì)應(yīng)交于點(diǎn)O1，O2，……，∴∠On－1BC=∠ABC，∠On－1CB=∠ACB∴∠On－1BC＋∠On－1CB=∠ABC＋∠ACB=（∠ABC＋∠ACB）=°∴180°－（∠O2BC＋∠O2CB）=故答案為：（4）由（3）知：∴解得：n=4經(jīng)檢驗(yàn)：n=4是原方程的解．【點(diǎn)睛】本題考查了n等分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理，掌握n等分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理是解決此題的關(guān)鍵．模型2、風(fēng)箏模型（鷹爪模型）或角內(nèi)翻模型圖1圖21）鷹爪模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；2）鷹爪模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。圖3圖43）角內(nèi)翻模型:如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。例1．（2023·四川達(dá)州·八年級(jí)期末）如圖，，，分別是四邊形的外角，判定下列大小關(guān)系：①；②；③；④．其中正確的是．（填序號(hào)）【答案】①【分析】根據(jù)多邊形（三角形）的外角和為即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，故①正確，②不正確；∵多邊形的外角和是，∴，故③④不正確，故答案為：①．【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理、外角和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)，能正確添加輔助線構(gòu)成三角形是解題的關(guān)鍵．例2.（2023春·廣東·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】D【分析】連接A'A，先求出∠BAC，再證明∠1+∠2=2∠BAC即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折疊，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角的性質(zhì)、折疊變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，屬于中考?？碱}型．例3．（2022秋·河北廊坊·八年級(jí)校考期中）如圖，將三角形紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形的外部時(shí)，測(cè)量得，，則為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用四邊形的內(nèi)角和定理求出，再利用三角形的內(nèi)角和定理求出，根據(jù)對(duì)頂角相等得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，故B正確．故選：B．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和定理求出的度數(shù)．例4．（2022秋·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）三角形內(nèi)角和定理告訴我們：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于如何證明這個(gè)定理呢？我們知道，平角是，要證明這個(gè)定理就是把三角形的三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)移到一個(gè)平角中去，請(qǐng)根據(jù)如下條件，證明定理．（1）【定理證明】

已知：如圖①，求證：．（2）【定理推論】如圖②，在中，有，點(diǎn)D是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，由平角的定義可得，所以_______，從而得到三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．【初步運(yùn)用】如圖③，點(diǎn)D、E分別是的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．（3）若，，則_______．（4）若，則_______．【拓展延伸】如圖④，點(diǎn)D、E分別是四邊形的邊延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．（5）若，，則_________．（6）分別作和的平分線，如圖⑤，若，則和的關(guān)系為_(kāi)_________．（7）分別作和的平分線，交于點(diǎn)O，如圖⑥，求出，和的數(shù)量關(guān)系，說(shuō)明理由．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由見(jiàn)解析【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)和平角的定義解決．（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義即可解答．（3）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和即可解答；（4）根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得，以此即可求解．（5）連接，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理的推論即可解答．（6）過(guò)點(diǎn)作，由（1）可知，，則，根據(jù)平行線和角平分線的性質(zhì)可得，則，以此即可求解．（7）由（1）可知，，則，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和為即可求解．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作，

∵，，，，．（2），，．故答案為：．（3），，，；故答案為：；（4），，，，，．故答案為：．（5）如圖，連接，

，，，，，．故答案為：．（6）如圖，過(guò)點(diǎn)作，則，

由（1）知，，，，，，，、分別是和，，，．故答案為：．（7），理由如下：由（1）知，，，、分別為和的角平分線，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理的證明、三角形外角的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題干作出正確的輔助線是解題關(guān)鍵．例5．（2022春·河南鶴壁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）中，，點(diǎn)D，E分別是邊AC，BC上的點(diǎn)，點(diǎn)P是一動(dòng)點(diǎn)，令，，．初探：(1)如圖1，若點(diǎn)P在線段AB上，且，則_____________；(2)如圖2，若點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則∠1，∠2，之間的關(guān)系為_(kāi)____________；(3)如圖3，若點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，則∠1，∠2，之間的關(guān)系為_(kāi)____________；再探：(4)如圖4，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到的內(nèi)部，寫(xiě)出此時(shí)∠1，∠2，之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)，見(jiàn)解析．【分析】（1）連接，證明即可；（2）利用（1）中結(jié)論解答即可；（3）直接利用三角形的外角性質(zhì)求解即可；（4）同樣直接利用三角形的外角性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，，，，，，，故答案為：；（2）解：由（1）可知，，故答案為：；（3）解：如圖，，，，即，故答案為：；（4）解：，證明如下：如圖，連接，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理和三角形的外角和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)求解．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023春·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，、是邊、上的點(diǎn)，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且點(diǎn)在邊上，沿翻折后得到，且點(diǎn)在邊上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理得出，，將已知數(shù)據(jù)代入，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

依題意，∴即，∵∴∴∴∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在ABC中，∠B+∠C＝α，按圖進(jìn)行翻折，使，則∠FE的度數(shù)是（）A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°【答案】D【分析】設(shè)∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y(tǒng)，∠C′FE＝x，利用平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題．【詳解】解：設(shè)∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y(tǒng)，∠C′FE＝x，∵，∴，，∴γ+β＝∠B+∠C＝α，∵EB′∥FG，∴∠CFG＝∠CEB′＝y(tǒng)，∴x+2y＝180°①，根據(jù)平行線的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得：，，∴，∵γ+y＝2∠B，同理可得出：β+x＝2∠C，∴γ+y+β+x＝2α，∴x+y＝α②，②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，∴∠C′FE＝2α﹣180°．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．3．（2023·河南·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，與的角平分線交于，與的角平分線交于點(diǎn)，依此類(lèi)推，與的角平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分線，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求結(jié)果．【詳解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=160°，∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD，∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB，同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°，∴∠BCD5+∠CBD5=155°，∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線，關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．4．（2023春·江蘇蘇州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在三角形紙片，，現(xiàn)將該紙片沿折疊，使點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處．其中，點(diǎn)在紙片的內(nèi)部，點(diǎn)、分別在邊、上．若，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，根據(jù)四邊形和三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：現(xiàn)將該紙片沿折疊，使點(diǎn)、分別落在點(diǎn)、處．，，，，，，，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·浙江·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，是邊上的高，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是，邊上的點(diǎn)，連接，將沿著翻折，使點(diǎn)A與邊上的點(diǎn)G重合，若，，則的度數(shù)為．

【答案】/49度【分析】利用三角形內(nèi)角和求出，結(jié)合已知得到，可求得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得，，進(jìn)一步求出，再利用三角形內(nèi)角和求出結(jié)果．【詳解】解：∵是邊上的高，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，由折疊可得：，，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，折疊的性質(zhì)，三角形的高，圖中線段較多，解題的關(guān)鍵是理清角之間的關(guān)系，根據(jù)折疊得到相等的角．6．（203·四川德陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠A＝60°將△ABC沿DE翻折后，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A′處．如果∠A′DB＝50°，那么∠A′ED的度數(shù)為．【答案】55°/55度【分析】首先求得∠ADA′，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠A′DE=∠ADE=∠ADA′，在△A′DE中利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵∠ADA′=180°-∠A′DB=180°-50°=130°，∴根據(jù)折疊的性質(zhì)得：∠A′DE=∠ADE=∠ADA′=65°，∠DA′E=∠A=60°，∴∠A′ED=180°-∠A′DE-∠DA′E=180°-65°-60°=55°．故答案為：55°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，找出圖形中相等的角是關(guān)鍵．7．（2023秋·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，將△ABC沿著DE翻折，若∠1+∠2＝80°，則∠B＝度．【答案】40．【分析】利用三角形的內(nèi)角和和四邊形的內(nèi)角和即可求得．【詳解】∵△ABC沿著DE翻折，∴∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°，∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，而∠1+∠2＝80°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∴80°+2（180°﹣∠B）＝360°，∴∠B＝40°．故答案為：40°．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的折疊變化及三角形的內(nèi)角和定理．關(guān)鍵是要理解折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，只是位置變化．8．（2023·山東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，中，，D是上一點(diǎn)，延長(zhǎng)至E，使．試確定與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論（一題多解）．【答案】見(jiàn)解析【分析】解法一：如圖所示，延長(zhǎng)ED到F交BC于F，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)證明∠B+∠BDF=90°即可得到答案；解法二：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC交AC于F，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)證明∠ADF+∠EDA=90°，即可得到答案．【詳解】解：ED⊥BC，證明如下：解法一：如圖所示，延長(zhǎng)ED到F交BC于F，∵AB=AC，AD=AE，∴∠E=∠ADE，∠C=∠B，∵∠ADE=∠BDF，∴∠E=∠BDF，∵∠E+∠C=∠BFD，∠B+∠BFD+∠BDF=180°∴∠E+∠B+∠C+∠BDF=180°即2∠B+2∠BDF=180°，∴∠B+∠BDF=90°，∴ED⊥BC；解法二：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF∥BC交AC于F，∵AB=AC，AD=AE，∴∠E=∠ADE，∠C=∠B，∵DF∥BC，∴∠B=∠ADF，∠C=∠AFD∴∠AFD=∠ADF，∵∠E+∠EDF+∠EFD=180°，即∠E+∠EDA+∠ADF+∠EFD=180°，∴2∠ADF+2∠EDA=180°，∴∠ADF+∠EDA=90°，∴∠EDF=90°，∴ED⊥DF，∴ED⊥BC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂直的判定，三角形外角的性質(zhì)等等，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．9．（2023·重慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖，P，Q為三角形ABC內(nèi)兩點(diǎn)，B，P，Q，C構(gòu)成凸四邊形．

求證：．【詳解】作直線PQ，分別與AB，AC交于點(diǎn)M，N由三角形的三邊關(guān)系可得=1\*GB3①+②+③得∴，即．10．（2023秋·山東·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知，在中，點(diǎn)E在邊上，點(diǎn)D是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將沿E、D所在直線進(jìn)行翻折得到．(1)如圖，若，則______；(2)在圖中細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)了，，之間的關(guān)系，請(qǐng)您替小明寫(xiě)出這個(gè)數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)；(2)，證明見(jiàn)解析．【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和求出，再由折疊的性質(zhì)得，進(jìn)而可求出的度數(shù)；（2）先由三角形內(nèi)角和求出，再由折疊的性質(zhì)得，進(jìn)而可求出，，之間的關(guān)系．【詳解】（1）在中，，∴．由折疊的性質(zhì)，可知：，，∴．又∵∠，∴．故答案為：；（2）．證明：在中，，∴．由折疊的性質(zhì)，可知：，∴．又∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023·北京·一模）在課外活動(dòng)中，我們要研究一種凹四邊形——燕尾四邊形的性質(zhì)．定義1：把四邊形的某些邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊有不在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形（如圖1）．（1）根據(jù)凹四邊形的定義，下列四邊形是凹四邊形的是（填寫(xiě)序號(hào)）；①②③定義2：兩組鄰邊分別相等的凹四邊形叫做燕尾四邊形（如圖2）．特別地，有三邊相等的凹四邊形不屬于燕尾四邊形．小潔根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形、菱形、矩形、正方形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)燕尾四邊形的性質(zhì)進(jìn)行了探究.下面是小潔的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（2）通過(guò)觀察、測(cè)量、折疊等操作活動(dòng)，寫(xiě)出兩條對(duì)燕尾四邊形性質(zhì)的猜想，并選取其中的一條猜想加以證明；（3）如圖2，在燕尾四邊形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四邊形ABCD的面積（直接寫(xiě)出結(jié)果）．【答案】（1）①；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)凹四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）由燕尾四邊形的定義可以得出燕尾四邊形的性質(zhì)；（3）連接BD，根據(jù)SΔABD-SΔBCD即可求出燕尾四邊形ABCD的面積．【詳解】解：（1）由凹四邊形的定義得出，圖①是凹四邊形．故答案是①；（2）①一組對(duì)角相等；②它是一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形；①已知：如圖1，在凹四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC．求證：∠B=∠D．證明：連接AC．在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．∴∠B=∠D．②由①知，△ABC≌△ADC，∴AC所在的直線是燕尾四邊形的對(duì)稱(chēng)軸；（3）如圖2，連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于E；由（2）知，燕尾四邊形ABCD是軸對(duì)稱(chēng)圖形，∴∠BCE=∠BCD=60°，∴∠CBE=30°，在Rt△BCE中，∠CBE=30°，BC=4，∴CE=BC=2，BE=CE=2，在Rt△ABE中，AB=6，BE=2，根據(jù)勾股定理得，AE=，∴S△ABC=S△ABE-S△CBE=BE?AE-BE?CE=BE（AE-CE）=×2×（2-2）=6-2∴燕尾四邊形ABCD的面積為2S△ABC=12?4．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形．12．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)期中）發(fā)現(xiàn)與探究【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可推理得：如圖1在四邊形中，判斷與的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)將如下說(shuō)理過(guò)程補(bǔ)充完整．解：，理由：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵是的外角，∴________________________________，同理，是的外角，∴________________________________，∴（等量代換）．【驗(yàn)證】某木材零件如圖2所示，圖紙要求，，零件樣品生產(chǎn)出來(lái)后，經(jīng)測(cè)量得到，請(qǐng)你用“發(fā)現(xiàn)”得到的結(jié)論判斷該零件樣品是否符合規(guī)格，并說(shuō)明理由．【探究】如圖3是某公司開(kāi)發(fā)的可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖所示），與的交點(diǎn)為，且，，保持不變，為了舒適，需調(diào)整的大小，使，請(qǐng)直接寫(xiě)出，應(yīng)將圖中______（填“增加”或“減小”）______°．【答案】發(fā)現(xiàn)：，；驗(yàn)證：不符合規(guī)格，理由見(jiàn)解析；探究：增加，5【分析】（1）發(fā)現(xiàn)：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)三角形的外角定理得出，，即可得出結(jié)論；（2）驗(yàn)證：由“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論可得，則，求出符合規(guī)格的零件，即可得出結(jié)論；（3）探究：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等得出，再根據(jù)“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）發(fā)現(xiàn)：解：，理由：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵是的外角，∴，同理，是的外角，∴，∴（等量代換）．故答案為：，；（2）驗(yàn)證：由“發(fā)現(xiàn)”可知：，∴，∵符合標(biāo)準(zhǔn)的零件，，∴符合標(biāo)準(zhǔn)的零件，∵，∴該零件不符合規(guī)格；（3）探究：∵，∴，∴，∵，保持不變，∴應(yīng)增加故答案為：增加，5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外角定理，三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是掌握三角形那個(gè)的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．13．（2023春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）在銳角中，邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點(diǎn)為，，求的度數(shù)．（2）如圖，和分別平分和，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，且B、P、D三點(diǎn)共線，，則_________．（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)點(diǎn)在直線外時(shí)，如下圖：，，求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等以及四邊形的內(nèi)角和進(jìn)行判斷即可；（2）法一：根據(jù)以及和分別平分和，算出和,從而算出；法二：根據(jù)三角形的外角定理得到∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB，再求出∠PAB＋∠PCB，故可求解；（3）法一：連接AC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和與角平分線的性質(zhì)分別求出，，故可求解；法二：連接BD并延長(zhǎng)到G根據(jù)三角形的外角定理得到∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，再求出∠2＋∠4，故可求解．【詳解】（1）如圖邊上的高所在直線和邊上的高所在直線的交點(diǎn)為∴又∵∴∵在四邊形中，內(nèi)角和為∴．（2）法一：∵和分別平分和∴又∵∴∴∴．法二：連接BD，∵B、P、D三點(diǎn)共線∴BD、AF、CE交于P點(diǎn)∵∠APD=∠BAP+∠ABP，∠CPD=∠BCP+∠CBP，∴∠APC=∠B+∠PAB＋∠PCB∵和分別平分和，∴∠PAC=∠PAB，∠PCA=∠PCB，∵∠APC＝100°，∴∠PAC＋∠PCA＝180°?100°＝80°，∴∠PAB＋∠PCB＝80°，∴∠B＝∠APC?（∠PAB＋∠PCB）＝100°?80°＝20°．（3）法一：如圖：連接AC∵，∴∴又∵和分別平分和∴∴∴．法二：如圖，連接BD并延長(zhǎng)到G，∵∠ADG＝∠2＋∠APD，∠CDG＝∠4＋∠CPD，∴∠ADC＝∠2＋∠4＋∠APC，∴∠2＋∠4=30°同理可得∠APC＝∠1＋∠3＋∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝∠APC-∠2-∠4=100°-30°=70°∴∠B＝70°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外角，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．14．（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D①，凹四邊形形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱(chēng)為“規(guī)形”，(1)如圖①，在規(guī)形中，若，，，則______°；(2)如圖②，將沿，翻折，使其頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，若，則______°；(3)如圖③，在規(guī)形中，、的角平分線、交于點(diǎn)E，且，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)20(2)54(3)；理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接，并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出、，即可得出，根據(jù)，，，即可得出答案；（2）根據(jù)翻折得出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，在根據(jù)，列出關(guān)于的方程，解方程即可得出答案；（3）根據(jù)角平分線的定義結(jié)合解析（1）得出，，根據(jù)，，即可得出答案．【詳解】（1）解：如